مخطط الزمكان

جزء من سلسلة عن
الزمكان
النسبية الخاصة النسبية العامة
مفاهيم الزمكان متعدد الزمكان مبدأ التكافؤ تحويلات لورنتز فضاء مينكوفسكي
النسبية العامة مقدمة عن النسبية العامة رياضيات النسبية العامة معادلات مجال أينشتاين
الجاذبية الكلاسيكية مقدمة عن الجاذبية قانون نيوتن للجاذبية الكونية
الرياضيات ذات الصلة أربعة متجهات اشتقاقات النسبية مخططات الزمكان الهندسة التفاضلية الفضاء المنحني الزمكان المنحني رياضيات النسبية العامة طوبولوجيا الزمكان
بوابة الفيزياء  فئة
ف ت هـ

مخطط الزمكان هو رسم بياني لمواقع في الفضاء في أوقات مختلفة، وخاصة في نظرية النسبية الخاصة . يمكن لمخططات الزمكان أن توضح الظواهر الهندسية الأساسية مثل تمدد الزمن وانكماش الطول دون معادلات رياضية.

يتتبع تاريخ موقع جسم ما عبر الزمن خطًا أو منحنى على مخطط الزمكان، ويشار إليه بخط عالم الجسم . تمثل كل نقطة في مخطط الزمكان موضعًا فريدًا في المكان والزمان ويشار إليها باسم حدث .

أشهر فئة من مخططات الزمكان هي المعروفة باسم مخططات مينكوفسكي ، التي طورها هيرمان مينكوفسكي في عام 1908. مخططات مينكوفسكي هي رسوم بيانية ثنائية الأبعاد تصور الأحداث كما تحدث في كون يتكون من بُعد مكاني واحد وبعد زمني واحد. على عكس الرسم البياني العادي للمسافة والزمن، يتم عرض المسافة على المحور الأفقي والزمن على المحور الرأسي. بالإضافة إلى ذلك، يتم اختيار وحدات قياس الزمن والمكان بطريقة يتم بها تصوير الجسم المتحرك بسرعة الضوء على أنه يتبع زاوية 45 درجة بالنسبة لمحوري الرسم البياني.

في دراسة الحركية أحادية البعد ، توفر الرسوم البيانية للموضع مقابل الزمن (والتي تسمى الرسوم البيانية xt باختصار) وسيلة مفيدة لوصف الحركة. يمكن رؤية السمات الحركية إلى جانب موضع الجسم من خلال ميل وشكل الخطوط. ^[1] في الشكل 1-1، يتحرك الجسم المرسوم بعيدًا عن الأصل بسرعة ثابتة موجبة (1.66 م/ث) لمدة 6 ثوانٍ، ويتوقف لمدة 5 ثوانٍ، ثم يعود إلى الأصل خلال فترة 7 ثوانٍ بسرعة غير ثابتة (ولكن بسرعة سالبة).

على المستوى الأكثر أساسية، فإن مخطط الزمكان هو مجرد رسم بياني للزمن مقابل الموضع، مع تبادل اتجاهات المحاور في الرسم البياني pt المعتاد؛ أي أن المحور الرأسي يشير إلى القيم الزمنية والمحور الأفقي إلى قيم الإحداثيات المكانية. وخاصة عند استخدامها في النسبية الخاصة (SR)، غالبًا ما يتم قياس المحاور الزمنية لمخطط الزمكان بسرعة الضوء c ، وبالتالي غالبًا ما يتم تمييزها بالرمز ct. يؤدي هذا إلى تغيير بُعد الكمية الفيزيائية الموجهة من < الزمن > إلى < الطول >، وفقًا للبعد المرتبط بالمحور المكاني، والذي غالبًا ما يتم تمييزه بالرمز x.

لتسهيل فهم كيفية مقارنة إحداثيات الزمكان، التي يقيسها المراقبون في إطارات مرجعية مختلفة ، مع بعضها البعض، من المفيد توحيد وتبسيط الإعداد. يُقال عن إطارين مرجعيين جاليليين (أي إطارات فضاء ثلاثية تقليدية)، S وS′ (تُلفظ "S prime")، كل منهما مع المراقبين O وO′ في وضع السكون في إطاراتهما الخاصة، ولكن قياس الآخر على أنه يتحرك بسرعات ± v ، أنهما في تكوين قياسي ، عندما:

• يتم توجيه المحاور x و y و z للإطار S بالتوازي مع المحاور الأساسية المقابلة للإطار S′.
• تتطابق أصول الإطارين S وS′ عند الوقت t = 0 في الإطار S وأيضًا عند t ′ = 0 في الإطار S′. ^{[2] : 107}
• يتحرك الإطار S′ في اتجاه x للإطار S بسرعة v كما تم قياسها في الإطار S.

يتم عرض هذا الإعداد المكاني في الشكل 1-2، حيث يتم شرح الإحداثيات الزمنية بشكل منفصل على أنها كميات t و t' .

في خطوة أخرى من التبسيط، غالبًا ما يكون كافيًا النظر فقط في اتجاه الحركة المرصودة وتجاهل المكونين المكانيين الآخرين، مما يسمح برسم x و ct في مخططات الزمكان ثنائية الأبعاد، كما هو موضح أعلاه.

