مكعب

مكعب
يكتب	مجسم أفلاطوني متعدد السطوح منتظم متوازي السطوح زونوهيدرون متعدد السطوح هانر
وجوه	6
الحواف	12
رؤوس	8
مجموعة التماثل	تماثل ثماني السطوح ${\displaystyle \mathrm {O} _{\mathrm {h} }}$
زاوية ثنائية السطوح ( درجات )	90 درجة
متعدد السطوح المزدوج	ثماني السطوح المنتظم
ملكيات	محدب ، متعدي على الوجه ، متعدي على الحافة ، متعدي على الرأس ، غير مركب

الهندسة
إسقاط كرة على مستوى​
الفروع إقليدي غير إقليدي بيضاوي الشكل كروي زائدي الهندسة غير الأرخميدية إسقاطي أفيني اصطناعي تحليلي جبري الحساب ديوفانتين التفاضلي ريمانيان سمبلكتيك التفاضلية المنفصلة معقد محدود منفصل/تركيبي رقمي محدب حسابي كسورية حدوث الهندسة غير التبادلية الهندسة الجبرية غير التبادلية
المفاهيم سمات البعد إنشاءات المسطرة والبوصلة زاوية منحنى قطري التعامد ( العمودي ) موازي قمة الرأس التطابق تشابه التماثل
صفر الأبعاد نقطة
أحادي البعد خط شريحة شعاع طول
ثنائي الأبعاد طائرة منطقة مضلع مثلث ارتفاع وتر نظرية فيثاغورس متوازي الأضلاع مربع المستطيل المعين المعين رباعي Trapezoid Kite Circle Diameter Circumference Area
Three-dimensional Volume Cube cuboid Cylinder Dodecahedron Icosahedron Octahedron Pyramid Platonic Solid Sphere Tetrahedron
Four- / other-dimensional Tesseract Hypersphere
Geometers
by name Aida Aryabhata Ahmes Alhazen Apollonius Archimedes Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Chern Coxeter Descartes Euclid Euler Gauss Gromov Hilbert Huygens Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Khayyám Klein Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Pascal Pythagoras Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin Zhang List of geometers
by period BCE Ahmes Baudhayana Manava Pythagoras Euclid Archimedes Apollonius 1–1400s Zhang Kātyāyana Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi Yang Hui Parameshvara 1400s–1700s Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Huygens Minggatu Euler Sakabe Aida 1700s–1900s Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter Chern Present day Atiyah Gromov
v t e

في الهندسة ، المكعب أو سداسي الوجوه المنتظم هو جسم صلب ثلاثي الأبعاد يحده ستة أوجه مربعة متطابقة ، وهو نوع من متعددات السطوح . وله اثني عشر ضلعًا متطابقًا وثمانية رؤوس. وهو نوع من متوازي السطوح ، مع أزواج من الوجوه المتقابلة المتوازية، وبشكل أكثر تحديدًا معيني السطوح ، مع حواف متطابقة، ومكعب مستطيل ، مع زوايا قائمة بين أزواج الوجوه المتقاطعة وأزواج الحواف المتقاطعة. وهو مثال على العديد من فئات متعددات السطوح: الصلب الأفلاطوني ، ومتعدد السطوح المنتظم ، ومتوازي السطوح ، وشبه منحرف ، وشبه منحرف . متعدد السطوح المزدوج للمكعب هو ثماني السطوح المنتظم .

المكعب هو مكعب زائد ثلاثي الأبعاد ، وهو عبارة عن عائلة من متعددات السطوح تشمل أيضًا المربع ثنائي الأبعاد والمربع الرباعي الأبعاد . المكعب بطول ضلع واحد هو الوحدة الأساسية للحجم في الفضاء ثلاثي الأبعاد، والذي يتم قياس الأجسام الصلبة الأخرى بالنسبة له.

