النسبية الخاصة

تُعدّ نظرية النسبية الخاصة، على غير المألوف بين المواضيع الحديثة في الفيزياء، لا تتطلب سوى معرفة الرياضيات على مستوى المرحلة الثانوية، ومع ذلك فهي تُغيّر فهمنا جذرياً، ولا سيما فهمنا لمفهوم الزمن . ^{[ 3 ] : 9} وبناءً على فرضيتين أو افتراضين فقط، تترتب عليها العديد من النتائج المهمة.

تتعلق كلتا الفرضيتين بمراقبين يتحركون بسرعة ثابتة بالنسبة لبعضهم البعض. تنص الفرضية الأولى، وهي مبدأ النسبية ، على أن قوانين الفيزياء لا تعتمد على سكون الأجسام المطلق؛ فعلى سبيل المثال، يرى المراقب على متن قطار ظواهر طبيعية على متن ذلك القطار تبدو متشابهة سواء كان القطار متحركًا أم لا. ^{[ 3 ] : 5} أما الفرضية الثانية، وهي ثبات سرعة الضوء، فتنص على أن المراقبين في محطة قطار يرون الضوء ينتقل بنفس السرعة سواء قاسوا الضوء من داخل المحطة أو من قطار متحرك. إشارة الضوء من المحطة إلى القطار لها نفس السرعة، بغض النظر عن سرعة القطار. ^{[ 3 ] : 25}

في نظرية النسبية الخاصة، يتحد هذان المسلّمتان لتغيير تعريف "السرعة النسبية". فبدلاً من المفهوم البسيط للمسافة المقطوعة مقسومة على الزمن المستغرق، تتضمن النظرية الجديدة سرعة الضوء باعتبارها أقصى سرعة ممكنة. في النسبية الخاصة، لا يؤدي قطع مسافة أكبر بعشر مرات على الأرض في نفس المدة الزمنية، وفقًا لساعة متحركة، إلى زيادة السرعة بمقدار عشرة أضعاف عند النظر إليها من الأرض. ^{[ 3 ] : 28}

تترتب على النسبية الخاصة مجموعة واسعة من النتائج التي تم التحقق منها تجريبياً. ^{[ 4 ] [ 5 ]} وتشمل الآثار المفاهيمية ما يلي:

• نسبية التزامن - قد لا تكون الأحداث التي تبدو متزامنة لمراقب ما متزامنة لمراقب متحرك ^{[ 3 ] : 49} 
• §  تمدد الزمن – يختلف الوقت المقاس بين حدثين بواسطة مراقبين متحركين 
• §  انكماش الطول – تختلف المسافات بين حدثين عند رصدهما من قبل مراقبين متحركين 
• تحويل لورنتز  للسرعات – لم تعد السرعات مجرد جمع 

بالإضافة إلى قوانين الفيزياء الأخرى، تتنبأ مسلمتا النسبية الخاصة بتكافؤ الكتلة والطاقة ، كما هو معبر عنه في صيغة تكافؤ الكتلة والطاقة .${\displaystyle E=mc^{2}}$، حيث${\displaystyle c}$هي سرعة الضوء في الفراغ. ^{[ 6 ] [ 7 ]} استبدلت النسبية الخاصة المفهوم التقليدي للزمن المطلق العالمي بمفهوم الزمن المحلي لكل مراقب. ^{[ 8 ] : 33} لا يمكن أن تصل المعلومات عن الأجسام البعيدة أسرع من سرعة الضوء، لذا فإن الملاحظات البصرية تُبلغ دائمًا عن أحداث وقعت في الماضي. هذا التأثير يجعل الأوصاف البصرية لتأثيرات النسبية الخاصة عرضة للأخطاء بشكل خاص. ^{[ 9 ]}

للنسبية الخاصة أيضًا تبعات تقنية عميقة. من أبرز سماتها استبدال الهندسة الإقليدية بالهندسة اللورنتزية . ^{[ 10 ] : 8} تُحسب المسافات في الهندسة الإقليدية باستخدام نظرية فيثاغورس، وتقتصر على الإحداثيات المكانية. أما في الهندسة اللورنتزية، فتتحول "المسافات" إلى "فترات" تتضمن إحداثية زمنية بإشارة سالبة. وعلى عكس المسافات المكانية، فإن الفترة بين حدثين لها القيمة نفسها لجميع المراقبين بغض النظر عن سرعتهم النسبية. عند مقارنة مجموعتين من الإحداثيات في حركة نسبية، يحل تحويل لورنتز محل تحويل غاليليو في الميكانيكا النيوتونية. ^{[ 10 ] : 98} تشمل التأثيرات الأخرى التصحيحات النسبية لتأثير دوبلر وترنح توماس . ^{[ 1 ] [ 2 ]} كما تفسر العلاقة بين الكهرباء والمغناطيسية. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

تلعب الأطر المرجعية دورًا محوريًا في نظرية النسبية. يُقصد بالإطار المرجعي هنا منظورًا رصديًا في الفضاء لا يشهد أي تغيير في الحركة (التسارع)، ومن خلاله يُمكن قياس الموقع على طول ثلاثة محاور مكانية (أي في حالة سكون أو سرعة ثابتة). إضافةً إلى ذلك، يُتيح الإطار المرجعي إمكانية تحديد قياسات زمن الأحداث باستخدام "ساعة" (أي جهاز مرجعي ذو دورية منتظمة).

الحدث هو واقعة يمكن تحديد لحظة وموقع فريدين لها في الفضاء بالنسبة لإطار مرجعي: إنه "نقطة" في الزمكان . وبما أن سرعة الضوء ثابتة في النسبية بغض النظر عن الإطار المرجعي، يمكن استخدام نبضات الضوء لقياس المسافات بدقة والرجوع إلى أوقات وقوع الأحداث على الساعة، على الرغم من أن الضوء يستغرق وقتًا للوصول إلى الساعة بعد وقوع الحدث.

على سبيل المثال، يمكن اعتبار انفجار المفرقعة النارية "حدثًا". يمكننا تحديد الحدث بدقة من خلال إحداثياته ​​المكانية والزمانية الأربعة: يحدد وقت حدوثه وموقعه المكاني ثلاثي الأبعاد نقطة مرجعية. لنُسمِّ هذه النقطة المرجعية S.

في نظرية النسبية، نرغب غالبًا في حساب إحداثيات حدث ما من أطر مرجعية مختلفة. تُسمى المعادلات التي تربط القياسات التي أُجريت في أطر مرجعية مختلفة بمعادلات التحويل .

لفهم كيفية مقارنة إحداثيات الزمكان المقاسة من قِبل مراقبين في أطر مرجعية مختلفة ، من المفيد استخدام إعداد مبسط بأطر ذات تكوين قياسي . ^{[ 25 ] : 107.} مع الحرص، يُتيح ذلك تبسيط العمليات الحسابية دون فقدان عمومية الاستنتاجات. في الشكل  2-1، يظهر إطاران مرجعيان غاليليانيان (أي أطر الفضاء الثلاثية التقليدية) في حركة نسبية. الإطار S يخص المراقب الأول O ، والإطار S ′ (يُنطق "S  برايم" أو "S داش") يخص المراقب الثاني O ′ .

• المحاور x و y و z للإطار S موجهة بالتوازي مع المحاور المميزة للإطار S ′ .
• يتحرك الإطار S ′ ، من أجل التبسيط، في اتجاه واحد: الاتجاه x للإطار S بسرعة ثابتة v كما تم قياسها في الإطار S.
• تتطابق أصول الإطارات S و S ′ عندما يكون الزمن t = 0 للإطار S و t ′ = 0 للإطار S ′ .

بما أنه لا يوجد إطار مرجعي مطلق في نظرية النسبية، فإن مفهوم "الحركة" غير موجود بشكل دقيق، إذ قد يتحرك كل شيء بالنسبة إلى إطار مرجعي آخر. وبدلاً من ذلك، يُقال إن أي إطارين يتحركان بنفس السرعة وفي نفس الاتجاه يتحركان معًا . لذلك، فإن S و S ′ ليسا متحركين معًا .

يعود مبدأ النسبية ، الذي ينص على أن القوانين الفيزيائية تتخذ الشكل نفسه في كل إطار مرجعي قصوري ، إلى غاليليو ، وقد أُدمج في الفيزياء النيوتونية. ولكن في أواخر القرن التاسع عشر، دفع وجود الموجات الكهرومغناطيسية بعض الفيزيائيين إلى اقتراح أن الكون مليء بمادة أطلقوا عليها اسم " الأثير "، والتي افترضوا أنها تعمل كوسيط تنتشر من خلاله هذه الموجات، أو الاهتزازات (بطريقة مشابهة لانتشار الصوت في الهواء من نواحٍ عديدة). كان يُعتقد أن الأثير إطار مرجعي مطلق يمكن قياس جميع السرعات عليه، ويمكن اعتباره ثابتًا لا يتحرك بالنسبة للأرض أو أي نقطة مرجعية ثابتة أخرى. كان يُفترض أن الأثير يتمتع بمرونة كافية لدعم الموجات الكهرومغناطيسية، بينما يمكن لهذه الموجات أن تتفاعل مع المادة، دون أن تُبدي أي مقاومة للأجسام التي تمر عبره (خاصيته الوحيدة هي أنه يسمح للموجات الكهرومغناطيسية بالانتشار). أدت نتائج تجارب عديدة، من بينها تجربة ميكلسون-مورلي عام ١٨٨٧ (التي جرى التحقق منها لاحقًا بتجارب أكثر دقة وابتكارًا)، إلى ظهور نظرية النسبية الخاصة، وذلك بإثبات عدم وجود الأثير. ^{[ ٢٦ ]} وكان حل أينشتاين هو التخلي عن مفهوم الأثير وحالة السكون المطلقة. ففي النسبية، يخضع أي إطار مرجعي يتحرك حركة منتظمة لقوانين الفيزياء نفسها. وعلى وجه الخصوص، تُقاس سرعة الضوء في الفراغ دائمًا بـ c ، حتى عند قياسها بواسطة أنظمة متعددة تتحرك بسرعات مختلفة (لكنها ثابتة).

انطلاقًا من مبدأ النسبية وحده، ودون افتراض ثبات سرعة الضوء (أي باستخدام تماثل الفضاء والتناظر الذي يفرضه مبدأ النسبية الخاصة)، يمكن إثبات أن تحويلات الزمكان بين الأطر المرجعية العطالية تكون إما إقليدية أو جاليلية أو لورنتزية. في حالة لورنتز، يمكن الحصول على حفظ الفترات النسبية وسرعة حدية معينة. تشير التجارب إلى أن هذه السرعة هي سرعة الضوء في الفراغ. ^{[ ص 4 ] [ 27 ] : 511}

قام أينشتاين بدمج الفرضيتين – النسبية – وثبات سرعة الضوء، في فرضية واحدة، وهي تحويل لورنتز:

تكمن الفكرة الأساسية لنظرية النسبية الخاصة فيما يلي: تتوافق فرضيتا النسبية وثبات سرعة الضوء إذا تم افتراض علاقات من نوع جديد ("تحويل لورنتز") لتحويل الإحداثيات وأزمنة الأحداث  ... يتضمن المبدأ العام لنظرية النسبية الخاصة الفرضية التالية: قوانين الفيزياء ثابتة بالنسبة لتحويلات لورنتز (للانتقال من نظام قصوري إلى أي نظام قصوري آخر مختار عشوائيًا). هذا مبدأ مقيد للقوانين الطبيعية  ... ^{[ ص ٢ ]}

بعد عرض أينشتاين الأصلي للنسبية الخاصة في عام 1905، تم اقتراح العديد من مجموعات المسلمات المختلفة في اشتقاقات بديلة متنوعة، ^{[ 28 ]} لكن أينشتاين ظل متمسكًا بنهجه طوال عمله. ^{[ ص 5 ]}

وضع هنري بوانكاريه الإطار الرياضي لنظرية النسبية من خلال إثبات أن تحويلات لورنتز هي مجموعة جزئية من مجموعة بوانكاريه لتحويلات التناظر. وقد استنتج أينشتاين هذه التحويلات لاحقاً من بديهياته.

