كرة محيطة

في الهندسة ، تُعرف الكرة المحيطة بمجسم متعدد السطوح بأنها كرة تحتوي على المجسم وتلامس كل رأس من رؤوسه . [ ^{1 ] ويُستخدم} مصطلح " الكرة المحيطة" أحيانًا للدلالة على المعنى نفسه، قياسًا على مصطلح " الدائرة المحيطة" . ^{[ 2 ]} وكما هو الحال في الدوائر المحيطة ثنائية الأبعاد، يُطلق على نصف قطر الكرة المحيطة بمجسم متعدد السطوح P اسم " نصف قطر الدائرة المحيطة بـ P" ، ^{[ 3 ]} وتُسمى نقطة مركز هذه الكرة " مركز الدائرة المحيطة بـ P" . ^{[ 4 ]}

عند وجودها، لا يشترط أن تكون الكرة المحيطة أصغر كرة تحتوي على متعدد السطوح ؛ فعلى سبيل المثال، يمتلك رباعي السطوح المتكون من رأس مكعب وجيرانه الثلاثة نفس الكرة المحيطة بالمكعب نفسه، ولكن يمكن احتواؤه داخل كرة أصغر تقع رؤوسها الثلاثة المجاورة على خط استوائها. ومع ذلك، فإن أصغر كرة تحتوي على متعدد سطوح معين هي دائمًا الكرة المحيطة بالغلاف المحدب لمجموعة جزئية من رؤوس متعدد السطوح. ^{[ 5 ]}

في كتابه "De solidorum elementis" (حوالي عام 1630)، لاحظ رينيه ديكارت أنه بالنسبة لمجسم متعدد الأوجه محاط بكرة، فإن جميع أوجهه لها دوائر محيطة، وهي الدوائر التي يلتقي عندها مستوى الوجه بالكرة المحيطة. اقترح ديكارت أن هذا الشرط الضروري لوجود كرة محيطة كافٍ، ولكنه ليس صحيحًا: فبعض الأهرامات الثنائية ، على سبيل المثال، قد يكون لها دوائر محيطة بأوجهها (جميعها مثلثات) ولكنها مع ذلك لا تملك كرة محيطة بالمجسم بأكمله. ومع ذلك، عندما يكون للمجسم البسيط دائرة محيطة بكل وجه من أوجهه، فإنه يمتلك أيضًا كرة محيطة. ^{[ 6 ]}

الكرة المحيطة هي النظير ثلاثي الأبعاد للدائرة المحيطة . جميع المجسمات المنتظمة لها كرات محيطة، لكن معظم المجسمات غير المنتظمة لا تملك واحدة، لأن رؤوسها لا تقع جميعها على كرة مشتركة. الكرة المحيطة (إن وُجدت) مثال على الكرة المُحيطة ، وهي كرة تحتوي على شكل مُحدد. من الممكن تحديد أصغر كرة مُحيطة لأي مجسم، وحسابها في زمن خطي . ^{[ 5 ]}

تشمل الكرات الأخرى المحددة لبعض المجسمات متعددة الأوجه، وليس جميعها، الكرة الوسطى ، وهي كرة مماسة لجميع حواف المجسم، والكرة المحيطة ، وهي كرة مماسة لجميع أوجه المجسم. في المجسمات المنتظمة ، توجد الكرة المحيطة والكرة الوسطى والكرة المحيطة، وجميعها متحدة المركز . ^{[ 7 ]}

عندما تكون الكرة المحيطة هي مجموعة النقاط الحدية اللانهائية للفضاء الزائدي ، فإن متعدد السطوح الذي تحيط به يُعرف باسم متعدد السطوح المثالي .

توجد خمسة مجسمات منتظمة محدبة ، تُعرف باسم المجسمات الأفلاطونية . جميع المجسمات الأفلاطونية محاطة بكرات. لأي نقطة${\displaystyle M}$على الكرة المحيطة بكل مجسم أفلاطوني مع عدد الرؤوس${\displaystyle n}$، لو ${\displaystyle MA_{i}}$هي المسافات إلى الرؤوس${\displaystyle A_{i}}$ثم ^{[ 8 ]}

${\displaystyle 4(MA_{1}^{2}+MA_{2}^{2}+...+MA_ {n}^{2})^{2}=3n(MA_{1}^{4}+MA_{2}^{4}+...+MA_{n}^{4}).}$

• وايسستين، اريك دبليو. “محيط” . عالم الرياضيات .