يمكن تمثيل المكعب بعدة طرق، أحدها الرسم البياني المعروف باسم الرسم البياني المكعب . ويمكن إنشاؤه باستخدام حاصل الضرب الديكارتي للرسوم البيانية . تم اكتشاف المكعب في العصور القديمة. وقد ارتبط بطبيعة الأرض من قبل أفلاطون ، مؤسس المجسم الأفلاطوني. تم استخدامه كجزء من النظام الشمسي ، اقترحه يوهانس كيبلر . يمكن اشتقاقه بشكل مختلف لإنشاء المزيد من متعددات السطوح، وله تطبيقات لإنشاء متعدد سطوح جديد عن طريق ربط آخرين.

المكعب هو حالة خاصة من متوازي المستطيلات حيث تكون الحواف متساوية في الطول. ^[1] مثل متوازي المستطيلات الأخرى، يحتوي كل وجه من وجوه المكعب على أربع رؤوس، كل منها متصل بثلاثة خطوط متطابقة. تشكل هذه الحواف وجوهًا مربعة، مما يجعل الزاوية ثنائية السطوح للمكعب بين كل مربعين متجاورين هي الزاوية الداخلية للمربع، 90 درجة. وبالتالي، يحتوي المكعب على ستة أوجه، واثني عشر ضلعًا، وثمانية رؤوس. ^[2] وبسبب هذه الخصائص، يتم تصنيفه كواحد من الأشكال الصلبة الأفلاطونية الخمسة ، وهو متعدد السطوح حيث تكون جميع المضلعات المنتظمة متطابقة ويلتقي نفس عدد الوجوه عند كل رأس. ^[3]

بما أن المكعب بطول ضلع . القطر الوجهي للمكعب هو قطر المربع ، والقطر الفراغي للمكعب هو خط يربط بين رأسين ليسا في نفس الوجه، وصيغ على النحو التالي . يمكن تحديد كلتا الصيغتين باستخدام نظرية فيثاغورس . مساحة سطح المكعب هي ستة أضعاف مساحة المربع: ^[4] حجم متوازي المستطيلات هو حاصل ضرب الطول والعرض والارتفاع. ولأن أضلاع المكعب متساوية في الطول، فإنه: ^[4]${\displaystyle a}$${\displaystyle a{\sqrt {2}}}$${\displaystyle a{\sqrt {3}}}$${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A=6a^{2}.}$$ $${\displaystyle V=a^{3}.}$$

إحدى الحالات الخاصة هي مكعب الوحدة ، والذي سمي بهذا الاسم لقياس وحدة طول واحدة على طول كل حافة. ​​ويترتب على ذلك أن كل وجه هو مربع وحدة وأن الشكل بأكمله له حجم وحدة مكعبة واحدة. ^{[5] [6]} مكعب الأمير روبرت ، الذي سمي على اسم الأمير روبرت من نهر الراين ، هو أكبر مكعب يمكن أن يمر عبر ثقب مقطوع في مكعب الوحدة، على الرغم من أن جوانبه أطول بنحو 6٪. ^[7] يُقال إن متعدد السطوح الذي يمكنه المرور عبر نسخة منه بنفس الحجم أو أصغر له خاصية روبرت . ^[8]

تتطلب المسألة الهندسية المتمثلة في مضاعفة المكعب — والمعروفة أيضًا باسم مسألة ديليان — إنشاء مكعب بحجم ضعف الحجم الأصلي باستخدام الفرجار والمسطرة فقط. لم يتمكن علماء الرياضيات القدماء من حل هذه المسألة القديمة حتى أثبت عالم الرياضيات الفرنسي بيير وانتزل في عام 1837 أنها مستحيلة. ^[9]

بطول الحافة ، تكون الكرة المحاطة بالمكعب هي الكرة المماسية لوجوه المكعب عند مركز ثقلها، بنصف قطر . تكون الكرة الوسطى للمكعب هي الكرة المماسية لحواف المكعب، بنصف قطر . تكون الكرة المحاطة بالمكعب هي الكرة المماسية لرؤوس المكعب، بنصف قطر . ^[10]${\displaystyle a}$${\textstyle {\frac {1}{2}}a}$${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}a}$${\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}a}$

