فئة الفضاءات الطوبولوجية

في الرياضيات ، تُعرف فئة الفضاءات الطوبولوجية ، والتي يُشار إليها غالبًا بـ${\displaystyle \mathbf {Top} }$هي الفئة التي تكون عناصرها فضاءات طوبولوجية ، وتكون تشاكلاتها دوال متصلة . وهي فئة لأن تركيب دالتين متصلتين هو دالة متصلة، ودالة التطابق متصلة أيضًا.

يستخدم بعض المؤلفين هذا الاسم${\displaystyle \mathbf {Top} }$بالنسبة للفئات ذات المشعبات الطوبولوجية ، مع الفضاءات المولدة بشكل مضغوط ككائنات والخرائط المستمرة كتشاكلات أو مع فئة فضاءات هاوسدورف الضعيفة المولدة بشكل مضغوط .

مثل العديد من الفئات، فإن الفئة${\displaystyle \mathbf {Top} }$هي فئة ملموسة ، أي أن عناصرها عبارة عن مجموعات ذات بنية إضافية (أي طوبولوجيات)، ومورفيزماتها عبارة عن دوال تحافظ على هذه البنية. يوجد دالة نسيان طبيعية

${\displaystyle U:\mathbf {Top} \to \mathbf {Set} }$

إلى فئة المجموعات التي تُسند إلى كل فضاء طوبولوجي المجموعة الأساسية وإلى كل خريطة متصلة الدالة الأساسية .

الدالة النسيانية${\displaystyle U}$له مرافق أيسر

${\displaystyle D:\mathbf {Set} \to \mathbf {Top} }$

والتي تُزوّد ​​مجموعة معينة بالطوبولوجيا المنفصلة ، ​​ومرافق أيمن.

${\displaystyle I:\mathbf {Set} \to \mathbf {Top} }$

والذي يزود مجموعة معينة بالطوبولوجيا غير المنفصلة . كلا هذين المؤثرين هما في الواقع معكوسان يمينيان لـ${\displaystyle U}$(بمعنى أن${\displaystyle UD}$و${\displaystyle UI}$تساوي دالة التطابق على${\displaystyle \mathbf {Set} }$علاوة على ذلك، بما أن أي دالة بين فضاءات منفصلة أو بين فضاءات غير منفصلة تكون متصلة، فإن كلا هذين المؤثرين يعطيان تضمينات كاملة لـ${\displaystyle \mathbf {Set} }$داخل${\displaystyle \mathbf {Top} }$.

${\displaystyle \mathbf {Top} }$وهي أيضًا كاملة الألياف، مما يعني أن فئة جميع الطوبولوجيات على مجموعة معينة${\displaystyle X}$( تسمى ألياف${\displaystyle U}$فوق${\displaystyle X}$يشكل ) شبكة كاملة عند ترتيبه حسب التضمين . العنصر الأكبر في هذه الألياف هو الطوبولوجيا المنفصلة على${\displaystyle X}$، بينما أصغر عنصر هو الطوبولوجيا غير المنفصلة.

${\displaystyle \mathbf {Top} }$يُعد هذا نموذجًا لما يُسمى بالفئة الطوبولوجية . وتتميز هذه الفئات بحقيقة أن كل مصدر مُهيكل${\displaystyle (X\to UA_{i})_{I}}$يتميز برفع أولي فريد${\displaystyle (A\to A_{i})_{I}}$. في${\displaystyle \mathbf {Top} }$يتم الحصول على الرفع الأولي عن طريق وضع الطوبولوجيا الأولية على المصدر. تشترك الفئات الطوبولوجية في العديد من الخصائص مع${\displaystyle \mathbf {Top} }$(مثل اكتمال الألياف، والدوال المنفصلة وغير المنفصلة، ​​والرفع الفريد للحدود).

الفئة${\displaystyle \mathbf {Top} }$هي كاملة ومتكاملة مشتركة ، مما يعني أن جميع النهايات الصغيرة والنهايات المشتركة موجودة في${\displaystyle \mathbf {Top} }$في الواقع، الدالة النسيانية${\displaystyle U:\mathbf {Top} \to \mathbf {Set} }$يرفع بشكل فريد كلاً من الحدود والحدود المشتركة ويحافظ عليها أيضًا. لذلك، فإن الحدود (المشتركة) في${\displaystyle \mathbf {Top} }$يتم تحديدها عن طريق وضع الطوبولوجيات على النهايات (المشتركة) المقابلة في${\displaystyle \mathbf {Set} }$.

