متجه زائف

في الفيزياء والرياضيات ، المتجه الزائف (أو المتجه المحوري ) ^[2] هو كمية تتصرف مثل المتجه في العديد من المواقف، ولكن اتجاهها لا يتوافق عندما يتم تحويل الجسم بشكل صارم عن طريق الدوران أو الترجمة أو الانعكاس ، إلخ. يمكن أن يحدث هذا أيضًا عند تغيير اتجاه الفضاء . على سبيل المثال، الزخم الزاوي هو متجه زائف لأنه غالبًا ما يوصف بأنه متجه، ولكن بمجرد تغيير موضع المرجع (وتغيير متجه الموضع )، يمكن للزخم الزاوي عكس الاتجاه، وهو ما لا يُفترض أن يحدث مع المتجهات الحقيقية (المعروفة أيضًا باسم المتجهات القطبية ). ^[3]

أحد الأمثلة على المتجه الزائف هو العمودي على المستوى الموجه . يمكن تعريف المستوى الموجه بمتجهين غير متوازيين، a و b ، ^[4] يمتدان عبر المستوى. المتجه a × b هو عمودي على المستوى (هناك عموديان، واحد على كل جانب - ستحدد قاعدة اليد اليمنى أيهما)، وهو متجه زائف. هذا له عواقب في الرسومات الحاسوبية، حيث يجب مراعاته عند تحويل المتجهات العادية السطحية . في الأبعاد الثلاثة، تجعيد حقل متجه قطبي عند نقطة والضرب المتجهي لمتجهين قطبيين هما متجهان زائفان. ^[5]

يتصرف عدد من الكميات في الفيزياء كمتجهات زائفة بدلاً من متجهات قطبية، بما في ذلك المجال المغناطيسي والسرعة الزاوية . في الرياضيات، في ثلاثة أبعاد، تكون المتجهات الزائفة مكافئة للمتجهات الثنائية ، والتي يمكن من خلالها اشتقاق قواعد تحويل المتجهات الزائفة. بشكل عام، في الجبر الهندسي ذي الأبعاد n ، تكون المتجهات الزائفة هي عناصر الجبر ذات البعد n − 1 ، مكتوبة ⋀ ^{n −1} R ⁿ . يمكن تعميم تسمية "المتجهات الزائفة" بشكل أكبر على المتجهات الزائفة والموترات الزائفة ، وكلاهما يكتسبان انعكاسًا إضافيًا للإشارة تحت الدورات غير السليمة مقارنة بالمتجه القياسي أو الموتر الحقيقي .

تشمل الأمثلة الفيزيائية للمتجهات الزائفة عزم الدوران ، ^[4] والسرعة الزاوية ، والزخم الزاوي ، ^[4] والمجال المغناطيسي ، ^[4] والدوامة ، وعزم ثنائي القطب المغناطيسي .

لنأخذ في الاعتبار متجه الزخم الزاوي الزائف L = Σ( r × p ) . عند قيادة سيارة والنظر للأمام، يكون لكل عجلة متجه زخم زاوي يشير إلى اليسار. إذا انعكس العالم في مرآة تقوم بتبديل الجانب الأيسر والأيمن للسيارة، فإن "انعكاس" "متجه" الزخم الزاوي هذا (كما يُنظر إليه كمتجه عادي) يشير إلى اليمين، ولكن متجه الزخم الزاوي الفعلي للعجلة (الذي لا يزال يدور للأمام في الانعكاس) لا يزال يشير إلى اليسار، وهو ما يتوافق مع انعكاس العلامة الإضافية في انعكاس متجه زائف.

يصبح التمييز بين المتجهات القطبية والمتجهات الزائفة مهمًا في فهم تأثير التناظر على حل الأنظمة الفيزيائية . ضع في اعتبارك حلقة تيار كهربائي في المستوى z = 0 تولد داخل الحلقة مجالًا مغناطيسيًا موجهًا في اتجاه z . هذا النظام متماثل (ثابت) تحت انعكاسات المرآة عبر هذا المستوى، مع بقاء المجال المغناطيسي دون تغيير بسبب الانعكاس. ولكن من المتوقع أن يعكس عكس المجال المغناطيسي كمتجه عبر هذا المستوى؛ يتم تصحيح هذا التوقع من خلال إدراك أن المجال المغناطيسي هو متجه زائف، مع تركه دون تغيير بقلب الإشارة الإضافية.