بالنسبة للمكعب الذي له كرة محاطة بنصف قطر ، ولنقطة معينة في فضائه ثلاثي الأبعاد بمسافات من رؤوس المكعب الثمانية، يكون: ^[11]${\displaystyle R}$${\displaystyle d_{i}}$ $${\displaystyle {\frac {1}{8}}\sum _{i=1}^{8}d_{i}^{4}+{\frac {16R^{4}}{9}}=\left({\frac {1}{8}}\sum _{i=1}^{8}d_{i}^{2}+{\frac {2R^{2}}{3}}\right)^{2}.}$$

المكعب له تماثل ثماني السطوح . وهو يتألف من تماثل انعكاسي ، وهو تماثل يتم الحصول عليه عن طريق قطع المكعب إلى نصفين بواسطة مستوٍ. وهناك تسعة تماثلات انعكاسية: الخمسة منها مقطوعة من منتصف حوافه، والأربعة مقطوعة قطريًا. وهو يتألف أيضًا من تماثل دوراني ، وهو تماثل يتم الحصول عليه عن طريق تدويره حول المحور، والذي يكون المظهر منه قابلًا للتبادل. وهو يتألف من تماثل دوراني ثماني السطوح : ثلاثة محاور تمر عبر مركز ثقل الوجوه المقابلة للمكعب، وستة محاور تمر عبر منتصف حواف المكعب المقابلة، وأربعة محاور تمر عبر رؤوس المكعب المقابلة؛ كل من هذه المحاور هو على التوالي تماثل دوراني رباعي (0 درجة، 90 درجة، 180 درجة، و270 درجة)، وتماثل دوراني ثنائي (0 درجة و180 درجة)، وتماثل دوراني ثلاثي (0 درجة، 120 درجة، و240 درجة). ^{[12] [13] [14]}${\displaystyle \mathrm {O} _{\mathrm {h} }}$${\displaystyle \mathrm {O} }$

يمكن الحصول على متعدد السطوح المزدوج من كل من رؤوس متعدد السطوح المماسّة لمستوى من خلال العملية المعروفة باسم التبادل القطبي . ^[15] إحدى خصائص متعدد السطوح المزدوج عمومًا هي أن متعدد السطوح ومزدوجه يشتركان في مجموعة نقاط التماثل ثلاثية الأبعاد . في هذه الحالة، يكون متعدد السطوح المزدوج للمكعب هو ثماني السطوح المنتظم ، وكلا متعددي السطوح هذين لهما نفس التماثل، وهو التماثل الثماني السطوح. ^[16]

المكعب متعدٍ للوجه ، مما يعني أن مربعيه متماثلان ويمكن رسمهما بالدوران والانعكاس. ^[17] وهو متعدٍ للرأس ، مما يعني أن جميع رؤوسه متكافئة ويمكن رسمها بشكل متساوي القياس تحت تماثله. ^[18] وهو أيضًا متعدٍ للحواف ، مما يعني أن نفس النوع من الوجوه يحيط بكل رأس من رؤوسه بنفس الترتيب أو بالترتيب العكسي، وجميع الوجوه المجاورة لها نفس الزاوية ثنائية السطوح . لذلك، فإن المكعب هو متعدد السطوح منتظم لأنه يتطلب هذه الخصائص. ^[19]

المكعب هو حالة خاصة بين كل متوازي المستطيلات . وكما ذكرنا أعلاه، يمكن تمثيل المكعب على أنه متوازي مستطيلات بأضلاع متساوية في الطول وكل وجوهه مربعة الشكل. ^[1] يمكن اعتبار المكعب متوازي السطوح حيث تكون كل أضلاعه متساوية. ^[20]