على وجه التحديد، إذا${\displaystyle F}$هو رسم تخطيطي في${\displaystyle \mathbf {Top} }$و ${\displaystyle (L,\varphi :L\to F)}$هو حد لـ${\displaystyle UF}$في${\displaystyle \mathbf {Set} }$، الحد المقابل لـ${\displaystyle F}$في${\displaystyle \mathbf {Top} }$يتم الحصول عليها عن طريق وضع الطوبولوجيا الأولية على${\displaystyle (L,\varphi :L\to F)}$. وبالمثل، النهايات المشتركة في${\displaystyle \mathbf {Top} }$يتم الحصول عليها عن طريق وضع الطوبولوجيا النهائية على النهايات المشتركة المقابلة في${\displaystyle \mathbf {Set} }$.

على عكس العديد من الفئات الجبرية ، فإن الدالة النسيانية${\displaystyle U:\mathbf {Top} \to \mathbf {Set} }$لا يُنشئ أو يعكس حدودًا، حيث ستكون هناك عادةً مخاريط غير عالمية في${\displaystyle \mathbf {Top} }$تغطية المخاريط العالمية في${\displaystyle \mathbf {Set} }$.

أمثلة على النهايات والنهايات المشتركة في${\displaystyle \mathbf {Top} }$يشمل:

• المجموعة الفارغة (التي تُعتبر فضاءً طوبولوجيًا) هي الكائن الأولي لـ${\displaystyle \mathbf {Top} }$أي فضاء طوبولوجي أحادي هو كائن نهائي . وبالتالي، لا توجد كائنات صفرية في${\displaystyle \mathbf {Top} }$.
• المنتج في​${\displaystyle \mathbf {Top} }$يُعطى بواسطة طوبولوجيا الضرب على الضرب الديكارتي . ويُعطى الضرب المشترك بواسطة الاتحاد المنفصل للفضاءات الطوبولوجية.
• يُعطى مُعادل زوج من التشكلات بوضع طوبولوجيا الفضاء الجزئي على مُعادل نظرية المجموعات. وبالمثل، يُعطى المُعادل المُشارك بوضع طوبولوجيا القسمة على المُعادل المُشارك لنظرية المجموعات.
• النهايات المباشرة والنهايات العكسية هي النهايات النظرية للمجموعات مع الطوبولوجيا النهائية والطوبولوجيا الأولية على التوالي.
• تُعد المساحات المجاورة مثالاً على عمليات الدفع الخارجي في${\displaystyle \mathbf {Top} }$.

• الأشكال الأحادية في${\displaystyle \mathbf {Top} }$هي التطبيقات المستمرة الحقنية ، والتحويلات الشاملة هي التطبيقات المستمرة الشاملة ، والتشاكلات هي التشاكلات التماثلية .
• تُعدّ التشكلات الأحادية المتطرفة (حتى التماثل) تضمينات الفضاء الجزئي . في الواقع، في${\displaystyle \mathbf {Top} }$جميع الأشكال الأحادية المتطرفة تحقق خاصية أقوى وهي كونها منتظمة .
• التشاكلات المتطرفة هي (بشكل أساسي) دوال القسمة . كل تشاكل متطرف منتظم.
• إن الأشكال الأحادية المنقسمة هي (بشكل أساسي) عمليات تضمين للتراجعات في فضاءها المحيط.
• التشاكلات المنقسمة هي (حتى التشاكل) الخرائط الشاملة المستمرة للفضاء على أحد أجزاء التراجع الخاصة به.
• لا توجد تشاكلات صفرية في${\displaystyle \mathbf {Top} }$وعلى وجه الخصوص، فإن هذه الفئة ليست تراكمية مسبقة .
• ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ليست فضاءً مغلقًا ديكارتيًا (وبالتالي ليست فضاءً طوبولوجيًا أيضًا ) لأنها لا تحتوي على كائنات أسية لجميع الفضاءات. عندما تكون هذه الخاصية مطلوبة، غالبًا ما يتم حصرها في الفئة الفرعية الكاملة لفضاءات هاوسدورف المولدة بشكل مضغوط.${\displaystyle \mathbf {CGHaus} }$أو فئة فضاءات هاوسدورف الضعيفة المتولدة بشكل مضغوط . ومع ذلك،${\displaystyle \mathbf {Top} }$تندرج ضمن الفئة الأسية للطوبولوجيا الزائفة ، وهي نفسها فئة فرعية من فئة فضاءات التقارب (الأسية أيضًا) . ^{[ 1 ]}