المحاور السوداء المسمى x و ct في الشكل 1-3 هي نظام إحداثيات المراقب، المشار إليه باسم الساكن ، والذي يتمركز عند x = 0. خط عالم هذا المراقب مطابق لمحور الزمن ct . كل خط موازٍ لهذا المحور يتوافق أيضًا مع جسم ساكن ولكن في موضع آخر. يصف الخط الأزرق جسمًا يتحرك بسرعة ثابتة v إلى اليمين، مثل المراقب المتحرك.

يمكن تفسير هذا الخط الأزرق المسمى ct ′ على أنه المحور الزمني للمراقب الثاني. جنبًا إلى جنب مع المحور x ، والذي هو متطابق لكلا المراقبين، فإنه يمثل نظام إحداثياتهما. نظرًا لأن إطارات المرجع في تكوين قياسي، يتفق كلا المراقبين على موقع أصل أنظمة إحداثياتهما. المحاور للمراقب المتحرك ليست عمودية على بعضها البعض والمقياس على محور وقتهم ممتد. لتحديد إحداثيات حدث معين، يجب إنشاء خطين، كل منهما موازٍ لأحد المحورين، يمران عبر الحدث، وقراءة تقاطعاتهما مع المحاور.

يؤدي تحديد موضع ووقت الحدث A كمثال في الرسم التخطيطي إلى نفس الوقت لكلا المراقبين، كما هو متوقع. فقط بالنسبة للموضع تنتج قيم مختلفة، لأن المراقب المتحرك اقترب من موضع الحدث A منذ t = 0. وبصفة عامة، تحدث جميع الأحداث على خط موازٍ لمحور x في وقت واحد لكلا المراقبين. يوجد وقت عالمي واحد فقط t = t ′ ، مما يشكل نموذجًا لوجود محور موضع مشترك واحد. من ناحية أخرى، نظرًا لوجود محورين زمنيين مختلفين، يقيس المراقبون عادةً إحداثيات مختلفة لنفس الحدث. يتم وصف هذه الترجمة الرسومية من x و t إلى x ′ و t ′ والعكس صحيح رياضيًا بما يسمى التحويل الجليلي .

يشير مصطلح مخطط مينكوفسكي إلى شكل محدد من مخططات الزمكان المستخدمة بشكل متكرر في النسبية الخاصة. مخطط مينكوفسكي هو رسم بياني ثنائي الأبعاد لجزء من فضاء مينكوفسكي ، حيث تم عادةً تقليص الفضاء إلى بُعد واحد. يتم أخذ وحدات القياس في هذه المخططات بحيث يتكون المخروط الضوئي عند حدث ما من خطوط ميل زائد أو ناقص واحد عبر هذا الحدث. ^[3] تتوافق الخطوط الأفقية مع المفهوم المعتاد للأحداث المتزامنة لمراقب ثابت في الأصل.

يوضح مخطط مينكوفسكي معين نتيجة تحويل لورنتز . يربط تحويل لورنتز بين إطارين مرجعيين بالقصور الذاتي ، حيث يقوم مراقب ثابت عند الحدث (0، 0) بتغيير السرعة على طول المحور السيني . كما هو موضح في الشكل 2-1، يشكل المحور الزمني الجديد للمراقب زاوية α مع المحور الزمني السابق، حيث α < ⁠π/4⁠ . في إطار المرجع الجديد، تقع الأحداث المتزامنة بالتوازي مع خط مائل بمقدار α إلى خطوط التزامن السابقة. هذا هو المحور x الجديد . تتمتع كل من المجموعة الأصلية من المحاور ومجموعة المحاور المبدئية بخاصية أنها متعامدة بالنسبة إلى حاصل الضرب الداخلي لمينكوفسكي أو حاصل الضرب النقطي النسبي . يكون الموضع الأصلي على خطك الزمني (ct) عموديًا على الموضع A، والموضع الأصلي على خطك الزمني المتبادل (x) حيث (t) يساوي صفرًا. يتم وضع هذا الخط الزمني حيث تلتقي الخطوط الزمنية معًا على نفس الخط الزمني حتى عندما يكون هناك موضعان مختلفان. يقع الموضعان على خط الحدث بزاوية 45 درجة على الموضع الأصلي لـ A. ومن ثم فإن الموضع A والموضع A' على خط الحدث و(t) = 0، ينقلان A' مرة أخرى إلى الموضع A.

مهما كان حجم α ، فإن الخط ct = x يشكل المنصف العالمي ^[4] ، كما هو موضح في الشكل 2-2.

غالبًا ما نصادف مخططات مينكوفسكي حيث يتم قياس وحدات قياس الوقت بعامل c بحيث تساوي وحدة واحدة من x وحدة واحدة من t . قد يحتوي مثل هذا المخطط على وحدات

• يبلغ طوله حوالي 30 سنتيمترًا ونانو ثانية
• الوحدات الفلكية والفواصل الزمنية التي تبلغ حوالي 8 دقائق و19 ثانية (499 ثانية)
• سنوات ضوئية وسنوات
• ثانية ضوئية وثانية

وبهذا، يتم تمثيل مسارات الضوء بخطوط موازية للمنصف بين المحاور.