المكعب هو متوازي أضلاع ، وهو نوع خاص من متعددات السطوح التي تملأ الفراغ ويمكن تعريفه بخلية فورونوي لمجموعة ديلون المتماثلة . ^[21] تشمل متوازيات السطوح متوازيات السطوح ، والتي يمكن ترجمتها دون تدوير لملء فراغ - يسمى قرص العسل - حيث يتم ربط كل وجه من أي من نسخها بوجه مماثل لنسخة أخرى. هناك خمسة أنواع من متوازيات السطوح، أحدها هو المكعب. ^[22] كل متوازي أضلاع ثلاثي الأبعاد هو زونوهدرون ، وهو متعدد السطوح متماثل مركزيًا وجوهه مضلعات متماثلة مركزيًا ، ^[23]

الطريقة الأولية لبناء المكعب هي استخدام شبكته ، وهي عبارة عن ترتيب لمضلعات متصلة ببعضها البعض لإنشاء متعدد السطوح عن طريق الاتصال على طول حواف تلك المضلعات. تظهر هنا إحدى عشر شبكة للمكعب. ^[24]

في الهندسة التحليلية ، يمكن إنشاء مكعب باستخدام أنظمة الإحداثيات الديكارتية . بالنسبة للمكعب الذي يقع مركزه عند الأصل، وله حواف موازية للمحاور وبطول حافة 2، فإن الإحداثيات الديكارتية للرؤوس هي . ^[25] ويتكون الجزء الداخلي منه من جميع النقاط التي بها لكل . سطح المكعب الذي يبلغ مركزه وطول حافته هو موضع جميع النقاط بحيث ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\pm 1)}$${\displaystyle (x_{0},x_{1},x_{2})}$${\displaystyle -1<x_{i}<1}$${\displaystyle i}$${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$${\displaystyle 2a}$${\displaystyle (x,y,z)}$$${\displaystyle \max\{|x-x_{0}|,|y-y_{0}|,|z-z_{0}|\}=a.}$$

المكعب هو متعدد السطوح هانر ، لأنه يمكن إنشاؤه باستخدام حاصل ضرب ديكارت لثلاث قطع مستقيمة. متعدد السطوح المزدوج، ثماني السطوح المنتظم، يتم إنشاؤه من خلال المجموع المباشر لثلاث قطع مستقيمة. ^[26]

وفقًا لنظرية شتاينتز ، يمكن تمثيل الرسم البياني على أنه هيكل متعدد السطوح؛ أو بمعنى آخر إطار متعدد السطوح. يتمتع هذا الرسم البياني بخاصيتين. فهو مستوٍ ، أي أن حواف الرسم البياني متصلة بكل رأس دون أن تتقاطع مع حواف أخرى. وهو أيضًا رسم بياني متصل بثلاثة رؤوس، أي أنه كلما تمت إزالة رأسين من الرسم البياني، تظل الحواف متصلة. ^{[27] [28]} يمكن تمثيل هيكل المكعب على أنه الرسم البياني، ويسمى الرسم البياني المكعب ، وهو رسم بياني أفلاطوني . وله نفس عدد الرؤوس والحواف مثل المكعب، اثني عشر رأسًا وثمانية حواف. ^[29]

الرسم البياني المكعب هو حالة خاصة من الرسم البياني المكعب الفائق أو - مكعب - يشار إليه باسم - لأنه يمكن إنشاؤه باستخدام العملية المعروفة باسم حاصل الضرب الديكارتي للرسوم البيانية . لوضعها في سهل، يتضمن بناؤه رسمين بيانيين يربطان زوج الرؤوس بحافة لتشكيل رسم بياني جديد. ^[30] في حالة الرسم البياني المكعب، فهو حاصل ضرب اثنين ؛ تقريبًا، إنه رسم بياني يشبه المربع. بعبارة أخرى، يتم إنشاء الرسم البياني المكعب عن طريق ربط كل رأس من مربعين بحافة. ​​من الناحية التدوينية، يمكن الإشارة إلى الرسم البياني المكعب باسم . ^[31] كجزء من الرسم البياني المكعب الفائق، فهو أيضًا مثال على رسم بياني للمسافة الوحدوية . ^[32]${\displaystyle n}$${\displaystyle Q_{n}}$${\displaystyle Q_{2}}$${\displaystyle Q_{3}}$

