التوافق (الميكانيكا)

بالنسبة لمسائل الإجهاد المستوي ثنائية الأبعاد، تكون علاقات الإجهاد والإزاحة كما يلي: $${\displaystyle \varepsilon _{11}={\cfrac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}~;~~\varepsilon _{12}={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}+{\cfrac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\right]~;~~\varepsilon _{22}={\cfrac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}}$$

التفاضل المتكرر لهذه العلاقات، من أجل إزالة الإزاحات${\displaystyle u_{1}}$و${\displaystyle u_{2}}$، مما يعطينا شرط التوافق ثنائي الأبعاد للإجهادات $${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}\varepsilon _{11}}{\partial x_{2}^{2}}}-2{\cfrac {\partial ^{2}\varepsilon _{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}\varepsilon _{22}}{\partial x_{1}^{2}}}=0}$$

مجال الإزاحة الوحيد المسموح به بواسطة مجال إجهاد مستوي متوافق هو مجال إزاحة مستوي ، أي${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} (x_{1},x_{2})}$.

في ثلاثة أبعاد، بالإضافة إلى معادلتين أخريين من الشكل الموضح في بعدين، توجد ثلاث معادلات أخرى من الشكل $${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}\varepsilon _{33}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}={\cfrac {\partial }{\partial x_{3}}}\left[{\cfrac {\partial \varepsilon _{23}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial \varepsilon _{31}}{\partial x_{2}}}-{\cfrac {\partial \varepsilon _{12}}{\partial x_{3}}}\right]}$$ لذا، يوجد 81 معادلة تفاضلية جزئية (3 × ⁴⁾ ، ولكن بسبب شروط التناظر، يتقلص هذا العدد إلى ستة شروط توافق مختلفة. يمكننا كتابة هذه الشروط باستخدام ترميز الفهرس على النحو التالي: ^{[ 4 ].}$${\displaystyle e_{ikr}~e_{jls}~\varepsilon _{ij,kl}=0}$$ أين${\displaystyle e_{ijk}}$هو رمز التبديل . في تدوين الموتر المباشر $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }})^{T}={\boldsymbol {0}}}$$ حيث يمكن التعبير عن عامل الدوران في نظام إحداثيات متعامد على النحو التالي:${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=e_{ijk}\varepsilon _{rj,i}\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{r}}$.

الموتر من الدرجة الثانية $${\displaystyle {\boldsymbol {R}}:={\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }})^{T}~;~~R_{rs}:=e_{ikr}~e_{jls}~\varepsilon _{ij,kl}}$$ يُعرف باسم موتر عدم التوافق (أو تحديدًا موتر كرونر) وهو شكل مُختزل من موتر التوافق من رتبة 4 سانت فينان

يمكن التعبير عن شرط التوافق لموتر تشوه كوشي-غرين الأيمن على النحو التالي:$${\displaystyle R_{\alpha \beta \rho }^{\gamma }:={\frac {\partial }{\partial X^{\rho }}}[\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }]-{\frac {\partial }{\partial X^{\beta }}}[\Gamma _{\alpha \rho }^{\gamma }]+\Gamma _{\mu \rho }^{\gamma }~\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }-\Gamma _{\mu \beta }^{\gamma }~\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }=0}$$ أين${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$هو رمز كريستوفيل من النوع الثاني . الكمية${\displaystyle R_{ijk}^{m}}$يمثل المكونات المختلطة لموتر انحناء ريمان-كريستوفيل .

بالنسبة للشروط اللازمة، نفترض أن المجال${\displaystyle \mathbf {v} }$موجود ويلبي الاحتياجات ${\displaystyle v_{i,j}=A_{ij}}$. ثم $${\displaystyle v_{i,jk}=A_{ij,k}~;~~v_{i,kj}=A_{ik,j}}$$ بما أن تغيير ترتيب التفاضل لا يؤثر على النتيجة، فإننا نحصل على $${\displaystyle v_{i,jk}=v_{i,kj}}$$ لذلك $${\displaystyle A_{ij,k}=A_{ik,j}}$$ من المتطابقة المعروفة لدوران الموتر، نحصل على الشرط اللازم $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {0}}}$$