ستكون الزاوية α بين المحورين x و x ′ متطابقة مع الزاوية بين المحورين الزمنيين ct و ct ′ . يتبع هذا من الفرضية الثانية للنسبية الخاصة، والتي تنص على أن سرعة الضوء هي نفسها لجميع المراقبين، بغض النظر عن حركتهم النسبية (انظر أدناه). الزاوية α معطاة بواسطة ^[5]

$${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {v}{c}}=\beta .}$$

يتم وصف التعزيز المقابل من x و t إلى x ′ و t ′ والعكس صحيح رياضيا بواسطة تحويل لورنتز ، والذي يمكن كتابته

$${\displaystyle {\begin{aligned}ct'&=\gamma (ct-\beta x),\\x'&=\gamma (x-\beta ct)\\\end{aligned}}}$$

أين هو عامل لورنتز . من خلال تطبيق تحويل لورنتز، فإن محاور الزمكان التي تم الحصول عليها لإطار معزز سوف تتوافق دائمًا مع الأقطار المترافقة لزوج من القطع الزائد . ${\textstyle \gamma =\left(1-\beta ^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$

كما هو موضح في الشكل 2-3، فإن محاور الزمكان المعززة وغير المعززة سيكون لها عمومًا أطوال وحدات غير متساوية. إذا كان U هو الطول الوحدوي على محاور ct و x على التوالي، فإن الطول الوحدوي على محاور ct ′ و x ′ هو: ^[6]

$${\displaystyle U'=U{\sqrt {\frac {1+\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}}\,.}$$

يمثل المحور ct خط العالم لساعة تستقر في S ، حيث يمثل U المدة بين حدثين يقعان على خط العالم هذا، ويُسمى أيضًا الوقت المناسب بين هذين الحدثين. يمثل الطول U على المحور x طول السكون أو الطول المناسب لقضيب يستقر في S. يمكن أيضًا تطبيق نفس التفسير على المسافة U ′ على المحورين ct ′ و x ′ للساعات والقضبان التي تستقر في S ′ .

أعلن ألبرت أينشتاين عن نظريته النسبية الخاصة في عام 1905، ^[7] وقدم هيرمان مينكوفسكي تمثيله البياني في عام 1908. ^[8]

في ورقة مينكوفسكي عام 1908 كان هناك ثلاثة مخططات، أولاً لتوضيح تحويل لورنتز، ثم تقسيم المستوى بواسطة المخروط الضوئي، وأخيرًا توضيح لخطوط العالم. ^[8] استخدم الرسم البياني الأول فرعًا من القطع الزائد الوحدوي لإظهار مكان وحدة الزمن المناسب اعتمادًا على السرعة، وبالتالي توضيح تمدد الوقت. أظهر الرسم البياني الثاني القطع الزائد المترافق لمعايرة الفضاء، حيث يترك التمدد المماثل انطباعًا بانكماش فيتزجيرالد . في عام 1914، أدرج لودفيك سيلبرشتاين ^[9] مخططًا لـ "تمثيل مينكوفسكي لتحويل لورنتز". تضمن هذا الرسم البياني القطع الزائد الوحدوي، ومرافقه ، وزوج من أقطار المترافقين . منذ ستينيات القرن العشرين، تمت الإشارة إلى نسخة من هذا التكوين الأكثر اكتمالاً باسم مخطط مينكوفسكي، واستخدامها كتوضيح قياسي لهندسة تحويل النسبية الخاصة. أشار إي تي ويتاكر إلى أن مبدأ النسبية يعادل تعسف نصف قطر القطع الزائد المختار للزمن في مخطط مينكوفسكي. في عام 1912، طبق جيلبرت ن. لويس وإدوين ب. ويلسون أساليب الهندسة التركيبية لتطوير خصائص المستوى غير الإقليدي الذي يحتوي على مخططات مينكوفسكي. ^{[10] [11] [ مصدر منشور ذاتيًا؟ ]}${\textstyle t^{2}-x^{2}=1}$

عندما ألف تايلور وويلر كتاب فيزياء الزمكان (1966)، لم يستخدما مصطلح مخطط مينكوفسكي لوصف هندسة الزمكان. بل إنهما بدلاً من ذلك أدرجا إقراراً بمساهمة مينكوفسكي في الفلسفة من خلال مجمل ابتكاره الذي قدمه في عام 1908. ^[12]

في حين أن الإطار الساكن في مخطط مينكوفسكي له محاور زمكانية متعامدة، فإن الإطار المتحرك بالنسبة لإطار السكون في مخطط مينكوفسكي له محاور زمكانية تشكل زاوية حادة. يمكن أن يكون هذا التباين في مخططات مينكوفسكي مضللاً، حيث تفترض النسبية الخاصة أن أي إطارين مرجعيين بالقصور الذاتي يجب أن يكونا متكافئين جسديًا. مخطط لويدل هو مخطط زمكاني بديل يجعل تماثل إطارات المراجع بالقصور الذاتي أكثر وضوحًا.

