مركز الدوران الفوري

مركز الدوران اللحظي ( المعروف أيضًا بمركز السرعة اللحظية ^، أو ^المركز اللحظي ^، أو قطب الإزاحة المستوية ) لجسم يتحرك حركة مستوية هو نقطة تكون سرعتها صفرًا في لحظة زمنية معينة. في هذه اللحظة، تُولّد متجهات سرعة النقاط الأخرى في الجسم مجال إزاحة دائريًا حول مركز الدوران هذا ، وهو مطابق لما ينتج عن الدوران المحض .

غالباً ما تُوصف الحركة المستوية لجسم ما باستخدام شكل مستوٍ يتحرك في مستوى ثنائي الأبعاد . المركز اللحظي هو النقطة في المستوى المتحرك التي تدور حولها جميع النقاط الأخرى في لحظة زمنية محددة.

للحركة المستمرة لمستوى ما مركز لحظي لكل قيمة من قيم معامل الزمن. وهذا يُولّد منحنى يُسمى المركز المتحرك . أما النقاط في المستوى الثابت التي تُقابل هذه المراكز اللحظية فتُشكّل المركز الثابت.

إن تعميم هذا المفهوم إلى الفضاء ثلاثي الأبعاد هو مفهوم الالتواء حول برغي. يمتلك البرغي محورًا هو خط في الفضاء ثلاثي الأبعاد (ليس بالضرورة أن يمر بنقطة الأصل)، وهو محور الدوران ؛ كما يمتلك البرغي خطوة محددة (إزاحة ثابتة على طول محوره تقابل دورانًا حول محور البرغي ).

يمكن اعتبار المركز اللحظي الحالة الحدية لقطب الإزاحة المستوية.

تُعرَّف الإزاحة المستوية لجسم من الموضع 1 إلى الموضع 2 بأنها مزيج من دوران وانتقال مستويين . لكل إزاحة مستوية، توجد نقطة في الجسم المتحرك تبقى في نفس الموضع قبل الإزاحة وبعدها. ويمكن اعتبار الإزاحة دورانًا حول هذه النقطة.

إنشاء قطب الإزاحة المستوية

أولًا، اختر نقطتين A وB على الجسم المتحرك ، وحدد موقعهما في الموضعين المتقابلين؛ انظر الرسم التوضيحي. ارسم المنصفات العمودية للقطعتين المستقيمتين ^{A₁A₂ و} B₁B₂ ^{. نقطة} تقاطع هذين المنصفين P هي قطب الإزاحة المستوية. لاحظ أن A₁ ^و A₂ ^تقعان على دائرة حول P. وينطبق هذا على المواضع المقابلة لكل نقطة في الجسم.

إذا كان موضعا جسم ما يفصل بينهما لحظة زمنية في حركة مستوية، فإن قطب الإزاحة يصبح المركز اللحظي. في هذه الحالة، تصبح القطع المستقيمة المرسومة بين الموضعين اللحظيين للنقطتين A وB متجهي السرعة VA _و VB _. وتتقاطع الخطوط العمودية على متجهي السرعة هذين في المركز اللحظي.

البناء الجبري للإحداثيات الديكارتية${\displaystyle \left(P_{x},P_{y}\right)}$يمكن ترتيبها على النحو التالي: نقطة المنتصف بين${\displaystyle A^{1}}$و${\displaystyle A^{2}}$ لها إحداثيات ديكارتية

${\displaystyle A_{x}^{m}={\frac {1}{2}}\left(A_{x}^{1}+A_{x}^{2}\right);\quad A_{y}^{m}={\frac {1}{2}}\left(A_{y}^{1}+A_{y}^{2}\right),}$

ونقطة المنتصف بين${\displaystyle B^{1}}$و${\displaystyle B^{2}}$لها إحداثيات ديكارتية

${\displaystyle B_{x}^{m}={\frac {1}{2}}\left(B_{x}^{1}+B_{x}^{2}\right);\quad B_{y}^{m}={\frac {1}{2}}\left(B_{y}^{1}+B_{y}^{2}\right).}$

الزاويتان من${\displaystyle A^{1}}$ل${\displaystyle A^{2}}$ومن${\displaystyle B^{1}}$ل${\displaystyle B^{2}}$يتم تحديد القياسات عكس اتجاه عقارب الساعة بالنسبة للمستوى الأفقي بواسطة

${\displaystyle \tan \tau _{A}={\frac {A_{y}^{2}-A_{y}^{1}}{A_{x}^{2}-A_{x}^{1}}},\quad \tan \tau _{B}={\frac {B_ {ص} ^ {2} -B_ {ص} ^ {1}} {B_ {س} ^ {2} - B_ {س} ^ {1}}}}$