بينما يُعرض النهج التقليدي ذو الفرضيتين في النسبية الخاصة في عدد لا يُحصى من الكتب الجامعية والعروض التقديمية الشائعة، ^{[ 29 ]} تستند معالجات أخرى للنسبية الخاصة إلى فرضية واحدة هي التغاير اللورنتزي الشامل، أو ما يُكافئها، إلى فرضية واحدة هي فضاء مينكوفسكي . ^{[ ص 6 ] [ ص 7 ]} تشمل الكتب الدراسية التي تبدأ بفرضية فضاء مينكوفسكي كتب تايلور وويلر ^{[ 10 ]} وكالهان. ^{[ 30 ]}

لنفترض أن حدثًا ما له إحداثيات مكانية-زمانية ( t , x , y , z ) في النظام S و ( t ′ , x ′ , y ′ , z ′ ) في إطار مرجعي S ′ يتحرك بسرعة v على طول المحور x . عندئذٍ، يحدد تحويل لورنتز أن هذه الإحداثيات مرتبطة بالطريقة التالية: $${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \ (t-vx/c^{2})\\x'&=\gamma \ (x-vt)\\y'&=y\\z'&=z,\end{aligned}}}$$ أين$${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$$يمثل λ عامل لورنتز ، و c سرعة الضوء في الفراغ، وسرعة v للجسيم S ′ بالنسبة إلى S موازية للمحور x . ولتبسيط الحسابات، لا تتأثر الإحداثيات y و z ، وإنما تتغير الإحداثيات x و t فقط. تشكل تحويلات لورنتز هذه مجموعة من التحويلات الخطية ذات مُعامل واحد ، ويُسمى هذا المُعامل بالسرعة .

يؤدي حل معادلات التحويل الأربعة المذكورة أعلاه للإحداثيات غير المميزة إلى الحصول على تحويل لورنتز العكسي: $${\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}}$$

يُظهر هذا أن الإطار غير المُؤشَّر يتحرك بالسرعة − v ، كما تم قياسها في الإطار المُؤشَّر. ^{[ 31 ]}

لا يوجد شيء مميز في المحور السيني . يمكن تطبيق التحويل على المحور الصادي أو العيني ، أو في أي اتجاه موازٍ للحركة (التي تتشوه بفعل عامل غاما ) وعمودي عليها؛ راجع مقالة تحويل لورنتز لمزيد من التفاصيل.

الكمية التي تظل ثابتة تحت تحويلات لورنتز تُعرف باسم الكمية القياسية لورنتز .

_كتابة تحويل لورنتز ومعكوسه بدلالة فروق الإحداثيات، حيث يكون لحدث ما إحداثيات ( x1 _, t1 ) و ( x′1 , t′1 ₎ ، ولحدث آخر إحداثيات ( x2 , t2 ) و ( _x′2 , _t′2 ) _، وتُعرَّف الفروق _على النحو التالي _:

• المعادلة 1:  ${\displaystyle \Delta x'=x'_{2}-x'_{1}\ ,\ \Delta t'=t'_{2}-t'_{1}\ .}$
• المعادلة 2:  ${\displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1}\ ,\ \ \Delta t=t_{2}-t_{1}\ .}$

نحصل

• المعادلة 3:  ${\displaystyle \Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\,\Delta t)\ ,\ \ }$${\displaystyle \Delta t'=\gamma \ \left(\Delta t-v\ \Delta x/c^{2}\right)\ .}$
• المعادلة 4:  ${\displaystyle \Delta x=\gamma \ (\Delta x'+v\,\Delta t')\ ,\ }$${\displaystyle \Delta t=\gamma \ \left(\Delta t'+v\ \Delta x'/c^{2}\right)\ .}$

إذا أخذنا التفاضلات بدلاً من الفروق، فسنحصل على

• المعادلة 5:  ${\displaystyle dx'=\gamma \ (dx-v\,dt)\ ,\ \ }$${\displaystyle dt'=\gamma \ \left(dt-v\ dx/c^{2}\right)\ .}$
• المعادلة 6:  ${\displaystyle dx=\gamma \ (dx'+v\,dt')\ ,\ }$${\displaystyle dt=\gamma \ \left(dt'+v\ dx'/c^{2}\right)\ .}$

الشكل 3-1. رسم مخطط الزمكان مينكوفسكي لتوضيح تحويل لورنتز.

تُعدّ مخططات الزمكان (وتُسمى أيضًا مخططات مينكوفسكي ) أداةً بالغة الأهمية لتصوّر كيفية تحوّل الإحداثيات بين أطر مرجعية مختلفة. ورغم صعوبة إجراء حسابات دقيقة باستخدامها مقارنةً بالاستعانة المباشرة بتحويلات لورنتز، إلا أن أهميتها تكمن في قدرتها على توفير فهم بديهي لنتائج سيناريو نسبي. ^{[ 27 ] : 536.} لرسم مخطط الزمكان، ابدأ بالنظر إلى إطارين مرجعيين غاليليين، S و S′، في التكوين القياسي، كما هو موضح في الشكل  2-1. ^{[ 32 ] : 155-199}

الشكل  3-1أ . ارسم${\displaystyle x}$و${\displaystyle t}$محاور الإطار S.${\displaystyle x}$المحور أفقي و${\displaystyle ct}$المحور (الزمن مكتوب بوحدات الفضاء) يكون عموديًا، وهو عكس الاصطلاح المعتاد في علم الحركة.${\displaystyle ct}$يتم تغيير مقياس المحور بمعامل قدره${\displaystyle c}$بحيث يكون للمحورين وحدات طول مشتركة. في الرسم التوضيحي الموضح، تفصل بين خطوط الشبكة مسافة وحدة واحدة. تمثل الخطوط القطرية بزاوية 45 درجة مسارات فوتونين يمران عبر نقطة الأصل في الزمن t${\displaystyle t=0.}$ميل هذه الخطوط العالمية يساوي 1 لأن الفوتونات تتقدم وحدة واحدة في المكان لكل وحدة زمنية. حدثان،${\displaystyle {\text{A}}}$و${\displaystyle {\text{B}},}$تم رسمها على هذا الرسم البياني بحيث يمكن مقارنة إحداثياتها في الإطارين S و S'.

الشكل  3-1ب . ارسم${\displaystyle x'}$و${\displaystyle ct'}$محاور الإطار S'.${\displaystyle ct'}$يمثل المحور خط العالم لأصل نظام الإحداثيات S' كما تم قياسه في الإطار S. في هذا الشكل،${\displaystyle v=c/2.}$كلاهما${\displaystyle ct'}$و${\displaystyle x'}$تميل المحاور عن المحاور غير المُجهزة بزاوية${\displaystyle \alpha =\tan ^{-1}(\beta ),}$أين${\displaystyle \beta =v/c.}$يشترك المحوران المُؤشَّر وغير المُؤشَّر في نقطة أصل مشتركة لأن الإطارين S و S' قد تم إعدادهما في التكوين القياسي، بحيث${\displaystyle t=0}$متى${\displaystyle t'=0.}$

الشكل  3-1ج . تختلف وحدات المحاور المميزة بعلامة عن وحدات المحاور غير المميزة بعلامة. ومن خلال تحويلات لورنتز، يمكن ملاحظة أن${\displaystyle (x',ct')}$إحداثيات${\displaystyle (0,1)}$في نظام الإحداثيات المُعَلَّم، قم بالتحويل إلى${\displaystyle (\beta \gamma ,\gamma )}$في نظام الإحداثيات غير المُعَلَّم. وبالمثل،${\displaystyle (x',ct')}$إحداثيات${\displaystyle (1,0)}$في نظام الإحداثيات المُعَلَّم، قم بالتحويل إلى${\displaystyle (\gamma ,\beta \gamma )}$في النظام غير المُجهّز. ارسم خطوط الشبكة موازية لـ${\displaystyle ct'}$محور يمر عبر النقاط${\displaystyle (k\gamma ,k\beta \gamma )}$كما تم قياسه في الإطار غير المُجهز، حيث${\displaystyle k}$هو عدد صحيح. وبالمثل، ارسم خطوط الشبكة موازية لـ${\displaystyle x'}$المحور المار${\displaystyle (k\beta \gamma ,k\gamma )}$كما تم قياسها في الإطار غير المُؤشَّر. باستخدام نظرية فيثاغورس، نلاحظ أن المسافة بين${\displaystyle ct'}$الوحدات تساوي${\textstyle {\sqrt {(1+\beta ^{2})/(1-\beta ^{2})}}}$مضروبًا في المسافة بين${\displaystyle ct}$الوحدات، كما تم قياسها في الإطار S. هذه النسبة دائمًا أكبر من 1، وتقترب من اللانهاية عندما${\displaystyle \beta \to 1.}$

الشكل  3-1د . بما أن سرعة الضوء ثابتة، فإن خطوط العالم لفوتونين يمران عبر نقطة الأصل في الزمن${\displaystyle t'=0}$لا تزال تُرسم كخطوط قطرية بزاوية 45 درجة. إحداثيات مُعَلَّمة بعلامة (') لـ${\displaystyle {\text{A}}}$و${\displaystyle {\text{B}}}$ترتبط هذه الإحداثيات بالإحداثيات غير المميزة عبر تحويلات لورنتز، ويمكن قياسها تقريبًا من الرسم البياني (بافتراض دقته الكافية)، لكن الميزة الحقيقية لمخطط مينكوفسكي تكمن في منحه لنا رؤية هندسية للوضع. على سبيل المثال، في هذا الشكل، نلاحظ أن الحدثين المتباعدين زمنيًا واللذين كان لهما إحداثيات س مختلفة في الإطار غير المميز، أصبحا الآن في نفس الموضع في الفضاء.

بينما يُرسم الإطار غير المُؤشَّر بمحاور مكانية وزمانية تتقاطع بزوايا قائمة، يُرسم الإطار المُؤشَّر بمحاور تتقاطع بزوايا حادة أو منفرجة. ويعود هذا التباين إلى تشوهات حتمية في كيفية إسقاط إحداثيات الزمكان على المستوى الديكارتي . الإطاران متكافئان.

