متعدد السطوح المثالي

مجسم ثماني السطوح منتظم مثالي في نموذج كرة بوانكاريه للفضاء الزائدي (الكرة عند اللانهاية غير موضحة). جميع الزوايا ثنائية السطوح لهذا الشكل هي زوايا قائمة .

رسم متحرك لمجسم عشريني الوجوه مثالي في نموذج كلاين للفضاء الزائدي

في الهندسة الزائدية ثلاثية الأبعاد ، يُعرف المجسم المثالي بأنه مجسم محدب جميع رؤوسه نقاط مثالية ، أي نقاط "في اللانهاية" وليست داخل الفضاء الزائدي ثلاثي الأبعاد . ويمكن تعريفه بأنه الغلاف المحدب لمجموعة منتهية من النقاط المثالية. يحتوي المجسم المثالي على مضلعات مثالية كأوجه له ، تلتقي على طول خطوط الفضاء الزائدي.

تتمتع المجسمات الأفلاطونية والأرخميدية بنسخ مثالية، لها نفس البنية التوافقية لنسخها الإقليدية الأكثر شيوعًا. تقسم عدة خلايا سداسية زائدية منتظمة الفضاء الزائدي إلى خلايا من هذه الأشكال، تمامًا كما هو الحال في التقسيم المألوف للفضاء الإقليدي إلى مكعبات. مع ذلك، لا تمتلك جميع المجسمات نسخًا مثالية؛ إذ لا يكون المجسم مثاليًا إلا إذا أمكن تمثيله في الفضاء الإقليدي بجميع رؤوسه على كرة محيطة به . باستخدام البرمجة الخطية ، يمكن اختبار ما إذا كان للمجسم نسخة مثالية، في وقت متعدد الحدود .

لكل مجسمين مثاليين لهما نفس عدد الرؤوس مساحة سطح متساوية، ويمكن حساب حجم المجسم المثالي باستخدام دالة لوباتشيفسكي . يشكل سطح المجسم المثالي فضاءً زائديًا ، مكافئًا طوبولوجيًا لكرة مثقوبة، ويشكل كل فضاء من هذا النوع سطح مجسم مثالي فريد.

يمكن بناء متعدد السطوح المثالي على أنه الغلاف المحدب لمجموعة منتهية من النقاط المثالية في الفضاء الزائدي، عندما لا تقع جميع هذه النقاط على مستوى واحد. والشكل الناتج هو تقاطع جميع أنصاف الفضاءات المغلقة التي تحتوي على النقاط المثالية المعطاة كنقاط حدية. بدلاً من ذلك، يمكن إعادة تفسير أي متعدد سطوح إقليدي محدب محاط بكرة على أنه متعدد سطوح مثالي من خلال تفسير باطن الكرة كنموذج كلاين للفضاء الزائدي. ^{[ 1 ]} في نموذج كلاين، يمثل كل متعدد سطوح إقليدي محاط بالكرة متعدد سطوح زائدي، ويمثل كل متعدد سطوح إقليدي تقع رؤوسه على الكرة متعدد سطوح مثالي. ^{[ 2 ]}

يمكن تمثيل كل متعدد السطوح محدب متساوي الزوايا (أي متعدد السطوح ذو تناظرات تربط كل رأس بكل رأس آخر) كمتعدد سطوح مثالي، بطريقة تحافظ على تناظراته، لأنه يمتلك كرة محيطة به مركزها مركز تناظر متعدد السطوح. ^{[ 3 ]} وهذا يعني، على وجه الخصوص، أن المجسمات الأفلاطونية والمجسمات الأرخميدية جميعها لها أشكال مثالية. مع ذلك، فإن فئة أخرى من متعددات السطوح شديدة التناظر، وهي المجسمات الكاتالونية ، لا تمتلك جميعها أشكالًا مثالية. تُعد المجسمات الكاتالونية متعددة السطوح الثنائية للمجسمات الأرخميدية، ولها تناظرات تربط أي وجه بأي وجه آخر. من بين المجسمات الكاتالونية التي لا يمكن أن تكون مثالية: المعين ذو الاثني عشر وجهًا والهرم الرباعي ثلاثي الأوجه . ^{[ 4 ]}