في الفيزياء، تكون المتجهات الزائفة عمومًا نتيجة لأخذ حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين قطبيين أو تجعيد حقل متجه قطبي. يتم تعريف حاصل الضرب الاتجاهي والتجعيد، وفقًا للاتفاقية، وفقًا لقاعدة اليد اليمنى، ولكن كان من الممكن تعريفهما بسهولة من حيث قاعدة اليد اليسرى. يمكن استبدال كامل جسم الفيزياء الذي يتعامل مع المتجهات الزائفة (اليمنى) وقاعدة اليد اليمنى باستخدام المتجهات الزائفة (اليسرى) وقاعدة اليد اليسرى دون مشكلة. ستكون المتجهات الزائفة (اليسرى) المحددة على هذا النحو معاكسة في الاتجاه لتلك المحددة بقاعدة اليد اليمنى.

في حين يمكن التعبير عن علاقات المتجهات في الفيزياء بطريقة خالية من الإحداثيات، فإن نظام الإحداثيات مطلوب من أجل التعبير عن المتجهات والمتجهات الزائفة ككميات عددية. يتم تمثيل المتجهات على هيئة ثلاثيات مرتبة من الأرقام: على سبيل المثال ، ويتم تمثيل المتجهات الزائفة بهذا الشكل أيضًا. عند التحويل بين أنظمة إحداثيات يسارية ويمنى، لا تتحول تمثيلات المتجهات الزائفة كمتجهات، ومعاملتها كتمثيلات متجهة ستؤدي إلى تغيير غير صحيح في الإشارة، لذلك يجب توخي الحذر لتتبع الثلاثيات المرتبة التي تمثل المتجهات، والتي تمثل المتجهات الزائفة. لا توجد هذه المشكلة إذا تم استبدال حاصل الضرب المتجهي لمتجهين بحاصل الضرب الخارجي للمتجهين، مما ينتج عنه متجه ثنائي وهو موتر من الرتبة الثانية ويتم تمثيله بمصفوفة 3 × 3. يتحول هذا التمثيل للموتر ثنائي الاتجاه بشكل صحيح بين أي نظامين إحداثيين، بغض النظر عن اتجاههما. ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z})}$

تعريف "المتجه" في الفيزياء (بما في ذلك كل من المتجهات القطبية والمتجهات الزائفة) أكثر تحديدًا من التعريف الرياضي لـ "المتجه" (أي أي عنصر من عناصر فضاء المتجه المجرد ). بموجب التعريف الفيزيائي، يلزم أن يحتوي "المتجه" على مكونات "تتحول" بطريقة معينة تحت دوران مناسب : على وجه الخصوص، إذا تم تدوير كل شيء في الكون، فإن المتجه سوف يدور بنفس الطريقة تمامًا. (نظام الإحداثيات ثابت في هذه المناقشة؛ بعبارة أخرى هذا هو منظور التحولات النشطة .) رياضيًا، إذا خضع كل شيء في الكون لدوران موصوف بمصفوفة الدوران R ، بحيث يتم تحويل متجه الإزاحة x إلى x ′ = R x ، فيجب تحويل أي "متجه" v بشكل مماثل إلى v ′ = R v . هذا المطلب المهم هو ما يميز المتجه (الذي قد يتكون من، على سبيل المثال، مكونات السرعة x - و y - و z ) عن أي ثلاثية أخرى من الكميات الفيزيائية (على سبيل المثال، لا يمكن اعتبار طول وعرض وارتفاع الصندوق المستطيل المكونات الثلاثة للمتجه، لأن تدوير الصندوق لا يحول هذه المكونات الثلاثة بشكل مناسب).

