مادة كوشي المرنة

في الفيزياء ، تُعرف المادة المرنة وفقًا لنظرية كوشي بأنها مادة يتحدد فيها الإجهاد عند كل نقطة فقط بحالة التشوه الحالية بالنسبة إلى تكوين مرجعي عشوائي. ^{[ 1 ]} وتُسمى المادة المرنة وفقًا لنظرية كوشي أيضًا بالمادة المرنة البسيطة .

يستنتج من هذا التعريف أن الإجهاد في مادة كوشي المرنة لا يعتمد على مسار التشوه أو تاريخه، أو على الزمن اللازم لحدوثه أو معدل الوصول إلى حالة التشوه. كما يشير التعريف إلى أن المعادلات التكوينية محلية مكانيًا؛ أي أن الإجهاد يتأثر فقط بحالة التشوه في جوار متناهي الصغر للنقطة المعنية، دون الأخذ في الاعتبار تشوه أو حركة بقية المادة. ويشير أيضًا إلى أن قوى الجسم (مثل الجاذبية) وقوى القصور الذاتي لا تؤثر على خصائص المادة. وأخيرًا، يجب أن تستوفي مادة كوشي المرنة متطلبات موضوعية المادة .

المواد المرنة وفقًا لمفهوم كوشي هي مفاهيم رياضية مجردة، ولا توجد مادة حقيقية تنطبق عليها هذه المواصفات تمامًا. ومع ذلك، يمكن افتراض أن العديد من المواد المرنة ذات الأهمية العملية، مثل الفولاذ والبلاستيك والخشب والخرسانة، مرنة وفقًا لمفهوم كوشي لأغراض تحليل الإجهاد .

بصورة رسمية، يقال إن المادة مرنة كوشي إذا كان موتر إجهاد كوشي${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$هي دالة لموتر الإجهاد ( تدرج التشوه )${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$وحيد:

${\displaystyle \ {\boldsymbol {\sigma }}={\mathcal {G}}({\boldsymbol {F}})}$

يفترض هذا التعريف إمكانية إهمال تأثير درجة الحرارة، وأن الجسم متجانس. هذه هي المعادلة التكوينية لمادة كوشي المرنة.

لاحظ أن الدالة${\displaystyle {\mathcal {G}}}$يعتمد ذلك على اختيار التكوين المرجعي. عادةً ما يُؤخذ التكوين المرجعي على أنه التكوين المريح (بدون إجهاد)، ولكن ليس بالضرورة.

يتطلب عدم الاكتراث بالإطار المادي أن تكون العلاقة التكوينية${\displaystyle {\mathcal {G}}}$لا ينبغي أن يتغير هذا عند تغير موقع الراصد. لذلك، يمكن كتابة المعادلة التكوينية لراصد آخر عشوائي على النحو التالي${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{*}={\mathcal {G}}({\boldsymbol {F}}^{*})}$مع العلم أن موتر إجهاد كوشي${\displaystyle \sigma }$وتدرج التشوه${\displaystyle F}$إذا كانت كميات موضوعية ، فيمكن كتابة ما يلي:

$\begin{aligned}\{\boldsymbol {\sigma }}^{*}&=\mathcal {G}}(\boldsymbol {F}}^{*})\\\Rightarrow &{\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}&=\mathcal {G}}(\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {F}})\\\Rightarrow &{\boldsymbol {R}}\cdot {\mathcal {G}}(\boldsymbol {F}})\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}&=\mathcal {G}}(\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {F}})\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$هو موتر متعامد صحيح.

ما سبق هو شرط من شروط القانون التأسيسي${\displaystyle {\mathcal {G}}}$يجب مراعاة ذلك لضمان أن استجابة المادة ستكون مستقلة عن المُلاحِظ. ويمكن اشتقاق شروط مماثلة للقوانين التكوينية التي تربط تدرج التشوه بموتر إجهاد بيولا-كيرشوف الأول أو الثاني .

بالنسبة للمواد المتجانسة، يكون موتر إجهاد كوشي${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$يمكن التعبير عنها كدالة لموتر كوشي-جرين الأيسر${\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}}$ويمكن كتابة المعادلة التكوينية على النحو التالي:

${\displaystyle \ {\boldsymbol {\sigma }}={\mathcal {H}}({\boldsymbol {B}}).}$

من أجل إيجاد القيد على${\displaystyle h}$والذي من شأنه أن يضمن مبدأ عدم الاكتراث بالإطار المادي، يمكن للمرء أن يكتب:

$\begin{array}{rrcl}&{\boldsymbol {\sigma }}^{*}&=&{\mathcal {H}}({\boldsymbol {B}}^{*})\\\Rightarrow &{\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}&=&{\mathcal {H}}({\boldsymbol {F}}^{*}\cdot ({\boldsymbol {F}}^{*})^{T})\\\Rightarrow &{\boldsymbol {R}}\cdot {\mathcal {H}}({\boldsymbol {B}})\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}&=&{\mathcal {H}}({\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T})\\\Rightarrow &{\boldsymbol {R}}\cdot {\mathcal {H}}({\boldsymbol {B}})\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}&=&{\mathcal {H}}({\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}).\end{array}}}$

يقال إن المعادلة التكوينية التي تحترم الشرط المذكور أعلاه متجانسة الخواص .

على الرغم من أن الإجهاد في مادة كوشي المرنة يعتمد فقط على حالة التشوه، فإن الشغل المبذول بواسطة الإجهادات قد يعتمد على مسار التشوه. لذلك، تتميز مادة كوشي المرنة عمومًا ببنية غير محافظة، ولا يمكن بالضرورة اشتقاق الإجهاد من دالة "الجهد المرن" العددية. تُسمى المواد المحافظة بهذا المعنى بالمواد فائقة المرونة أو "المواد المرنة الخضراء".