نظرية الاضطراب الكيرالي

The Lagrangian of the ${\displaystyle p}$-expansion is constructed by writing down all interactions which are not excluded by symmetry, and then ordering them based on the number of momentum and mass powers.

The order is chosen so that ${\displaystyle (\partial \pi )^{2}+m_{\pi }^{2}\pi ^{2}}$ is considered in the first-order approximation, where ${\displaystyle \pi }$ is the pion field and ${\displaystyle m_{\pi }}$ the pion mass, which breaks the underlying chiral symmetry explicitly (PCAC).^[4][5] Terms like ${\displaystyle m_{\pi}^{4}\pi ^{2}+(\جزئي \pi )^{6}}$ are part of other, higher order corrections.

It is also customary to compress the Lagrangian by replacing the single pion fields in each term with an infinite series of all possible combinations of pion fields. One of the most common choices is

${\displaystyle U=\exp \left\{{\frac {i}{F}}{\begin{pmatrix}\pi ^{0}&{\sqrt {2}}\pi ^{+}\\{\sqrt {2}}\pi ^{-}&-\pi ^{0}\end{pmatrix}}\right\}}$

where ${\displaystyle F}$ is called the pion decay constant which is 93 MeV.

In general, different choices of the normalization for ${\displaystyle F}$ exist, so that one must choose the value that is consistent with the charged pion decay rate.

The effective theory in general is non-renormalizable, however given a particular power counting scheme in ChPT, the effective theory is renormalizable at a given order in the chiral expansion. For example, if one wishes to compute an observable to ${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{4})}$, then one must compute the contact terms that come from the ${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{4})}$ Lagrangian (this is different for an SU(2) vs. SU(3) theory) at tree-level and the one-loop contributions from the ${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{2})}$ Lagrangian.)

One can easily see that a one-loop contribution from the ${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{2})}$ Lagrangian counts as ${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{4})}$ by noting that the integration measure counts as ${\displaystyle p^{4}}$, the propagator counts as ${\displaystyle p^{-2}}$, while the derivative contributions count as ${\displaystyle p^{2}}$. Therefore, since the calculation is valid to ${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{4})}$, one removes the divergences in the calculation with the renormalization of the low-energy constants (LECs) from the ${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{4})}$ Lagrangian. So if one wishes to remove all the divergences in the computation of a given observable to ${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{n})}$, one uses the coupling constants in the expression for the ${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{n})}$لاغرانج لإزالة تلك الاختلافات.

تُتيح هذه النظرية وصف التفاعلات بين البيونات، وبين البيونات والنيوكليونات (أو حقول المادة الأخرى). كما يُمكن لنظرية الاضطراب الكيرالي SU(3) وصف تفاعلات الكاونات وميزونات إيتا، بينما يُمكن استخدام نظريات مماثلة لوصف الميزونات المتجهة. ولأن نظرية الاضطراب الكيرالي تفترض التناظر الكيرالي ، وبالتالي الكواركات عديمة الكتلة، فلا يُمكن استخدامها لنمذجة تفاعلات الكواركات الأثقل .

بالنسبة لنظرية SU(2)، يتم إعطاء لاغرانجيان الكيرالي من الرتبة الأولى بواسطة ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}={\frac {F^{2}}{4}}{\rm {tr}}(\partial _{\mu }U\partial ^{\mu }U^{\dagger })+{\frac {\lambda F^{3}}{4}}{\rm {tr}}(m_{q}U+m_{q}^{\dagger }U^{\dagger })}$

أين${\displaystyle F=93}$MeV و${\displaystyle m_{q}}$هي مصفوفة كتلة الكوارك. في${\displaystyle p}$- توسيع ChPT، معاملات التوسيع الصغيرة هي

${\displaystyle {\frac {p}{\Lambda _{\chi }}},{\frac {m_{\pi }}{\Lambda _{\chi }}}.}$

أين${\displaystyle \Lambda _{\chi }}$هو مقياس كسر التناظر الكيرالي، من رتبة 1 جيجا إلكترون فولت (يُقدّر أحيانًا بـ ${\displaystyle \Lambda _{\chi }=4\pi F}$في هذا التوسع،${\displaystyle m_{q}}$يُعتبر${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{2})}$لأن${\displaystyle m_{\pi }^{2}=\lambda m_{q}F}$إلى الرتبة الرائدة في التوسع الكيرالي. ^{[ 6 ]}

في بعض الحالات، نجحت نظرية الاضطراب الكيرالي في وصف التفاعلات بين الهادرونات في النظام غير الاضطرابي للتفاعل القوي . على سبيل المثال، يمكن تطبيقها على أنظمة قليلة النيوكليونات، وعند الرتبة التالية للرتبة التالية للرتبة الرائدة في التوسع الاضطرابي ، يمكنها تفسير قوى ثلاثة نيوكليونات بطريقة طبيعية. ^{[ 7 ]}