في النسبية الغاليلية، الفصل المكاني، ( ⁠${\displaystyle \Delta r}$) ، والفصل الزمني، (${\displaystyle \Delta t}$تُعتبر الفترات الزمنية بين حدثين ثوابت مستقلة، لا تتغير قيمها عند رصدها من أطر مرجعية مختلفة. أما في النسبية الخاصة، فإن تداخل الإحداثيات المكانية والزمانية يُولّد مفهوم الفترة الثابتة ، ويُرمز لها بـ${\displaystyle \Delta s^{2}}$⁠ : $${\displaystyle \Delta s^{2}\;{\overset {\text{def}}{=}}\;c^{2}\Delta t^{2}-(\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2})}$$ عند النظر في الأهمية الفيزيائية لـ${\displaystyle \Delta s^{2}}$، هناك ثلاث حالات: ^{[ 27 ] : 533 [ 10 ] : 25-39}

• Δs ² > 0: في هذه الحالة، يفصل بين الحدثين زمن أطول من المسافة المكانية، ولذلك يُقال إنهما منفصلان زمنيًا . وهذا يعني أن${\displaystyle \vert \Delta x/\Delta t\vert <c}$وبالنظر إلى تحويل لورنتز${\displaystyle \Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\ \Delta t)}$، من الواضح أن هناك${\displaystyle v}$أقل من${\displaystyle c}$والتي${\displaystyle \Delta x'=0}$(على وجه الخصوص، ⁠${\displaystyle v=\Delta x/\Delta t}$) . بعبارة أخرى، إذا كان لدينا حدثان منفصلان زمنيًا، فمن الممكن إيجاد إطار زمني يقع فيه الحدثان في نفس المكان. في هذا الإطار الزمني، يكون الفاصل الزمني، ⁠${\displaystyle \Delta s/c}$، ويسمى الوقت المناسب .
• Δs ² < 0: في هذه الحالة، يفصل بين الحدثين مسافة مكانية أكبر من المسافة الزمنية، ولذلك يُقال إنهما منفصلان مكانيًا . وهذا يعني أن${\displaystyle \vert \Delta x/\Delta t\vert >c}$وبالنظر إلى تحويل لورنتز${\displaystyle \Delta t'=\gamma \ (\Delta t-v\Delta x/c^{2})}$، يوجد${\displaystyle v}$أقل من${\displaystyle c}$والتي${\displaystyle \Delta t'=0}$(على وجه الخصوص، ⁠${\displaystyle v=c^{2}\Delta t/\Delta x}$) . بعبارة أخرى، إذا كان لدينا حدثان منفصلان مكانيًا، فمن الممكن إيجاد إطار مرجعي يحدث فيه الحدثان في نفس الوقت. في هذا الإطار، يكون الفصل المكاني، ⁠${\displaystyle \textstyle {\sqrt {-\Delta s^{2}}}}$تُسمى هذه المسافة بالمسافة المناسبة أو الطول المناسب . بالنسبة لقيم${\displaystyle v}$أكبر من وأصغر من${\displaystyle c^{2}\Delta t/\Delta x}$، علامة${\displaystyle \Delta t'}$تتغير الترتيبات الزمنية للأحداث المتباعدة مكانيًا تبعًا للإطار الذي تُشاهد فيه هذه الأحداث. أما الترتيب الزمني للأحداث المتباعدة زمنيًا فهو مطلق، إذ أن الطريقة الوحيدة التي...${\displaystyle v}$قد يكون أكبر من${\displaystyle c^{2}\Delta t/\Delta x}$سيكون ذلك إذا${\displaystyle v>c}$⁠ .
• Δs ² = 0: في هذه الحالة، يُقال إن الحدثين منفصلان بشكل يشبه الضوء . وهذا يعني أن${\displaystyle \vert \Delta x/\Delta t\vert =c}$وهذه العلاقة مستقلة عن الإطار بسبب ثبات${\displaystyle s^{2}}$ومن هذا نلاحظ أن سرعة الضوء هي${\displaystyle c}$في كل إطار مرجعي قصوري. بعبارة أخرى، انطلاقاً من افتراض التغاير اللورنتزي العالمي، فإن ثبات سرعة الضوء هو نتيجة مستنتجة، وليس مسلمة كما هو الحال في صياغة المسلمتين للنظرية الخاصة.

إن تداخل المكان والزمان يلغي المفاهيم المفترضة ضمنيًا للتزامن المطلق والتزامن عبر الأطر غير المتحركة.

شكل ⁠${\displaystyle \Delta s^{2}}$يُظهر الفرق بين مربع الزمن ومربع المسافة المكانية، Δs²، تباينًا جوهريًا بين المسافات الإقليدية ومسافات الزمكان. يُشابه ثبات Δs² ^تحت تحويل لورنتز القياسي ثبات مربعات المسافات Δr² تحت الدوران في الفضاء الإقليدي.على الرغم من أن المكان والزمان متساويان في النسبية، فإن الإشارة السالبة أمام الحدود المكانية تُشير إلى اختلاف جوهري ^{بينهما . فهما ليسا متطابقين. ولأن} فضاء مينكوفسكي يُعامل الزمن بشكل مختلف عن الأبعاد المكانية الثلاثة، فإنهيختلف عن الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد . يُعد ثبات هذه الفترة خاصيةً من خواصتحويل لورنتز العام (المعروف أيضًا بتحويل بوانكاريه )، مما يجعله تماثلًا قياسيًا للزمكان.دوران، أي تعزيز لورنتز ، في اتجاه المحور السيني) ليشمل جميع الإزاحات والانعكاسات والدورانات الأخرى بين أي إطار مرجعي قصوري ديكارتي. ^{[ 34 ] : 33-34}

في تحليل السيناريوهات المبسطة، مثل مخططات الزمكان، غالباً ما يتم استخدام شكل ذي أبعاد مخفضة للفترة الثابتة: $${\displaystyle \Delta s^{2}\,=\,c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}}$$

إن إثبات أن الفترة ثابتة أمر مباشر في حالة الأبعاد المخفضة ومع الإطارات في التكوين القياسي: ^{[ 27 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}&=c^{2}\gamma ^{2}\left(\Delta t'+{\dfrac {v\Delta x'}{c^{2}}}\right)^{2}-\gamma ^{2}\ (\Delta x'+v\Delta t')^{2}\\&=\gamma ^{2}\left(c^{2}\Delta t'^{\,2}+2v\Delta x'\Delta t'+{\dfrac {v^{2}\Delta x'^{\,2}}{c^{2}}}\right)-\gamma ^{2}\ (\Delta x'^{\,2}+2v\Delta x'\Delta t'+v^{2}\Delta t'^{\,2})\\&=\gamma ^{2}c^{2}\Delta t'^{\,2}-\gamma ^{2}v^{2}\Delta t'^{\,2}-\gamma ^{2}\Delta x'^{\,2}+\gamma ^{2}{\dfrac {v^{2}\Delta x'^{\,2}}{c^{2}}}\\&=\gamma ^{2}c^{2}\Delta t'^{\,2}\left(1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}\right)-\gamma ^{2}\Delta x'^{\,2}\left(1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\\&=c^{2}\Delta t'^{\,2}-\Delta x'^{\,2}\end{aligned}}}$$

قيمة${\displaystyle \Delta s^{2}}$وبالتالي فهو مستقل عن الإطار الذي يتم قياسه فيه.

لنفترض حدثين يقعان في موقعين مختلفين ويحدثان في وقت واحد في الإطار المرجعي لمراقب قصوري واحد. قد يحدثان بشكل غير متزامن في الإطار المرجعي لمراقب قصوري آخر (انعدام التزامن المطلق ).

من المعادلة  3 (تحويل لورنتز الأمامي بدلالة فروق الإحداثيات) $${\displaystyle \Delta t'=\gamma \left(\Delta t-{\frac {v\,\Delta x}{c^{2}}}\right)}$$

من الواضح أن الحدثين المتزامنين في الإطار المرجعي S (الذي يحقق Δt = 0 ) ليسا بالضرورة متزامنين في إطار مرجعي قصوري آخر S ′ (الذي يحقق Δt ′ = 0 ). فقط إذا كان هذان الحدثان متجاورين في الإطار المرجعي S (الذي يحقق Δx = 0 ) ، فسيكونان متزامنين في إطار مرجعي آخر S ′ .

يمكن اعتبار تأثير ساغناك مظهرًا من مظاهر نسبية التزامن في الأطر المرجعية المحلية العطالية التي تتحرك مع دوران الأرض. ^{[ 35 ]} تتميز الأجهزة التي تعتمد في تشغيلها على تأثير ساغناك، مثل الجيروسكوبات الليزرية الحلقية والجيروسكوبات الليفية البصرية ، بمستويات حساسية فائقة. ^{[ ص 8 ]}

إن الفاصل الزمني بين حدثين ليس ثابتاً من مراقب لآخر، ولكنه يعتمد على السرعات النسبية لأطر مرجعية المراقبين.

لنفترض أن ساعةً ما في حالة سكون في النظام S غير المُعَلَّم . يُحدَّد موقع الساعة عند دقتين مختلفتين بالمعادلة Δx = 0. لإيجاد العلاقة بين الزمنين بين هاتين الدقتين كما يُقاس في كلا النظامين، يمكن استخدام المعادلة  3 لإيجاد:

${\displaystyle \Delta t'=\gamma \,\Delta t}$ للأحداث المُرضية ${\displaystyle \Delta x=0\ .}$

يُظهر هذا أن الزمن (Δt ′ ) بين دقتي الساعة، كما يُرى في الإطار الذي تتحرك فيه الساعة ( S ′ )، أطول من الزمن (Δt ) بين هاتين الدقاتين كما يُقاس في إطار سكون الساعة ( S ). يُفسر تمدد الزمن عددًا من الظواهر الفيزيائية؛ فعلى سبيل المثال، عمر الميونات عالية السرعة ، الناتجة عن اصطدام الأشعة الكونية بجسيمات في الغلاف الجوي الخارجي للأرض والمتجهة نحو السطح، أطول من عمر الميونات بطيئة الحركة، التي تُنتج وتتحلل في المختبر. ^{[ 36 ]}

عندما يسمع المرء عبارة مفادها أن "الساعات المتحركة تسير ببطء"، عليه أن يتخيل إطارًا مرجعيًا قصوريًا مليئًا بساعات متطابقة ومتزامنة. عندما تتحرك ساعة عبر هذه المجموعة، تتم مقارنة قراءتها عند أي نقطة معينة بساعة ثابتة عند نفس النقطة. ^{[ 37 ] : 149-152}

ستتأخر القياسات المُستقاة من الملاحظة المباشرة لساعة متحركة بسبب السرعة المحدودة للضوء، أي أن الأوقات المرصودة ستتشوه بفعل تأثير دوبلر . يجب دائمًا فهم قياسات التأثيرات النسبية على أنها أُجريت بعد استبعاد تأثيرات السرعة المحدودة للضوء. ^{[ 37 ] : 149-152}

ساعة لانجفين الضوئية

ساهم بول لانجفين ، أحد أوائل مؤيدي نظرية النسبية، بشكل كبير في نشرها على نطاق واسع رغم معارضة العديد من الفيزيائيين لمفاهيم أينشتاين الثورية. ومن بين إسهاماته العديدة في أسس النسبية الخاصة، عمله المستقل على علاقة الكتلة بالطاقة، ودراسته المتعمقة لمفارقة التوأم، وبحوثه في أنظمة الإحداثيات الدوارة. وكثيراً ما يُنسب إليه مفهوم افتراضي يُسمى "ساعة الضوء" (الذي طوره لويس وتولمان في الأصل عام 1909 ^{[ 38 ]} )، والذي استخدمه لاشتقاق جديد لتحويل لورنتز. ^{[ 39 ]}

