المخروط (نظرية الفئات)

في نظرية الفئات ، وهي فرع من فروع الرياضيات ، يُعد مخروط الدالة مفهومًا مجردًا يُستخدم لتعريف نهاية تلك الدالة . وتظهر المخاريط في سياقات أخرى في نظرية الفئات أيضًا.

ليكن F  : J → C مخططًا في C. رسميًا، المخطط ليس إلا دالة من J إلى C. يعكس تغيير المصطلحات حقيقة أننا نعتبر F بمثابة فهرسة لعائلة من الكائنات والتشاكلات في C. تُعتبر الفئة J "فئة فهرسة". ينبغي النظر إلى هذا قياسًا على مفهوم عائلة الكائنات المفهرسة في نظرية المجموعات . الفرق الأساسي هو وجود التشاكلات هنا أيضًا. بالتالي، على سبيل المثال، عندما تكون J فئة منفصلة ، ​​فإنها تُطابق فكرة العائلة المفهرسة في نظرية المجموعات. مثال آخر شائع وأكثر إثارة للاهتمام هو اعتبار J فئةً ممتدة . يمكن أيضًا اعتبار J الفئة الفارغة، مما يؤدي إلى أبسط المخاريط.

ليكن N كائنًا من C. المخروط من N إلى F هو عائلة من التشكلات

${\displaystyle \psi _{X}\colon N\to F(X)\,}$

لكل عنصر X من J ، بحيث يكون لكل تشاكل f  : X → Y في J المخطط التالي تبادلي :

يمكن تمثيل المجموعة (التي عادة ما تكون لانهائية ) من كل هذه المثلثات (جزئياً) على شكل مخروط رأسه N. ويقال أحياناً أن المخروط ψ له رأس N وقاعدة F.

يمكن أيضًا تعريف المفهوم الثنائي للمخروط من F إلى N (ويُسمى أيضًا المخروط المشترك ) عن طريق عكس جميع الأسهم المذكورة أعلاه. وبشكلٍ أدق، فإن المخروط المشترك من F إلى N هو مجموعة من التشكلات.

${\displaystyle \psi _{X}\colon F(X)\to N\,}$

لكل كائن X من J ، بحيث يكون لكل تشاكل f  : X → Y في J المخطط التالي تبادلي:

للوهلة الأولى، تبدو المخاريط تركيبات غير مألوفة في نظرية الفئات. فهي عبارة عن دوال تربط كائنًا بدالة ( أو العكس). وتماشيًا مع روح نظرية الفئات، نود تعريفها على أنها تشاكلات أو كائنات في فئة مناسبة. في الواقع، يمكننا فعل كلا الأمرين.

لتكن J فئة صغيرة، ولتكن CJ فئة المخططات من النوع J في C ⁽ وهي ليست سوى فئة دوال ). عرّف الدالة القطرية ^Δ : C → CJ كما يلي: Δ( N ) : J → C هي الدالة الثابتة إلى N لكل N في C.  

إذا كان F مخططًا من النوع J في C ، فإن العبارات التالية متكافئة:

• ψ عبارة عن مخروط من N إلى F
• ψ هو تحويل طبيعي من Δ( N ) إلى F
• ( N , ψ) هو كائن في فئة الفاصلة (Δ ↓ F )

العبارات المزدوجة متكافئة أيضاً:

• ψ هو مخروط مشترك من F إلى N
• ψ هو تحويل طبيعي من F إلى Δ( N )
• ( N , ψ) هو كائن في فئة الفاصلة ( F ↓ Δ)

يمكن التحقق من هذه العبارات جميعها بتطبيق مباشر للتعريفات. وباعتبار المخاريط تحويلات طبيعية، نرى أنها مجرد تشاكلات في C ^J حيث يكون المصدر (أو الهدف) دالة ثابتة.

بناءً على ما سبق، يمكننا تعريف فئة المخاريط إلى F على أنها فئة الفاصلة (Δ ↓ F ). وبالتالي، فإن مورفيزمات المخاريط هي مجرد مورفيزمات في هذه الفئة. ويستند هذا التكافؤ إلى ملاحظة أن التطبيق الطبيعي بين الدوال الثابتة Δ( N ) و Δ( M ) يُقابله مورفيزم بين N و M. وبهذا المعنى، فإن الدالة القطرية تؤثر بشكل بديهي على الأسهم. وبالمثل، فإن كتابة تعريف التطبيق الطبيعي من دالة ثابتة Δ( N ) إلى F يُعطي نفس المخطط المذكور أعلاه. وكما هو متوقع، فإن المورفيز من مخروط ( N , ψ) إلى مخروط ( L , φ) هو مجرد مورفيزم N → L بحيث تكون جميع المخططات "الواضحة" تبادلية (انظر المخطط الأول في القسم التالي).

وبالمثل، فإن فئة المخاريط المشتركة من F هي فئة الفاصلة ( F ↓ Δ).

تُعرَّف النهايات والنهايات المشتركة بأنها مخاريط شاملة ، أي مخاريط تمر عبرها جميع المخاريط الأخرى. المخروط φ من L إلى F هو مخروط شامل إذا كان لكل مخروط آخر ψ من N إلى F تشاكل وحيد من ψ إلى φ.

وبالمثل، فإن المخروط العالمي إلى F هو تشاكل عالمي من Δ إلى F (يعتبر كائنًا في C ^J )، أو كائن نهائي في (Δ  ↓ F ). 

وبالمثل، فإن المخروط φ من F إلى L هو مخروط شامل إذا كان هناك تشاكل فريد من φ إلى ψ لأي مخروط آخر ψ من F إلى N.

وبالمثل، فإن المخروط الشامل من F هو تشاكل شامل من F إلى Δ، أو كائن أولي في ( F  ↓  Δ).

نهاية F هي مخروط شامل إلى F ، والنهاية المشتركة هي مخروط شامل من F. وكما هو الحال مع جميع الإنشاءات الشاملة، لا يُضمن وجود مخاريط شاملة لجميع المخططات F ، ولكن إذا وُجدت، فهي فريدة حتى تماثل وحيد (في فئة الفاصلة (Δ  ↓ F )). 

• النهاية العكسية#المخاريط – البناء في نظرية الفئات 

• المخروط في المختبر ن