(في لغة الهندسة التفاضلية ، يعادل هذا المطلب تعريف متجه ليكون موترًا من رتبة متغير مضاد من الدرجة الأولى. في هذا الإطار الأكثر عمومية، يمكن أن يكون للموترات ذات الرتبة الأعلى أيضًا العديد من الرتب المتغيرة والمتغيرة المعاكسة المختلطة بشكل عشوائي في نفس الوقت، والتي يتم الإشارة إليها بواسطة مؤشرات مرتفعة ومنخفضة ضمن اتفاقية مجموع أينشتاين .)

من الأمثلة الأساسية والملموسة إلى حد ما هو متجهات الصفوف والأعمدة تحت عامل ضرب المصفوفات المعتاد: في ترتيب واحد ينتجون حاصل الضرب النقطي، وهو مجرد رقمي وبالتالي موتر رتبة صفر، بينما في الترتيب الآخر ينتجون حاصل الضرب الثنائي ، وهو مصفوفة تمثل موترًا مختلطًا من الرتبة الثانية، مع مؤشر متغاير واحد ومؤشر متغاير واحد. على هذا النحو، يمكن استخدام عدم التبديلية لجبر المصفوفات القياسي لتتبع التمييز بين المتجهات المتغايرة والمتغايرة. هذه في الواقع هي الطريقة التي تم بها إجراء المحاسبة قبل ظهور تدوين الموتر الأكثر رسمية وعمومية. لا يزال يتجلى في كيفية عرض متجهات الأساس لمساحات الموتر العامة للتلاعب العملي.

تتعلق المناقشة حتى الآن بالدوران السليم فقط، أي الدوران حول محور. ومع ذلك، يمكن للمرء أيضًا أن يأخذ في الاعتبار الدوران غير السليم ، أي الانعكاس المرآوي الذي قد يتبعه دوران سليم. (أحد الأمثلة على الدوران غير السليم هو الانعكاس عبر نقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد). افترض أن كل شيء في الكون يخضع لدوران غير سليم موصوف بمصفوفة الدوران غير السليم R ، بحيث يتحول متجه الموضع x إلى x ′ = R x . إذا كان المتجه v متجهًا قطبيًا، فسيتم تحويله إلى v ′ = R v . إذا كان متجهًا زائفًا، فسيتم تحويله إلى v ′ = − R v .

يمكن صياغة قواعد التحويل للمتجهات القطبية والمتجهات الزائفة بشكل مضغوط على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{align}\mathbf {v} '&=R\mathbf {v} &&{\text{(المتجه القطبي)}}\\\mathbf {v} '&=(\det R)( R\mathbf {v} )&&{\text{(ناقل كاذب)}}\end{محاذاة}}}$

حيث تكون الرموز كما هو موضح أعلاه، ويمكن أن تكون مصفوفة الدوران R إما صحيحة أو غير صحيحة. يشير الرمز det إلى المحدد ؛ تعمل هذه الصيغة لأن محدد مصفوفات الدوران الصحيحة وغير الصحيحة هو +1 و-1 على التوالي.

افترض أن v ₁ و v ₂ متجهان زائفان معروفان، وأن v ₃ هو مجموعهما، v ₃ = v ₁ + v _2. إذا تم تحويل الكون بواسطة مصفوفة دوران R ، فإن v ₃ يتحول إلى

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v_{3}} '=\mathbf {v_{1}} '+\mathbf {v_{2}} '&=(\det R)(R\mathbf {v_{1}} )+(\det R)(R\mathbf {v_{2}} )\\&=(\det R)(R(\mathbf {v_{1}} +\mathbf {v_{2}} ))=(\det R)(R\mathbf {v_{3}} ).\end{aligned}}}$

وبالتالي فإن v ₃ هو أيضًا متجه زائف. وبالمثل، يمكننا أن نبين أن الفرق بين متجهين زائفين هو متجه زائف، وأن مجموع أو فرق متجهين قطبيين هو متجه قطبي، وأن ضرب متجه قطبي بأي عدد حقيقي ينتج عنه متجه قطبي آخر، وأن ضرب متجه زائف بأي عدد حقيقي ينتج عنه متجه زائف آخر.