يُتصوَّر أن الساعة الضوئية عبارة عن صندوق ذي جدران عاكسة تمامًا، حيث ينعكس الضوء ذهابًا وإيابًا بين وجهيها المتقابلين. وكثيرًا ما يُدرَّس مفهوم تمدد الزمن باستخدام ساعة ضوئية تتحرك حركة قصورية منتظمة عمودية على خط يصل بين المرآتين. ^{[ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ]} (وقد استخدم لانجفين نفسه ساعة ضوئية موجهة بالتوازي مع خط حركتها. ^{[ 39 ]} )

لنفترض السيناريو الموضح في الشكل 4-3أ. يحمل المراقب أ ساعة ضوئية طولها${\displaystyle L}$بالإضافة إلى مؤقت إلكتروني تقيس به المدة التي تستغرقها النبضة للقيام بدورة ذهابًا وإيابًا على طول ساعة الضوء. على الرغم من أن الراصدة (أ) تسافر بسرعة على طول القطار، إلا أنها ترى أن انبعاث النبضة واستقبالها يحدثان في نفس المكان، وتقيس الفاصل الزمني باستخدام ساعة واحدة موجودة في الموضع الدقيق لهذين الحدثين. بالنسبة للفاصل الزمني بين هذين الحدثين، تجد الراصدة (أ) ⁠${\displaystyle t_{\text{A}}=2L/c}$. يُطلق على الفترة الزمنية التي تُقاس باستخدام ساعة واحدة ثابتة في إطار مرجعي معين اسم الفترة الزمنية المناسبة . ^{[ 44 ]}

يوضح الشكل 4-3ب هذين الحدثين نفسيهما من وجهة نظر المراقب ب، الذي يقف بجانب السكة الحديدية بينما يمر القطار بسرعة ⁠${\displaystyle v}$بدلاً من أن تتحرك النبضات بشكل مستقيم لأعلى ولأسفل، يرى المراقب "ب" النبضات تتحرك على طول خط متعرج. ومع ذلك، وبسبب فرضية ثبات سرعة الضوء، فإن سرعة النبضات على طول هذه الخطوط القطرية متساوية.${\displaystyle c}$رصد المراقب (أ) نبضاتها الصاعدة والهابطة. يقيس المراقب (ب) سرعة المكون الرأسي لهذه النبضات.${\textstyle \pm {\sqrt {c^{2}-v^{2}}},}$بحيث يكون إجمالي زمن ذهاب وإياب النبضات هو${\textstyle t_{\text{B}}=2L{\big /}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}={}}$⁠${\displaystyle \textstyle t_{\text{A}}{\big /}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$لاحظ أنه بالنسبة للمراقب (ب)، حدث انبعاث واستقبال نبضة الضوء في مكانين مختلفين، وقام بقياس الفاصل الزمني باستخدام ساعتين ثابتتين ومتزامنتين موجودتين في موقعين مختلفين ضمن إطاره المرجعي. ولذلك، فإن الفاصل الزمني الذي قاسه (ب) لم يكن فاصلاً زمنياً حقيقياً لأنه لم يقيسه بساعة واحدة ثابتة. ^{[ 44 ]}

يؤدي تبادل تمدد الزمن بين مراقبين في إطارين مرجعيين منفصلين إلى ما يُعرف بمفارقة التوأم ، التي صاغها لانجفين بصيغتها الحالية عام ١٩١١. ^{[ ٤٦ ]} تخيّل لانجفين مغامرًا يرغب في استكشاف مستقبل الأرض. يستقل هذا المسافر مركبة قادرة على السفر بسرعة ٩٩.٩٩٥٪ من سرعة الضوء. بعد رحلة ذهابًا وإيابًا إلى نجم قريب تستغرق عامين فقط من عمره، يعود إلى أرضٍ أكبر بمئتي عام.

تبدو هذه النتيجة محيرة، إذ يرى كل من المسافر والمراقب الأرضي الآخر متحركًا، وبالتالي، وبسبب تبادلية تمدد الزمن، قد يتوقع المرء في البداية أن يجد كل منهما أن الآخر قد تقدم في العمر أقل. في الواقع، لا يوجد أي تناقض على الإطلاق، لأنه لكي يتمكن المراقبان من إجراء مقارنات جنبًا إلى جنب لأوقاتهما الذاتية المنقضية، يجب كسر تناظر الموقف: يجب على أحد المراقبين على الأقل تغيير حالة حركته لتتوافق مع حالة الآخر. ^{[ 47 ]}

مع ذلك، فإن معرفة الحل العام للمفارقة لا تُتيح مباشرةً القدرة على حساب نتائج كمية صحيحة. وقد قُدِّمت حلول عديدة لهذه المعضلة في الأدبيات، وتم استعراضها في مقال مفارقة التوأم . وسنتناول فيما يلي أحد هذه الحلول.

هدفنا الأساسي هو إثبات أنه بعد الرحلة، يتفق التوأمان تمامًا على مقدار تقدم كل منهما في العمر، بغض النظر عن اختلاف تجاربهما. يوضح الشكل 4-4 سيناريو يسافر فيه أحد التوأمين بسرعة 0.6 من سرعة الضوء (c) ذهابًا وإيابًا من نجم يبعد 3 سنوات ضوئية . خلال الرحلة، يرسل كل توأم إشارات زمنية سنوية (مقاسة بزمنه الخاص) إلى الآخر. بعد الرحلة، تتم مقارنة القيم التراكمية. في المرحلة الأولى من الرحلة، يستقبل كل توأم إشارات الآخر بمعدل منخفض قدره ⁠${\displaystyle \textstyle f'=f{\sqrt {(1-\beta )/(1+\beta )}}}$في البداية، يكون الوضع متناظرًا تمامًا: لاحظ أن كل توأم يتلقى إشارة الآخر بعد عام واحد عند مرور عامين على ساعته الخاصة. ينكسر التناظر عندما يعود التوأم المسافر عند مرور أربع سنوات على ساعته. خلال السنوات الأربع المتبقية من رحلته، يتلقى إشارات بمعدل مُعزز قدره${\displaystyle \textstyle f''=f{\sqrt {(1+\beta )/(1-\beta )}}}$يختلف الوضع تمامًا مع التوأم الثابت. فبسبب تأخر سرعة الضوء، لا يرى أخته تستدير إلا بعد مرور ثماني سنوات على ساعته. وبالتالي ، يتلقى إشارات مُحسّنة من أخته لفترة وجيزة نسبيًا. ورغم اختلاف التوأمين في قياساتهما للوقت الإجمالي، نلاحظ في الجدول التالي، وكذلك من خلال ملاحظة مخطط مينكوفسكي، أن كل توأم يتفق تمامًا مع الآخر بشأن العدد الإجمالي للإشارات المُرسلة بينهما. ومن ثم، لا يوجد أي تناقض. ^{[ 37 ] : 152-159}

غرض	تم قياس ذلك من خلال الأشخاص الذين بقوا في منازلهم	الشكل 4-4	يقيسها المسافر	الشكل 4-4
إجمالي وقت الرحلة	${\displaystyle T={\frac {2L}{v}}}$	10 سنوات	${\displaystyle T'={\frac {2L}{\gamma v}}}$	8 سنوات
إجمالي عدد النبضات المرسلة	${\displaystyle fT={\frac {2fL}{v}}}$	10	${\displaystyle fT'={\frac {2fL}{\gamma v}}}$	8
الوقت الذي يتم فيه رصد عودة المسافر	${\displaystyle t_{1}={\frac {L}{v}}+{\frac {L}{c}}}$	8 سنوات	${\displaystyle t_{1}'={\frac {L}{\gamma v}}}$	4 سنوات
عدد النبضات المستلمة في البداية${\displaystyle f'}$معدل	${\displaystyle f't_{1}}$${\displaystyle ={\frac {fL}{v}}(1+\beta )\left({\frac {1-\beta }{1+\beta }}\right)^{1/2}}$${\displaystyle ={\frac {fL}{v}}(1-\beta ^{2})^{1/2}}$	4	${\displaystyle f't_{1}'}$${\displaystyle ={\frac {fL}{v}}(1-\beta ^{2})^{1/2}\left({\frac {1-\beta }{1+\beta }}\right)^{1/2}}$${\displaystyle ={\frac {fL}{v}}(1-\beta )}$	2
حان وقت استكمال الرحلة	${\displaystyle t_{2}={\frac {L}{v}}-{\frac {L}{c}}}$	سنتان	${\displaystyle t_{2}'={\frac {L}{\gamma v}}}$	4 سنوات
عدد الإشارات المستلمة في المرحلة النهائية${\displaystyle f''}$معدل	${\displaystyle f''t_{2}}$${\displaystyle ={\frac {fL}{v}}(1-\beta )\left({\frac {1+\beta }{1-\beta }}\right)^{1/2}}$${\displaystyle ={\frac {fL}{v}}(1-\beta ^{2})^{1/2}}$	4	${\displaystyle f''t_{2}'}$${\displaystyle ={\frac {fL}{v}}(1-\beta ^{2})^{1/2}\left({\frac {1+\beta }{1-\beta }}\right)^{1/2}}$${\displaystyle ={\frac {fL}{v}}(1+\beta )}$	8
إجمالي عدد النبضات المستلمة	${\displaystyle {\frac {2fL}{v}}(1-\beta ^{2})^{1/2}}$${\displaystyle ={\frac {2fL}{\gamma v}}}$	8	${\displaystyle {\frac {2fL}{v}}}$	10
حسابات التوأم لتحديد العمر الذي كان ينبغي أن يكون عليه التوأم الآخر	${\displaystyle T'={\frac {2L}{\gamma v}}}$	8 سنوات	${\displaystyle T={\frac {2L}{v}}}$	10 سنوات

قد تكون أبعاد الجسم (مثل الطول) كما يقيسها مراقب واحد أصغر من نتائج قياسات نفس الجسم التي أجراها مراقب آخر (على سبيل المثال، مفارقة السلم تتضمن سلمًا طويلًا يتحرك بسرعة تقارب سرعة الضوء ويكون موجودًا داخل مرآب أصغر).

وبالمثل، لنفترض أن قضيب قياس ساكن ومحاذي للمحور السيني في النظام S غير المُعَلَّم . في هذا النظام، يُرمز لطول هذا القضيب بـ Δx . لقياس طول هذا القضيب في النظام S ′ ، حيث يتحرك القضيب، يجب قياس المسافات x ′ إلى طرفي القضيب في آنٍ واحد في ذلك النظام S′. بعبارة أخرى، يتميز القياس بـ Δt′ = 0 ، والذي يمكن دمجه مع المعادلة  4 لإيجاد العلاقة بين الطولين Δx و Δx ′ .

