مخطط الفروقات المركزية

في الرياضيات التطبيقية ، تُعدّ طريقة الفروق المركزية إحدى طرق الفروق المحدودة التي تُحسّن تقريب المؤثر التفاضلي في العقدة المركزية للرقعة المدروسة، وتُقدّم حلولًا عددية للمعادلات التفاضلية. ^{[ 1 ]} وهي إحدى الطرق المستخدمة لحل معادلة الحمل الحراري والانتشار المتكاملة ، ولحساب الخاصية المنقولة Φ عند الوجهين e و w، حيث يرمز e و w إلى الشرق والغرب (اتجاهات البوصلة تُستخدم عادةً للإشارة إلى الاتجاهات على الشبكات الحسابية). من مزايا هذه الطريقة سهولة فهمها وتطبيقها، على الأقل بالنسبة للعلاقات المادية البسيطة؛ وسرعة تقاربها مقارنةً ببعض طرق الفروق المحدودة الأخرى، مثل الفروق الأمامية والخلفية. ويمكن تمثيل الطرف الأيمن من معادلة الحمل الحراري والانتشار، الذي يُبرز بشكل أساسي حدود الانتشار، باستخدام تقريب الفروق المركزية. لتبسيط الحل والتحليل، يمكن استخدام الاستيفاء الخطي منطقيًا لحساب قيم وجوه الخلايا للطرف الأيسر من هذه المعادلة، وهو ما يمثل حدود الحمل الحراري. لذلك، يمكن كتابة قيم وجوه الخلايا للخاصية لشبكة منتظمة على النحو التالي: ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle \Phi _{e}={\tfrac {1}{2}}(\Phi _{P}+\Phi _{E})}$$$${\displaystyle \Phi _{w}={\tfrac {1}{2}}(\Phi _{W}+\Phi _{P})}$$

معادلة الحمل الحراري والانتشار هي تمثيل جماعي لمعادلات الانتشار والحمل الحراري، وتصف أو تفسر كل ظاهرة فيزيائية تتضمن الحمل الحراري والانتشار في نقل الجسيمات والطاقة والكميات الفيزيائية الأخرى داخل نظام فيزيائي: ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle \operatorname {div} (\rho u\varphi )=\operatorname {div} (\Gamma \nabla \varphi )+S_{\varphi };\,}$$ حيث Г هو معامل الانتشار و Φ هي الخاصية .

يُعطي التكامل الرسمي لمعادلة الحمل الحراري والانتشار في الحالة المستقرة على حجم تحكم

$${\displaystyle \int _{A}\,n\cdot (\rho u\varphi )\,dA=\int _{A}\,n\cdot (\Gamma \nabla \varphi )\,dA+\int _{CV}\,S_{\varphi }\,dV}$$

المعادلة 1

تمثل هذه المعادلة توازن التدفق في حجم تحكم. يمثل الجانب الأيسر صافي التدفق الحراري، بينما يحتوي الجانب الأيمن على صافي التدفق الانتشارى وتوليد أو تدمير الخاصية داخل حجم التحكم.

في حالة عدم وجود معادلة حد المصدر، يصبح المرء

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\rho u\varphi )={\frac {d}{dx}}\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)}$$

المعادلة 2

معادلة الاستمرارية :

$${\displaystyle {d \over dx}(\rho u)=0}$$

المعادلة 3

بافتراض حجم تحكم وتكامل المعادلة 2 على حجم التحكم، نحصل على:

$${\displaystyle (\rho u\varphi A)_{e}-(\rho u\varphi A)_{w}=(\Gamma Ad\varphi /dx)_{e}-(\Gamma Ad\varphi /dx)_{w}}$$

معادلة الحمل الحراري والانتشار المتكاملة

ينتج عن تكامل المعادلة 3 ما يلي:

$${\displaystyle (\rho uA)_{e}-(\rho uA)_{w}=0}$$

معادلة الاستمرارية المتكاملة

من الملائم تعريف متغيرين لتمثيل تدفق الكتلة الحملي لكل وحدة مساحة وموصلية الانتشار عند وجوه الخلايا، على سبيل المثال: $${\displaystyle F=\rho u}$$$${\displaystyle D=\Gamma /\delta x}$$