• فئة الفضاءات الطوبولوجية المدببة${\displaystyle \mathbf {Top} }$_• هي فئة شريحة مشتركة على${\displaystyle \mathbf {Top} }$.
• فئة التماثل${\displaystyle \mathbf {hTop} }$تحتوي على فضاءات طوبولوجية للكائنات وفئات تكافؤ تماثلي للخرائط المتصلة للتشاكلات. هذه فئة خارج القسمة لـ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ويمكن للمرء بالمثل تشكيل فئة التماثل المدببة${\displaystyle \mathbf {hTop} }$_• .
• ${\displaystyle \mathbf {Top} }$يحتوي على الفئة المهمة${\displaystyle \mathbf {Haus} }$تُعتبر فضاءات هاوسدورف فئة فرعية كاملة . يسمح الهيكل الإضافي لهذه الفئة الفرعية بمزيد من التشاكلات الشاملة: في الواقع، التشاكلات الشاملة في هذه الفئة الفرعية هي تحديدًا تلك التشاكلات ذات الصور الكثيفة في مجالاتها المقابلة ، بحيث لا يلزم أن تكون التشاكلات الشاملة شاملة .
• ${\displaystyle \mathbf {Top} }$يحتوي على الفئة الفرعية الكاملة${\displaystyle \mathbf {CGHaus} }$من فضاءات هاوسدورف المولدة بشكل مضغوط ، والتي تتميز بخاصية مهمة تتمثل في كونها فئة مغلقة ديكارتية مع احتوائها على جميع الفضاءات النموذجية ذات الأهمية. وهذا يجعل${\displaystyle \mathbf {CGHaus} }$فئة ملائمة بشكل خاص من الفضاءات الطوبولوجية التي تُستخدم غالبًا بدلاً من${\displaystyle \mathbf {Top} }$.
• الدالة النسيانية لـ${\displaystyle \mathbf {Set} }$يحتوي على مرافق أيسر ومرافق أيمن، كما هو موضح أعلاه في قسم فئة الملموسات.
• يوجد عامل وظيفي لفئة المواقع${\displaystyle \mathbf {Loc} }$إرسال فضاء طوبولوجي إلى موضعه من المجموعات المفتوحة. يمتلك هذا المؤثر مُرافقًا يمينيًا يُرسل كل موضع إلى فضاءه الطوبولوجي من النقاط. يقتصر هذا الاقتران على تكافؤ بين فئة الفضاءات الرصينة والمواضع المكانية.
• ترتبط فرضية التماثل بـ${\displaystyle \mathbf {Top} }$مع${\displaystyle \mathbf {\infty Grpd} }$، فئة الزمر اللانهائية . تنص الفرضية على أن الزمر اللانهائية مكافئة للفضاءات الطوبولوجية modulo التكافؤ التماثلي الضعيف .

• فئة المجموعات – فئة تكون عناصرها مجموعات وتكون مورفيجاتها تماثلات مجموعات 
• فئة الفضاءات المترية – فئة تكون عناصرها فضاءات مترية وتكون تشاكلاتها خرائط مترية 
• فئة المجموعات - فئة تكون عناصرها مجموعات وتكون تشاكلاتها دوال 
• فئة الفضاءات الطوبولوجية ذات النقطة الأساسية – الفضاء الطوبولوجي ذو النقطة المميزة. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه. 
• فئة الفضاءات المتجهة الطوبولوجية
• فئة المساحات القابلة للقياس
• الطوبولوجيا الفئوية