أظهر العديد من المؤلفين وجود إطار مرجعي بين الإطارين الساكن والمتحرك حيث يكون تماثلهما واضحًا ("الإطار المتوسط"). ^[13] في هذا الإطار، يتحرك الإطاران الآخران في اتجاهين متعاكسين بسرعة متساوية. يؤدي استخدام مثل هذه الإحداثيات إلى جعل وحدات الطول والزمن متماثلة لكلا المحورين. إذا كانت β = ⁠ف/جوإذاتم إعطاء القيم بين و، فإن هذه التعبيرات تكون مرتبطة بالقيم الموجودة في إطارها المتوسط ​​S ₀ على النحو التالي: ^{[13] [14]}${\textstyle \gamma =\left(1-\beta ^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S^{\prime}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&(1)&\beta &={\frac {2\beta _{0}}{1+{\beta _{0}}^{2}}},\\[3pt]&(2)&\beta _{0}&={\frac {\gamma -1}{\beta \gamma }}.\end{aligned}}}$$

على سبيل المثال، إذا كانت β = 0.5 بين و ، فبموجب (2) يتحركان في إطارهما المتوسط ​​S ₀ بسرعة ±0.268 c تقريبًا لكل منهما في اتجاهين متعاكسين. من ناحية أخرى، إذا كانت β ₀ = 0.5 في S ₀ ، فبموجب (1) تكون السرعة النسبية بين و في إطارات سكونهما 0.8 c . يتم إنشاء محاور و وفقًا للطريقة العادية باستخدام tan α = β ₀ بالنسبة للمحاور المتعامدة للإطار المتوسط ​​(الشكل 3-1). ${\textstyle س}$${\textstyle S^{\prime }}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S^{\prime}}$${\textstyle س}$${\textstyle S^{\prime }}$

ومع ذلك، اتضح أنه عند رسم مثل هذا الرسم البياني المتماثل، من الممكن استنتاج علاقات الرسم البياني حتى بدون ذكر الإطار المتوسط ​​و β ₀ على الإطلاق. بدلاً من ذلك، تكون السرعة النسبية β = ⁠ف/جيمكن استخدام بين و بشكل مباشر في البناء التالي، مما يوفر نفس النتيجة : [15 ^]${\textstyle س}$${\textstyle S^{\prime }}$

إذا كانت φ هي الزاوية بين محوري ct ′ و ct (أو بين x و x ′ )، و θ بين محوري x ′ و ct ′ ، فإنها تُعطى: ^{[15] [16] [17] [18]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \varphi =\cos \theta &=\beta ,\\\cos \varphi =\sin \theta &={\frac {1}{\gamma }},\\\tan \varphi =\cot \theta &=\beta \gamma .\end{aligned}}}$$

من الواضح من الشكل 3-2 أن هناك طريقتين للبناء: يتم رسم المحور x بشكل عمودي على المحور ct ′ ، ويتم إضافة المحورين x ′ و ct بزاوية φ ؛ ويتم رسم المحور x ′ بزاوية θ بالنسبة للمحور ct ′ ، ويتم إضافة المحور x بشكل عمودي على المحور ct ′ والمحور ct بشكل عمودي على المحور x ′ .

في مخطط مينكوفسكي، لا يمكن مقارنة الأطوال على الصفحة بشكل مباشر مع بعضها البعض، بسبب عامل التشويه بين أطوال وحدات المحاور في مخطط مينكوفسكي. على وجه الخصوص، إذا كانت و هي أطوال وحدات محاور الإطار الساكن ومحاور الإطار المتحرك، على التوالي، في مخطط مينكوفسكي، فإن طولي الوحدات يكونان منحرفين بالنسبة لبعضهما البعض من خلال الصيغة: ${\textstyle U}$${\textstyle U^{\prime }}$

$${\displaystyle U^{\prime }=U{\sqrt {\frac {1+\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}}}$$

على النقيض من ذلك، في مخطط لودل المتماثل، يكون كل من المحورين و الإطار منحرفين بنفس العامل بالنسبة للإطار المتوسط ​​وبالتالي يكون لهما أطوال وحدات متطابقة. وهذا يعني أنه بالنسبة لمخطط لودل للفضاء الزمني، يمكننا مقارنة أطوال الفضاء الزمني مباشرة بين إطارات مختلفة كما تظهر على الصفحة؛ ولا يلزم إجراء أي قياس/تحويل لوحدات الطول بين الإطارات بسبب الطبيعة المتماثلة لمخطط لودل. ${\textstyle S}$${\textstyle S^{\prime }}$

• قام ماكس بورن (1920) برسم مخططات مينكوفسكي بوضع المحور ct ′ بشكل عمودي تقريبًا على المحور x ، وكذلك المحور ct على المحور x ′ ، وذلك لإظهار انكماش الطول وتمدد الوقت في الحالة المتماثلة لقضيبين وساعتين تتحركان في اتجاهين متعاكسين. ^[19]
• أظهر ديمتري ميريمانوف (1921) أنه يوجد دائمًا إطار متوسط ​​بالنسبة لإطارين متحركين نسبيًا، واستنبط العلاقات بينهما من تحويل لورنتز. ومع ذلك، لم يقدم تمثيلًا بيانيًا في رسم تخطيطي. ^[13]
• تم تطوير المخططات المتماثلة بشكل منهجي بواسطة بول جرونر بالتعاون مع جوزيف سوتر في ورقتين بحثيتين في عام 1921. وقد تم إثبات التأثيرات النسبية مثل انكماش الطول وتمدد الوقت وبعض العلاقات مع المتجهات المتغيرة والمضادة. ^{[16] [17]} قام جرونر بتوسيع هذه الطريقة في أوراق لاحقة (1922-1924)، وأعطى الفضل لمعاملة ميريمانوف أيضًا. ^{[20] [21] [22] [23] [24] [25]}
• تم إعادة اكتشاف بناء مخططات مينكوفسكي المتماثلة بشكل مستقل لاحقًا من قبل العديد من المؤلفين. على سبيل المثال، بدءًا من عام 1948، نشر إنريكي لويدل بالومبو سلسلة من الأوراق باللغة الإسبانية، تقدم تفاصيل مثل هذا النهج. ^{[26] [27]} في عام 1955، نشر هنري أمار أيضًا ورقة تقدم مثل هذه العلاقات، وأعطى الفضل إلى لويدل في ورقة لاحقة في عام 1957. ^{[28] [29]} يستخدم بعض مؤلفي الكتب المدرسية مخططات مينكوفسكي المتماثلة، والتي يشار إليها بمخططات لويدل . ^{[15] [18]}

