النموذج الكيرالي

يُعتبر النموذج الكيرالي لجورسي (1960؛ انظر أيضًا جيل مان وليفي) الآن نظرية فعالة للديناميكا اللونية الكمومية مع كواركين خفيفين، u و d . ويكون لاغرانجيان الديناميكا اللونية الكمومية ثابتًا تقريبًا تحت دورانات النكهة العالمية المستقلة لحقول الكواركات اليسرى واليمنى.

$\begin{cases}q_{\mathsf {L}}\mapsto q_{\mathsf {L}}'=L\ q_{\mathsf {L}}=\exp {\left(-i{\boldsymbol {\theta }}_{\mathsf {L}}\cdot {\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\tau }}\right)}q_{\mathsf {L}}\\q_{\mathsf {R}}\mapsto q_{\mathsf {R}}'=R\ q_{\mathsf {R}}=\exp {\left(-i{\boldsymbol {\theta }}_{\mathsf {R}}\cdot {\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\tau }} }}\right)}q_{\mathsf {R}}\end{cases}}}$

حيث تشير τ إلى مصفوفات باولي في فضاء النكهة و θ _L و θ _R  هي زوايا الدوران المقابلة.

مجموعة التناظر المقابلة${\displaystyle \ {\text{SU}}(2)_{\mathsf {L}}\times {\text{SU}}(2)_{\mathsf {R}}\ }$هي المجموعة الكيرالية، التي يتم التحكم فيها بواسطة التيارات الستة المحفوظة

${\displaystyle L_{\mu }^{i}={\bar {q}}_{\mathsf {L}}\gamma _{\mu }{\tfrac {\tau ^{i}}{2}}q_{\mathsf {L}},\qquad R_{\mu }^{i}={\bar {q}}_{\mathsf {R}}\gamma _{\mu }{\tfrac {\tau ^{i}}{2}}q_{\mathsf {R}}\ ,}$

والتي يمكن التعبير عنها بنفس القدر بدلالة التيارات المتجهة والتيارات المتجهة المحورية

${\displaystyle V_{\mu }^{i}=L_{\mu }^{i}+R_{\mu }^{i},\qquad A_{\mu }^{i}=R_{\mu }^{i}-L_{\mu }^{i}~.}$

تُنتج الشحنات المحفوظة المقابلة جبر المجموعة الكيرالية،

${\displaystyle \left[Q_{I}^{i},Q_{I}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{I}^{k}\qquad \qquad \left[Q_{\mathsf {L}}^{i},Q_{\mathsf {R}}^{j}\right]=0,}$

حيث I = L أو R، أو بصورة مكافئة،

${\displaystyle \left[Q_{V}^{i},Q_{V}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{V}^{k},\qquad \left[Q_{A}^{i},Q_{A}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{V}^{k},\qquad \left[Q_{V}^{i},Q_{A}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{A}^{k}.}$

هيمن تطبيق علاقات التبادل هذه على التفاعلات الهادرونية على حسابات الجبر الحالية في أوائل السبعينيات.

على مستوى الهادرونات، والميزونات شبه القياسية، ونطاق النموذج الكيرالي، والكيرالي${\displaystyle \ {\text{SU}}(2)_{\mathsf {L}}\times {\text{SU}}(2)_{\mathsf {R}}\ }$تتفكك المجموعة تلقائيًا إلى${\displaystyle {\text{SU}}(2)_{V}\ ,}$بواسطة فراغ QCD . أي أنه يتحقق بشكل غير خطي ، في نمط نامبو-غولدستون : Q _V تُفني الفراغ، لكن Q _A لا تفعل ذلك! يتم تصور هذا بشكل جيد من خلال حجة هندسية تستند إلى حقيقة أن جبر لي لـ${\displaystyle {\text{SU}}(2)_{\mathsf {L}}\times {\text{SU}}(2)_{\mathsf {R}}\ }$متماثل مع مجموعة SO(4). المجموعة الفرعية غير المنكسرة، المحققة في نمط ويغنر-ويل الخطي، هي${\displaystyle \ {\text{SO}}(3)\subset {\text{SO}}(4)\ }$وهو متماثل محليًا مع SU(2) (V: isospin).