أوجد موضع ${\displaystyle P\left(P_{x},P_{y}\right)}$

الطريقة الأولى:

بأخذ الفروع الصحيحة للمماس . ليكن المركز${\displaystyle \left(P_{x},P_{y}\right)}$المسافات بين الدوران${\displaystyle d_{A}}$و${\displaystyle d_{B}}$إلى نقطتي المنتصف. بافتراض الدوران في اتجاه عقارب الساعة (وإلا اعكس إشارة${\displaystyle \pi /2}$):

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{x}&=A_{x}^{m}+d_{A}\cos \left(\tau _{A}-{\frac {\pi }{2}}\right)\\&=B_{x}^{m}+d_{B}\cos \left(\tau _{B}-{\frac {\pi }{2}}\right);\\P_{y}&=A_{y}^{m}+d_{A}\sin \left(\tau _{A}-{\frac {\pi }{2}}\right)\\&=B_{y}^{m}+d_{B}\sin \left(\tau _{B}-{\frac {\pi }{2}}\right).\end{aligned}}}$

أعد كتابة هذا كنظام معادلات خطية غير متجانسة من 4 × 4 بأربعة مجاهيل (المسافتان).${\displaystyle d}$والإحداثيين${\displaystyle P}$(من المركز):

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&-\sin \tau _{A}&0\\1&0&0&-\sin \tau _{B}\\0&1&\cos \tau _{A}&0\\0&1&0&\cos \tau _{B}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}P_{x}\\P_{y}\\d_{A}\\d_{B}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A_{x}^{m}\\B_{x}^{m}\\A_{y}^{m}\\B_{y}^{m}\end{pmatrix}}.}$

إحداثيات مركز الدوران هي أول مركبتين من متجه الحل

${\displaystyle {\begin{pmatrix}P_{x}\\P_{y}\\d_{A}\\d_{B}\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sin \left(\tau _{A}-\tau _{B}\right)}}{\begin{pmatrix}\left(B_{y}^{m}-A_{y}^{m}\right)\sin \tau _{A}\sin \tau _{B}+B_{x}^{m}\sin \tau _{A}\cos \tau _{B}-A_{x}^{m}\cos \tau _{A}\sin \tau _{B}\\\left(A_{x}^{m}-B_{x}^{m}\right)\cos \tau _{A}\cos \tau _{B}+A_{y}^{m}\sin \tau _{A}\cos \tau _{B}-B_{y}^{m}\cos \tau _{A}\sin \tau _{B}\\\left(B_{x}^{m}-A_{x}^{m}\right)\cos \tau _{B}+\left(B_{y}^{m}-A_{y}^{m}\right)\sin \tau _{B}\\\left(B_{x}^{m}-A_{x}^{m}\right)\cos \tau _{A}+\left(B_{y}^{m}-A_{y}^{m}\right)\sin \tau _{A}\\\end{pmatrix}}.}$

الطريقة الثانية:

^{أوجد معادلات} منصفات القطعتين المستقيمتين ^A1A2 و ^B1B2 كما يلي

معادلة الخط المستقيم بصيغة الميل والنقطة هي: ${\displaystyle y-y_{0}=m(x-x_{0})}$أين ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$هذه هي النقطة و${\displaystyle m}$هو الميل.

^معادلة منصف الزاوية ^A1A2 هي${\displaystyle y-A_{y}^{m}=\tan \tau _{A}\left(x-A_{x}^{m}\right)}$

معادلة منصف الزاوية ^{B1B2 هي}${\displaystyle y-B_{y}^{m}=\tan \tau _{B}\left(x-B_{x}^{m}\right)}$

يتقاطع هذان المنصفان عند ${\displaystyle P\left(P_{x},P_{y}\right)}$لذا يمكن كتابة نظام من معادلتين بمجهولين ومعاملات على النحو التالي

${\displaystyle {\begin{cases}P_{y}-A_{y}^{m}=\tan \tau _{A}\left(P_{x}-A_{x}^{m}\right)\\P_{y}-B_{y}^{m}=\tan \tau _{B}\left(P_{x}-B_{x}^{m}\right)\end{cases}}}$

حل هذا النظام هو

${\displaystyle P_{x}={\frac {B_{y}^{m}-A_{y}^{m}+A_{x}^{m}\tan \tau _{A}-B_{x}^{m}\tan \tau _{B}}{\tan \tau _{A}-\tan \tau _{B}}},\qquad P_{y}={\frac {B_{y}^{m}-A_{y}^{m}+\tan \tau _{A}\left(A_{x}^{m}-B_{x}^{m}\right)}{\tan \tau _{A}-\tan \tau _{B}}}+B_{y}^{m}}$

ترجمة حرفية

^{إذا كانت الإزاحة بين موضعين إزاحة انتقالية بحتة، فإن المنصفات العمودية للقطعتين A₁B₁} و A₂B₂ ^تُشكّل خطين ^{متوازيين} . ^يُفترض أن هذين الخطين يتقاطعان عند نقطة على الخط عند اللانهاية ، وبالتالي يُقال إن قطب هذه الإزاحة المستوية "يقع عند اللانهاية" في اتجاه المنصفات العمودية.