من ناحية أخرى، افترض أن v ₁ معروف بأنه متجه قطبي، و v ₂ معروف بأنه متجه زائف، و v ₃ معروف بأنه مجموعهما، v ₃ = v ₁ + v _2. إذا تم تحويل الكون بواسطة مصفوفة دوران غير سليمة R ، فإن v ₃ يتحول إلى

${\displaystyle \mathbf {v_{3}} '=\mathbf {v_{1}} '+\mathbf {v_{2}} '=(R\mathbf {v_{1}} )+(\det R) (R\mathbf {v_{2}})=R(\mathbf {v_{1}} +(\det R)\mathbf {ت_{2}} ).}$

لذلك، فإن v ₃ ليس متجهًا قطبيًا ولا متجهًا زائفًا (على الرغم من أنه لا يزال متجهًا، وفقًا للتعريف الفيزيائي). بالنسبة للدوران غير السليم، لا يحتفظ v ₃ عمومًا بنفس المقدار:

${\displaystyle |\mathbf {v_{3}} |=|\mathbf {v_{1}} +\mathbf {v_{2}} |,{\text{ ولكن }}\left|\mathbf {v_{3}} '\right|=\left|\mathbf {v_{1}} '-\mathbf {v_{2}} '\right|}$.

إذا كان مقدار v ₃ يصف كمية فيزيائية قابلة للقياس، فهذا يعني أن قوانين الفيزياء لن تظهر بنفس الشكل إذا نظرنا إلى الكون في مرآة. في الواقع، هذا هو بالضبط ما يحدث في التفاعل الضعيف : بعض التحللات الإشعاعية تعامل "اليسار" و"اليمين" بشكل مختلف، وهي الظاهرة التي يمكن إرجاعها إلى مجموع متجه قطبي مع متجه زائف في النظرية الأساسية. (انظر انتهاك التكافؤ .)

بالنسبة لمصفوفة الدوران R ، سواء كانت صحيحة أو غير صحيحة، فإن المعادلة الرياضية التالية تكون صحيحة دائمًا:

${\displaystyle (R\mathbf {v_{1}} )\times (R\mathbf {v_{2}} )=(\det R)(R(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} ))}$,

حيث v ₁ و v ₂ عبارة عن متجهات ثلاثية الأبعاد. (يمكن إثبات هذه المعادلة إما من خلال حجة هندسية أو من خلال حساب جبري.)

افترض أن v ₁ و v ₂ متجهان قطبيان معروفان، وأن v ₃ هو حاصل ضربهما المتجهي، v ₃ = v ₁ × v _2. إذا تم تحويل الكون بواسطة مصفوفة دوران R ، فإن v ₃ يتحول إلى

${\displaystyle \mathbf {v_{3}} '=\mathbf {v_{1}} '\times \mathbf {v_{2}} '=(R\mathbf {v_{1}} )\times (R\mathbf {v_{2}} )=(\det R)(R(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} ))=(\det R)(R\mathbf {v_{3}} ).}$

لذا فإن v ₃ عبارة عن متجه زائف. وبالمثل، يمكننا أن نبين:

• متجه قطبي × متجه قطبي = متجه زائف
• متجه زائف × متجه زائف = متجه زائف
• متجه قطبي × متجه زائف = متجه قطبي
• متجه زائف × متجه قطبي = متجه قطبي

هذا متماثل مع الجمع modulo 2، حيث يتوافق "القطبي" مع 1 و"الزائف" مع 0.

