تمدد الزمن

يمكن استنتاج تمدد الزمن من ثبات سرعة الضوء الملحوظ في جميع الأطر المرجعية، وفقًا للفرضية الثانية للنسبية الخاصة . ويعني هذا الثبات أن سرعات الأجسام المادية والضوء، خلافًا للتوقعات، ليست جمعية. فلا يمكن زيادة سرعة الضوء ظاهريًا بالاقتراب من مصدر الضوء أو الابتعاد عنه. ^{[ 15 ] [ 16 ]}

يمكن توضيح نسبية الزمن بتجربة فكرية تعتمد على ساعة رأسية مجردة تتكون من مرآتين A و B ، ترتد بينهما نبضة ضوئية. ^{[ 17 ]} المسافة بين المرآتين هي L ، وتدق الساعة مرة واحدة في كل مرة تصطدم فيها النبضة الضوئية بالمرآة A. في الإطار المرجعي الذي تكون فيه الساعة في حالة سكون (انظر الجزء الأيسر من الرسم التوضيحي)، ترسم النبضة الضوئية مسارًا طوله 2L ، والفترة الزمنية بين دقات الساعة هي${\displaystyle \Delta t}$يساوي 2L مقسومًا على سرعة الضوء c :

${\displaystyle \Delta t={\frac {2L}{c}}}$

من منظور مراقب متحرك يسير بسرعة v بالنسبة إلى الإطار المرجعي الثابت للساعة (الجزء الأيمن من الرسم التخطيطي)، يُرى نبض الضوء وكأنه يرسم مسارًا أطول بزاوية 2D . يتطلب الحفاظ على سرعة الضوء ثابتة لجميع المراقبين العطاليين إطالة (أي تمدد) الفترة الزمنية بين دقات هذه الساعة .${\displaystyle \Delta t'}$من منظور المراقب المتحرك. أي، كما يُقاس في إطار يتحرك بالنسبة للساعة المحلية، ستعمل هذه الساعة (أي تدق) بشكل أبطأ، لأن معدل الدقات يساوي واحدًا خلال الفترة الزمنية بين كل دقة وأخرى.${\displaystyle \Delta t'}$.

يؤدي التطبيق المباشر لنظرية فيثاغورس إلى التنبؤ المعروف للنسبية الخاصة:

يُعطى إجمالي الوقت اللازم لنبضة الضوء لرسم مسارها بالمعادلة التالية:

${\displaystyle \Delta t'={\frac {2D}{c}}}$

يمكن حساب طول نصف المسار كدالة للكميات المعروفة على النحو التالي:

${\displaystyle D={\sqrt {\left({\frac {1}{2}}v\Delta t'\right)^{2}+L^{2}}}}$

ينتج عن حذف المتغيرين D و L من هذه المعادلات الثلاث ما يلي:

وهو ما يعبر عن حقيقة أن فترة الساعة للمراقب المتحرك${\displaystyle \Delta t'}$أطول من الفترة${\displaystyle \Delta t}$في إطار الساعة نفسها. يُعرَّف عامل لورنتز غاما ( γ ) على النحو التالي ^{[ 18 ]}

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

لأن جميع الساعات التي لها فترة زمنية مشتركة في الإطار المرجعي الساكن يجب أن يكون لها فترة زمنية مشتركة عند رصدها من الإطار المرجعي المتحرك، فإن جميع الساعات الأخرى - الميكانيكية والإلكترونية والبصرية (مثل نسخة أفقية مطابقة للساعة في المثال) - يجب أن تُظهر نفس التمدد الزمني المعتمد على السرعة. ^{[ 19 ]}

بالنظر إلى إطار مرجعي معين، والمراقب "الثابت" الموصوف سابقًا، إذا رافق مراقب ثان الساعة "المتحركة"، فإن كل مراقب سيقيس ساعة الآخر على أنها تدق بمعدل أبطأ من ساعته المحلية، وذلك لأن كليهما يقيس الآخر على أنه المتحرك بالنسبة لإطاره المرجعي الثابت.