${\displaystyle \Delta x'={\frac {\Delta x}{\gamma }}}$  للأحداث المُرضية ${\displaystyle \Delta t'=0\ .}$

وهذا يدل على أن طول (Δ x ′ ) القضيب كما تم قياسه في الإطار الذي يتحرك فيه ( S ′ )، أقصر من طوله (Δ x ) في إطار سكونه الخاص ( S ).

إن تمدد الزمن وانكماش الطول ليسا مجرد ظواهر بصرية. يرتبط تمدد الزمن ارتباطًا وثيقًا بطريقة قياسنا للفواصل الزمنية بين الأحداث التي تقع في نفس المكان ضمن نظام إحداثيات معين (وتُسمى أحداثًا "متزامنة"). تختلف هذه الفواصل الزمنية في نظام إحداثيات آخر يتحرك بالنسبة للنظام الأول، إلا إذا كانت الأحداث، بالإضافة إلى كونها متزامنة، متزامنة أيضًا. وبالمثل، يرتبط انكماش الطول بالمسافات التي نقيسها بين أحداث منفصلة ولكنها متزامنة في نظام إحداثيات معين. إذا لم تكن هذه الأحداث متزامنة، بل كانت مفصولة بمسافة (مكان)، فلن تقع على نفس المسافة المكانية من بعضها البعض عند رؤيتها من نظام إحداثيات آخر متحرك.

لنفترض وجود إطارين مرجعيين S و S ′ في التكوين القياسي. يتحرك جسيم في S في اتجاه x بمتجه سرعة ⁠${\displaystyle \mathbf {u} }$ما هي سرعته ؟${\displaystyle \mathbf {u'} }$في الإطار S ′ ؟

يمكننا الكتابة

$${\displaystyle \mathbf {|u|} =u=dx/dt\,.}$$

7

$${\displaystyle \mathbf {|u'|} =u'=dx'/dt'\,.}$$

8

استبدال التعبيرات بـ${\displaystyle dx'}$و${\displaystyle dt'}$بإدخال المعادلة  5 في المعادلة  8 ، متبوعًا بعمليات رياضية مباشرة وتعويض عكسي من المعادلة  7، نحصل على تحويل لورنتز للسرعة${\displaystyle u}$إلى​${\displaystyle u'}$⁠ :

$${\displaystyle u'={\frac {dx'}{dt'}}={\frac {\gamma (dx-v\,dt)}{\gamma \left(dt-{\dfrac {v\,dx}{c^{2}}}\right)}}={\frac {{\dfrac {dx}{dt}}-v}{1-{\dfrac {v}{c^{2}}}\,{\dfrac {dx}{dt}}}}={\frac {u-v}{1-{\dfrac {uv}{c^{2}}}}}.}$$

9

يتم الحصول على العلاقة العكسية عن طريق تبديل الرموز المميزة وغير المميزة واستبدالها${\displaystyle v}$مع​${\displaystyle -v}$⁠ .

$${\displaystyle u={\frac {u'+v}{1+u'v/c^{2}}}.}$$

10

ل${\displaystyle \mathbf {u} }$إذا لم تكن محاذية للمحور السيني، نكتب: ^{[ 13 ] : 47-49}

$${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{1},\ u_{2},\ u_{3})=(dx/dt,\ dy/dt,\ dz/dt)\ .}$$

11

$${\displaystyle \mathbf {u'} =(u_{1}',\ u_{2}',\ u_{3}')=(dx'/dt',\ dy'/dt',\ dz'/dt')\ .}$$

12

التحويلات الأمامية والعكسية لهذه الحالة هي:

$${\displaystyle u_{1}'={\frac {u_{1}-v}{1-u_{1}v/c^{2}}}\ ,\qquad u_{2}'={\frac {u_{2}}{\gamma \left(1-u_{1}v/c^{2}\right)}}\ ,\qquad u_{3}'={\frac {u_{3}}{\gamma \left(1-u_{1}v/c^{2}\right)}}\ .}$$

13

$${\displaystyle u_{1}={\frac {u_{1}'+v}{1+u_{1}'v/c^{2}}}\ ,\qquad u_{2}={\frac {u_{2}'}{\gamma \left(1+u_{1}'v/c^{2}\right)}}\ ,\qquad u_{3}={\frac {u_{3}'}{\gamma \left(1+u_{1}'v/c^{2}\right)}}\ .}$$

14

 يمكن تفسير المعادلتين 10 و 14  على أنهما تعطيان النتيجة${\displaystyle \mathbf {u} }$من بين السرعتين${\displaystyle \mathbf {v} }$و​${\displaystyle \mathbf {u'} }$وتحل محل الصيغة${\displaystyle \mathbf {u=u'+v} }$وهي صالحة في النسبية الغاليلية. عند تفسيرها بهذه الطريقة، يُشار إليها عادةً باسم صيغ جمع (أو تركيب) السرعات النسبية ، ^وهي صالحة عندما تكون المحاور الثلاثة لـ S و S ′ متوازية (وإن لم يكن بالضرورة في التكوين القياسي). ^{[ 13 ]} : ^47-49

نلاحظ النقاط التالية:

• إذا كان جسم ما (على سبيل المثال، فوتون ) يتحرك بسرعة الضوء في إطار مرجعي واحد (أي u = ± c أو u ′ = ± c ) ، فإنه سيتحرك أيضًا بسرعة الضوء في أي إطار مرجعي آخر، ويتحرك بسرعة | v | < c .
• إن السرعة الناتجة عن سرعتين بمقدار أقل من c هي دائمًا سرعة بمقدار أقل من c .
• إذا كانت كل من | u | و | v | (وبالتالي أيضًا | u ′ | و | v ′ | ) صغيرة بالنسبة لسرعة الضوء (أي، على سبيل المثال، | u / c | ≪ 1 ) ، فإنه يمكن استعادة تحويلات غاليليو البديهية من معادلات التحويل الخاصة بالنسبية الخاصة .
• إن ربط إطار بفوتون ( ركوب شعاع ضوئي كما يعتبر أينشتاين) يتطلب معالجة خاصة للتحولات.

لا يوجد ما يميز الاتجاه السيني في التكوين القياسي. ينطبق الشكل الرياضي المذكور أعلاه على أي اتجاه؛ وتتيح ثلاثة اتجاهات متعامدة التعامل مع جميع الاتجاهات في الفضاء عن طريق تحليل متجهات السرعة إلى مركباتها في هذه الاتجاهات. راجع صيغة جمع السرعات لمزيد من التفاصيل.

الشكل 4-5. دوران توماس-ويغنر

إن تركيب اثنين من تعزيزات لورنتز غير الخطية (أي اثنين من تحويلات لورنتز غير الخطية، لا يتضمن أي منهما الدوران) ينتج عنه تحويل لورنتز ليس تعزيزًا خالصًا ولكنه تركيب من تعزيز ودوران.

ينتج دوران توماس عن نسبية التزامن. في الشكل  4-5أ، قضيب طوله${\displaystyle L}$في إطار سكونه (أي، بطول مناسب قدره ⁠${\displaystyle L}$) يرتفع عموديًا على طول المحور y في الإطار الأرضي.

في الشكل  4-5ب، يُلاحظ نفس القضيب من إطار صاروخ يتحرك بسرعة${\displaystyle v}$إلى اليمين. إذا تخيلنا ساعتين موجودتين على طرفي القضيب الأيسر والأيمن متزامنتين في إطار القضيب ، فإن نسبية التزامن تجعل المراقب في إطار الصاروخ يلاحظ (لا يرى ) الساعة الموجودة على الطرف الأيمن من القضيب وكأنها متقدمة في الوقت بمقدار${\displaystyle Lv/c^{2}}$وبالتالي ، يُلاحظ أن القضيب مائل. ^{[ 10 ] : 98-99}

على عكس التأثيرات النسبية من الدرجة الثانية، مثل انكماش الطول أو تمدد الزمن، يصبح هذا التأثير بالغ الأهمية حتى عند السرعات المنخفضة نسبيًا. على سبيل المثال، يمكن ملاحظة ذلك في دوران الجسيمات المتحركة ، حيث يُعدّ ترنّح توماس تصحيحًا نسبيًا ينطبق على دوران جسيم أولي أو دوران جيروسكوب عياني ، ويربط السرعة الزاوية لدوران جسيم يتبع مدارًا منحنيًا بالسرعة الزاوية للحركة المدارية. ^{[ 10 ] : 169-174}

يُقدّم دوران توماس حلاً لمفارقة "المقياس والثقب" المعروفة. ^{[ ص 9 ] [ 10 ] : 98-99}

في الشكل  4-6، تُعتبر الفترة الزمنية بين الحدثين A (السبب) وB (النتيجة) "زمنية"؛ أي أن هناك إطارًا مرجعيًا يقع فيه الحدثان A وB في نفس الموقع المكاني ، ويفصل بينهما فقط اختلاف التوقيت. إذا سبق A الحدث B في ذلك الإطار، فإن A يسبق B في جميع الأطر التي يمكن الوصول إليها بتحويل لورنتز. من الممكن للمادة (أو المعلومات) أن تنتقل (بسرعة أقل من سرعة الضوء) من موقع A، بدءًا من وقت A، إلى موقع B، وصولًا إلى وقت B، وبالتالي يمكن أن تكون هناك علاقة سببية (حيث A هو السبب وB هو النتيجة).

الفترة AC في الرسم التخطيطي "مكانية"؛ أي أن هناك إطارًا مرجعيًا يحدث فيه الحدثان A وC في آنٍ واحد، ويفصل بينهما المكان فقط. توجد أيضًا أطر مرجعية يسبق فيها A الحدث C (كما هو موضح)، وأطر مرجعية يسبق فيها C الحدث A. لكن لا توجد أطر مرجعية يمكن الوصول إليها بتحويل لورنتز، حيث يحدث فيها الحدثان A وC في الموقع نفسه. لو كان من الممكن وجود علاقة سببية بين الحدثين A وC، لنتج عن ذلك مفارقات في السببية.

على سبيل المثال، إذا أمكن إرسال الإشارات بسرعة تفوق سرعة الضوء، فإنه يمكن إرسالها إلى ماضي المرسل (المراقب ب في المخططات). ^{[ 48 ] [ ص 10 ]} ويمكن حينها بناء مجموعة متنوعة من المفارقات السببية.

الشكل 4-7. انتهاك السببية باستخدام "أجهزة اتصال فورية" وهمية

انظر إلى مخططات الزمكان في الشكل  4-7. يقف كل من A وB بجانب خط سكة حديد، بينما يمر قطار فائق السرعة، ويركب C في العربة الأخيرة من القطار، ويركب D في العربة الأمامية. خطوط العالم الخاصة بـ A وB عمودية ( ct )، مما يميز وضعهما الثابت على الأرض، بينما خطوط العالم الخاصة بـ C وD مائلة للأمام ( ct ′ )، مما يعكس الحركة السريعة للمراقبين C وD الثابتين في قطارهما، كما يُرى من الأرض.

