نظرية الإجهاد المحدود

لنفترض جسيمًا أو نقطة مادية${\displaystyle P}$مع متجه الموضع${\displaystyle \mathbf {X} =X_{I}\mathbf {I} _{I}}$في الوضع غير المشوه (الشكل 2). بعد إزاحة الجسم، يُشار إلى الموضع الجديد للجسيم بواسطة${\displaystyle p}$يتم تحديد موضع المتجه في التكوين الجديد${\displaystyle \mathbf {x} =x_{i}\mathbf {e} _{i}\,\!}$يمكن تراكب أنظمة الإحداثيات للتكوين غير المشوه والتكوين المشوه من أجل التسهيل.

لننظر الآن إلى نقطة مادية${\displaystyle Q}$المجاور${\displaystyle P\,\!}$، مع متجه الموضع${\displaystyle \mathbf {X} +\Delta \mathbf {X} =(X_{I}+\Delta X_{I})\mathbf {I} _{I}\,\!}$في التكوين المشوه، يكون لهذا الجسيم موضع جديد${\displaystyle q}$يُعطى بواسطة متجه الموضع${\displaystyle \mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} \,\!}$بافتراض أن القطع المستقيمة${\displaystyle \Delta X}$و${\displaystyle \Delta \mathbf {x} }$ربط الجزيئات${\displaystyle P}$و${\displaystyle Q}$في كلتا الحالتين، سواء في الحالة غير المشوهة أو المشوهة، على التوالي، إذا كانت صغيرة جدًا، فيمكننا التعبير عنها على النحو التالي:${\displaystyle d\mathbf {X} }$و${\displaystyle d\mathbf {x} \,\!}$وبالتالي، من الشكل 2 لدينا $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} &=\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} ),\\\mathbf {x} +d\mathbf {x} &=\mathbf {X} +d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} ),\\{\text{and}}{\text{ therefore}}&\\d\mathbf {x} &=\mathbf {X} -\mathbf {x} +d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )\\&=d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )-\mathbf {u} (\mathbf {X} )\\&=d\mathbf {X} +d\mathbf {u} \\\end{aligned}},}$$

أين${\displaystyle \mathbf {du} }$يمثل متجه الإزاحة النسبية ، والذي يمثل الإزاحة النسبية لـ${\displaystyle Q}$بالنسبة إلى${\displaystyle P}$في التكوين المشوه.

غالباً ما تتطلب الحسابات التي تتضمن تشوه الجسم المتغير مع الزمن حساب مشتقة زمنية لتدرج التشوه. ويتطلب تعريف متسق هندسياً لهذه المشتقة الخوض في الهندسة التفاضلية ^{[ 1 ]،} لكننا نتجنب هذه المسائل في هذه المقالة.

المشتق الزمني لـ${\displaystyle \mathbf {F} }$يكون $${\displaystyle {\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial \mathbf {X} }}\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[{\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]}$$ أين${\displaystyle \mathbf {V} }$هي السرعة (المادية). يمثل المشتق على الجانب الأيمن تدرج السرعة المادية . من الشائع تحويل ذلك إلى تدرج مكاني بتطبيق قاعدة السلسلة للمشتقات، أي $${\displaystyle {\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {v} (\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t),t)\right]=\left.{\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\left[\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right]\right|_{\mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}\cdot {\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial \mathbf {X} }}={\boldsymbol {l}}\cdot \mathbf {F} }$$ أين${\displaystyle {\boldsymbol {l}}=(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {v} )^{T}}$يمثل تدرج السرعة المكانية، وحيث${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)}$هي السرعة المكانية (الأويلرية) عند${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}$إذا كان تدرج السرعة المكانية ثابتًا مع الزمن، فيمكن حل المعادلة أعلاه بدقة للحصول على $${\displaystyle \mathbf {F} =e^{{\boldsymbol {l}}\,t}}$$ بافتراض${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {1} }$في${\displaystyle t=0}$توجد عدة طرق لحساب الدالة الأسية المذكورة أعلاه.