يؤدي إزالة مجموعات ثلاثية معينة من رؤوس رباعي الأوجه ثلاثي الأضلاع إلى فصل الرؤوس المتبقية إلى مكونات متصلة متعددة. عندما لا يوجد فصل ثلاثي الرؤوس، يُقال إن متعدد الأوجه رباعي الاتصال . لكل متعدد أوجه رباعي الاتصال تمثيل كمتعدد أوجه مثالي؛ على سبيل المثال، ينطبق هذا على سداسي الأوجه رباعي الأضلاع ، وهو مجسم كاتالاني آخر. ^{[ 5 ]}

يؤدي اقتطاع رأس واحد من مكعب إلى تكوين متعدد السطوح بسيط (ثلاثة أضلاع لكل رأس) لا يمكن تمثيله كمتعدد سطوح مثالي: فبحسب نظرية الدوائر الست لميكيل ، إذا كانت سبعة من رؤوس المكعب الثمانية مثالية، فإن الرأس الثامن يكون مثاليًا أيضًا، وبالتالي فإن الرؤوس الناتجة عن اقتطاعه لا يمكن أن تكون مثالية. كما توجد متعددات سطوح بأربعة أضلاع لكل رأس لا يمكن تمثيلها كمتعددات سطوح مثالية. ^{[ 6 ]} إذا كان لمتعدد السطوح التبسيطي (جميع أوجهه مثلثات) درجات رؤوس تتراوح بين أربعة وستة (شاملة)، فإنه يمتلك تمثيلًا مثاليًا، لكن رباعي السطوح الثلاثي التبسيطي غير مثالي، ويُظهر المثال غير المثالي المنتظم من الدرجة 4 أعلاه أنه بالنسبة لمتعددات السطوح غير التبسيطية، فإن امتلاك جميع الدرجات في هذا النطاق لا يضمن تمثيلًا مثاليًا. ^{[ 7 ]}

المجسم متعدد السطوح المكدس هو مجسم متعدد السطوح يمكن الحصول عليه عن طريق لصق رباعيات السطوح معًا ، وجهًا لوجه. يمكن وصفه توافقيًا بشجرة ثنائية رؤوسها هي رباعيات السطوح، وحوافها تربط أزواج رباعيات السطوح الملصقة معًا. يكون المجسم الناتج مثاليًا إذا وفقط إذا كانت هذه الشجرة تحتوي على ثلاثة حواف على الأكثر لكل رأس. على سبيل المثال، رباعي السطوح ثلاثي الأوجه ومجسم غولدنر-هاراري متعدد السطوح هما مجسمان متعددا السطوح مكدسان، تحتوي شجرتاهما الثنائيتان، على التوالي، على رأس واحد ورأسين من الدرجة الرابعة، مع كون جميع الرؤوس المتبقية أوراقًا للشجرة الثنائية. لذلك، فإن هذين المجسمين ليسا مثاليين. ^{[ 8 ]}

ليست كل المجسمات المحدبة مكافئة تركيبياً للمجسمات المثالية. حاول رينيه ديكارت ، دون جدوى، توصيف المجسمات المحصورة هندسياً في مخطوطته "De solidorum elementis " التي تعود إلى حوالي عام 1630. ^{[ 16 ]} وقد طرح جاكوب شتاينر ( 1832 ) مسألة إيجاد توصيف تركيبي للمجسمات المثالية، على غرار نظرية شتاينيتز التي تُوصِّف المجسمات المحدبة الإقليدية ؛ وقدّم هودجسون وريفين وسميث (1992) توصيفاً عددياً (بدلاً من التوصيف التركيبي) . ويستند توصيفهم إلى حقيقة أن الزوايا ثنائية السطوح للمجسم المثالي، الواقعة على رأس مثالي واحد، يجب أن يكون مجموع زواياها المتكاملة مساوياً لـ 100. ${\displaystyle 2\pi }$بينما يجب أن تكون الزوايا المكملة التي يقطعها أي منحنى جوردان على سطح متعدد السطوح الذي يحتوي على أكثر من رأس واحد على كلا جانبيه أكبر. على سبيل المثال، بالنسبة للمكعب المثالي، تكون الزوايا ثنائية السطوح هي${\displaystyle \pi /3}$ومكملاتهم الغذائية هي${\displaystyle 2\pi /3}$مجموع الزوايا الثلاث المتكاملة عند رأس واحد يساوي${\displaystyle 2\pi }$لكن مجموع الزوايا الأربع التي يقطعها منحنى في منتصف المسافة بين وجهين متقابلين يساوي${\displaystyle 8\pi /3>2\pi }$وتتقاطع منحنيات أخرى مع المزيد من هذه الزوايا بمجاميع أكبر. يُبين هودجسون وريفين وسميث (1992) أن متعدد السطوح المحدب يُكافئ متعدد السطوح المثالي إذا وفقط إذا كان من الممكن إسناد أرقام إلى حوافه بنفس الخصائص: تقع جميع هذه الأرقام بين${\displaystyle 0}$و${\displaystyle \pi }$، ومجموعها${\displaystyle 2\pi }$عند كل رأس، ومجموعها يزيد عن${\displaystyle 2\pi }$في كل دورة غير وجهية من الرسم البياني الثنائي . عندما يوجد مثل هذا التخصيص، يوجد متعدد سطوح مثالي فريد تكون زواياه ثنائية السطوح مكملة لهذه الأرقام. ونتيجةً لهذا التوصيف، يمكن التعبير عن إمكانية التحقق كمتعدد سطوح مثالي كبرنامج خطي ذي عدد أُسّي من القيود (قيد واحد لكل دورة غير وجهية)، واختباره في وقت متعدد الحدود باستخدام خوارزمية القطع الناقص . ^{[ 17 ]}