يُملي المنطق السليم أنه إذا تباطأ مرور الزمن بالنسبة لجسم متحرك، فسيلاحظ هذا الجسم تسارعًا مماثلًا في الزمن المحيط به. ولكن على عكس هذا الحدس، تتنبأ النسبية الخاصة بعكس ذلك. فعندما يتحرك مراقبان بالنسبة لبعضهما البعض، سيقيس كل منهما تباطؤ ساعة الآخر، بما يتوافق مع حركتهما بالنسبة لإطار مرجعية المراقب.

مع أن هذا يبدو متناقضاً، إلا أن مفارقة مماثلة تحدث في الحياة اليومية. فإذا نظر شخصان، أ و ب، إلى بعضهما من مسافة بعيدة، سيبدو ب صغيراً بالنسبة لـ أ، وفي الوقت نفسه، سيبدو أ صغيراً بالنسبة لـ ب. وبمعرفة تأثيرات المنظور ، لا يوجد تناقض أو مفارقة في هذه الحالة. ^{[ 20 ]}

تؤدي هذه الظاهرة التبادلية أيضًا إلى ما يُعرف بمفارقة التوأم ، حيث تتم مقارنة أعمار توأمين، أحدهما يبقى على الأرض والآخر ينطلق في رحلة فضائية، وتشير التبادلية إلى أنه ينبغي أن يكون لكليهما نفس العمر عند لقائهما. على العكس من ذلك، في نهاية الرحلة ذهابًا وإيابًا، سيكون التوأم المسافر أصغر سنًا من شقيقه على الأرض. يمكن تفسير المعضلة التي تطرحها هذه المفارقة بحقيقة أن الوضع غير متناظر. فالتوأم الذي يبقى على الأرض موجود في إطار مرجعي قصوري واحد، بينما التوأم المسافر موجود في إطارين مرجعيين قصوريين مختلفين: أحدهما في طريق الذهاب والآخر في طريق العودة. انظر أيضًا: مفارقة التوأم،  دور التسارع .

مخطط مينكوفسكي ومفارقة التوأم

الساعة C في حركة نسبية بين ساعتين متزامنتين A و B. تلتقي C مع A عند d ، ومع B عند f .

مفارقة التوأم . يتعين على أحد التوأمين تغيير الإطار، مما يؤدي إلى أوقات مناسبة مختلفة في خطوط عالم التوأم.

في مخطط مينكوفسكي من الصورة الأولى على اليمين، تلتقي الساعة C، المستقرة في الإطار المرجعي S′، بالساعة A عند النقطة d والساعة B عند النقطة f (وكلتاهما مستقرتان في الإطار المرجعي S). تبدأ الساعات الثلاث بالدق في الإطار المرجعي S في آنٍ واحد. يُمثل محور ct خط العالم للساعة A، بينما يُمثل محور ct خط العالم للساعة B المتقاطع مع النقطة f ، وهو موازٍ لمحور ct، أما خط العالم للساعة C فيُمثل محور ct′. تقع جميع الأحداث المتزامنة مع النقطة d في الإطار المرجعي S على المحور x، بينما تقع في الإطار المرجعي S′ على المحور x′.

يُشار إلى الزمن الخاص بين حدثين بواسطة ساعة موجودة عند كليهما. ^{[ 27 ]} وهو ثابت، أي أنه في جميع الأطر المرجعية العطالية، يُتفق على أن هذه الساعة هي التي تُشير إلى هذا الزمن. وبالتالي، فإن الفترة الزمنية df هي الزمن الخاص للساعة C، وهي أقصر بالنسبة إلى أزمنة الإحداثيات ef=dg للساعتين B وA في S. وعلى العكس من ذلك، فإن الزمن الخاص ef للساعة B أقصر أيضًا بالنسبة إلى الزمن ef في S′، لأن الحدث e قد تم قياسه في S′ بالفعل عند الزمن i بسبب نسبية التزامن، قبل وقت طويل من بدء عمل الساعة C.