الكميات ذات الصلة التي تستخدم غالبًا في ميكانيكا الأوساط المتصلة هي معدل موتر التشوه وموتر الدوران ، المعرفان على التوالي كما يلي: $${\displaystyle {\boldsymbol {d}}={\tfrac {1}{2}}\left({\boldsymbol {l}}+{\boldsymbol {l}}^{T}\right)\,,~~{\boldsymbol {w}}={\tfrac {1}{2}}\left({\boldsymbol {l}}-{\boldsymbol {l}}^{T}\right)\,.}$$ يعطي موتر معدل التشوه معدل تمدد عناصر الخط بينما يشير موتر الدوران إلى معدل الدوران أو الدوامة للحركة.

غالباً ما تكون المشتقة الزمنية المادية لمعكوس تدرج التشوه (مع تثبيت التكوين المرجعي) مطلوبة في التحليلات التي تتضمن إجهادات محدودة. هذه المشتقة هي $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {F} ^{-1}\right)=-\mathbf {F} ^{-1}\cdot {\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}\,.}$$ يمكن التحقق من العلاقة المذكورة أعلاه عن طريق حساب المشتقة الزمنية للمادة لـ${\displaystyle \mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} =d\mathbf {X} }$مع ملاحظة أن${\displaystyle {\dot {\mathbf {X} }}=0}$.

تدرج التشوه${\displaystyle \mathbf {F} }$، مثل أي موتر قابل للعكس من الرتبة الثانية، يمكن تحليله، باستخدام نظرية التحليل القطبي ، إلى حاصل ضرب موترين من الرتبة الثانية (Truesdell and Noll, 1965): موتر متعامد وموتر متماثل موجب التحديد، أي$${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {R} \mathbf {U} =\mathbf {V} \mathbf {R} }$$حيث الموتر${\displaystyle \mathbf {R} }$هو موتر متعامد صحيح ، أي${\displaystyle \mathbf {R} ^{-1}=\mathbf {R} ^{T}}$و${\displaystyle \det \mathbf {R} =+1\,\!}$، الذي يمثل دورانًا؛ الموتر${\displaystyle \mathbf {U} }$هو موتر التمدد الصحيح ؛ و${\displaystyle \mathbf {V} }$موتر التمدد الأيسر . يشير مصطلحا "يمين" و "يسار" إلى أنهما يقعان على يمين ويسار موتر الدوران.${\displaystyle \mathbf {R} \,\!}$، على التوالى.${\displaystyle \mathbf {U} }$و${\displaystyle \mathbf {V} }$كلاهما موجبان تمامًا ، أي${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {U} \cdot \mathbf {x} >0}$و${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {V} \cdot \mathbf {x} >0}$لجميع القيم غير الصفرية${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}}$، والموترات المتناظرة ، أي${\displaystyle \mathbf {U} =\mathbf {U} ^{T}}$و${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {V} ^{T}\,\!}$، من الدرجة الثانية.

يشير هذا التفكيك إلى أن تشوه عنصر الخط${\displaystyle d\mathbf {X} }$في الوضع غير المشوه على${\displaystyle d\mathbf {x} }$في التكوين المشوه، أي${\displaystyle d\mathbf {x} =\mathbf {F} \,d\mathbf {X} \,\!}$يمكن الحصول على ذلك إما عن طريق تمديد العنصر أولاً بواسطة${\displaystyle \mathbf {U} \,\!}$، أي${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {U} \,d\mathbf {X} \,\!}$ثم الدوران${\displaystyle \mathbf {R} \,\!}$، أي،${\displaystyle d\mathbf {x} =\mathbf {R} \,d\mathbf {x} '\,\!}$أو بشكل مكافئ، عن طريق تطبيق دوران صلب${\displaystyle \mathbf {R} }$أولاً، أي${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {R} \,d\mathbf {X} \,\!}$ثم تلاه لاحقًا تمرين التمدد${\displaystyle \mathbf {V} \,\!}$، أي،${\displaystyle d\mathbf {x} =\mathbf {V} \,d\mathbf {x} '}$(انظر الشكل 3).