من التعريف، من الواضح أن متجه الإزاحة هو متجه قطبي. متجه السرعة هو متجه إزاحة (متجه قطبي) مقسومًا على الزمن (مقياسي)، وبالتالي فهو متجه قطبي أيضًا. وبالمثل، فإن متجه الزخم هو متجه السرعة (متجه قطبي) مضروبًا في الكتلة (مقياسي)، وبالتالي فهو متجه قطبي. الزخم الزاوي هو حاصل الضرب المتجهي للإزاحة (متجه قطبي) والزخم (متجه قطبي)، وبالتالي فهو متجه زائف. عزم الدوران هو الزخم الزاوي (متجه زائف) مقسومًا على الزمن (مقياسي)، وبالتالي فهو أيضًا متجه زائف. بالاستمرار على هذا النحو، من السهل تصنيف أي من المتجهات الشائعة في الفيزياء على أنها إما متجه زائف أو متجه قطبي. (هناك متجهات تنتهك التكافؤ في نظرية التفاعلات الضعيفة، وهي ليست متجهات قطبية ولا متجهات زائفة. ومع ذلك، نادرًا ما تحدث هذه في الفيزياء.)

أعلاه، تمت مناقشة المتجهات الزائفة باستخدام التحويلات النشطة . هناك نهج بديل، أكثر على غرار التحويلات السلبية ، وهو الحفاظ على ثبات الكون، ولكن تبديل " قاعدة اليد اليمنى " بـ "قاعدة اليد اليسرى" في كل مكان في الرياضيات والفيزياء ، بما في ذلك في تعريف الضرب المتجهي والتجعيد . أي متجه قطبي (على سبيل المثال، متجه الترجمة) لن يتغير، ولكن المتجهات الزائفة (على سبيل المثال، متجه المجال المغناطيسي عند نقطة ما) ستغير الإشارات. ومع ذلك، لن تكون هناك عواقب فيزيائية، باستثناء الظواهر التي تنتهك التكافؤ مثل بعض التحللات الإشعاعية . ^[6]

إحدى الطرق لصياغة المتجهات الزائفة هي كما يلي: إذا كانت V عبارة عن فضاء متجه ذي أبعاد n ، فإن المتجه الزائف لـ V هو عنصر من القوة الخارجية ( n  − 1) لـ V : ⋀ ^{n −1} ( V ) . تشكل المتجهات الزائفة لـ V فضاء متجه بنفس بعد V.

هذا التعريف ليس معادلاً للتعريف الذي يتطلب قلب الإشارة تحت دورات غير سليمة، ولكنه عام لجميع فضاءات المتجهات. على وجه الخصوص، عندما يكون n زوجيًا ، لا يتعرض مثل هذا المتجه الزائف لقلب الإشارة، وعندما تكون سمة المجال الأساسي لـ V هي 2، لا يكون لقلب الإشارة أي تأثير. بخلاف ذلك، تكون التعريفات متكافئة، على الرغم من أنه يجب أن يؤخذ في الاعتبار أنه بدون بنية إضافية (على وجه التحديد، إما شكل حجم أو اتجاه )، لا يوجد تعريف طبيعي لـ ⋀ ^{n −1} ( V ) مع V .

هناك طريقة أخرى لإضفاء الطابع الرسمي عليها وهي اعتبارها عناصر لمساحة تمثيل لـ . تتحول المتجهات في التمثيل الأساسي لـ مع البيانات المعطاة بواسطة ، بحيث يكون لأي مصفوفة في ، واحد لديه . تتحول المتجهات الزائفة في تمثيل زائف أساسي ، مع . هناك طريقة أخرى لعرض هذا التماثل للأعداد الفردية وهي أنه في هذه الحالة . إذن هو حاصل ضرب مباشر لتماثلات المجموعة ؛ إنه حاصل ضرب مباشر للتماثل الأساسي على مع التماثل التافه على . ${\displaystyle O(n)}$${\displaystyle O(n)}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\rho _{\text{fund}},{\text{O}}(n))}$${\displaystyle R}$${\displaystyle O(n)}$${\displaystyle \rho _{\text{الصندوق}}(R)=R}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\rho _{\text{pseudo}},{\text{O}}(n))}$${\displaystyle \rho _{\text{pseudo}}(R)=\det(R)R}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\text{O}}(n)\cong {\text{SO}}(n)\times \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \rho _{\text{pseudo}}}$${\displaystyle {\text{SO}}(n)}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

في الجبر الهندسي، العناصر الأساسية هي المتجهات، والتي تُستخدم لبناء تسلسل هرمي من العناصر باستخدام تعريفات المنتجات في هذا الجبر. وعلى وجه الخصوص، يبني الجبر متجهات زائفة من المتجهات.