يشير تمدد الزمن النسبي إلى حقيقة مفادها أن الساعة (التي تشير إلى وقتها الصحيح في إطار سكونها) التي تتحرك بالنسبة لمراقب يُلاحظ أنها تعمل بشكل أبطأ. ويتضح هذا الموقف في مخططات لويدل المتماثلة في الشكل 4-1. لاحظ أنه يمكننا مقارنة أطوال الزمكان على الصفحة مباشرة مع بعضها البعض، وذلك بسبب الطبيعة المتماثلة لمخطط لويدل.

في الشكل 4-2، يُفترض أن المراقب الذي يُعطى إطاره المرجعي بواسطة المحاور السوداء يتحرك من الأصل O نحو A. تتمتع الساعة المتحركة بإطار مرجعي يُعطى بواسطة المحاور الزرقاء وتتحرك من O إلى B. بالنسبة للمراقب الأسود، تقع جميع الأحداث التي تحدث في وقت واحد مع الحدث في A على خط مستقيم موازٍ لمحوره الفضائي. يمر هذا الخط عبر A وB، لذا فإن A وB متزامنان من إطار مرجع المراقب ذي المحاور السوداء. ومع ذلك، فإن الساعة التي تتحرك بالنسبة للمراقب الأسود تحدد الوقت على طول محور الوقت الأزرق. يتم تمثيل ذلك بالمسافة من O إلى B. لذلك، يلاحظ المراقب في A ذي المحاور السوداء أن ساعته تقرأ المسافة من O إلى A بينما يلاحظ الساعة تتحرك بالنسبة له لقراءة المسافة من O إلى B. نظرًا لأن المسافة من O إلى B أصغر من المسافة من O إلى A، فإنه يستنتج أن الوقت الذي يمر على الساعة المتحركة بالنسبة له أصغر من الوقت الذي يمر على ساعته الخاصة.

إن المراقب الثاني، الذي تحرك مع الساعة من النقطة O إلى النقطة B، سوف يزعم أن ساعة المحور الأسود لم تصل إلا إلى النقطة C وبالتالي تعمل بشكل أبطأ. والسبب وراء هذه التصريحات المتناقضة على ما يبدو هو التحديد المختلف للأحداث التي تحدث بشكل متزامن في مواقع مختلفة. وبسبب مبدأ النسبية، فإن السؤال حول من هو على حق ليس له إجابة ولا معنى له.

يشير انكماش الطول النسبي إلى حقيقة مفادها أن المسطرة (التي تشير إلى طولها الصحيح في إطار سكونها) التي تتحرك بالنسبة لمراقب يُلاحظ أنها تتقلص/تقصر. يتم تصوير الموقف في مخططات لويدل المتماثلة في الشكل 4-3. لاحظ أنه يمكننا مقارنة أطوال الزمكان على الصفحة مباشرة مع بعضها البعض، بسبب الطبيعة المتماثلة لمخطط لويدل.

في الشكل 4-4، يُفترض أن يتحرك المراقب مرة أخرى على طول المحور ct . يُفترض أن تتحرك خطوط العالم لنقاط النهاية لجسم يتحرك بالنسبة له على طول المحور ct ′ والخط الموازي المار عبر A وB. بالنسبة لهذا المراقب، تكون نقاط النهاية للجسم عند t = 0 هي O وA. بالنسبة لمراقب ثانٍ يتحرك مع الجسم، بحيث يكون الجسم بالنسبة له في حالة سكون، يكون له الطول المناسب OB عند t ′ = 0. نظرًا لأن OA < OB . ينقبض الجسم بالنسبة للمراقب الأول.

سيزعم المراقب الثاني أن المراقب الأول قد قام بتقييم نقاط النهاية للجسم عند O و A على التوالي وبالتالي في أوقات مختلفة، مما يؤدي إلى نتيجة خاطئة بسبب حركته في هذه الأثناء. إذا قام المراقب الثاني بفحص طول جسم آخر بنقط نهاية تتحرك على طول المحور ct وخط مواز يمر عبر C و D، فإنه يستنتج بنفس الطريقة أن هذا الجسم منقبض من OD إلى OC. يقدر كل مراقب أن الأجسام المتحركة مع المراقب الآخر منقبضة. هذا الموقف المتناقض ظاهريًا هو مرة أخرى نتيجة لنسبية التزامن كما يتضح من التحليل عبر مخطط مينكوفسكي.