بسبب تعامد${\displaystyle \mathbf {R} }$$${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {R} \cdot \mathbf {U} \cdot \mathbf {R} ^{T}}$$ لهذا السبب.${\displaystyle \mathbf {U} }$و${\displaystyle \mathbf {V} }$لها نفس القيم الذاتية أو الامتدادات الرئيسية ، ولكن لها متجهات ذاتية أو اتجاهات رئيسية مختلفة${\displaystyle \mathbf {N} _{i}}$و${\displaystyle \mathbf {n} _{i}\,\!}$على التوالي. وترتبط الاتجاهات الرئيسية بـ $${\displaystyle \mathbf {n} _{i}=\mathbf {R} \mathbf {N} _{i}.}$$

يُعد هذا التحلل القطبي فريدًا من نوعه.${\displaystyle \mathbf {F} }$المصفوفة القابلة للعكس ذات المحدد الموجب هي نتيجة لتحليل القيم المفردة .

لتحويل الكميات المعرفة بالنسبة للمساحات في تكوين مشوه إلى تلك المتعلقة بالمساحات في تكوين مرجعي، والعكس صحيح، نستخدم علاقة نانسون ، المعبر عنها كالتالي:$${\displaystyle da~\mathbf {n} =J~dA~\mathbf {F} ^{-T}\cdot \mathbf {N} }$$أين${\displaystyle da}$هي منطقة من منطقة في التكوين المشوه،${\displaystyle dA}$وهي نفس المنطقة في التكوين المرجعي، و${\displaystyle \mathbf {n} }$يمثل المتجه العمودي الخارجي لعنصر المساحة في التكوين الحالي بينما${\displaystyle \mathbf {N} }$هو العمودي الخارجي في التكوين المرجعي،${\displaystyle \mathbf {F} }$هو تدرج التشوه ، و${\displaystyle J=\det \mathbf {F} \,\!}$.

الصيغة المقابلة لتحويل عنصر الحجم هي$${\displaystyle dv=J~dV}$$

في عام 1839، قدم جورج جرين موتر التشوه المعروف باسم موتر تشوه كوشي-جرين الأيمن أو موتر تشوه جرين ( توصي IUPAC بتسمية هذا الموتر بموتر إجهاد كوشي )، ^{[ 3 ]} والذي تم تعريفه على النحو التالي:

$${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} =\mathbf {U} ^{2}\qquad {\text{or}}\qquad C_{IJ}=F_{kI}~F_{kJ}={\frac {\partial x_{k}}{\partial X_{I}}}{\frac {\partial x_{k}}{\partial X_{J}}}.}$$

فيزيائيًا، يعطينا موتر كوشي-غرين مربع التغير المحلي في المسافات الناتج عن التشوه، أي${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X} }$

ثوابت${\displaystyle \mathbf {C} }$تُستخدم هذه الثوابت غالبًا في تعابير دوال كثافة طاقة الانفعال . أما الثوابت الأكثر شيوعًا فهي $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}^{C}&:={\text{tr}}(\mathbf {C} )=C_{II}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}^{C}&:={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}~\mathbf {C} )^{2}-{\text{tr}}(\mathbf {C} ^{2})\right]={\tfrac {1}{2}}\left[(C_{JJ})^{2}-C_{IK}C_{KI}\right]=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\\I_{3}^{C}&:=\det(\mathbf {C} )=J^{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}.\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle J:=\det \mathbf {F} }$هو المحدد لتدرج التشوه${\displaystyle \mathbf {F} }$و${\displaystyle \lambda _{i}}$هي نسب التمدد للألياف الوحدوية التي يتم توجيهها في البداية على طول اتجاهات المتجهات الذاتية لموتر التمدد الأيمن (المرجعي) (وهذه لا تتماشى بشكل عام مع المحاور الثلاثة لأنظمة الإحداثيات).