في النهاية، تتحول الحركة الانتقالية البحتة إلى حركة مستوية ذات متجهات سرعة نقطية متوازية. في هذه الحالة، يُقال إن المركز اللحظي يقع في اللانهاية في الاتجاه العمودي على متجهات السرعة.

لنفترض حركة مستوية لعجلة دائرية تتدحرج دون انزلاق على طريق مستقيم؛ انظر الرسم التوضيحي 3. تدور العجلة حول محورها M، الذي يتحرك في اتجاه موازٍ للطريق. لا تنزلق نقطة التماس P بين العجلة والطريق، مما يعني أن سرعة النقطة P بالنسبة للطريق تساوي صفرًا. وبالتالي، تصبح النقطة P على العجلة مركزًا لحظيًا للحركة لحظة تلامسها مع الطريق.

مجموعة نقاط العجلة المتحركة التي تصبح مراكز لحظية هي الدائرة نفسها، والتي تحدد المركز المتحرك. أما النقاط في المستوى الثابت التي تقابل هذه المراكز اللحظية فهي خط الطريق، والذي يحدد المركز الثابت.

متجه سرعة النقطة A في العجلة عمودي على القطعة المستقيمة AP ويتناسب مع طول هذه القطعة. وبشكل خاص، تتحدد سرعات النقاط في العجلة بالسرعة الزاوية للعجلة أثناء دورانها حول النقطة P. يوضح الرسم التخطيطي 3 متجهات سرعة عدد من النقاط، ويمكن حسابها باستخدام المعادلة التالية:

${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{A}}$

أين${\displaystyle {\vec {v}}}$هي سرعة النقطة أ،${\displaystyle {\vec {\omega }}}$السرعة الزاوية للعجلة و${\displaystyle {\vec {r}}_{A}}$متجه من النقطة P إلى النقطة A.

كلما ابتعدت نقطة على العجلة عن مركزها اللحظي P، زادت سرعتها تناسبياً. لذا، تتحرك النقطة الموجودة أعلى العجلة في نفس اتجاه مركزها M، ولكن بسرعة مضاعفة، لأنها تبعد عن P ضعف المسافة. جميع النقاط التي تبعد مسافة تساوي نصف قطر العجلة r عن النقطة P تتحرك بنفس سرعة النقطة M ولكن في اتجاهات مختلفة. يوضح الشكل نقطة على العجلة لها نفس سرعة M ولكنها تتحرك في اتجاه مماس للدائرة المحيطة بـ P.

إذا كان جسمان صلبان مستويان متلامسين، ولكل جسم مركز دوران خاص به، فإن مركز الدوران النسبي بين الجسمين يقع في مكان ما على الخط الواصل بين المركزين. ويعود ذلك إلى نظرية أرونهولد-كينيدي. ^{[ 2 ]}

بالإضافة إلى ذلك، لا يمكن أن يحدث الدوران الخالص إلا عندما يتطابق مركز الدوران اللحظي مع نقطة التلامس بين الجسمين، إذ يجب أن تكون سرعة نقطة التلامس هذه صفرًا (كما هو موضح أعلاه مع العجلة على الطريق). لذلك، لا يمكن تحقيق الدوران الخالص إلا عندما تمر نقطة التلامس بالخط الواصل بين مركزي الدوران بالقصور الذاتي. يُعرف هذا في تصميم التروس الحلزونية بنقطة التلامس، حيث لا يوجد انزلاق نسبي بين التروس. في الواقع، تُحسب نسبة التروس بين الجزأين الدوارين من خلال نسبة المسافتين إلى المركز النسبي. في المثال الموضح في الرسم التخطيطي 4، نسبة التروس هي${\displaystyle \gamma ={\frac {AD}{BD}}}$

يوضح الرسم التخطيطي رقم 1 أعلاه آلية رباعية القضبان، حيث يظهر عدد من مراكز الدوران اللحظية. ويرتبط الجسم الصلب المشار إليه بالحرفين BAC بقاعدة أو إطار بواسطة الوصلتين _P1 -A وP2 _{- B.}

الأجزاء المتحركة الثلاثة لهذه الآلية (القاعدة ثابتة) هي: الوصلة P1 _- A، والوصلة P2 _- B، والجسم BAC. ويمكن تحديد مركز الدوران اللحظي لكل جزء من هذه الأجزاء الثلاثة.