1. الشكل  4-7أ. يُمثل حدث "إرسال B رسالة إلى D"، أثناء مرور العربة الأمامية، نقطة انطلاق إطار D. يُرسل D الرسالة على طول القطار إلى C في العربة الخلفية، باستخدام "جهاز اتصال فوري" وهمي. يُمثل السهم الأحمر السميك خط العالم لهذه الرسالة على طول${\displaystyle -x'}$المحور، وهو خط التزامن في الإطارات المميزة لـ C و D. في الإطار الأرضي (غير المميز) تصل الإشارة في وقت أبكر مما تم إرسالها فيه.
2. الشكل  4-7ب. يُمثل حدث "نقل C للرسالة إلى A"، الواقف بجوار خط السكة الحديد، نقطة انطلاق إطاراتهما. الآن، يُرسل A الرسالة على طول السكة إلى B عبر "جهاز اتصال فوري". يُمثل السهم الأزرق السميك خط مسار هذه الرسالة، على طول...${\displaystyle +x}$المحور، وهو خط التزامن لإطاري A وB. وكما هو موضح في مخطط الزمكان، في الإطارين C وD المُعَلَّمَين، سيتلقى B الرسالة قبل إرسالها، وهو ما يُعد انتهاكًا لمبدأ السببية. ^{[ 49 ]}

ليس من الضروري أن تكون الإشارات فورية لانتهاك مبدأ السببية. حتى لو كانت الإشارة من D إلى C أقل عمقًا بقليل من${\displaystyle x'}$المحور (والإشارة من A إلى B أكثر انحدارًا بقليل من${\displaystyle x}$على المحور)، سيظل بإمكان (ب) استلام رسالته قبل إرسالها. بزيادة سرعة القطار إلى سرعات تقارب سرعة الضوء،${\displaystyle ct'}$و${\displaystyle x'}$يمكن ضغط المحاور لتكون قريبة جدًا من الخط المتقطع الذي يمثل سرعة الضوء. باستخدام هذا الإعداد المعدل، يمكن إثبات أن حتى الإشارات التي تزيد سرعتها قليلاً عن سرعة الضوء ستؤدي إلى انتهاك مبدأ السببية. ^{[ 50 ]}

لذلك، إذا كان من المقرر الحفاظ على السببية ، فإن إحدى نتائج النسبية الخاصة هي أنه لا يمكن لأي إشارة معلومات أو جسم مادي أن يسافر أسرع من الضوء في الفراغ.

المادة والطاقة فقط هما ما يحدّهما سرعة الضوء. ويمكن وصف حالاتٍ عديدةٍ بسيطةٍ تتحرك فيها نقاطٌ وهميةٌ بسرعةٍ تفوق سرعة الضوء. ^{[ 51 ]} على سبيل المثال، يمكن أن يتحرك موضع اصطدام شعاع كشاف ضوئي بأسفل سحابةٍ بسرعةٍ تفوق سرعة الضوء عند تحريك الكشاف بسرعة. شعاع الضوء ليس مادةً صلبةً، ولا يتبع حركة الكشاف فورًا، وبالتالي لا يخالف مبدأ السببية أو أي ظاهرةٍ نسبيةٍ أخرى. ^{[ 52 ] [ 53 ]}

في عام ١٨٥٠، أثبت كلٌ من هيبوليت فيزو وليون فوكو ، كلٌ على حدة، أن الضوء ينتقل في الماء أبطأ منه في الهواء، مما يُؤكد صحة تنبؤ نظرية فرينل الموجية للضوء، ويُبطل التنبؤ المُقابل لنظرية نيوتن الجسيمية . ^{[ ٥٤ ]} وقد قُيست سرعة الضوء في الماء الساكن. فما هي سرعة الضوء في الماء الجاري؟

في عام ١٨٥١، أجرى فيزو تجربةً للإجابة عن هذا السؤال، ويُظهر الشكل  ٥-١ تمثيلاً مبسطاً لها. يُقسّم شعاع ضوئي بواسطة مُقسّم شعاع، ثم يُمرّر الشعاعان المُقسّمان في اتجاهين متعاكسين عبر أنبوب ماء جارٍ. يُعاد تجميعهما لتشكيل أهداب تداخل، مما يدل على اختلاف في طول المسار البصري، وهو ما يمكن للمراقب رؤيته. أثبتت التجربة أن سحب الضوء بواسطة الماء الجاري يُسبب إزاحة الأهداب، مما يُشير إلى أن حركة الماء قد أثرت على سرعة الضوء.

وفقًا للنظريات السائدة آنذاك، فإن سرعة الضوء المنتقل عبر وسط متحرك هي ببساطة مجموع سرعته في ذلك الوسط وسرعة الوسط نفسه. وخلافًا للتوقعات، وجد فيزو أنه على الرغم من أن الضوء يبدو وكأنه يُسحب بواسطة الماء، إلا أن مقدار هذا السحب كان أقل بكثير مما كان متوقعًا.${\displaystyle u'=c/n}$هي سرعة الضوء في الماء الساكن، و${\displaystyle v}$هي سرعة الماء، و${\displaystyle u_{\pm }}$هل سرعة الضوء في الماء في الإطار المختبري مع تدفق الماء الذي يضيف إلى سرعة الضوء أو يطرح منها، إذن $${\displaystyle u_{\pm }={\frac {c}{n}}\pm v\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)\ .}$$

على الرغم من أن نتائج فيزو كانت متوافقة مع فرضية فرينل السابقة حول السحب الجزئي للأثير ، إلا أنها كانت مثيرة للقلق الشديد لدى الفيزيائيين في ذلك الوقت. ومن بين أمور أخرى، فإن وجود مصطلح معامل الانكسار يعني أنه بما أن${\displaystyle n}$يعتمد ذلك على الطول الموجي، لذا يجب أن يكون الأثير قادرًا على تحمل حركات مختلفة في الوقت نفسه . ^{[ ملاحظة 1 ]} طُرحت تفسيرات نظرية متنوعة لتفسير معامل سحب فرينل ، وكانت هذه التفسيرات متعارضة تمامًا فيما بينها. حتى قبل تجربة ميكلسون-مورلي، كانت نتائج فيزو التجريبية من بين عدد من الملاحظات التي خلقت وضعًا حرجًا في تفسير بصريات الأجسام المتحركة. ^{[ 55 ]}

من وجهة نظر النسبية الخاصة، فإن نتيجة فيزو ليست سوى تقريب للمعادلة  10 ، وهي الصيغة النسبية لتركيب السرعات. ^{[ 34 ]}

${\displaystyle u_{\pm }={\frac {u'\pm v}{1\pm u'v/c^{2}}}=}$${\displaystyle {\frac {c/n\pm v}{1\pm v/cn}}\approx }$${\displaystyle c\left({\frac {1}{n}}\pm {\frac {v}{c}}\right)\left(1\mp {\frac {v}{cn}}\right)\approx }$${\displaystyle {\frac {c}{n}}\pm v\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}$

بسبب السرعة المحدودة للضوء، إذا تضمنت الحركة النسبية للمصدر والمستقبل مركبة عرضية، فإن اتجاه وصول الضوء إلى المستقبل سينحرف عن موقعه الهندسي بالنسبة للمستقبل. يأخذ الحساب الكلاسيكي للإزاحة شكلين، ويقدم تنبؤات مختلفة تبعًا لحركة المستقبل أو المصدر أو كليهما بالنسبة للوسط. (1) إذا كان المستقبل متحركًا، فإن الإزاحة ستكون نتيجة انحراف الضوء . ويمكن حساب زاوية سقوط الشعاع بالنسبة للمستقبل من المجموع الاتجاهي لحركات المستقبل وسرعة الضوء الساقط. ^{[ 56 ]} (2) إذا كان المصدر متحركًا، فإن الإزاحة ستكون نتيجة تصحيح زمن الضوء . وستكون إزاحة الموقع الظاهري للمصدر عن موقعه الهندسي ناتجة عن حركة المصدر خلال الزمن الذي يستغرقه ضوءه للوصول إلى المستقبل. ^{[ 57 ]}

فشل التفسير الكلاسيكي في الاختبار التجريبي. بما أن زاوية الانحراف تعتمد على العلاقة بين سرعة المستقبل وسرعة الضوء الساقط، فإن مرور الضوء الساقط عبر وسط انكساري من شأنه أن يغير زاوية الانحراف. في عام 1810، استخدم أراغو هذه الظاهرة المتوقعة في محاولة فاشلة لقياس سرعة الضوء، ^{[ 58 ]} وفي عام 1870، اختبر جورج إيري هذه الفرضية باستخدام تلسكوب مملوء بالماء، ووجد، خلافًا للتوقعات، أن الانحراف المقاس كان مطابقًا للانحراف المقاس باستخدام تلسكوب مملوء بالهواء. ^{[ 59 ]} وقد استخدمت محاولة "معقدة" لتفسير هذه النتائج فرضية السحب الأثيري الجزئي، ^{[ 60 ]} لكنها كانت غير متوافقة مع نتائج تجربة ميكلسون-مورلي، التي تطلبت على ما يبدو سحبًا أثيريًا كاملًا . ^{[ 61 ]}

بافتراض الأطر المرجعية العطالية، فإن التعبير النسبي لانحراف الضوء ينطبق على حالتي حركة المُستقبِل وحركة المصدر. وقد نُشرت العديد من الصيغ المكافئة مثلثيًا.  وتشمل هذه الصيغ، المُعبَّر عنها بدلالة المتغيرات في الشكل 5-2، المرجع ^{[ 34 ] : 57-60}

${\displaystyle \cos \theta '={\frac {\cos \theta +v/c}{1+(v/c)\cos \theta }}}$  أو  ${\displaystyle \sin \theta '={\frac {\sin \theta }{\gamma [1+(v/c)\cos \theta ]}}}$  أو  ${\displaystyle \tan {\frac {\theta '}{2}}=\left({\frac {c-v}{c+v}}\right)^{1/2}\tan {\frac {\theta }{2}}}$

إن تمدد الزمن وانكماش الطول ليسا مجرد خدع بصرية، بل هما ظاهرتان حقيقيتان. ولا تُعدّ قياسات هاتين الظاهرتين نتاجًا لتأثير دوبلر ، كما أنها ليست نتيجة إغفال الوقت الذي يستغرقه الضوء للانتقال من الحدث إلى الراصد.

يُفرّق العلماء بشكلٍ أساسي بين القياس أو الملاحظة من جهة، والمظهر المرئي ، أو ما يُرى بالعين من جهة أخرى. فالشكل المقاس لجسم ما هو صورة افتراضية لجميع نقاطه كما هي موجودة في لحظة زمنية محددة. أما المظهر المرئي للجسم فيتأثر باختلاف المدة الزمنية التي يستغرقها الضوء للانتقال من نقاط مختلفة على الجسم إلى العين.

