التنقل والمسافات المناسبة

يمكن حساب المسافة المتحركة من مراقب إلى جسم بعيد (مثل مجرة) باستخدام الصيغة التالية (المشتقة باستخدام مقياس فريدمان-لوميتر-روبرتسون-ووكر ): $${\displaystyle \chi =\int _{t_{e}}^{t}c\;{\frac {\mathrm {d} t'}{a(t')}}}$$ حيث a ( t ′ ) هو عامل المقياس ، و te _هو وقت انبعاث الفوتونات التي رصدها المراقب ، و t هو الوقت الحالي ، و c هي سرعة الضوء في الفراغ.

على الرغم من كونها تكاملاً زمنيًا ، فإن هذا التعبير يعطي المسافة الصحيحة التي يمكن قياسها بواسطة مجموعة من المساطر المحلية المتحركة في زمن ثابت t ، أي "المسافة الحقيقية" (كما هو مُعرَّف أدناه) بعد مراعاة سرعة الضوء المتغيرة مع الزمن عبر حد عامل المقياس العكسي${\displaystyle 1/a(t')}$في الدالة التكاملية. ونعني بـ "سرعة الضوء المتحركة" سرعة الضوء عبر الإحداثيات المتحركة [${\displaystyle c/a(t')}$وهو متغير مع الزمن، على الرغم من أنه محليًا ، عند أي نقطة على طول المسار الجيوديسي الصفري لجزيئات الضوء، يقيس المراقب في إطار مرجعي قصوري دائمًا سرعة الضوء على أنها${\displaystyle c}$وفقًا للنسبية الخاصة. للاطلاع على الاشتقاق، انظر "الملحق أ: التعريفات النسبية العامة القياسية للتوسع والآفاق" من ديفيس ولينويفر 2004. ^{[ 3 ]} على وجه الخصوص، انظر المعادلات 16-22 في ورقة 2004 المشار إليها [ملاحظة: في تلك الورقة، عامل المقياس${\displaystyle R(t')}$يُعرَّف بأنه كمية ذات بُعد المسافة بينما الإحداثي القطري${\displaystyle \chi }$[لا أبعاد له].

تستخدم العديد من الكتب المدرسية الرمز${\displaystyle \chi }$بالنسبة للمسافة المتحركة. ومع ذلك، هذا${\displaystyle \chi }$يجب التمييز بينها وبين مسافة الإحداثيات${\displaystyle r}$في نظام الإحداثيات المتحركة الشائعة الاستخدام لكون FLRW حيث يأخذ المقياس الشكل (في إحداثيات قطبية ذات محيط مخفض، والتي تعمل فقط في منتصف الطريق حول كون كروي): $${\displaystyle ds^{2}=-c^{2}\,d\tau ^{2}=-c^{2}\,dt^{2}+a(t)^{2}\left({\frac {dr^{2}}{1-\kappa r^{2}}}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)\right).}$$

في هذه الحالة، مسافة الإحداثيات المتحركة${\displaystyle r}$يرتبط بـ${\displaystyle \chi }$بواسطة: ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}$${\displaystyle \chi ={\begin{cases}|\kappa |^{-1/2}\sinh ^{-1}{\sqrt {|\kappa |}}r,&{\text{إذا كان }}\kappa <0\ {\text{(كون ذو انحناء سالب 'قطع زائد')}}\\r,&{\text{إذا كان }}\kappa =0\ {\text{(كون مسطح مكانيًا)}}\\|\kappa |^{-1/2}\sin ^{-1}{\sqrt {|\kappa |}}r,&{\text{إذا كان }}\kappa >0\ {\text{(كون ذو انحناء موجب 'كروي')}}\end{cases}}}$$