الضرب الأساسي في الجبر الهندسي هو حاصل الضرب الهندسي ، والذي يتم التعبير عنه ببساطة عن طريق وضع متجهين جنبًا إلى جنب كما في ab . يتم التعبير عن هذا الحاصل على النحو التالي:

${\displaystyle \mathbf {ab} =\mathbf {a\cdot b} +\mathbf {a\wedge b} \ ,}$

حيث يكون المصطلح الرئيسي هو حاصل الضرب النقطي للمتجه المعتاد ويسمى المصطلح الثاني حاصل الضرب الإسفيني أو حاصل الضرب الخارجي . وباستخدام مسلمات الجبر، يمكن تقييم جميع تركيبات حاصل الضرب النقطي والإسفيني. ويتم توفير مصطلحات لوصف التركيبات المختلفة. على سبيل المثال، المتجه المتعدد هو مجموع حاصل الضرب الإسفيني ذي k أضعاف لقيم k المختلفة . ويشار أيضًا إلى حاصل الضرب الإسفيني ذي k أضعاف باسم k -blade .

في السياق الحالي، المتجه الزائف هو أحد هذه التركيبات. يرتبط هذا المصطلح بمتجه متعدد مختلف اعتمادًا على أبعاد الفضاء (أي عدد المتجهات المستقلة خطيًا في الفضاء). في ثلاثة أبعاد، يمكن التعبير عن متجه ثنائي الشفرات أو ثنائي الشفرات الأكثر عمومية على أنه حاصل ضرب إسفين لمتجهين وهو متجه زائف. ^[7] ومع ذلك، في أربعة أبعاد، تكون المتجهات الزائفة متجهات ثلاثية . ^[8] بشكل عام، تكون شفرة ( n − 1) ، حيث n هو بُعد الفضاء والجبر. ^[9] يحتوي الفضاء ذو ​​الأبعاد n على متجهات أساسية n وأيضًا متجهات زائفة أساسية n . يتكون كل متجه زائف أساسي من حاصل الضرب الخارجي (الإسفيني) لجميع متجهات الأساس n باستثناء واحد . على سبيل المثال، في أربعة أبعاد حيث يتم أخذ المتجهات الأساسية لتكون { e ₁ ، e ₂ ، e ₃ ، e ₄ }، يمكن كتابة المتجهات الزائفة على النحو التالي: { e ₂₃₄ ، e ₁₃₄ ، e ₁₂₄ ، e ₁₂₃ }.

تمت مقارنة خصائص تحويل المتجه الزائف في ثلاثة أبعاد بخصائص حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه بواسطة بايليس. ^[10] يقول: "غالبًا ما يتم التعامل مع مصطلحي المتجه المحوري وشبه المتجه على أنهما مترادفان، ولكن من المفيد جدًا أن نكون قادرين على التمييز بين المتجه الثنائي والمتجه الثنائي". لإعادة صياغة بايليس: بالنظر إلى متجهين قطبيين (أي متجهين حقيقيين) a و b في ثلاثة أبعاد، فإن حاصل الضرب الاتجاهي المكون من a و b هو المتجه العمودي على مستواهما المعطى بواسطة c = a × b . بالنظر إلى مجموعة من متجهات الأساس المتعامدة اليمنى { e _ℓ } ، يتم التعبير عن حاصل الضرب الاتجاهي من حيث مكوناته على النحو التالي:

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left(a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2}\right)\mathbf {e} _{1}+\left(a^{3}b^{1}-a^{1}b^{3}\right)\mathbf {e} _{2}+\left(a^{1}b^{2}-a^{2}b^{1}\right)\mathbf {e} _{3},}$

