خريطة الحزمة

في الرياضيات ، تُعرف دالة الحزمة (أو تشاكل الحزمة ) بأنها دالة تربط بين حزمتين ليفيتين بطريقة تحافظ على بنيتهما الداخلية. الحزم الليفية هي كائنات رياضية تبدو محليًا كحاصل ضرب ديكارتي لفضاء أساسي وفضاء آخر، وهو ما يُعرف بـ"الليف"، ولكنها قد تمتلك بنية شاملة أكثر تعقيدًا.

تتألف خريطة الحزم عادةً من دالتين: إحداهما بين الفضاءات الكلية للحزم، والأخرى بين فضاءاتها الأساسية، بحيث يكون المخطط الناتج عن الإسقاطات تبادليًا. في بعض الحالات، تشترك الحزمتان في نفس الفضاء الأساسي، وفي حالات أخرى، تتضمن الخريطة دالة منفصلة بين فضاءات أساسية مختلفة.

توجد عدة إصدارات من خرائط الحزم اعتمادًا على الأنواع المحددة لحزم الألياف المعنية - على سبيل المثال، الحزم الملساء، أو حزم المتجهات ، أو الحزم الرئيسية - وعلى الفئة التي يتم تعريفها فيها (مثل الفضاءات الطوبولوجية أو المشعبات الملساء ).

تتناول الأقسام الثلاثة الأولى من هذه المقالة حزم الألياف العامة في فئة الفضاءات الطوبولوجية ، بينما يقدم القسم الرابع أمثلة أخرى.

يترك${\displaystyle \pi _{E}\colon E\to M}$و${\displaystyle \pi _{F}\colon F\to M}$لتكن حزمًا ليفية على فضاء M. عندئذٍ، يكون تطبيق الحزمة من E إلى F على M تطبيقًا متصلًا.${\displaystyle \varphi \colon E\to F}$بحيث${\displaystyle \pi _{F}\circ \varphi =\pi _{E}}$أي الرسم التخطيطي

ينبغي أن تكون قابلة للتبادل . وبصورة مكافئة، لأي نقطة x في M ،${\displaystyle \varphi }$رسم خرائط الألياف${\displaystyle E_{x}=\pi _{E}^{-1}(\{x\})}$من E على x إلى الألياف${\displaystyle F_{x}=\pi _{F}^{-1}(\{x\})}$من F على x . ^{[ 1 ]}

لتكن πE _: E → M و πF _: F → N حزمتين ليفيتين على الفضاءين M و N على التوالي. عندئذٍ يكون التطبيق متصلاً${\displaystyle \varphi :E\to F}$يُطلق على التطبيق اسم تطبيق الحزمة من E إلى F إذا كان هناك تطبيق متصل f : M → N بحيث يكون الرسم البياني

التنقلات، أي${\displaystyle \pi _{F}\circ \varphi =f\circ \pi _{E}}$. بعبارة أخرى،${\displaystyle \varphi }$هي دالة تحافظ على الألياف ، و f هي الدالة المستحثة على فضاء ألياف E : بما أن π _E دالة شاملة، فإن f تُحدد بشكل فريد بواسطة${\displaystyle \varphi }$بالنسبة لدالة f معينة، فإن خريطة الحزمة هذه${\displaystyle \varphi }$يقال إنها خريطة حزمة تغطي f . ^{[ 2 ]}

ويترتب على التعريفات مباشرة أن خريطة الحزمة على M (بالمعنى الأول) هي نفس الشيء مثل خريطة الحزمة التي تغطي خريطة الهوية لـ M.

على النقيض، يمكن اختزال تطبيقات الحزم العامة إلى تطبيقات حزم على فضاء أساسي ثابت باستخدام مفهوم حزمة السحب العكسي . إذا كانت _πF : F → N حزمة ليفية على N ، وكانت f : M → N تطبيقًا متصلًا، فإن السحب العكسي لـ F بواسطة f هو حزمة ليفية f ^* F على M، حيث تُعطى أليافها على x بالعلاقة ( f ^* F ) _x = Ff _{( x ) . وبالتالي ،} فإن تطبيق حزمة من E إلى F يغطي f هو نفسه تطبيق حزمة من E إلى f ^* F على M.

هناك نوعان من التباين في المفهوم العام لخريطة الحزمة.

أولاً، يمكن للمرء أن ينظر إلى حزم الألياف في فئة مختلفة من الفضاءات. وهذا يؤدي، على سبيل المثال، إلى مفهوم خريطة الحزمة الملساء بين حزم الألياف الملساء على مشعب أملس .

ثانيًا، يمكن النظر في حزم الألياف ذات البنية الإضافية في أليافها، وحصر الاهتمام في دوال الحزم التي تحافظ على هذه البنية. يؤدي هذا، على سبيل المثال، إلى مفهوم تماثل الحزم (المتجهي) بين حزم المتجهات ، حيث تكون الألياف فضاءات متجهة، ويُشترط أن تكون دالة الحزمة φ دالة خطية على كل ليف. ^{[ 3 ]} في هذه الحالة، يمكن أيضًا اعتبار دالة الحزمة φ (التي تغطي f ) مقطعًا من حزمة المتجهات Hom( E , f ^* F ) فوق M ، والتي _يكون ليفها فوق x هو فضاء المتجهات Hom( Ex _, Ff _{( x ) ) (} ويُشار إليه أيضًا _بـ L ( Ex , Ff _{( x ) )} ) للدوال الخطية من Ex إلى Ff ( _{x ) .}