ولهذه الاعتبارات افترضنا أن كلا المراقبين يأخذان في الاعتبار سرعة الضوء والمسافة بينه وبين جميع الأحداث التي يشاهدونها، وذلك لتحديد الأوقات الفعلية التي تحدث فيها هذه الأحداث من وجهة نظرهم.

هناك فرضية أخرى من فرضيات النسبية الخاصة وهي ثبات سرعة الضوء. وتنص هذه الفرضية على أن أي مراقب في إطار مرجعي بالقصور الذاتي يقيس سرعة الضوء في الفراغ بالنسبة لنفسه يحصل على نفس القيمة بغض النظر عن حركته وحركة مصدر الضوء. ويبدو هذا البيان متناقضًا، ولكنه يتبع مباشرة المعادلة التفاضلية التي تسفر عن ذلك، ويتفق معه مخطط مينكوفسكي. كما يفسر أيضًا نتيجة تجربة ميكلسون-مورلي التي كانت تعتبر لغزًا قبل اكتشاف نظرية النسبية، عندما كان يُعتقد أن الفوتونات عبارة عن موجات تنتقل عبر وسط غير قابل للاكتشاف.

بالنسبة لخطوط العالم للفوتونات التي تمر بالأصل في اتجاهات مختلفة، فإن x = ct و x = − ct صحيحة. وهذا يعني أن أي موضع على مثل هذا الخط العالمي يتوافق مع خطوات على المحورين x و ct بقيمة مطلقة متساوية. ومن قاعدة قراءة الإحداثيات في نظام إحداثيات بمحاور مائلة، يتبع أن الخطين العالميين هما منصفات الزاوية للمحورين x و ct . وكما هو موضح في الشكل 4-5، يوضح مخطط مينكوفسكي أنهما منصفات الزاوية للمحورين x′ و ct ′ أيضًا. وهذا يعني أن كلا المراقبين يقيسان نفس السرعة c لكلا الفوتونين.

يمكن إضافة أنظمة إحداثيات أخرى تتوافق مع مراقبين بسرعات عشوائية إلى مخطط مينكوفسكي هذا. بالنسبة لجميع هذه الأنظمة، يمثل كل من خطي عالم الفوتون منصفات الزاوية للمحاور. كلما اقتربت السرعة النسبية من سرعة الضوء، اقتربت المحاور من منصف الزاوية المقابلة. يكون المحور دائمًا أكثر تسطحًا ومحور الوقت أكثر انحدارًا من خطوط عالم الفوتون. تكون المقاييس على كلا المحورين متطابقة دائمًا، ولكنها تختلف عادةً عن مقاييس أنظمة الإحداثيات الأخرى. ${\textstyle x}$

إن الخطوط المستقيمة التي تمر بالأصل والتي تكون أكثر انحدارًا من خطي عالم الفوتون تتوافق مع الأجسام التي تتحرك بسرعة أبطأ من سرعة الضوء. وإذا كان هذا ينطبق على جسم ما، فإنه ينطبق من وجهة نظر جميع المراقبين، لأن خطوط عالم هذه الفوتونات هي منصفات الزاوية لأي إطار مرجعي بالقصور الذاتي. وبالتالي، يمكن الوصول إلى أي نقطة فوق الأصل وبين خطي عالم الفوتونين بسرعة أقل من سرعة الضوء ويمكن أن يكون لها علاقة سببية مع الأصل. هذه المنطقة هي المستقبل المطلق، لأن أي حدث يحدث هناك لاحقًا مقارنة بالحدث الذي يمثله الأصل بغض النظر عن المراقب، وهو أمر واضح بيانيًا من مخطط مينكوفسكي في الشكل 4-6.

وباتباع نفس الحجة، فإن النطاق الذي يقع أسفل الأصل وبين خطوط عالم الفوتون هو الماضي المطلق بالنسبة للأصل. وأي حدث هناك ينتمي بالتأكيد إلى الماضي ويمكن أن يكون سببًا لتأثير في الأصل.

تُسمى العلاقة بين أي من هذه الأزواج من الأحداث بالعلاقة الشبيهة بالزمن ، لأن المسافة الزمنية بينهما أكبر من الصفر بالنسبة لجميع المراقبين. ويكون الخط المستقيم الذي يربط بين هذين الحدثين دائمًا هو المحور الزمني لمراقب محتمل يحدث الحدثان معه في نفس المكان. ويُطلق على الحدثين اللذين يمكن ربطهما بسرعة الضوء فقط اسم العلاقة الشبيهة بالضوء .

من حيث المبدأ، يمكن إضافة بُعد آخر من أبعاد الفضاء إلى مخطط مينكوفسكي مما يؤدي إلى تمثيل ثلاثي الأبعاد. في هذه الحالة، تصبح نطاقات المستقبل والماضي مخاريط ذات رؤوس تلامس بعضها البعض عند الأصل. تسمى المخاريط الضوئية .

