اختبار كوشي للتكثيف

في الرياضيات ، يُعد اختبار كوشي للتكثيف ، نسبةً إلى أوغستين لويس كوشي ، اختبارًا قياسيًا لتقارب المتسلسلات اللانهائية . بالنسبة للمتتابعات غير المتزايدة${\displaystyle f(n)}$من الأعداد الحقيقية غير السالبة ، المتسلسلة${\textstyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)}$تتقارب إذا وفقط إذا كانت المتسلسلة "المكثفة"${\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty}2^{n}f(2^{n})}$تتقارب. علاوة على ذلك، إذا تقاربت، فإن مجموع المتسلسلة المكثفة لا يزيد عن ضعف مجموع المتسلسلة الأصلية.

وينتج اختبار كوشي للتكثيف عن التقدير الأقوى. $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)\leq \sum _{n=0}^{\infty}2^{n}f(2^{n})\leq \ 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n),}$$ والتي ينبغي فهمها على أنها متباينة للأعداد الحقيقية الموسعة . ويتبع ذلك جوهر البرهان ، المصمم على غرار برهان أورسم على تباعد المتسلسلة التوافقية .

لإثبات المتباينة الأولى، تُعاد حدود المتسلسلة الأصلية إلى مجموعات متتالية أطوالها قوى العدد اثنين ، ثم تُحدَّد كل مجموعة من الأعلى باستبدال كل حد بأكبر حد فيها. هذا الحد هو دائمًا الحد الأول، لأن الحدود، بحسب الفرضية، غير متزايدة. $$\begin{array}{rcccccccl} \displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)&=&f(1)&+&f(2)+f(3)&+&f(4)+f(5)+f(6)+f(7)&+&\cdots \\&=&f(1)&+&{\Big (}f(2)+f(3){\Big )}&+&{\Big (}f(4)+f(5)+f(6)+f(7){\Big )}&+&\cdots \\&\leq &f(1)&+&{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}&+&{\Big (}f(4)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}&+&\cdots \\&=&f(1)&+&2f(2)&+&4f(4)&+&\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\end{array}}}$$

لإثبات المتباينة الثانية، يُعاد وضع هاتين السلسلتين بين قوسين في سلاسل طولها قوى العدد اثنين، ولكن مع إزاحة كما هو موضح أدناه، بحيث تكون سلسلة${\textstyle 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$والتي تبدأ بـ${\textstyle f(2^{n})}$يتزامن ذلك مع نهاية عرض${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty}2^{n}f(2^{n})}$والتي تنتهي بـ${\textstyle f(2^{n})}$بحيث يبقى الأول دائماً "متقدماً" على الأخير. $$\begin{aligned}\sum_{n=0}^{\infty}2^nf(2^n)&=f(1)+{\Big(}f(2)+f(2)\Big)}+{\Big(}f(4)+f(4)+f(4)+f(4)\Big)}+\cdots \\&={\Big(}f(1)+f(2)\Big)}+{\Big(}f(2)+f(4)+f(4)+f(4)\Big)}+\cdots \\&\leq {\Big(}f(1)+f(1)\Big)}+{\Big(}f(2)+f(2)\Big)}+{\Big(}f(3)+f(3)\Big)}+\cdots =2\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\end{aligned}}}$$

تحويل التكثيف${\textstyle f(n)\rightarrow 2^{n}f(2^{n})}$يستذكر استبدال المتغير الصحيح${\textstyle x\rightarrow e^{x}}$الاستسلام${\textstyle f(x)\,\mathrm {d} x\rightarrow e^{x}f(e^{x})\,\mathrm {d} x}$.

يُعطينا اختبار التكامل للتقارب ، في حالة الرتابة${\displaystyle f}$، الذي - التي${\textstyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)}$يتقارب إذا وفقط إذا${\displaystyle \displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x}$يتقارب. الاستبدال${\textstyle x=2^{u}}$ينتج عنه التكامل${\displaystyle \displaystyle \log 2\ \int _{0}^{\infty }\!2^{u}f(2^{u})\,\mathrm {d} u}$إذا كان لدينا أيضًا تلك الدالة${\textstyle u\mapsto 2^{u}f(2^{u})}$إذا كانت الدالة رتيبة، فإن اختبار التكامل ينطبق عليها ويعطي تقارب المتسلسلة المكثفة${\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty}2^{n}f(2^{n})}$.