يوصي الاتحاد الدولي للكيمياء البحتة والتطبيقية ^{[ 3 ]} بأن يكون معكوس موتر تشوه كوشي-جرين الأيمن (المسمى موتر إجهاد كوشي في تلك الوثيقة)، أي${\displaystyle \mathbf {C} ^{-1}}$يُطلق عليه اسم موتر إجهاد الإصبع . ومع ذلك، فإن هذه التسمية ليست مقبولة عالميًا في الميكانيكا التطبيقية .

$${\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {C} ^{-1}=\mathbf {F} ^{-1}\mathbf {F} ^{-T}\qquad {\text{or}}\qquad f_{IJ}={\frac {\partial X_{I}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}}$$

يؤدي عكس ترتيب الضرب في صيغة موتر تشوه كوشي-جرين الأيمن إلى موتر تشوه كوشي-جرين الأيسر الذي يُعرَّف على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {F} \mathbf {F} ^{T}=\mathbf {V} ^{2}\qquad {\text{or}}\qquad B_{ij}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}}$$

يُطلق على موتر تشوه كوشي-جرين الأيسر غالبًا اسم موتر تشوه فينجر ، نسبةً إلى جوزيف فينجر (1894). ^{[ 4 ]}

يوصي الاتحاد الدولي للكيمياء البحتة والتطبيقية (IUPAC) بتسمية هذا الموتر باسم موتر الإجهاد الأخضر . ^{[ 3 ]}

ثوابت${\displaystyle \mathbf {B} }$تُستخدم أيضًا في تعابير دوال كثافة طاقة الانفعال . تُعرَّف الثوابت التقليدية على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&:={\text{tr}}(\mathbf {B} )=B_{ii}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}&:={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}~\mathbf {B} )^{2}-{\text{tr}}(\mathbf {B} ^{2})\right]={\tfrac {1}{2}}\left(B_{ii}^{2}-B_{jk}B_{kj}\right)=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\\I_{3}&:=\det \mathbf {B} =J^{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle J:=\det \mathbf {F} }$هو المحدد لتدرج التشوه.

بالنسبة للمواد القابلة للانضغاط، يتم استخدام مجموعة مختلفة قليلاً من الثوابت: $${\displaystyle ({\bar {I}}_{1}:=J^{-2/3}I_{1}~;~~{\bar {I}}_{2}:=J^{-4/3}I_{2}~;~~J\neq 1)~.}$$

في وقت سابق من عام 1828، ^{[ 5 ]} قدم أوغسطين لويس كوشي موتر التشوه الذي تم تعريفه على أنه معكوس موتر التشوه الأيسر لكوشي-غرين،${\displaystyle \mathbf {B} ^{-1}\,\!}$وقد أطلق الاتحاد الدولي للكيمياء البحتة والتطبيقية ^[ 3] على هذا الموتر أيضًا اسم موتر إجهاد بيولا [ ^{3 ]} وموتر فينجر ^{[ 6 ]} في أدبيات علم الريولوجيا وديناميكيات الموائع.

$${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {B} ^{-1}=\mathbf {F} ^{-1T}\mathbf {F} ^{-1}\qquad {\text{or}}\qquad c_{ij}={\frac {\partial X_{K}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial X_{K}}{\partial x_{j}}}}$$

إذا كانت هناك ثلاثة امتدادات رئيسية متميزة${\displaystyle \lambda _{i}\,\!}$، التحليلات الطيفية لـ${\displaystyle \mathbf {C} }$و${\displaystyle \mathbf {B} }$يُعطى بواسطة

$${\displaystyle \mathbf {C} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}\qquad {\text{and}}\qquad \mathbf {B} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}}$$

بالإضافة إلى،

$${\displaystyle \mathbf {U} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {V} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}}$$$${\displaystyle \mathbf {R} =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {F} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}}$$

لاحظ ذلك $${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {R} ~\mathbf {U} ~\mathbf {R} ^{T}=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}~\mathbf {R} ~(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})~\mathbf {R} ^{T}=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}~(\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})\otimes (\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})}$$ لذلك، فإن تفرد التحليل الطيفي يعني أيضاً أن${\displaystyle \mathbf {n} _{i}=\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i}\,\!}$الامتداد الأيسر (${\displaystyle \mathbf {V} \,\!}$يُطلق عليه أيضًا اسم موتر التمدد المكاني، بينما يُطلق على التمدد الأيمن (${\displaystyle \mathbf {U} \,\!}$يُطلق عليه اسم موتر التمدد المادي .