وباتباع نفس الحجة، فإن جميع الخطوط المستقيمة التي تمر عبر الأصل والتي تكون أقرب إلى الأفقية من خطوط عالم الفوتون، تتوافق مع الأجسام أو الإشارات التي تتحرك بسرعة أكبر من الضوء بغض النظر عن سرعة المراقب. وبالتالي، لا يمكن الوصول إلى أي حدث خارج المخاريط الضوئية من الأصل، حتى بواسطة إشارة ضوئية، ولا بواسطة أي جسم أو إشارة تتحرك بسرعة أقل من سرعة الضوء. تسمى مثل هذه الأزواج من الأحداث شبيهة بالفضاء لأن لها مسافة مكانية محدودة تختلف عن الصفر لجميع المراقبين. من ناحية أخرى، فإن الخط المستقيم الذي يربط بين مثل هذه الأحداث هو دائمًا محور إحداثيات الفضاء لمراقب محتمل تحدث له في نفس الوقت. من خلال اختلاف طفيف في سرعة نظام الإحداثيات هذا في كلا الاتجاهين، من الممكن دائمًا العثور على إطارين مرجعيين بالقصور الذاتي يقدر مراقبوهما الترتيب الزمني لهذه الأحداث ليكون مختلفًا.

إذا كان هناك جسم يتحرك بسرعة أكبر من الضوء، لنقل من النقطة O إلى النقطة A في الشكل 4-7، فبالنسبة لأي مراقب يراقب الجسم يتحرك من النقطة O إلى النقطة A، يمكن العثور على مراقب آخر (يتحرك بسرعة أقل من سرعة الضوء بالنسبة للمراقب الأول) يتحرك الجسم من النقطة A إلى النقطة O. والسؤال حول أي المراقبين على حق ليس له إجابة فريدة، وبالتالي لا معنى له من الناحية الفيزيائية. وأي جسم أو إشارة متحركة من هذا القبيل من شأنها أن تنتهك مبدأ السببية.

كما أن أي وسيلة تقنية عامة لإرسال إشارات أسرع من الضوء ستسمح بإرسال المعلومات إلى ماضي المرسل نفسه. في الرسم البياني، يرسل مراقب عند O في نظام x - ct رسالة تتحرك بسرعة أكبر من الضوء إلى A. في A، يستقبلها مراقب آخر يتحرك بحيث يكون في نظام x ′ - ct ′ ، ويرسلها مرة أخرى، بسرعة أكبر من الضوء، وصولاً إلى B. لكن B في الماضي بالنسبة إلى O. يصبح عبث هذه العملية واضحًا عندما يؤكد كلا المراقبين لاحقًا أنهما لم يتلقيا أي رسالة على الإطلاق، ولكن تم توجيه جميع الرسائل نحو المراقب الآخر كما يمكن رؤيته بيانياً في رسم مينكوفسكي. علاوة على ذلك، إذا كان من الممكن تسريع مراقب إلى سرعة الضوء، فإن محاور الفضاء والزمان الخاصة بهما ستتطابق مع منصف زاويتهما. سينهار نظام الإحداثيات، بما يتفق مع حقيقة أنه بسبب تمدد الوقت ، سيتوقف الوقت فعليًا عن المرور بالنسبة لهما.

إن هذه الاعتبارات تظهر أن سرعة الضوء كحدود هي نتيجة لخصائص الزمكان، وليس لخصائص الأجسام مثل السفن الفضائية غير الكاملة من الناحية التكنولوجية. وبالتالي فإن حظر الحركة بسرعة تفوق سرعة الضوء لا علاقة له على وجه الخصوص بالموجات الكهرومغناطيسية أو الضوء، بل يأتي كنتيجة لبنية الزمكان.

غالبًا ما يُزعم بشكل غير صحيح أن النسبية الخاصة لا يمكنها التعامل مع الجسيمات المتسارعة أو إطارات المرجع المتسارعة. في الواقع، لا تمثل الجسيمات المتسارعة أي صعوبة على الإطلاق في النسبية الخاصة. من ناحية أخرى، تتطلب إطارات التسارع بعض المعالجة الخاصة، ومع ذلك، طالما أن المرء يتعامل مع زمكان مسطح مينكوفسكي، يمكن للنسبية الخاصة التعامل مع الموقف. فقط في وجود الجاذبية تكون النسبية العامة مطلوبة. ^[30]

إن تسارع الجسيم المتسارع في أربعة متجهات هو المشتق بالنسبة للزمن المناسب لسرعته في أربعة متجهات. وهذا ليس موقفًا صعبًا للتعامل معه. تتطلب إطارات التسارع أن يفهم المرء مفهوم الإطار المرجعي المتحرك لحظيًا (MCRF)، وهو الإطار الذي يتحرك بنفس السرعة اللحظية لجسيم في أي لحظة معينة.

انظر إلى الرسوم المتحركة في الشكل 5-1. يمثل الخط المنحني خط العالم لجسيم يخضع لتسارع مستمر، بما في ذلك التغييرات الكاملة في الاتجاه في الاتجاهين الموجب والسالب للمحور x . تمثل المحاور الحمراء محاور MCRF لكل نقطة على طول مسار الجسيم. يمكن ربط إحداثيات الأحداث في الإطار غير المجهز (الثابت) بإحداثياتها في أي إطار مجهز يتحرك بشكل لحظي باستخدام تحويلات لورنتز.