لسنوات عديدة، لم يكن التمييز بين الشكلين مفهوماً بشكل عام، وكان يُعتقد أن الجسم الذي يمر أمام الراصد وهو يبدو منكمشاً سيُلاحظ على أنه منكمش. في عام ١٩٥٩، أشار كل من جيمس تيريل وروجر بنروز، بشكل مستقل، إلى أن تأثيرات تأخر الإشارة في الإشارات التي تصل إلى الراصد من أجزاء مختلفة من جسم متحرك تؤدي إلى اختلاف المظهر المرئي للجسم سريع الحركة اختلافاً كبيراً عن شكله المقاس. على سبيل المثال، سيبدو الجسم المبتعد منكمشاً ، والجسم المقترب مطولاً، والجسم المارّ له مظهر مائل يُشبه الدوران. ^{[ ص ١٣ ] [ ص ١٤ ] [ ٦٥ ] [ ٦٦ ]} تحتفظ الكرة المتحركة بشكلها الدائري مهما كانت سرعتها أو مسافتها أو زاوية رؤيتها، على الرغم من أن سطح الكرة والصور المنعكسة عليه ستظهر مشوهة. ^{[ ٦٧ ] [ ٦٨ ]}

يوضح الشكلان  5-4 و5-5  أجسامًا تتحرك بشكل عرضي بالنسبة لخط الرؤية. في الشكل  5-4، يُنظر إلى مكعب من مسافة تساوي أربعة أضعاف طول أضلاعه. عند السرعات العالية، تبدو أضلاع المكعب العمودية على اتجاه الحركة ذات شكل زائدي. لا يدور المكعب، بل يستغرق الضوء القادم من خلفه وقتًا أطول للوصول إلى العين مقارنةً بالضوء القادم من أمامه، وخلال هذه الفترة يكون المكعب قد تحرك إلى اليمين. عند السرعات العالية، تتخذ الكرة في الشكل  5-5 مظهر قرص مسطح مائل بزاوية تصل إلى 45 درجة عن خط الرؤية. إذا لم تكن حركة الأجسام عرضية تمامًا، بل تضمنت حركة طولية، فقد تُلاحظ تشوهات مبالغ فيها في المنظور. ^{[ 69 ]} يُعرف هذا الوهم البصري بدوران تيريل أو تأثير تيريل-بنروز .

مثال آخر على تعارض المظهر المرئي مع القياسات يظهر في رصد الحركة الظاهرية فائقة السرعة في مجرات راديوية مختلفة ، وأجسام BL Lac ، والكوازارات ، وغيرها من الأجرام الفلكية التي تقذف نفاثات من المادة بسرعات نسبية بزوايا ضيقة بالنسبة للمشاهد. ينتج عن ذلك وهم بصري يوحي بحركة أسرع من الضوء. ^{[ 70 ] [ 71 ] [ 72 ]} في الشكل  5-6، تقذف المجرة M87 نفاثًا عالي السرعة من الجسيمات دون الذرية باتجاهنا مباشرة تقريبًا، لكن دوران بنروز-تيريل يجعل النفاثة تبدو وكأنها تتحرك جانبيًا بنفس الطريقة التي امتد بها شكل المكعب في الشكل  5-4. ^{[ 73 ]}

يُعدّ تكافؤ الكتلة والطاقة نتيجةً للنسبية الخاصة. فالطاقة والزخم، وهما منفصلان في الميكانيكا النيوتونية، يُشكّلان متجهًا رباعيًا في النسبية، وهذا يربط بين مُركّبة الزمن (الطاقة) ومُركّبات المكان (الزخم) بطريقةٍ غير بديهية. بالنسبة لجسمٍ ساكن، يكون متجه الطاقة-الزخم الرباعي هو ( E / c , 0, 0, 0) : له مُركّبة زمنية، وهي الطاقة، وثلاث مُركّبات مكانية، وهي تساوي صفرًا. بتغيير الإطار المرجعي باستخدام تحويل لورنتز في اتجاه المحور السيني مع قيمة صغيرة للسرعة v، يصبح متجه الطاقة-الزخم الرباعي هو ( E / c , Ev / c² , 0, 0) . الزخم يساوي الطاقة مضروبةً في السرعة مقسومةً على c² . وبذلك، ^فإن الكتلة النيوتونية لجسمٍ ما ، وهي نسبة الزخم إلى السرعة للسرعات المنخفضة ، تساوي E / ^{c² .}

الطاقة والزخم من خصائص المادة والإشعاع، ومن المستحيل استنتاج أنهما يشكلان متجهًا رباعيًا من مسلمتي النسبية الخاصة الأساسيتين وحدهما، لأنهما لا تتحدثان عن المادة أو الإشعاع، بل عن المكان والزمان فقط. لذا، يتطلب هذا الاستنتاج بعض الاستدلال الفيزيائي الإضافي. في بحثه المنشور عام ١٩٠٥، استخدم أينشتاين المبادئ الإضافية التي ينبغي أن تنطبق عليها الميكانيكا النيوتونية عند السرعات المنخفضة، بحيث يكون هناك كمية قياسية واحدة للطاقة وزخم ثلاثي المتجهات عند هذه السرعات، وأن قانون حفظ الطاقة والزخم صحيح تمامًا في النسبية. علاوة على ذلك، افترض أن طاقة الضوء تتحول بنفس عامل إزاحة دوبلر الذي يتحول به ترددها، وهو ما أثبت صحته سابقًا استنادًا إلى معادلات ماكسويل. ^{[ ص ١ ]} كان أول بحث لأينشتاين في هذا الموضوع بعنوان: "هل يعتمد قصور الجسم على محتواه من الطاقة؟" في عام ١٩٠٥. ^{[ ص ١٥ ]} على الرغم من أن حجة أينشتاين في هذه الورقة مقبولة عالميًا تقريبًا بين الفيزيائيين باعتبارها صحيحة، بل وبديهية، فقد أشار العديد من المؤلفين على مر السنين إلى أنها خاطئة. ^{[ ٧٤ ]} ويشير مؤلفون آخرون إلى أن الحجة كانت غير حاسمة لأنها اعتمدت على بعض الافتراضات الضمنية. ^{[ ٧٥ ]}

أقرّ أينشتاين بالجدل الدائر حول اشتقاقه في بحثه الاستقصائي عام 1907 حول النسبية الخاصة. وأشار فيه إلى إشكالية الاعتماد على معادلات ماكسويل في حجة الكتلة والطاقة الاستدلالية. ويمكن تطبيق الحجة الواردة في بحثه عام 1905 بانبعاث أي جسيمات عديمة الكتلة، لكن معادلات ماكسويل تُستخدم ضمنيًا لتوضيح أن انبعاث الضوء تحديدًا لا يتحقق إلا ببذل شغل. ولانبعاث الموجات الكهرومغناطيسية، يكفي هزّ جسيم مشحون، وهذا بحد ذاته بذل شغل، وبالتالي فإن الانبعاث هو طاقة. ^{[ ص 16 ]}

في رابع أوراقه البحثية المنشورة عام ١٩٠٥ ضمن سلسلة "عام العجائب" ^{[ ص ١٥ ]} ، قدّم آينشتاين حجةً استدلاليةً لتكافؤ الكتلة والطاقة. ورغم أن الدراسات اللاحقة، كما ذُكر آنفاً، أثبتت أن حججه لم تكن دليلاً قاطعاً، إلا أن الاستنتاجات التي توصل إليها في هذه الورقة البحثية صمدت أمام اختبار الزمن.

اتخذ أينشتاين من الفرضيات الأولية صيغته التي اكتشفها مؤخراً لانزياح دوبلر النسبي ، وقوانين حفظ الطاقة وحفظ الزخم ، والعلاقة بين تردد الضوء وطاقته كما هو موضح في معادلات ماكسويل .

الشكل 6-1. اشتقاق أينشتاين لمعادلة E = mc² ^{عام 1905}

الشكل 6-1 (أعلى). لنفترض نظامًا من الموجات الضوئية المستوية ذات التردد${\displaystyle f}$السفر في اتجاه${\displaystyle \phi }$بالنسبة للمحور السيني للإطار المرجعي S. تردد (وبالتالي طاقة) الموجات كما تم قياسها في الإطار S ′ الذي يتحرك على طول المحور السيني بسرعة${\displaystyle v}$يتم تحديدها بواسطة صيغة إزاحة دوبلر النسبية التي طورها أينشتاين في ورقته البحثية لعام 1905 حول النسبية الخاصة: ^{[ ص 1 ]}

${\displaystyle {\frac {f'}{f}}={\frac {1-(v/c)\cos {\phi }}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

الشكل 6-1 (أسفل). لنفترض وجود جسم ثابت في الإطار المرجعي S. ولنفترض أن هذا الجسم يُصدر زوجًا من النبضات الضوئية متساوية الطاقة في اتجاهين متعاكسين بزاوية${\displaystyle \phi }$بالنسبة للمحور السيني. كل نبضة لها طاقة ⁠${\displaystyle L/2}$بسبب قانون حفظ الزخم، يبقى الجسم ساكنًا في الفضاء S بعد انبعاث النبضتين. لنفترض${\displaystyle E_{0}}$تكون طاقة الجسم قبل انبعاث النبضتين و${\displaystyle E_{1}}$بعد انبعاثها.

بعد ذلك، ضع في اعتبارك النظام نفسه الذي تمت ملاحظته من الإطار S ′ والذي يتحرك على طول المحور x بسرعة${\displaystyle v}$بالنسبة للإطار S. في هذا الإطار، سيتعرض الضوء الصادر من النبضات الأمامية والخلفية لانزياح دوبلر النسبي. لنفترض${\displaystyle H_{0}}$لتكن طاقة الجسم المقاسة في الإطار المرجعي S ′ قبل انبعاث النبضتين و${\displaystyle H_{1}}$بعد انبعاثها. نحصل على العلاقات التالية: ^{[ ص 15 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{0}&=E_{1}+{\tfrac {1}{2}}L+{\tfrac {1}{2}}L=E_{1}+L\\[5mu]H_{0}&=H_{1}+{\tfrac {1}{2}}L{\frac {1-(v/c)\cos {\phi }}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+{\tfrac {1}{2}}L{\frac {1+(v/c)\cos {\phi }}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}=H_{1}+{\frac {L}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\end{aligned}}}$

من المعادلات المذكورة أعلاه، نحصل على ما يلي:

${\displaystyle \quad \quad (H_{0}-E_{0})-(H_{1}-E_{1})=L\left({\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-1\right)}$

6-1

الاختلافان في الشكل${\displaystyle H-E}$للقيم الموضحة في المعادلة أعلاه تفسير فيزيائي مباشر.${\displaystyle H}$و${\displaystyle E}$هي طاقات الجسم العشوائي في الإطارين المتحرك والثابت،${\displaystyle H_{0}-E_{0}}$و${\displaystyle H_{1}-E_{1}}$يمثل هذا القيم الطاقات الحركية للأجسام قبل وبعد انبعاث الضوء (باستثناء ثابت إضافي يحدد نقطة الصفر للطاقة ويُضبط عادةً على الصفر). ومن ثم،

${\displaystyle \quad \quad K_{0}-K_{1}=L\left({\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-1\right)}$

6-2

بأخذ متسلسلة تايلور وإهمال الحدود ذات الرتبة الأعلى، حصل على

${\displaystyle \quad \quad K_{0}-K_{1}={\frac {1}{2}}{\frac {L}{c^{2}}}v^{2}}$

6-3

وبمقارنة التعبير أعلاه مع التعبير الكلاسيكي للطاقة الحركية، KE  = 1 / 2 mv ² ، لاحظ أينشتاين بعد ذلك: "إذا أطلق جسم ما الطاقة L على شكل إشعاع، فإن كتلته تتناقص بمقدار L / c 2 ^" . 