يمكن أن يكون الاختبار مفيدًا للمتسلسلات التي يظهر فيها n في مقام f . ولأبسط مثال على هذا النوع، المتسلسلة التوافقية${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }1/n}$يتحول إلى مسلسل${\textstyle \sum 1}$، وهو ما يختلف بشكل واضح.

ولمثال أكثر تعقيدًا، خذ $${\displaystyle f(n):=n^{-a}(\log n)^{-b}(\log \log n)^{-c}.}$$

هنا، تتقارب المتسلسلة بالتأكيد عندما تكون قيمة a أكبر من 1 ، وتتباعد عندما تكون قيمة a أقل من 1. وعندما تكون قيمة a تساوي 1 ، فإن تحويل التكثيف يعطي المتسلسلة التالية $${\displaystyle \sum n^{-b}(\log n)^{-c}.}$$

تتحرك اللوغاريتمات إلى اليسار. لذا، عندما تكون قيمة a تساوي 1 ، يكون التقارب صحيحًا عندما تكون قيمة b أكبر من 1 ، والتباعد صحيحًا عندما تكون قيمة b أقل من 1. وعندما تكون قيمة b تساوي 1، تدخل قيمة c في الحساب.

يمكن تعميم هذه النتيجة بسهولة: يمكن استخدام اختبار التكثيف، عند تطبيقه بشكل متكرر، لإثبات أنه بالنسبة لـ${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$متسلسلة برتراند المعممة$${\displaystyle \sum _{n\geq N}{\frac {1}{n\cdot \log n\cdot \log \log n\cdots \log ^{\circ (k-1)}n\cdot (\log ^{\circ k}n)^{\alpha }}}\quad \quad (N=\lfloor \exp ^{\circ k}(0)\rfloor +1)}$$يتقارب لـ${\displaystyle \alpha >1}$ويختلف لـ${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$[ ^{1 ]} هنا^​${\displaystyle f^{\circ m}}$يشير إلى التكرار رقم m لدالة${\displaystyle f}$، لهذا السبب$${\displaystyle f^{\circ m}(x):={\begin{cases}f(f^{\circ (m-1)}(x)),&m=1,2,3,\ldots$$ ;\\x,&m=0.\end{cases}}} الحد الأدنى للمجموع،${\displaystyle N}$تم اختيار هذه المتسلسلة بحيث تكون جميع حدودها موجبة. والجدير بالذكر أن هذه المتسلسلات تقدم أمثلة على مجاميع لانهائية تتقارب أو تتباعد ببطء شديد. على سبيل المثال، في حالة${\displaystyle k=2}$و${\displaystyle \alpha =1}$، يتجاوز المجموع الجزئي 10 فقط بعد${\displaystyle 10^{10^{100}}}$(مصطلحات من نوع googolplex )؛ ومع ذلك، فإن السلسلة تتباعد.

قدّم أوسكار شلوميلش تعميمًا لاختبار التكثيف . ^{[ 2 ]} ليكن u ( n ) متتالية متزايدة تمامًا من الأعداد الصحيحة الموجبة بحيث تكون نسبة الفروق المتتالية محدودة: يوجد عدد حقيقي موجب N ، بحيث $${\displaystyle {\Delta u(n) \over \Delta u(n{-}1)}\ =\ {u(n{+}1)-u(n) \over u(n)-u(n{-}1)}\ <\ N\ {\text{ for all }}n.}$$

ثم، بشرط أن${\displaystyle f(n)}$يستوفي نفس الشروط المسبقة كما في اختبار كوشي للتقارب ، وهو تقارب المتسلسلة${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$وهو ما يعادل تقارب $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\Delta u(n)}\,f(u(n))\ =\ \sum _{n=0}^{\infty }{\Big (}u(n{+}1)-u(n){\Big )}f(u(n)).}$$

أخذ${\textstyle u(n)=2^{n}}$لهذا السبب.${\textstyle \Delta u(n)=u(n{+}1)-u(n)=2^{n}}$، ويبرز اختبار كوشي للتكثيف كحالة خاصة.

• بونار، خوري (2006). المتسلسلات اللانهائية الحقيقية . الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 0-88385-745-6.

• اختبار كوشي للتكثيف