قدّم ديلينكورت وسميث (1995) توصيفًا توافقيًا أكثر دقة للحالة الخاصة للمجسمات البسيطة ، وهي مجسمات ذات ثلاثة أوجه فقط وثلاثة حواف تلتقي عند كل رأس (مثالي). وفقًا لتوصيفهما، يكون المجسم البسيط مثاليًا أو قابلًا للرسم داخل مجسم آخر إذا وفقط إذا تحقق أحد الشرطين التاليين: إما أن يكون الرسم البياني للمجسم ثنائي الأجزاء ورسمه البياني المزدوج رباعي الاتصال ، أو أن يكون رسمًا بيانيًا فائق الصلابة من الدرجة 1. في هذه الحالة، يُعدّ كون الرسم البياني فائق الصلابة من الدرجة 1 شكلًا من أشكال صلابة الرسم البياني ؛ أي أنه لكل مجموعة${\displaystyle S}$في حالة وجود أكثر من رأس واحد في الرسم البياني، فإن إزالة${\displaystyle S}$يُظهر الرسم البياني عددًا من المكونات المتصلة أصغر بكثير من${\displaystyle |S|}$وبناءً على هذا التوصيف، وجدوا خوارزمية توافقية خطية لاختبار إمكانية تحقيق المجسمات البسيطة كمجسمات مثالية. ^{[ 18 ]}

خلايا نحل من متعددات السطوح المنتظمة المثالية

رباعي الأوجه من الرتبة السادسة

مكعب من الرتبة 6

ثماني الأوجه من الرتبة الرابعة

رتبة 6 دوديكاشرال

لأن الأشكال المنتظمة المثالية، مثل رباعي الأوجه والمكعب وثماني الأوجه واثني عشر وجهًا، جميعها لها زوايا ثنائية السطوح تمثل كسورًا صحيحة من${\displaystyle 2\pi }$يمكنها جميعًا تغطية الفضاء الزائدي، مُشكّلةً خلية نحل منتظمة . ^{[ 19 ]} في هذا، تختلف عن المجسمات الإقليدية المنتظمة، التي لا يُغطي الفضاء منها سوى المكعب. ^{[ 19 ]} يُشكّل كلٌّ من رباعي الأوجه المثالي، والمكعب، وثماني الأوجه، واثني عشر وجهًا، على التوالي، خلية نحل رباعية الأوجه من الرتبة 6 ، وخلية نحل مكعبة من الرتبة 6 ، وخلية نحل ثمانية الأوجه من الرتبة 4 ، وخلية نحل اثني عشر وجهًا من الرتبة 6 ؛ حيث تُشير الرتبة هنا إلى عدد الخلايا المُتصلة عند كل حافة. ​​مع ذلك، لا يُغطي المجسم العشري الأوجه المثالي الفضاء بنفس الطريقة. ^{[ 19 ]}

