القسم (حزمة الألياف)

تعتمد هذه المقالة بشكل كبير أو كليًا على مصدر واحد . يمكن العثور على المناقشة ذات الصلة على صفحة المناقشة . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة من خلال تقديم الاستشهادات بالمصادر الإضافية . ابحث عن المصادر:  "Section" fiber bundle – news  · journalist  · books  · scholar  · JSTOR ( July 2022 )

في المجال الرياضي للطوبولوجيا ، المقطع (أو المقطع العرضي ) ^[1] لحزمة الألياف هو معكوس أيمن مستمر لدالة الإسقاط . بعبارة أخرى، إذا كانت حزمة ألياف على مساحة أساسية ، : ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle E}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle \pi \colon E\to B}$

ثم يصبح قسم من حزمة الألياف تلك عبارة عن خريطة مستمرة ،

${\displaystyle \sigma \colon B\to E}$

مثل هذا

${\displaystyle \pi (\sigma(x))=x}$للجميع .${\displaystyle x\in B}$

المقطع هو وصف تجريدي لما يعنيه أن تكون رسمًا بيانيًا . يمكن تحديد رسم بياني للدالة من خلال دالة تأخذ قيمها في حاصل الضرب الديكارتي ، و : ${\displaystyle g\colon B\to Y}$ ${\displaystyle E=B\times Y}$${\displaystyle B}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \sigma \colon B\to E,\quad \sigma (x)=(x,g(x))\in E.}$

ليكن الإسقاط على العامل الأول: . إذن الرسم البياني هو أي دالة يكون فيها . ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$${\displaystyle \pi(x,y)=x}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \pi (\sigma(x))=x}$

تسمح لغة حزم الألياف بتعميم مفهوم المقطع على الحالة التي لا يكون فيها بالضرورة حاصل ضرب ديكارتي. إذا كان عبارة عن حزمة ألياف، فإن المقطع هو اختيار نقطة في كل من الألياف. يعني الشرط ببساطة أن المقطع عند نقطة ما يجب أن يقع فوق . (انظر الصورة). ${\displaystyle E}$${\displaystyle \pi \colon E\to B}$${\displaystyle \sigma(x)}$${\displaystyle \pi (\sigma(x))=x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

على سبيل المثال، عندما تكون حزمة متجهات جزءًا من هو عنصر من فضاء المتجه يقع فوق كل نقطة . وعلى وجه الخصوص، فإن حقل المتجه على متعدد الشعب السلس هو اختيار متجه مماس عند كل نقطة من : هذا هو جزء من حزمة مماس . وبالمثل، فإن الشكل 1 هو جزء من حزمة ظل التمام . ${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle x\in B}$ ${\displaystyle م}$${\displaystyle م}$${\displaystyle م}$${\displaystyle م}$

تُعد المقاطع، وخاصة الحزم الرئيسية وحزم المتجهات، أدوات مهمة جدًا في الهندسة التفاضلية . في هذا الإعداد، تكون مساحة القاعدة متعددة الشعب ناعمة ، ويُفترض أنها حزمة ألياف ناعمة على (أي أنها متعددة الشعب ناعمة وخريطة ناعمة ). في هذه الحالة، يُنظر إلى مساحة المقاطع الناعمة على مجموعة مفتوحة ، يُشار إليها بـ . ومن المفيد أيضًا في التحليل الهندسي النظر في مساحات المقاطع ذات الانتظام المتوسط ​​(على سبيل المثال، المقاطع، أو المقاطع ذات الانتظام بمعنى شروط هولدر أو مساحات سوبوليف ) . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle م}$${\displaystyle E}$${\displaystyle م}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \pi \colon E\to M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle U}$${\displaystyle C^{\infty }(U,E)}$${\displaystyle C^{k}}$