تأثير${\displaystyle \mathbf {F} }$العمل على${\displaystyle \mathbf {N} _{i}}$يتمثل ذلك في تمديد المتجه بواسطة${\displaystyle \lambda _{i}}$وتدويره إلى الوضع الجديد${\displaystyle \mathbf {n} _{i}\,\!}$، أي، $${\displaystyle \mathbf {F} ~\mathbf {N} _{i}=\lambda _{i}~(\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})=\lambda _{i}~\mathbf {n} _{i}}$$ وبالمثل، $${\displaystyle \mathbf {F} ^{-T}~\mathbf {N} _{i}={\cfrac {1}{\lambda _{i}}}~\mathbf {n} _{i}~;~~\mathbf {F} ^{T}~\mathbf {n} _{i}=\lambda _{i}~\mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {F} ^{-1}~\mathbf {n} _{i}={\cfrac {1}{\lambda _{i}}}~\mathbf {N} _{i}~.}$$

تُستخدم مشتقات التمدد بالنسبة لموتر تشوه كوشي-جرين الأيمن لاستنتاج علاقات الإجهاد والانفعال للعديد من المواد الصلبة، وخاصة المواد فائقة المرونة . هذه المشتقات هي $${\displaystyle {\cfrac {\partial \lambda _{i}}{\partial \mathbf {C} }}={\cfrac {1}{2\lambda _{i}}}~\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}={\cfrac {1}{2\lambda _{i}}}~\mathbf {R} ^{T}~(\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i})~\mathbf {R} ~;~~i=1,2,3}$$ ويترتب على ذلك الملاحظات التالية $${\displaystyle \mathbf {C}$$ :(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})=\lambda _{i}^{2}~;~~~~{\cfrac {\partial \mathbf {C} }{\partial \mathbf {C} }}={\mathsf {I}}^{(s)}~;~~~~{\mathsf {I}}^{(s)}:(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})=\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}.}

يترك${\displaystyle \mathbf {X} =X^{i}~{\boldsymbol {E}}_{i}}$ليكن نظام إحداثيات ديكارتية معرفًا على الجسم غير المشوه، وليكن${\displaystyle \mathbf {x} =x^{i}~{\boldsymbol {E}}_{i}}$ليكن نظامًا آخر معرفًا على الجسم المشوه. ولتكن منحنى${\displaystyle \mathbf {X} (s)}$في الجسم غير المشوه، يتم تحديد المعلمات باستخدام${\displaystyle s\in [0,1]}$صورتها في الجسم المشوه هي${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {X} (s))}$.

يُعطى طول المنحنى قبل التشوه بالعلاقة التالية: $${\displaystyle l_{X}=\int _{0}^{1}\left|{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right|~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\boldsymbol {I}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds}$$ بعد التشوه، يصبح الطول $${\displaystyle {\begin{aligned}l_{x}&=\int _{0}^{1}\left|{\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}\right|~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}}}~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right)\cdot \left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right)}}~ds\\&=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot \left[\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right)^{T}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right]\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds\end{aligned}}}$$ لاحظ أن موتر تشوه كوشي-جرين الأيمن يُعرَّف على النحو التالي $${\displaystyle {\boldsymbol {C}}:={\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}=\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right)^{T}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}}$$ لذلك، $${\displaystyle l_{x}=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\boldsymbol {C}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds}$$ مما يشير إلى أن التغيرات في الطول تتميز بـ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$.

كان بي آر سيث من المعهد الهندي للتكنولوجيا في خاراجبور أول من أثبت أن موترات الإجهاد غرين وألمانسي هي حالات خاصة من مقياس إجهاد أكثر عمومية . ^{[ 10 ] [ 11 ]} وقد توسع رودني هيل في هذه الفكرة عام 1968. ^{[ 12 ]} ويمكن التعبير عن عائلة سيث-هيل من مقاييس الإجهاد (المعروفة أيضًا باسم موترات دويل-إريكسن) ^{[ 13 ] على النحو التالي:}