مثل الرسوم البيانية الأخرى للمكعبات، يتم تصنيف الرسم البياني المكعب أيضًا على أنه رسم بياني منشوري . ^[33]

يُلقي الجسم المضاء بأشعة الضوء المتوازية ظلًا على مستوى عمودي على تلك الأشعة، ويُسمى هذا الإسقاط المتعامد . يُعتبر متعدد السطوح متساوي الإسقاط إذا كان إسقاطه المتعامد مضلعًا منتظمًا بالنسبة لبعض مواضع الضوء. يُعد المكعب متساوي الإسقاط لأنه إذا كان الضوء موازيًا لأحد الخطوط الأربعة التي تربط رأسًا بالرأس المقابل، فإن إسقاطه يكون مسدسًا منتظمًا . تقليديًا، يكون المكعب متساوي الإسقاط 6. ^[34]

يمكن تمثيل المكعب على هيئة مصفوفة تكوين . مصفوفة التكوين هي مصفوفة تتوافق فيها الصفوف والأعمدة مع عناصر متعدد السطوح كما في الرؤوس والحواف والوجوه. يشير قطر المصفوفة إلى عدد كل عنصر يظهر في متعدد السطوح، بينما يشير غير قطر المصفوفة إلى عدد عناصر العمود التي تحدث في عنصر الصف أو عنده. وكما ذكرنا أعلاه، يحتوي المكعب على ثماني رؤوس واثني عشر حافة وستة وجوه؛ ويشار إلى كل عنصر في قطر المصفوفة بـ 8 و12 و6. يشير العمود الأول من الصف الأوسط إلى وجود رأسين في (أي عند طرفي) كل حافة، ويشار إليه بـ 2؛ يشير العمود الأوسط من الصف الأول إلى أن ثلاثة حواف تلتقي عند كل رأس، ويشار إليه بـ 3. المصفوفة التالية هي: ^[35] $${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}8&3&3\\2&12&2\\4&4&6\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$$

المجسم الأفلاطوني هو مجموعة من متعددات السطوح المعروفة منذ العصور القديمة. وقد سُمي بهذا الاسم نسبة إلى أفلاطون في حواره مع تيماوس ، الذي نسب هذه المجسمات إلى الطبيعة . وكان أحد هذه المجسمات، المكعب، يمثل العنصر الكلاسيكي للأرض بسبب استقراره. ^{[36] وقد عرّف} كتاب العناصر لإقليدس المجسمات الأفلاطونية، بما في ذلك المكعب، واستخدم هذه المجسمات لحل المشكلة التي تنطوي على إيجاد نسبة قطر الكرة المحيطة إلى طول الحافة. ^​​[37]

بعد أن نسبها أفلاطون إلى الطبيعة، رسم يوهانس كيبلر في كتابه Harmonices Mundi كلًا من الأشكال الأفلاطونية، أحدها مكعب زخرف كيبلر عليه شجرة. ^[36] في كتابه Mysterium Cosmographicum ، اقترح كيبلر أيضًا النظام الشمسي باستخدام الأشكال الأفلاطونية الموضوعة في شكل آخر وفصلها بستة مجالات تشبه الكواكب الستة. بدأت الأشكال المرتبة من الأعمق إلى الأبعد: ثماني السطوح المنتظم ، وعشريني السطوح المنتظم ، واثني عشر وجهًا منتظمًا ، ورباعي السطوح المنتظم ، والمكعب. ^[38]

يمكن أن يظهر المكعب في بناء متعدد السطوح، ويمكن اشتقاق بعض أنواعه بشكل مختلف في ما يلي:

• عند تقطيع مكعب، أي إزالة جزء من الوجوه المتعددة الأضلاع دون إنشاء رؤوس جديدة للمكعب، فإن الشكل المتعدد السطوح الناتج هو ثماني السطوح النجمي . ^[39]
• المكعب هو متعدد السطوح غير مركب ، أي أنه متعدد السطوح محدب لا يمكن فصله إلى متعددي سطوح منتظمين أو أكثر. يمكن تطبيق المكعب لبناء متعدد سطوح محدب جديد عن طريق ربط آخر. ^[40] يؤدي ربط هرم مربع بكل وجه مربع من المكعب إلى إنتاج كليتوب ، وهو متعدد السطوح المعروف باسم رباعي السطوح السداسي . ^[41] افترض أن هرمًا مربعًا متساوي الأضلاع واثنين من الأهرامات المربعة متساوية الأضلاع متصلة بأوجهها المربعة. في هذه الحالة، يكونان بناء هرم مربع ممدود وهرم ثنائي مربع ممدود على التوالي، أمثلة جونسون الصلبة . ^[42]
• يمكن قطع كل رأس من رؤوس المكعب ، ويكون متعدد السطوح الناتج هو الشكل الأرخميدي الصلب ، المكعب المقطوع . ^[43] وعندما يتم قطع حوافه، فإنه يكون ثماني السطوح معيني المكعب . ^[44] وعلى نحو مماثل، يمكن أيضًا إنشاء ثماني السطوح معيني المكعب عن طريق فصل وجوه المكعب ثم نشرها، وبعد ذلك إضافة وجوه مثلثة ومربعة أخرى بينها؛ وهذا ما يُعرف باسم "المكعب الموسع". ويمكن أيضًا إنشاؤه على نحو مماثل عن طريق ثنائي المكعب، ثماني السطوح المنتظم. ^[45]
• يمكن أيضًا قطع منطقة الزاوية للمكعب بواسطة مستوى (على سبيل المثال، ممتد بواسطة الرؤوس الثلاثة المجاورة)، مما يؤدي إلى رباعي السطوح ثلاثي المستطيلات .
• المكعب المقلوب هو جسم أرخميدس يمكن إنشاؤه عن طريق فصل وجه المربع المكعب وملء فجواته بمثلثات متساوية الأضلاع ذات زوايا ملتوية؛ وهي العملية المعروفة باسم المقلوب . ^[46]

قرص العسل هو ملء الفراغ أو التبليط في الفضاء ثلاثي الأبعاد، مما يعني أنه جسم يبدأ بناؤه بربط أي متعددات السطوح بأوجهها دون ترك فجوة. يمكن تمثيل المكعب على أنه الخلية ، ومن الأمثلة على قرص العسل قرص العسل المكعب من الدرجة 5 ، وقرص العسل المكعب من الدرجة 6 ، وقرص العسل المكعب من الدرجة 7. ^[47] يمكن إنشاء المكعب بستة أهرامات مربعة ، وتبليط الفضاء عن طريق ربط قممها. [ ^48]

المكعب المتعدد الوجوه هو متعدد الوجوه حيث تكون وجوه العديد من المكعبات متصلة ببعضها البعض. وعلى نحو مماثل، يمكن تفسيره على أنه متعدد الوجوه في الفضاء ثلاثي الأبعاد. ^[49] عندما يتم تكديس أربعة مكعبات رأسياً، ويتم ربط الأربعة الآخرين بالمكعب الثاني من أعلى المكدس، فإن المكعب المتعدد الوجوه الناتج هو صليب دالي ، بعد سلفادور دالي . صليب دالي هو متعدد الوجوه في الفضاء المربع، ^{[50] [51]} والذي يمكن تمثيله على أنه شبكة من المربعات المربعة . المربع المربع هو فضاء رباعي الأبعاد مشابه للمكعب ومحدود بأربعة وعشرين مربعًا، ومحدود بالمكعبات الثمانية المعروفة باسم خلاياه . [ ^52]

• وايسشتاين، إريك دبليو. "المكعب". MathWorld .
• المكعب: نموذج متعدد السطوح التفاعلي*
• حجم المكعب، مع رسوم متحركة تفاعلية
• مكعب (موقع روبرت ويب)