حيث تشير الحروف العلوية إلى مكونات المتجه. من ناحية أخرى، يتم تمثيل مستوى المتجهين بواسطة حاصل الضرب الخارجي أو حاصل الضرب الإسفيني، والذي يُشار إليه بـ a ∧ b . في سياق الجبر الهندسي هذا، يُطلق على هذا المتجه الثنائي اسم متجه زائف، وهو ثنائي هودج للحاصل الضربي المتجهي. ^[11] يتم تقديم ثنائي e 1 على النحو التالي: e 23 _≡ e 2 _e 3 = _e 2 _∧ e 3 _، وهكذا . _أي أن ثنائي e 1 _هو الفضاء الجزئي العمودي على e ₁ ، أي الفضاء الجزئي الممتد بواسطة e ₂ و e _3. مع هذا الفهم، ^[12]

${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =\left(a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2}\right)\mathbf {e} _{23}+\left(a^{3}b^{1}-a^{1}b^{3}\right)\mathbf {e} _{31}+\left(a^{1}b^{2}-a^{2}b^{1}\right)\mathbf {e} _{12}\ .}$

للحصول على التفاصيل، راجع عامل نجمة هودج § ثلاثة أبعاد . يرتبط حاصل الضرب المتجهي وحاصل الضرب الإسفيني بما يلي:

${\displaystyle \mathbf {a} \ \wedge \ \mathbf {b} ={\mathit {i}}\ \mathbf {a} \ \times \ \mathbf {b} \ ,}$

حيث i = e ₁ ∧ e ₂ ∧ e ₃ تسمى الوحدة شبه القياسية . ^{[13] [14]} ولها الخاصية التالية: ^[15]

${\displaystyle {\mathit {i}}^{2}=-1\ .}$

باستخدام العلاقات أعلاه، يُرى أنه إذا تم عكس المتجهين a و b عن طريق تغيير إشارات مكوناتهما مع ترك متجهات الأساس ثابتة، فإن كل من المتجه الزائف والضرب الاتجاهي يكونان ثابتين. من ناحية أخرى، إذا كانت المكونات ثابتة ومتجهات الأساس e _ℓ مقلوبة، فإن المتجه الزائف يكون ثابتًا، لكن الضرب الاتجاهي يغير الإشارة. يتوافق سلوك الضرب الاتجاهي هذا مع تعريفهما كعناصر شبيهة بالمتجه تتغير الإشارة عند التحويل من نظام إحداثيات أيمن إلى نظام إحداثيات أيسر، على عكس المتجهات القطبية.

كإضافة، قد نلاحظ أن ليس كل المؤلفين في مجال الجبر الهندسي يستخدمون مصطلح متجه زائف، ويتبع بعض المؤلفين المصطلحات التي لا تميز بين المتجه الزائف والضرب المتجهي. ^[16] ومع ذلك، نظرًا لأن الضرب المتجهي لا يعمم على غير ثلاثة أبعاد، ^[17] فإن مفهوم المتجه الزائف القائم على الضرب المتجهي لا يمكن تمديده أيضًا إلى فضاء بأي عدد آخر من الأبعاد. لا يتم تقييد المتجه الزائف باعتباره شفرة ( n - 1) في فضاء n الأبعاد بهذه الطريقة.

ملاحظة مهمة أخرى هي أن المتجهات الزائفة، على الرغم من اسمها، هي "متجهات" بمعنى كونها عناصر من فضاء متجه . فكرة أن "المتجه الزائف يختلف عن المتجه" صحيحة فقط مع تعريف مختلف وأكثر تحديدًا لمصطلح "المتجه" كما تمت مناقشته أعلاه.

• الجبر الخارجي
• جبر كليفورد
• المتجه المضاد ، تعميم للمتجه الزائف في جبر كليفورد
• القدرة على التوجيه - مناقشة حول المساحات غير القابلة للتوجيه.
• كثافة الموتر