لاحظ ريندل أن حجة أينشتاين الاستدلالية أشارت فقط إلى أن الطاقة تُساهم في الكتلة. في عام ١٩٠٥، سمح تعبير أينشتاين الحذر عن علاقة الكتلة بالطاقة باحتمالية وجود كتلة "كامنة" تبقى بعد إزالة كل طاقة الجسم. مع ذلك، بحلول عام ١٩٠٧، كان أينشتاين مستعدًا للتأكيد على أن كل كتلة قصورية تُمثل مخزونًا من الطاقة. "إن مساواة كل كتلة بالطاقة يتطلب إيمانًا جماليًا، وهو أمرٌ مميزٌ جدًا لأينشتاين." ^{[ ١٣ ] : ٨١-٨٤.} وقد تأكدت فرضية أينشتاين الجريئة بشكلٍ وافٍ في السنوات اللاحقة لاقتراحه الأصلي.

لأسبابٍ عديدة، نادرًا ما يُدرَّس اشتقاق أينشتاين الأصلي حاليًا. فإلى جانب الجدل المحتدم الذي لا يزال قائمًا حتى اليوم حول صحة اشتقاقه الأصلي من الناحية الشكلية، أدى الاعتراف بالنظرية النسبية الخاصة باعتبارها ما أسماه أينشتاين "نظريةً أساسية" إلى تحولٍ من الاعتماد على الظواهر الكهرومغناطيسية إلى أساليب إثبات ديناميكية بحتة. ^{[ 76 ]}

بما أنه لا شيء يستطيع السفر بسرعة تفوق سرعة الضوء، فقد يستنتج المرء أن الإنسان لا يستطيع السفر بعيدًا عن الأرض لأكثر من  100 سنة ضوئية تقريبًا. قد يتبادر إلى الذهن أن المسافر لن يتمكن من الوصول إلى أبعد من الأنظمة الشمسية القليلة الموجودة ضمن نطاق 100 سنة ضوئية من الأرض. مع ذلك، وبسبب تمدد الزمن، يمكن لمركبة فضائية افتراضية أن تقطع آلاف السنين الضوئية خلال حياة راكبها. إذا أمكن بناء مركبة فضائية تتسارع بتسارع ثابت مقداره 1g ، فستكون، بعد عام واحد، مسافرة بسرعة تقارب سرعة الضوء كما تُرى من الأرض. يُوصف هذا بما يلي: $${\displaystyle v(t)={\frac {at}{\sqrt {1+a^{2}t^{2}/c^{2}}}},}$$ حيث v ( t ) هي السرعة عند الزمن t ، وa هي تسارع المركبة الفضائية، و t هو الزمن الإحداثي كما يقيسه الناس على الأرض. ^{[ ص 17 ]} بالتالي، بعد عام واحد من التسارع بمعدل 9.81  م/ث² ^، ستسافر المركبة الفضائية بسرعة v = 0.712 c ، وبعد ثلاث سنوات ستسافر بسرعة 0.946 c ، بالنسبة للأرض. بعد ثلاث سنوات من هذا التسارع، ومع بلوغ المركبة الفضائية سرعة 94.6% من سرعة الضوء بالنسبة للأرض، سيؤدي تمدد الزمن إلى أن كل ثانية تُعاش على متن المركبة الفضائية تُعادل 3.1 ثانية على الأرض. خلال رحلتهم، سيشعر الناس على الأرض بزمن أطول مما يشعرون به - لأن ساعاتهم (جميع الظواهر الفيزيائية) ستكون في الواقع أسرع بمقدار 3.1 مرة من ساعات المركبة الفضائية. ستستغرق رحلة ذهاب وعودة مدتها 5 سنوات للمسافر 6.5 سنة أرضية، وستغطي مسافة تزيد عن 6 سنوات ضوئية. ستستغرق رحلة ذهابًا وإيابًا مدتها 20 عامًا (5 سنوات تسارع، 5 سنوات تباطؤ، مرتين لكل منهما) لتعيدهم إلى الأرض بعد أن قطعوا مسافة 331 سنة ضوئية وسافروا لمدة 335 سنة أرضية. ^{[ 77 ]} أما رحلة كاملة مدتها 40 عامًا بتسارع 1g فستبدو على الأرض وكأنها تستغرق 58000 عام وتغطي مسافة 55000 سنة ضوئية. بينما ستستغرق رحلة مدتها 40 عامًا بتسارع 1.1g148 ألف سنة وتغطي حوالي١٤٠ ألف سنة ضوئية. رحلة ذهاب فقط تستغرق ٢٨ عامًا (١٤ عامًا تسارعًا، ١٤ عامًا تباطؤًا كما يقيسها رائد الفضاء) بتسارع ١g يمكن أن تصل إلى ٢ مليون سنة ضوئية إلى مجرة ​​أندروميدا. ^{[ ٧٧ ]} هذا التمدد الزمني نفسه هو السبب في أن الميون الذي يسافر بسرعة قريبة من سرعة الضوء يُلاحظ أنه يقطع مسافة أبعد بكثير من سرعة الضوء مضروبة في نصف عمره (عندما يكون ساكنًا). ^{[ ٧٨ ]}

يُقدّم فحص نواتج التصادم الناتجة عن مسرعات الجسيمات حول العالم للعلماء أدلةً على بنية العالم دون الذري والقوانين الطبيعية التي تحكمه. ويتطلب تحليل نواتج التصادم، التي قد يتجاوز مجموع كتلها كتل الجسيمات الساقطة بكثير، استخدام النظرية النسبية الخاصة. ^{[ 79 ]}

في الميكانيكا النيوتونية، يتضمن تحليل التصادمات استخدام قوانين حفظ الكتلة والزخم والطاقة . أما في الميكانيكا النسبية، فلا تُحفظ الكتلة بشكل مستقل، لأنها مُدمجة في الطاقة النسبية الكلية. نوضح الاختلافات بين المعالجة النيوتونية والنسبية لتصادمات الجسيمات من خلال دراسة الحالة البسيطة لجسيمين مرنين تمامًا يتصادمان ولهما نفس الكتلة. ( تُناقش التصادمات غير المرنة في قسم قوانين حفظ الزمكان . ويمكن اعتبار الاضمحلال الإشعاعي نوعًا من التصادم غير المرن المعكوس زمنيًا. ^{[ 79 ]} )

ينحرف التشتت المرن للجسيمات الأولية المشحونة عن المثالية بسبب إنتاج إشعاع الكبح . ^{[ 80 ] [ 81 ]}

تحليل نيوتني

يوضح الشكل 6-2 النتيجة المعروفة للاعبي البلياردو، وهي أنه إذا اصطدمت كرة ساكنة بكرة أخرى لها نفس الكتلة اصطدامًا مرنًا (بافتراض عدم وجود دوران جانبي)، فإن مساري الكرتين المتباعدين بعد التصادم سيشكلان زاوية قائمة. (أ) في الإطار المرجعي الساكن، تصطدم كرة ساقطة تتحرك بسرعة 2v بكرة ساكنة. (ب) في إطار مركز الزخم، تقترب الكرتان من بعضهما البعض بشكل متناظر بسرعة ± v . بعد التصادم المرن، ترتد الكرتان عن بعضهما البعض بسرعتين متساويتين ومتعاكستين ± u . ينص قانون حفظ الطاقة على أن | u | = | v | . (ج) بالعودة إلى الإطار المرجعي الساكن، تكون سرعات الارتداد v ± u . حاصل الضرب القياسي ( v + u ) ⋅ ( v − u ⁾ = v² − u² = 0 ^، مما يدل على أن المتجهين متعامدان. ^{[ 13 ] : 26-27}

التحليل النسبي

لنأخذ مثالاً على حالة التصادم المرن الموضحة في الشكل  6-3 بين جسيم متحرك يصطدم بجسيم ساكن له نفس الكتلة. على عكس الحالة النيوتونية، فإن الزاوية بين الجسيمين بعد التصادم أقل من 90 درجة، وتعتمد على زاوية التشتت، وتصبح أصغر فأصغر كلما اقتربت سرعة الجسيم الساقط من سرعة الضوء.

الزخم النسبي والطاقة النسبية الكلية للجسيم يُعطيان بالعلاقة التالية

${\displaystyle \quad \quad {\vec {p}}=\gamma m{\vec {v}}\quad {\text{and}}\quad E=\gamma mc^{2}}$

6-4

ينص قانون حفظ الزخم على أن مجموع زخم الجسيم الوارد والجسيم الساكن (الذي يمتلك زخمًا مبدئيًا = 0) يساوي مجموع زخم الجسيمات الخارجة:

${\displaystyle \quad \quad \gamma _{1}m{\vec {v_{1}}}+0=\gamma _{2}m{\vec {v_{2}}}+\gamma _{3}m{\vec {v_{3}}}}$

6-5

وبالمثل، فإن مجموع الطاقات النسبية الكلية للجسيم الوارد والجسيم الثابت (الذي يمتلك في البداية طاقة كلية mc² ⁾ يساوي مجموع الطاقات الكلية للجسيمات المنبعثة:

${\displaystyle \quad \quad \gamma _{1}mc^{2}+mc^{2}=\gamma _{2}mc^{2}+\gamma _{3}mc^{2}}$

6-6

بتحليل ( 6-5 ) إلى مكوناته، واستبدالها${\displaystyle v}$مع اللابعد${\displaystyle \beta }$⁠ ، واستخراج العوامل المشتركة من ( 6-5 ) و( 6-6 ) ينتج عنه ما يلي: ^{[ ص 18 ]}

${\displaystyle \quad \quad \beta _{1}\gamma _{1}=\beta _{2}\gamma _{2}\cos {\theta }+\beta _{3}\gamma _{3}\cos {\phi }}$

6-7

${\displaystyle \quad \quad \beta _{2}\gamma _{2}\sin {\theta }=\beta _{3}\gamma _{3}\sin {\phi }}$

6-8

${\displaystyle \quad \quad \gamma _{1}+1=\gamma _{2}+\gamma _{3}}$

6-9

ومن هذه نحصل على العلاقات التالية: ^{[ ص 18 ]}

${\displaystyle \quad \quad \beta _{2}={\frac {\beta _{1}\sin {\phi }}{\{\beta _{1}^{2}\sin ^{2}{\phi }+\sin ^{2}(\phi +\theta )/\gamma _{1}^{2}\}^{1/2}}}}$

6-10

${\displaystyle \quad \quad \beta _{3}={\frac {\beta _{1}\sin {\theta }}{\{\beta _{1}^{2}\sin ^{2}{\theta }+\sin ^{2}(\phi +\theta )/\gamma _{1}^{2}\}^{1/2}}}}$

6-11

${\displaystyle \quad \quad \cos {(\phi +\theta )}={\frac {(\gamma _{1}-1)\sin {\theta }\cos {\theta }}{\{(\gamma _{1}+1)^{2}\sin ^{2}\theta +4\cos ^{2}\theta \}^{1/2}}}}$

6-12

في الحالة المتناظرة التي${\displaystyle \phi =\theta }$و​${\displaystyle \beta _{2}=\beta _{3}}$⁠ ، ( 6-12 ) يأخذ الشكل الأبسط: ^{[ ص 18 ]}

${\displaystyle \quad \quad \cos {\theta }={\frac {\beta _{1}}{\{2/\gamma _{1}+3\beta _{1}^{2}-2\}^{1/2}}}}$

6-13