يتضح مما سبق أن الزمن الخاص بين حدثين، كما يُشير إليه توقيت غير مُسرّع موجود في كلا الحدثين، مقارنةً بالزمن الإحداثي المتزامن المُقاس في جميع الأطر المرجعية العطالية الأخرى، هو دائمًا أقصر فاصل زمني بين هذين الحدثين. مع ذلك، قد يتوافق الفاصل الزمني بين حدثين أيضًا مع الزمن الخاص للساعات المُسرّعة الموجودة في كلا الحدثين. في جميع الأزمنة الخاصة الممكنة بين حدثين، يكون الزمن الخاص للساعة غير المُسرّعة هو الأعظم ، وهو ما يُمثل حلًا لمفارقة التوأم . ^{[ 27 ]}

بالإضافة إلى ساعة الضوء المستخدمة أعلاه، يمكن اشتقاق صيغة تمدد الزمن بشكل أعم من الجزء الزمني لتحويل لورنتز . ^{[ 28 ]} لنفترض وجود حدثين تشير إليهما الساعة المتحركة${\displaystyle t_{a}}$و${\displaystyle t_{b}}$، هكذا:

${\displaystyle t_{a}^{\prime }={\frac {t_{a}-{\frac {vx_{a}}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\ t_{b}^{\prime }={\frac {t_{b}-{\frac {vx_{b}}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

بما أن الساعة تبقى في حالة سكون في إطارها المرجعي العطالي، فإنها تتبع${\displaystyle x_{a}=x_{b}}$وبالتالي الفترة${\displaystyle \Delta t^{\prime }=t_{b}^{\prime }-t_{a}^{\prime }}$يُعطى بواسطة:

${\displaystyle \Delta t'=\gamma \,\Delta t={\frac {\Delta t}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\,}$

حيث أن Δt ، المعروف بالزمن الخاص ، هو الفاصل الزمني بين حدثين متزامنين (أي يحدثان في نفس المكان) بالنسبة لمراقب في إطار مرجعي قصوري (مثل دقات ساعته)، وΔt ′ هو الفاصل الزمني بين نفس هذين الحدثين، كما يقيسه مراقب آخر يتحرك قصورياً بسرعة v بالنسبة للمراقب الأول، و v هي السرعة النسبية بين المراقب والساعة المتحركة، و c هي سرعة الضوء، وعامل لورنتز (يرمز إليه عادةً بالحرف اليوناني غاما أو γ ) هو:

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}\,}$

وهكذا، وُجد أن مدة دورة الساعة المتحركة تزداد، إذ تُقاس بأنها "تعمل ببطء". إن نطاق هذه الاختلافات في الحياة اليومية، حيث v ≪ c ، حتى مع الأخذ في الاعتبار السفر الفضائي، ليس كبيرًا بما يكفي لإحداث تأثيرات تمدد زمني يمكن رصدها بسهولة، ويمكن تجاهل هذه التأثيرات الضئيلة بأمان في معظم الحالات. وكعتبة تقريبية، قد يصبح تمدد زمني بنسبة 0.5% مهمًا عندما يقترب جسم ما من سرعات في حدود 30,000  كم/ث (عُشر سرعة الضوء). ^{[ 29 ]}

في النسبية الخاصة، يُوصف تمدد الزمن بأبسط صورة في الحالات التي تكون فيها السرعة النسبية ثابتة. ومع ذلك، تسمح معادلات لورنتز بحساب الزمن الذاتي والحركة في الفضاء في حالة بسيطة لمركبة فضائية تتعرض لقوة لكل وحدة كتلة، بالنسبة لجسم مرجعي يتحرك حركة منتظمة (أي بسرعة ثابتة)، تساوي تسارع الجاذبية الأرضية ( g) طوال فترة القياس.

لنفترض أن t هو الزمن في إطار مرجعي قصوري يُسمى لاحقًا إطار السكون. ولنفترض أن x إحداثي مكاني، وأن اتجاه التسارع الثابت وسرعة المركبة الفضائية (بالنسبة لإطار السكون) موازيان للمحور x . بافتراض أن موضع المركبة الفضائية عند الزمن t = 0 هو x = 0 وسرعتها v _{= 0} ، وتعريف الاختصار التالي:

${\displaystyle \gamma _{0}={\frac {1}{\sqrt {1-v_{0}^{2}/c^{2}}}}}$

تنطبق الصيغ التالية: ^{[ 30 ]}

موضع:

${\displaystyle x(t)={\frac {c^{2}}{g}}\left({\sqrt {1+{\frac {\left(gt+v_{0}\gamma _{0}\right)^{2}}{c^{2}}}}}-\gamma _{0}\right)}$

سرعة:

${\displaystyle v(t)={\frac {gt+v_{0}\gamma _{0}}{\sqrt {1+{\frac {\left(gt+v_{0}\gamma _{0}\right)^{2}}{c^{2}}}}}}}$

الزمن الخاص كدالة للزمن الإحداثي:

${\displaystyle \tau (t)=\tau _{0}+\int _{0}^{t}{\sqrt {1-\left({\frac {v(t')}{c}}\right)^{2}}}dt'}$

في الحالة التي يكون فيها v (0) = v ₀ = 0 و τ (0) = τ ₀ = 0، يمكن التعبير عن التكامل كدالة لوغاريتمية أو، بشكل مكافئ، كدالة زائدية عكسية :

${\displaystyle \tau (t)={\frac {c}{g}}\ln \left({\frac {gt}{c}}+{\sqrt {1+\left({\frac {gt}{c}}\right)^{2}}}\right)={\frac {c}{g}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {gt}{c}}\right)}$

كدوال للوقت المناسب${\displaystyle \tau }$فيما يتعلق بالسفينة، تنطبق الصيغ التالية: ^{[ 31 ]}

موضع:

${\displaystyle x(\tau )={\frac {c^{2}}{g}}\left(\cosh {\frac {g\tau }{c}}-1\right)}$

سرعة:

${\displaystyle v(\tau )=c\tanh {\frac {g\tau }{c}}}$

تنسيق الوقت كدالة للوقت الخاص:

${\displaystyle t(\tau )={\frac {c}{g}}\sinh {\frac {g\tau }{c}}}$

تفترض فرضية الساعة أن معدل تأثر الساعة بتمدد الزمن لا يعتمد على تسارعها، بل على سرعتها اللحظية فقط. وهذا يعادل القول بأن الساعة التي تتحرك على طول مسار معين...${\displaystyle P}$يقيس الوقت المناسب ، المحدد بواسطة:

${\displaystyle \tau =\int _{P}{\sqrt {dt^{2}-dx^{2}/c^{2}-dy^{2}/c^{2}-dz^{2}/c^{2}}}}$

أُدرجت فرضية الساعة ضمنيًا (وليس صراحةً) في صياغة آينشتاين الأصلية للنسبية الخاصة عام 1905. ومنذ ذلك الحين، أصبحت فرضيةً أساسيةً، وعادةً ما تُدرج ضمن بديهيات النسبية الخاصة، لا سيما في ضوء التحقق التجريبي منها حتى عند تسارعات عالية جدًا في مسرعات الجسيمات . ^{[ 32 ] [ 33 ]}

• في عام ١٩٥٩، قاس روبرت باوند وجلين ريبكا الانزياح الأحمر الطفيف جدًا الناتج عن الجاذبية في تردد الضوء المنبعث على ارتفاع منخفض، حيث يكون مجال جاذبية الأرض أكثر كثافة نسبيًا. وكانت النتائج ضمن نطاق ١٠٪ من تنبؤات النسبية العامة. وفي عام ١٩٦٤، قاس باوند وجيه إل سنايدر نتيجة ضمن نطاق ١٪ من القيمة المتوقعة من تمدد الزمن بفعل الجاذبية. ^{[ ٣٦ ]} (انظر تجربة باوند-ريبكا )
• في عام 2010، تم قياس تمدد الزمن بفعل الجاذبية على سطح الأرض بفارق ارتفاع يبلغ مترًا واحدًا فقط، باستخدام الساعات الذرية البصرية. ^{[ 26 ]}