بالنظر إلى الوصلة الأولى P1 _- A: تدور جميع النقاط على هذه الوصلة، بما فيها النقطة A، حول النقطة P1 _. وبما أن P1 _هي النقطة الوحيدة الثابتة في المستوى المحدد، فيمكن اعتبارها مركز الدوران اللحظي لهذه الوصلة. أما النقطة A، الواقعة على بُعد P1 _- A من P1 _، فتتحرك حركة دائرية في اتجاه عمودي على الوصلة P1 _- A، كما هو موضح بالمتجه _VA .

وينطبق الشيء نفسه على الرابط P ₂ -B: النقطة P ₂ هي مركز الدوران اللحظي لهذا الرابط وتتحرك النقطة B في الاتجاه المشار إليه بواسطة المتجه V _B.

لتحديد مركز الدوران اللحظي للعنصر الثالث من الوصلة، الجسم BAC، يتم استخدام النقطتين A و B لأن خصائص حركته معروفة، كما هو مستمد من المعلومات المتعلقة بالوصلات P ₁ -A و P ₂ -B.

يُشير المتجه VA إلى اتجاه سرعة النقطة A. _يجب أن يكون مركز دورانها اللحظي عموديًا على هذا المتجه (لأن VA _يقع مماسًا على محيط دائرة). الخط الوحيد الذي يُحقق هذا الشرط هو خط مستقيم على نفس خط الوصلة P1 _- A. توجد نقطة P على هذا الخط، وهي مركز الدوران اللحظي للجسم BAC.

ينطبق ما ينطبق على النقطة A على النقطة B أيضاً، ولذلك يقع مركز الدوران اللحظي P على خط عمودي على المتجه V _B ، وهو خط مستوٍ مع الوصلة P ₂ -B. وبالتالي، فإن مركز الدوران اللحظي P للجسم BAC هو النقطة التي يتقاطع عندها الخطان الماران بالوصلتين P ₁ -A و P ₂ -B.

بما أن مركز الدوران اللحظي P هو مركز جميع النقاط على الجسم BAC لأي نقطة عشوائية، ولتكن النقطة C، يمكن تحديد سرعة واتجاه الحركة: نصل P بالنقطة C. يكون اتجاه حركة النقطة C عموديًا على هذا الخط. وتتناسب السرعة طرديًا مع المسافة إلى النقطة P.

بمواصلة هذا النهج، مع دوران الوصلتين P1 _- A وP2 _- B حول مركزي دورانهما اللحظيين، يمكن تحديد مركز الدوران اللحظي P. ومن ثم، يمكن تحديد مسار حركة النقطة C أو أي نقطة أخرى على الجسم BAC.

في أبحاث الميكانيكا الحيوية، يُرصد مركز الدوران اللحظي لوظائف مفاصل الأطراف العلوية والسفلية. ^{[ 3 ]} على سبيل المثال، عند تحليل مفصل الركبة ، ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} أو الكاحل ، ^{[ 7 ]} أو الكتف . ^{[ 8 ] [ 9 ]} تُسهم هذه المعرفة في تطوير المفاصل الاصطناعية والأطراف الصناعية ، مثل مفصل الكوع ^{[ 10 ]} أو مفاصل الأصابع. ^{[ 11 ]}

دراسة مفاصل الخيول: "...أشارت متجهات السرعة المحددة من المراكز اللحظية للدوران إلى أن أسطح المفصل تنزلق على بعضها البعض." ^{[ 12 ]}

دراسات حول تغيير اتجاه سفينة تتحرك عبر الماء. ^{[ 13 ]}

يمكن تحسين خصائص الكبح في السيارة عن طريق تغيير تصميم آلية دواسة الفرامل. ^{[ 14 ]}

تصميم نظام تعليق الدراجة الهوائية، ^{[ 15 ]} أو السيارة. ^{[ 16 ]}

في حالة وصلة الربط في نظام رباعي القضبان ، مثل نظام التعليق ذي العظم المزدوج في المنظر الأمامي، تقع الأعمدة على اتجاه السرعة على طول الوصلات التي تربط الوصلة الأرضية بوصلة الربط. يُستخدم هذا التصميم لتحديد مركز الدوران الحركي لنظام التعليق.