يمكن استخدام تحليل إبشتاين -بينر ، وهو بناءٌ من ابتكار دي بي إيه إبشتاين وآر سي بينر ( 1988 ) ، لتحليل أي متعدد شعب زائدي ثلاثي الأبعاد ذي رؤوس مدببة إلى متعددات وجوه مثالية، ولتمثيل متعدد الشعب كنتيجة للصق هذه متعددات الوجوه المثالية معًا. ^{[ 20 ]} لكل متعدد شعب يمكن تمثيله بهذه الطريقة عدد محدود من التمثيلات. ^{[ 21 ]} يرث الغطاء الشامل لمتعدد الشعب نفس التحليل، الذي يشكل خلية نحل من متعددات الوجوه المثالية. تظهر أمثلة لمتعددات الشعب ذات الرؤوس المدببة، التي تؤدي إلى خلايا النحل بهذه الطريقة، بشكل طبيعي كمكملات عقدية للروابط الزائدية ، والتي تحتوي على رأس مدبب لكل مكون من مكونات الرابط. على سبيل المثال، يرتبط مكمل عقدة الرقم ثمانية بهذه الطريقة بقرص العسل رباعي الأوجه من الرتبة 6، ^{[ 22 ]} ويرتبط مكمل حلقات بوروميان بالطريقة نفسها بقرص العسل ثماني الأوجه من الرتبة 4. ^{[ 23 ]} ينشأ هذان القرصان، وثلاثة أقراص أخرى تستخدم المكعب الثماني المثالي ، والمنشور المثلثي ، ورباعي الأوجه المقطوع ، في دراسة مجموعات بيانكي ، وتأتي من مشعبات ذات رؤوس مدببة تتشكل كحاصل قسمة للفضاء الزائدي بواسطة مجموعات فرعية من مجموعات بيانكي. ويمكن أيضًا تفسير هذه المشعبات نفسها على أنها مكملات للروابط. ^{[ 24 ]} 

يشكّل سطح متعدد السطوح المثالي (باستثناء رؤوسه) فضاءً متعدد الشعب ، مكافئًا طوبولوجيًا لكرة مثقوبة، ذي هندسة زائدية ثنائية الأبعاد منتظمة؛ ولا يمكن رصد طيات السطح عند تضمينه في الفضاء الزائدي كطيات في الهندسة الجوهرية للسطح. ولأن هذا السطح قابل للتقسيم إلى مثلثات مثالية ، فإن مساحته الكلية محدودة. وعلى العكس، وبشكل مماثل لنظرية ألكسندروف للوحدانية ، يمكن تمثيل أي فضاء متعدد الشعب ثنائي الأبعاد ذي هندسة زائدية منتظمة ومساحة محدودة، مكافئ تركيبيًا لكرة مثقوبة بعدد محدود من الثقوب، كسطح لمتعدد سطوح مثالي. (وكما هو الحال مع نظرية ألكسندروف، يجب السماح لهذه الأسطح باحتوائها على ثنائيات سطوح مثالية ). ^{[ 25 ]} من هذا المنظور، ترتبط نظرية متعددات السطوح المثالية ارتباطًا وثيقًا بالتقريبات المنفصلة للخرائط المطابقة . ^{[ 26 ]}

يمكن أيضًا النظر إلى أسطح المجسمات المثالية بشكل أكثر تجريدًا على أنها فضاءات طوبولوجية تتشكل من خلال لصق مثلثات مثالية معًا بتماثل القياس على طول حوافها. لكل سطح من هذه الأسطح، ولكل منحنى مغلق لا يلتف حول رأس واحد من المجسم (مرة واحدة أو أكثر) دون فصل أي رؤوس أخرى، يوجد مسار جيوديسي فريد على السطح متماثل مع المنحنى المعطى. في هذا الصدد، تختلف المجسمات المثالية عن المجسمات الإقليدية (وعن نماذج كلاين الإقليدية الخاصة بها): على سبيل المثال، على مكعب إقليدي، يمكن لأي مسار جيوديسي أن يعبر حافتين على الأكثر متصلتين برأس واحد على التوالي، قبل عبور حافة غير متصلة، لكن المسارات الجيوديسية على المكعب المثالي غير محدودة بهذه الطريقة. ^{[ 27 ]}

• المجسم متعدد السطوح المتعارف عليه ، وهو مجسم متعدد السطوح تكون فيه كل حافة مماسة لكرة مشتركة
• زاوية التوازي