تُعرّف معظم الكتب الدراسية والأبحاث المسافة المتحركة بين مراقبين متحركين على أنها كمية ثابتة لا تتغير بتغير الزمن، بينما تُطلق على المسافة الديناميكية المتغيرة بينهما اسم "المسافة الذاتية". وبناءً على هذا التعريف، تتساوى المسافتان المتحركة والذاتية عدديًا عند عمر الكون الحالي ، لكنهما ستختلفان في الماضي والمستقبل؛ فإذا رُمز للمسافة المتحركة إلى مجرة ​​ما بـ${\displaystyle \chi }$المسافة المناسبة${\displaystyle d(t)}$في وقت عشوائي${\displaystyle t}$يُعطى ببساطة بواسطة $${\displaystyle d(t)=a(t)\chi }$$ أين${\displaystyle a(t)}$هو عامل المقياس (على سبيل المثال، ديفيس ولينويفر 2004). ^{[ 3 ]} المسافة المناسبة${\displaystyle d(t)}$المسافة بين مجرتين في الزمن t هي ببساطة المسافة التي يمكن قياسها بالمساطر بينهما في ذلك الوقت. ^{[ 6 ]}

الزمن الكوني هو نفسه الزمن المقاس محليًا لمراقب في موقع مكاني ثابت متحرك، أي في الإطار المرجعي المحلي المتحرك . والمسافة الذاتية تساوي أيضًا المسافة المقاسة محليًا في الإطار المرجعي المتحرك للأجسام القريبة. لقياس المسافة الذاتية بين جسمين بعيدين، يُفترض وجود العديد من المراقبين المتحركين على خط مستقيم بين الجسمين، بحيث يكون جميع المراقبين قريبين من بعضهم البعض، ويشكلون سلسلة بين الجسمين البعيدين. يجب أن يكون لجميع هؤلاء المراقبين نفس الزمن الكوني. يقيس كل مراقب المسافة بينه وبين أقرب مراقب في السلسلة، وطول السلسلة، وهو مجموع المسافات بين المراقبين القريبين، هو المسافة الذاتية الكلية. ^{[ 10 ]}

من المهم لتعريف كل من المسافة المتحركة والمسافة الذاتية بالمعنى الكوني (مقارنةً بالطول الذاتي في النسبية الخاصة ) أن يكون لجميع المراقبين نفس العمر الكوني. على سبيل المثال، إذا قمنا بقياس المسافة على طول خط مستقيم أو مسار جيوديسي فضائي بين نقطتين، فسيكون للمراقبين الموجودين بين هاتين النقطتين أعمار كونية مختلفة عندما يتقاطع المسار الجيوديسي مع خطوط عوالمهم ، وبالتالي فإن حساب المسافة على طول هذا المسار الجيوديسي لن يكون قياسًا صحيحًا للمسافة المتحركة أو المسافة الذاتية الكونية. إن المسافة المتحركة والمسافة الذاتية ليستا متطابقتين مع مفهوم المسافة في النسبية الخاصة. ويمكن ملاحظة ذلك من خلال النظر في الحالة الافتراضية لكون خالٍ من الكتلة، حيث يمكن قياس كلا النوعين من المسافة. عندما تُضبط كثافة الكتلة في مقياس FLRW على الصفر (كون ميلن فارغ )، يصبح نظام الإحداثيات الكونية المستخدم لكتابة هذا المقياس نظام إحداثيات غير قصوري في فضاء مينكوفسكي للنسبية الخاصة، حيث تظهر أسطح زمن مينكوفسكي الثابت τ على شكل قطع زائدة في مخطط مينكوفسكي من منظور إطار مرجعي قصوري . ^{[ 11 ]} في هذه الحالة، بالنسبة لحدثين متزامنين وفقًا لإحداثيات الزمن الكوني، لا تساوي قيمة المسافة الكونية الذاتية قيمة الطول الذاتي بين هذين الحدثين، ^{[ 12 ]} والتي ستكون ببساطة المسافة على طول خط مستقيم بين الحدثين في مخطط مينكوفسكي (والخط المستقيم هو خط جيوديسي في فضاء مينكوفسكي المسطح)، أو مسافة الإحداثيات بين الحدثين في الإطار القصوري حيث يكونان متزامنين .