لإنشاء تمثيل غير خطي لـ SO(4)، وهو التمثيل الذي يصف الدوران رباعي الأبعاد لمتجه

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\pi }}\\\sigma \end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}\pi _{1}\\\pi _{2}\\\pi _{3}\\\sigma \end{pmatrix}},}$

لدوران متناهي الصغر مُعَلم بست زوايا

${\displaystyle \left\{\theta _{i}^{V,A}\right\},\qquad i=1,2,3,}$

يُعطى بواسطة

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\pi }}\\\sigma \end{pmatrix}}{\stackrel {SO(4)}{\longrightarrow }}{\begin{pmatrix}{{\boldsymbol {\pi }}'}\\\sigma '\end{pmatrix}}=\left[\mathbf {1} _{4}+\sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{V}\ V_{i}+\sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{A}\ A_{i}\right]{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\pi }}\\\sigma \end{pmatrix}}}$

أين

$\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{V}\ V_{i}={\begin{pmatrix}0&-\theta _{3}^{V}&\theta _{2}^{V}&0\\\theta _{3}^{V}&0&-\theta _{1}^{V}&0\\-\theta _{2}^{V}&\theta _{1}^{V}&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\qquad \qquad \sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{A}\ A_{i}={\begin{pmatrix}0&0&0&\theta _{1}^{A}\\0&0&0&\theta _{2}^{A}\\0&0&0&\theta _{3}^{A}\\-\theta _{1}^{A}&-\theta _{2}^{A}&-\theta _{3}^{A}&0\end{pmatrix}}.}$

تحدد الكميات الحقيقية الأربعة ( π ، σ ) أصغر مضاعف كيرالي غير تافه وتمثل محتوى المجال لنموذج سيجما الخطي.

للانتقال من التمثيل الخطي المذكور أعلاه لـ SO(4) إلى التمثيل غير الخطي، نلاحظ أن ثلاثة فقط من مكونات ( π ، σ ) الأربعة مستقلة بالنسبة للدوران رباعي الأبعاد. تتوافق هذه المكونات الثلاثة المستقلة مع إحداثيات على كرة فائقة S3 ^، حيث تخضع π و σ للقيد.

${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}^{2}+\sigma ^{2}=F^{2}\ ,}$

حيث F ثابت اضمحلال بيون ذو بُعد = الكتلة .

وباستخدام هذا لإزالة σ ينتج عنه خصائص التحويل التالية لـ π تحت SO(4)،

${\displaystyle {\begin{cases}\theta ^{V}:{\boldsymbol {\pi }}\mapsto {\boldsymbol {\pi }}'={\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}^{V}\times {\boldsymbol {\pi }}\\\theta ^{A}:{\boldsymbol {\pi }}\mapsto {\boldsymbol {\pi }}'={\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}^{A}{\sqrt {F^{2}-{\boldsymbol {\pi }}^{2}}}\end{cases}}\qquad {\boldsymbol {\theta }}^{V,A}\equiv \left\{\theta _{i}^{V,A}\right\},\qquad i=1,2,3.}$

تُشكّل الحدود غير الخطية (إزاحة π ) في الجانب الأيمن من المعادلة الثانية أساسًا للتجسيد غير الخطي لـ SO(4). المجموعة الكيرالية${\displaystyle \ {\text{SU}}(2)_{\mathsf {L}}\times {\text{SU}}(2)_{\mathsf {R}}\simeq {\text{SO}}(4)\ }$يتحقق ذلك بشكل غير خطي على ثلاثية البيونات - والتي، مع ذلك، لا تزال تتحول خطيًا تحت تأثير التناظر النظائري${\displaystyle \ {\text{SU}}(2)_{V}\simeq {\text{SO}}(3)\ }$الدورانات المحددة من خلال الزوايا${\displaystyle \ \left\{{\boldsymbol {\theta }}_{V}\right\}~.}$على النقيض من ذلك، فإن${\displaystyle \ \left\{{\boldsymbol {\theta }}_{A}\right\}\ }$تمثل "التحولات" غير الخطية (الانكسار التلقائي).

من خلال خريطة السبينور ، يمكن أيضًا كتابة هذه الدورانات رباعية الأبعاد لـ ( π ، σ ) بسهولة باستخدام تدوين المصفوفة 2×2 عن طريق إدخال المصفوفة الوحدوية

${\displaystyle U={\frac {1}{F}}\left(\sigma \mathbf {1} _{2}+i{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\right)\ ,}$

ويتطلب ذلك أن تكون خصائص تحويل U تحت الدوران الكيرالي

${\displaystyle U\longrightarrow U'=LUR^{\dagger }\ ,}$

أين${\displaystyle ~\theta _{\mathsf {L}}=\theta _{V}-\theta _{A}\ ,\quad \theta _{\mathsf {R}}=\theta _{V}+\theta _{A}~.}$

ويتبع ذلك الانتقال إلى التنفيذ غير الخطي،

${\displaystyle U={\frac {1}{F}}\left({\sqrt {F^{2}-{\boldsymbol {\pi }}^{2}\ }}\ \mathbf {1} _{2}+i{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\right)\ ,\qquad {\mathcal {L}}_{\pi }^{(2)}={\tfrac {1}{4}}F^{2}\ \langle \ \partial _{\mu }U\ \partial ^{\mu }U^{\dagger }\ \rangle _{\mathsf {tr}}\ ,}$

أين${\displaystyle \ \langle \ldots \rangle _{\mathsf {tr}}\ }$يشير إلى الأثر في فضاء النكهة. هذا نموذج سيجما غير خطي .