لا تحتوي حزم الألياف بشكل عام على مثل هذه الأقسام العالمية (فكر، على سبيل المثال، في حزمة الألياف على مع الألياف التي تم الحصول عليها عن طريق أخذ حزمة موبيوس وإزالة القسم الصفري)، لذلك من المفيد أيضًا تحديد الأقسام محليًا فقط. القسم المحلي لحزمة الألياف هو خريطة مستمرة حيث هي مجموعة مفتوحة في و لكل في . إذا كانت تافهة محلية لـ ، حيث هي تماثل من إلى (حيث تكون الألياف )، فإن الأقسام المحلية موجودة دائمًا على في تطابق ثنائي مع الخرائط المستمرة من إلى . تشكل الأقسام (المحلية) حزمة على تسمى حزمة أقسام . ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle F=\mathbb {R} \setminus \{0\}}$${\displaystyle s\colon U\to E}$${\displaystyle U}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \pi (s(x))=x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U}$${\displaystyle (U,\varphi )}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$${\displaystyle U\times F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle F}$${\displaystyle B}$${\displaystyle E}$

يُشار أحيانًا إلى مساحة الأقسام المستمرة لحزمة الألياف على ، بينما غالبًا ما يُشار إلى مساحة الأقسام الشاملة على أو . ${\displaystyle E}$${\displaystyle U}$${\displaystyle C(U,E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \جاما (E)}$${\displaystyle \جاما (ب، هـ)}$

تتم دراسة المقاطع في نظرية التماثل والطوبولوجيا الجبرية ، حيث يكون أحد الأهداف الرئيسية هو تفسير وجود أو عدم وجود المقاطع العالمية . ينفي العائق وجود المقاطع العالمية لأن الفضاء "ملتوي" للغاية. بتعبير أدق، "تعيق" العوائق إمكانية تمديد مقطع محلي إلى مقطع عالمي بسبب "التواء" الفضاء. تتم الإشارة إلى العوائق من خلال فئات مميزة معينة ، وهي فئات متجانسة. على سبيل المثال، تحتوي الحزمة الرئيسية على مقطع عالمي إذا وفقط إذا كانت تافهة . من ناحية أخرى، تحتوي الحزمة المتجهة دائمًا على مقطع عالمي، وهو المقطع الصفري . ومع ذلك، فإنها لا تقبل مقطعًا يتلاشى في أي مكان إلا إذا كانت فئة أويلر الخاصة بها صفرًا.

يمكن تعميم العوائق التي تحول دون توسيع الأقسام المحلية بالطريقة التالية: نأخذ مساحة طوبولوجية ونشكل فئة تكون أجزاؤها عبارة عن مجموعات فرعية مفتوحة، وتكون الأشكال التشكلية عبارة عن تضمينات. وبالتالي نستخدم فئة لتعميم مساحة طوبولوجية. ونقوم بتعميم مفهوم "القسم المحلي" باستخدام حزم من المجموعات الإبيلية ، والتي تعين لكل كائن مجموعة إبيلية (على غرار الأقسام المحلية).

هناك تمييز مهم هنا: حدسيًا، تكون الأقسام المحلية مثل "الحقول المتجهة" على مجموعة فرعية مفتوحة من الفضاء الطوبولوجي. لذا، عند كل نقطة، يتم تعيين عنصر من فضاء متجه ثابت . ومع ذلك، يمكن للحزم "تغيير الفضاء المتجهي باستمرار" (أو المجموعة الإبيلية بشكل عام).

إن هذه العملية برمتها هي في الواقع دالة القسم العالمي ، والتي تعين لكل حزمة قسمها العالمي. ومن ثم فإن علم التماثل للحزمة يمكّننا من النظر في مشكلة امتداد مماثلة مع "تغيير مستمر" للمجموعة الإبلية. إن نظرية الفئات المميزة تعمم فكرة العوائق أمام امتداداتنا.

• القسم (نظرية الفئات)
• الألياف
• نظرية القياس (رياضيات)
• الحزمة الرئيسية
• حزمة السحب
• حزمة المتجهات

• نورمان ستينرود ، طوبولوجيا حزم الألياف ، مطبعة جامعة برينستون (1951). ISBN 0-691-00548-6 . 
• ديفيد بليكر، نظرية القياس ومبادئ التباين ، دار أديسون ويسلي للنشر، ريدنج، ماساتشوستس (1981). ISBN 0-201-10096-7 . 
• هوسيمولر، ديل (1994)، حزم الألياف ، سبرينغر فيرلاغ، ISBN 0-387-94087-1

• حزمة الألياف، بلانيت ماث
• وايسشتاين، إريك دبليو. "حزمة الألياف". MathWorld .