إذا قسمنا التغير في المسافة الذاتية على الفترة الزمنية الكونية التي قيس فيها التغير (أو اشتققنا المسافة الذاتية بالنسبة للزمن الكوني) وأطلقنا على هذا الناتج اسم "السرعة"، فإن "سرعات" المجرات أو الكوازارات الناتجة قد تتجاوز سرعة الضوء، c . هذا التوسع فائق السرعة لا يتعارض مع النسبية الخاصة أو العامة، ولا مع التعريفات المستخدمة في علم الكونيات الفيزيائي . حتى الضوء نفسه لا يمتلك "سرعة" تساوي c بهذا المعنى؛ إذ يمكن التعبير عن السرعة الكلية لأي جسم كمجموع السرعات.${\displaystyle v_{\text{tot}}=v_{\text{rec}}+v_{\text{pec}}}$أين${\displaystyle v_{\text{rec}}}$هي سرعة الانكماش الناتجة عن تمدد الكون (السرعة التي يحددها قانون هابل ) و${\displaystyle v_{\text{pec}}}$هي "السرعة الخاصة" التي يقيسها المراقبون المحليون (مع${\displaystyle v_{\text{rec}}={\dot {a}}(t)\chi (t)}$و${\displaystyle v_{\text{pec}}=a(t){\dot {\chi }}(t)}$(النقاط تشير إلى المشتقة الأولى )، لذلك بالنسبة للضوء${\displaystyle v_{\text{pec}}}$يساوي c ( -c إذا انبعث الضوء باتجاه موقعنا عند نقطة الأصل و+ c إذا انبعث بعيدًا عنا) ولكن السرعة الكلية${\displaystyle v_{\text{tot}}}$تختلف سرعة الضوء عمومًا عن سرعة الضوء الحقيقية (c) . ^{[ 3 ]} حتى في النسبية الخاصة، لا يُضمن أن تكون سرعة الضوء الإحداثية c إلا في إطار مرجعي قصوري ؛ أما في إطار مرجعي غير قصوري، فقد تختلف سرعة الضوء الإحداثية عن c . ^{[ 13 ]} في النسبية العامة، لا يوجد نظام إحداثيات "قصوري" على منطقة واسعة من الزمكان المنحني، ولكن في الجوار المحلي لأي نقطة في الزمكان المنحني، يمكننا تعريف "إطار مرجعي قصوري محلي" تكون فيه سرعة الضوء المحلية c ^{[ 14 ]} ، وتكون فيه سرعة الأجسام الضخمة، مثل النجوم والمجرات، دائمًا أقل من c . تعتمد التعريفات الكونية المستخدمة لتحديد سرعات الأجسام البعيدة على الإحداثيات - فلا يوجد تعريف عام للسرعة بين الأجسام البعيدة في النسبية العامة لا يعتمد على الإحداثيات. ^{[ 15 ]} وقد أثارت أفضل طريقة لوصف ونشر فكرة أن توسع الكون كان (أو على الأقل كان) يسير على الأرجح - على أوسع نطاق - بسرعة تفوق سرعة الضوء، جدلًا بسيطًا. تم تقديم وجهة نظر واحدة في ديفيس ولينويفر، 2004. ^{[ 3 ]} 

في المسافات القصيرة والرحلات المحدودة، يمكن إهمال تمدد الكون أثناء الرحلة. ذلك لأن زمن انتقال جسيم متحرك بسرعة غير نسبية بين أي نقطتين يساوي المسافة الفعلية (أي المسافة المصاحبة المقاسة باستخدام معامل مقياس الكون وقت الرحلة وليس معامل المقياس "الآن") بين هاتين النقطتين مقسومًا على سرعة الجسيم. أما إذا كان الجسيم يتحرك بسرعة نسبية، فيجب إجراء التصحيحات النسبية المعتادة لتمدد الزمن .