الشروط المتعلقة بـ${\displaystyle \textstyle \ \partial _{\mu }\partial ^{\mu }\ U\ }$أو${\displaystyle \textstyle \ \partial _{\mu }\partial ^{\mu }\ U^{\dagger }\ }$ليست مستقلة ويمكن تحويلها إلى هذا الشكل من خلال التكامل الجزئي. يتم اختيار الثابت 1/4 F² ^بحيث يتطابق لاغرانجيان مع الحد الحر المعتاد للحقول العددية عديمة الكتلة عند كتابته بدلالة البيونات .

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\pi }^{(2)}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }{\boldsymbol {\pi }}\cdot \partial ^{\mu }{\boldsymbol {\pi }}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial _{\mu }{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\pi }}}{F}}\right)^{2}+{\mathcal {O}}(\pi ^{6})~.}$

تحديد معلمات بديلة ومكافئة (غورسي، 1960).

${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}\mapsto {\boldsymbol {\pi }}~{\frac {\sin(|\pi /F|)}{|\pi /F|}},}$

ينتج عنه تعبير أبسط لـ U ،

${\displaystyle U=\mathbf {1} \cos |\pi /F|+i{\widehat {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\sin |\pi /F|=e^{i~{\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\pi }}/F}.}$

لاحظ تحويل π المعاد تحديده تحت

${\displaystyle LUR^{\dagger }=\exp(i{\boldsymbol {\theta }}_{A}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2-i{\boldsymbol {\theta }}_{V}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2)\exp(i{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/F)\exp(i{\boldsymbol {\theta }}_{A}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2+i{\boldsymbol {\theta }}_{V}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2)}$

إذن، وبشكل واضح ومطابق لما سبق تحت دوران متساوي، V ؛ وبالمثل لما سبق، كما

${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}\longrightarrow {\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}_{A}F+\cdots ={\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}_{A}F(|\pi /F|\cot |\pi /F|)}$

في ظل التناظرات المكسورة، A ، الإزاحات. هذا التعبير الأبسط يُعمم بسهولة (كرونين، 1967) إلى N من الكواركات الخفيفة، لذلك${\displaystyle \textstyle {\text{SU}}(N)_{L}\times {\text{SU}}(N)_{R}/{\text{SU}}(N)_{V}.}$

يُوصف النموذج الكيرالي المتكامل، أو نموذج وارد، الذي قدمه ريتشارد إس. وارد ، ^{[ 3 ]} بدلالة حقل ذي قيم مصفوفية.${\displaystyle J:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow U(n)}$ويتم إعطاؤها بواسطة المعادلة التفاضلية الجزئية $${\displaystyle \partial _{t}(J^{-1}J_{t})-\partial _{x}(J^{-1}J_{x})-\partial _{y}(J^{-1}J_{y})-[J^{-1}J_{t},J^{-1}J_{y}]=0.}$$ لها صيغة لاغرانجية تتضمن الحد الحركي المتوقع بالإضافة إلى حد يشبه حد ويس-زومينو-ويتن . كما لها صيغة مطابقة شكليًا لمعادلات بوغومولني ولكن بتوقيع لورنتز . يمكن الاطلاع على العلاقة بين هذه الصيغ في دوناجسكي ( 2010 ) . 

توجد العديد من الحلول الدقيقة المعروفة. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

هنا التشعب الأساسي${\displaystyle M}$يُعتبر سطح ريمان ، وخاصة الأسطوانة${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$أو طائرة${\displaystyle \mathbb {C} }$، وفقًا للإحداثيات الحقيقية${\displaystyle \tau ,\sigma }$، أين على الأسطوانة${\displaystyle \sigma \sim \sigma +2\pi }$هي إحداثية دورية. بالنسبة لتطبيقها في نظرية الأوتار ، فإن هذه الأسطوانة هي سطح العالم الذي يكتسحه الوتر المغلق. ^{[ 7 ]}