يوضح الشكل 5-2 وجهات النظر المتغيرة للزمكان على طول خط العالم لجسيم متسارع بسرعة. المحور (غير مرسوم) عمودي، بينما المحور (غير مرسوم) أفقي. الخط المتقطع هو مسار الزمكان ("خط العالم") للجسيم. توضع الكرات على فترات منتظمة من الوقت المناسب على طول خط العالم. الخطوط القطرية الصلبة هي المخاريط الضوئية للحدث الحالي للمراقب، وهي تتقاطع عند ذلك الحدث. النقاط الصغيرة هي أحداث عشوائية أخرى في الزمكان. ${\textstyle ct'}$${\textstyle x'}$

ميل خط العالم (الانحراف عن كونه عموديًا) هو سرعة الجسيم على هذا الجزء من خط العالم. تمثل الانحناءات في خط العالم تسارع الجسيم. مع تسارع الجسيم، يتغير منظوره للزمكان. تخضع هذه التغييرات في المنظور لتحويلات لورنتز. لاحظ أيضًا أن:

• الكرات على خط العالم قبل/بعد تسارعات المستقبل/الماضي متباعدة بشكل أكبر بسبب تمدد الوقت.
• الأحداث التي كانت متزامنة قبل التسارع (الأحداث المتباعدة أفقياً) تحدث في أوقات مختلفة بعد ذلك بسبب نسبية التزامن،
• تمر الأحداث عبر خطوط المخروط الضوئي بسبب تقدم الوقت المناسب، ولكن ليس بسبب تغير وجهات النظر الناجم عن التسارع،
• يظل خط العالم دائمًا ضمن المخاريط الضوئية المستقبلية والماضية للحدث الحالي.

إذا تخيلنا أن كل حدث هو وميض ضوء، فإن الأحداث التي تقع ضمن مخروط الضوء الماضي للمراقب هي الأحداث المرئية للمراقب. إن ميل خط العالم (الانحراف عن كونه عموديًا) يعطي السرعة بالنسبة للمراقب.

يتم تحديد خطوط عالم الفوتون باستخدام المقياس المتري مع . ^{[31] تتشوه} المخاريط الضوئية وفقًا للموضع. في إطار مرجعي بالقصور الذاتي، يكون للجسيم الحر خط عالمي مستقيم. في إطار مرجعي غير بالقصور الذاتي، يكون خط العالم للجسيم الحر منحنيًا. ${\textstyle d\tau =0}$

خذ مثال سقوط جسم سقط بدون سرعة ابتدائية من صاروخ. يتمتع الصاروخ بحركة متسارعة بشكل منتظم بالنسبة لإطار مرجعي بالقصور الذاتي. وكما يمكن رؤيته من الشكل 6-2 من مخطط مينكوفسكي في إطار مرجعي غير بالقصور الذاتي، بمجرد سقوط الجسم، يكتسب سرعة، ويصل إلى الحد الأقصى، ثم يرى سرعته تنخفض وتختفي بشكل مقارب على الأفق حيث يتجمد وقته المناسب عند . يتم قياس السرعة بواسطة مراقب ساكن في الصاروخ المتسارع. ${\textstyle t_{\text{H}}}$

• فضاء مينكوفسكي
• مخطط بنروز
• سرعة

• الفرنسية، أ. ب. (1968). النسبية الخاصة . سلسلة الفيزياء التمهيدية لمعهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. نيويورك: نورتون. ص.  82- 83. رقم ISBN 978-0-17-177075-9.
• جلاس، إي إن (1975-11-01). "تعزيزات لورنتز ومخططات مينكوفسكي". المجلة الأمريكية للفيزياء . 43 (11): 1013– 1014. رمز Bibcode :1975AmJPh..43.1013G. doi :10.1119/1.9953. ISSN  0002-9505.
• ميرمين، ن. ديفيد (1968). "17: مخططات مينكوفسكي: هندسة الزمكان". الفضاء والزمان في النسبية الخاصة. نيويورك: ماكجرو هيل. ص  155- 199.
• ريندلر، ولفجانج (2001). النسبية: الخاصة والعامة والكونية (الطبعة الثانية). مطبعة جامعة أكسفورد. رقم ISBN 978-0-19-856732-5.
• روسير، ويليام جي في (1971). مقدمة إلى نظرية النسبية (الطبعة الثالثة المحسنة والمنقحة). لندن: باتروورث. الصفحة 256، الشكل 6.4. رقم ISBN 978-0-408-55700-9.
• تايلور، إدوين ف.؛ ويلر، جون أرشيبالد (2003). فيزياء الزمكان: مقدمة إلى النسبية الخاصة (PDF) (الطبعة الثانية). مدينة نيويورك: دبليو إتش فريمان. رقم ISBN 978-0-7167-2327-1.
• والتر، سكوت (1999-07-22). "الأسلوب غير الإقليدي لنسبية مينكوفسكي" (PDF) . في جراي، جيريمي (المحرر). الكون الرمزي. مطبعة جامعة أكسفورد. ص.  91- 127. doi :10.1093/oso/9780198500889.003.0007. ISBN 978-0-19-850088-9. تم أرشفة النسخة الأصلية (PDF) في 2013-10-16 . تم استرجاعها في 2011-03-27 .(انظر الصفحة 10 من الرابط الإلكتروني)

الوسائط المتعلقة بمخططات مينكوفسكي في ويكيميديا ​​كومنز