نظرية بورميستر

تسعى نظرية بورميستر إلى إيجاد نقاط في جسم متحرك تقع مساراتها على دائرة تُسمى نقاط الدوران. يُقارب المصمم الحركة المطلوبة بعدد محدود من مواضع المهمة؛ وقد أثبت بورميستر وجود نقاط دوران لما يصل إلى خمسة مواضع للمهمة. يتطلب إيجاد هذه النقاط حل خمس معادلات تربيعية بخمسة مجاهيل، وهو ما فعله باستخدام تقنيات الهندسة الوصفية . ولا تزال رسومات بورميستر البيانية تُستخدم في كتب نظرية الآلات حتى يومنا هذا.

وضعان: كمثال ، لنفترض مهمة محددة بوضعين لوصلة الربط، كما هو موضح في الشكل. اختر نقطتين A وB على جسم الوصلة، بحيث يُحدد وضعاهما القطعتين A₁B₁ وA₂B₂ ^. من ^{السهل ملاحظة} أن A نقطة دائرية مركزها على المنصف العمودي للقطعة A₁A₂ ^. وبالمثل، B نقطة دائرية مركزها أي نقطة على المنصف العمودي للقطعة ^B₁B₂ . يمكن إنشاء آلية رباعية القضبان باستخدام أي نقطة على المنصفين العموديين كمحاور ثابتة ^، وA وB كمحاور متحركة. النقطة P مميزة بوضوح، لأنها مفصل يسمح بحركة دورانية بحتة من A₁B₁ ^{إلى A₂B₂} . ^{تُسمى هذه النقطة} قطب الإزاحة النسبية ^أو مركز الدوران اللحظي .

ثلاثة أوضاع: إذا حدد المصمم ثلاثة أوضاع للمهمة، فإن النقطتين A وB في الجسم المتحرك تُمثلان نقطتين دائريتين، لكل منهما مركز فريد. مركز النقطة A هو مركز الدائرة التي تمر بالنقاط A1 ^و A2 ^و A3 ^في الأوضاع الثلاثة. وبالمثل، مركز النقطة B هو مركز الدائرة التي تمر بالنقاط B1 ^و B2 ^و B3 ^. وبالتالي، بالنسبة لثلاثة أوضاع للمهمة، يتم الحصول على آلية رباعية القضبان لكل زوج من النقاط A وB المختارة كمحاور متحركة.

أربع وضعيات: يصبح الحل البياني لمسألة التركيب أكثر إثارة للاهتمام في حالة أربع وضعيات للمهمة، لأن ليس كل نقطة في الجسم تمثل نقطة دائرية. تُنتج أربع وضعيات للمهمة ستة أقطاب إزاحة نسبية، وقد اختار بورميستر أربعة منها لتشكيل شكل رباعي الأقطاب المقابل، والذي استخدمه بعد ذلك لتوليد منحنى النقطة الدائرية بيانيًا . كما بيّن بورميستر أن منحنى النقطة الدائرية هو منحنى مكعب دائري في الجسم المتحرك.

خمسة أوضاع: للوصول إلى خمسة أوضاع للمهمة، يتقاطع منحنى بورميستر الدائري الناتج عن الشكل الرباعي ذي القطب المقابل لمجموعة من أربعة أوضاع من أوضاع المهمة الخمسة، مع منحنى الدائرة الناتج عن الشكل الرباعي ذي القطب المقابل لمجموعات مختلفة من أربعة أوضاع للمهمة. تُشير الأوضاع الخمسة إلى عشرة أقطاب إزاحة نسبية، مما ينتج عنه أربعة أشكال رباعية مختلفة ذات أقطاب متقابلة، لكل منها منحنى دائرة خاص به. يُبين بورميستر أن هذه المنحنيات ستتقاطع في أربع نقاط كحد أقصى، تُسمى نقاط بورميستر ، حيث تُحدد كل نقطة منها خمس نقاط على دائرة حول نقطة مركزية. ولأن نقطتي دائرة تُحددان وصلة رباعية القضبان، فإن هذه النقاط الأربع يُمكن أن تُنتج ما يصل إلى ست وصلات رباعية القضبان تُوجه وصلة الربط عبر أوضاع المهمة الخمسة المحددة.

يمكن صياغة منهج بورميستر لتوليف وصلة رباعية القضبان رياضياً من خلال إدخال تحويلات الإحداثيات [ T _i ]  =  [ A _i , d _i ]، حيث i = 1، ...، 5، و[ A ] هي مصفوفة دوران 2×2 و d هو متجه إزاحة 2×1، والتي تحدد مواضع المهمة لإطار متحرك M يحدده المصمم. ^{[ 6 ]}     

تهدف عملية التركيب إلى حساب إحداثيات w  =  ( wx , wy ₎ لنقطة ارتكاز متحركة متصلة بالإطار المتحرك M، وإحداثيات نقطة ارتكاز ثابتة G = ( u , v ) في الإطار الثابت F _، بحيث تتحرك w على دائرة نصف قطرها R حول G. ويُحدد مسار w بخمسة مواقع للمهمة، بحيث    

${\displaystyle \mathbf {W} ^{i}=[T_{i}]\mathbf {w} =[A_{i}]\mathbf {w} +\mathbf {d} _{i},\quad i=1,\ldots ,5.}$

وبالتالي، يجب أن تحقق الإحداثيات w و G المعادلات الخمس،

${\displaystyle (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {G} )\cdot (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {G} )=R^{2},\quad i=1,\ldots ,5.}$

تخلص من نصف القطر المجهول R عن طريق طرح المعادلة الأولى من باقي المعادلات للحصول على المعادلات التربيعية الأربع في أربعة مجاهيل.

${\displaystyle (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {G} )\cdot (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {G} )-(\mathbf {W} ^{1}-\mathbf {G} )\cdot (\mathbf {W} ^{1}-\mathbf {G} )=0,\quad i=2,\ldots ,5.}$

يمكن حل معادلات التركيب هذه عدديًا للحصول على الإحداثيات w  =  ( wx _, wy ₎ و G = ( u , v ) التي تحدد مواقع المحاور الثابتة والمتحركة لذراع التدوير الذي يمكن استخدامه كجزء من وصلة رباعية القضبان. وقد أثبت بورميستر أن هناك أربعة أذرع تدوير على الأكثر، والتي يمكن دمجها لتكوين ست وصلات رباعية القضبان على الأكثر، توجه الموصل عبر مواضع المهمة الخمسة المحددة.    

من المفيد ملاحظة أنه يمكن تحويل معادلات التركيب إلى الشكل التالي:

${\displaystyle (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {W} ^{1})\cdot \left({\frac {\mathbf {W} ^{i}+\mathbf {W} ^{1}}{2}}-\mathbf {G} \right)=0,\quad i=2,\ldots ,5,}$

وهو المكافئ الجبري للشرط القائل بأن المحور الثابت G يقع على المنصفات العمودية لكل من القطع الأربع W ⁱ  − W ¹ ، i = 2، ...، 5.