• في عام 1971، قام هافيل وكيتينغ بنقل ساعات ذرية من السيزيوم شرقًا وغربًا حول الأرض على متن طائرات تجارية، لمقارنة الوقت المنقضي مع ساعة ثابتة في المرصد البحري الأمريكي . وقد برز تأثيران متعاكسان. كان من المتوقع أن تتقدم الساعات في العمر بشكل أسرع (أي أن يظهر وقت منقضي أطول) مقارنةً بالساعة المرجعية نظرًا لوجودها في مجال جاذبية أعلى (أضعف) خلال معظم الرحلة (انظر تجربة باوند-ريبكا ). ولكن على النقيض من ذلك، كان من المتوقع أيضًا أن تتقدم الساعات المتحركة في العمر بشكل أبطأ بسبب سرعة حركتها. ومن خلال مسارات الطيران الفعلية لكل رحلة، تنبأت النظرية بأن الساعات الطائرة، مقارنةً بالساعات المرجعية في المرصد البحري الأمريكي، ستفقد 40±23  نانوثانية خلال الرحلة شرقًا، وستكتسب 275±21  نانوثانية خلال الرحلة غربًا. مقارنةً بالمقياس الزمني الذري لمرصد البحرية الأمريكية، فقدت الساعات الطائرة 59±10 نانوثانية خلال رحلتها شرقًا، واكتسبت 273±7 نانوثانية خلال رحلتها غربًا (حيث تمثل أشرطة الخطأ الانحراف المعياري). ^{[ 40 ]} في عام 2005، أعلن المختبر الفيزيائي الوطني في المملكة المتحدة عن تكرار محدود لهذه التجربة. ^{[ 41 ]} اختلفت تجربة المختبر الفيزيائي الوطني عن التجربة الأصلية في أن ساعات السيزيوم أُرسلت في رحلة أقصر (لندن - واشنطن العاصمة ذهابًا وإيابًا)، لكنها كانت أكثر دقة. تتوافق النتائج المُبلغ عنها مع تنبؤات النسبية بنسبة لا تتجاوز 4%، ضمن هامش الخطأ في القياسات.
• يمكن اعتبار نظام تحديد المواقع العالمي (GPS) تجربة تعمل باستمرار في كل من النسبية الخاصة والعامة. يتم تصحيح الساعات الموجودة في المدار لتأثيرات تمدد الزمن في النسبية الخاصة والعامة كما هو موضح أعلاه ، بحيث تعمل (كما تُرى من سطح الأرض) بنفس معدل عمل الساعات على سطح الأرض. ^{[ 42 ]}

إن الطبيعة غير المتوقعة لتمدد الزمن تجعله موضوعًا شائعًا لسوء الفهم. يزعم أحد أشكال سوء الفهم أن تمدد الزمن ينطبق فقط على الساعات الضوئية، مثل الساعة الضوئية المستخدمة في العديد من اشتقاقات تحويل لورنتز في الكتب الدراسية، وليس على أجهزة ضبط الوقت الميكانيكية أو الذرية أو البيولوجية. قد يؤدي هذا الفهم الخاطئ إلى استنتاجات غير صحيحة حول نتائج التجارب، مثل تجربة هافيل-كيتنغ، التي تضمنت ساعات ذرية طارت حول الأرض. ^{[ 43 ]}

لمعالجة هذه المسألة، اقترح الفيزيائي فال جي. روسو تجربة فكرية تُعرف باسم "قطة أينشتاين" . ^{[ 43 ]} يتضمن هذا السيناريو جهازًا خياليًا - ساعة "التزامن أو الموت" - يقارن بين تزامن ساعة ضوئية وساعة توقيت ميكانيكية. يعتمد بقاء قطة على التوقيت الدقيق بين هاتين الساعتين عند تحليلهما في إطارين مرجعيين قصوريين مختلفين. تنشأ المفارقة عندما يُفترض أن تمدد الزمن ينطبق فقط على النبضة الضوئية وليس على الساعة الميكانيكية. في ظل هذا الافتراض الخاطئ، يُتوقع أن تموت القطة فقط عند تحرك المراقبين بالنسبة لها. يُحل هذا التناقض الظاهري عندما يُعترف بأن كلتا الساعتين تخضعان بالتساوي لتمدد الزمن النسبي. يوضح هذا المبدأ الأساسي القائل بأن تمدد الزمن سمة عالمية للنسبية الخاصة، بغض النظر عن الآلية الداخلية للساعة.