بافتراض${\displaystyle A_{e}=A_{w}}$يمكننا كتابة معادلة الحمل الحراري والانتشار المتكاملة على النحو التالي: $${\displaystyle F_{e}\varphi _{e}-F_{w}\varphi _{w}=D_{e}(\varphi _{E}-\varphi _{P})-D_{w}(\varphi _{P}-\varphi _{W})}$$

ومعادلة الاستمرارية المتكاملة هي: $${\displaystyle F_{e}-F_{w}=0}$$

في مخطط الفروق المركزية، نحاول الاستيفاء الخطي لحساب قيم وجوه الخلايا لمصطلحات الحمل الحراري.

بالنسبة للشبكة المنتظمة، يمكننا كتابة قيم أوجه الخلايا للخاصية Φ على النحو التالي: $${\displaystyle \varphi _{e}={\tfrac {1}{2}}(\varphi _{E}+\varphi _{P}),\quad \varphi _{w}={\tfrac {1}{2}}(\varphi _{P}+\varphi _{W})}$$

وبإدخال هذا في معادلة الحمل الحراري والانتشار المتكاملة، نحصل على: $$$$$

وفيما يتعلق بإعادة الترتيب: $$\displaystyle \left[\left(D_{w}+{\frac {F_{w}}{2}}\right)+\left(D_{e}-{\frac {F_{e}}{2}}\right)+(F_{e}-F_{w})\right]\varphi _{P}=\left(D_{w}+{\frac {F_{w}}{2}}\right)\varphi _{W}+\left(D_{e}-{\frac {F_{e}}{2}}\right)\varphi _{E}}$$$${\displaystyle a_{P}\varphi _{P}=a_{W}\varphi _{W}+a_{E}\varphi _{E}}$$

• يتم استخدامها حاليًا بشكل منتظم في حل معادلات أويلر ومعادلات نافيير-ستوكس .
• أظهرت النتائج التي تم الحصول عليها باستخدام تقريب الفروق المركزية تحسينات ملحوظة في الدقة في المناطق الملساء.
• يمكن تحسين تمثيل الموجة الصدمية وتحديد الطبقة الحدية على الشبكات الخشنة. ^{[ 3 ]}

• أسهل في البرمجة، ويتطلب وقتًا أقل للحاسوب لكل خطوة، ويعمل بشكل جيد مع تقنيات تسريع الشبكة المتعددة
• يحتوي على معلمة حرة بالاقتران مع تبديد الفرق الرابع، وهو أمر ضروري للوصول إلى حالة مستقرة.
• أكثر دقة من مخطط الريح من الدرجة الأولى إذا كان رقم بيكليت أقل من 2. ^{[ 3 ]}

• أكثر تبديدًا إلى حد ما
• يؤدي إلى تذبذبات في الحل أو تباعد إذا كان رقم بيكليت المحلي أكبر من 2. ^{[ 4 ]}

• طريقة الفروق المحدودة
• الفرق المحدود
• سلسلة تايلور
• نظرية تايلور
• معادلة الحمل الحراري والانتشار
• انتشار
• الحمل الحراري
• رقم بيكليت
• الاستيفاء الخطي
• مشتق متناظر
• مخطط الفرق المواجه للرياح للحمل الحراري

• ديناميكا الموائع الحسابية: الأساسيات مع التطبيقات - جون د. أندرسون، رقم ISBN 0-07-001685-2
• ديناميكا الموائع الحسابية، المجلد 1 - كلاوس أ. هوفمان، ستيف ت. تشيانغ، رقم ISBN 0-9623731-0-9

• مخطط الفروق المركزية أحادي البعد للحمل الحراري والانتشار في الحالة المستقرة
• الفروق المحدودة
• طرق الفروق المركزية ( مؤرشفة في 5 نوفمبر 2013 على موقع Wayback Machine)
• مخطط الفروق المحدودة المحافظ لمعادلات بواسون-نيرنست-بلانك