لإثبات أن هذا الشرط كافٍ لضمان وجود حقل موتر متوافق من الرتبة الثانية، نبدأ بافتراض أن الحقل${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$يوجد بحيث ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {0}}}$سنقوم بتكامل هذا الحقل لإيجاد حقل المتجهات${\displaystyle \mathbf {v} }$على طول خط بين نقطتين${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$(انظر الشكل 2)، أي $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} (\mathbf {X} _{B})-\mathbf {v} (\mathbf {X} _{A})&=\int _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \cdot ~d\mathbf {X} \\[1ex]&=\int _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}{\boldsymbol {A}}(\mathbf {X} )\cdot d\mathbf {X} \end{aligned}}}$$ إذا كان حقل المتجهات${\displaystyle \mathbf {v} }$إذا كان التكامل ذا قيمة واحدة، فيجب أن تكون قيمة التكامل مستقلة عن المسار المتخذ للانتقال من${\displaystyle A}$ل${\displaystyle B}$.

من نظرية ستوكس ، يُعطى تكامل موتر من الرتبة الثانية على طول مسار مغلق بالصيغة التالية: $${\displaystyle \oint _{\partial \Omega }{\boldsymbol {A}}\cdot d\mathbf {s} =\int _{\Omega }\mathbf {n} \cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {A}})~da}$$ بافتراض أن التفاف${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$إذا كانت القيمة صفرًا، فسنحصل على $${\displaystyle {\begin{aligned}&\oint _{\partial \Omega }{\boldsymbol {A}}\cdot d\mathbf {s} =0\\[1ex]\implies \quad &\int _{AB}{\boldsymbol {A}}\cdot d\mathbf {X} +\int _{BA}{\boldsymbol {A}}\cdot d\mathbf {X} =0\end{aligned}}}$$ وبالتالي فإن التكامل مستقل عن المسار، وشرط التوافق كافٍ لضمان حل فريد.${\displaystyle \mathbf {v} }$المجال، بشرط أن يكون الجسم متصلاً ببساطة.

لنفترض أن هناك${\displaystyle \mathbf {u} }$بحيث يكون التعبير عن${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$ينتظر. الآن $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ={\boldsymbol {\epsilon }}+{\boldsymbol {\omega }}}$$ أين $${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}:={\tfrac {1}{2}}[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} -({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}]}$$ لذلك، في تدوين الفهرس، $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {\omega }}\equiv \omega _{ij,k}&={\tfrac {1}{2}}(u_{i,jk}-u_{j,ik})\\[2pt]&={\tfrac {1}{2}}(u_{i,jk}+u_{k,ji}-u_{j,ik}-u_{k,ji})\\[2pt]&=\varepsilon _{ik,j}-\varepsilon _{jk,i}\end{aligned}}}$$ لو${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$لدينا دالة قابلة للتفاضل باستمرار${\displaystyle \omega _{ij,kl}=\omega _{ij,lk}}$. لذلك، $${\displaystyle \varepsilon _{ik,jl}-\varepsilon _{jk,il}-\varepsilon _{il,jk}+\varepsilon _{jl,ik}=0}$$ في تدوين الموتر المباشر $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }})^{T}={\boldsymbol {0}}}$$ ما سبق شروط ضرورية. إذا${\displaystyle \mathbf {w} }$إذا كان متجه الدوران متناهي الصغر${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }}={\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} +{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} ^{T}}$وبالتالي، يمكن كتابة الشرط الضروري أيضًا على النحو التالي:${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} +{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} ^{T})^{T}={\boldsymbol {0}}}$.

لنفترض الآن أن الشرط${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }})^{T}={\boldsymbol {0}}}$يتحقق الشرط في جزء من الجسم. هل هذا الشرط كافٍ لضمان وجود حقل إزاحة متصل أحادي القيمة؟${\displaystyle \mathbf {u} }$؟

تتمثل الخطوة الأولى في هذه العملية في إثبات أن هذا الشرط يستلزم أن يكون موتر الدوران متناهي الصغر${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$يتم تعريفها بشكل فريد. وللقيام بذلك، نقوم بالدمج${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} }$على طول المسار${\displaystyle \mathbf {X} _{A}}$ل${\displaystyle \mathbf {X} _{B}}$، أي، $${\displaystyle \mathbf {w} (\mathbf {X} _{B})-\mathbf {w} (\mathbf {X} _{A})=\int _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} \cdot d\mathbf {X} =\int _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }})\cdot d\mathbf {X} }$$ لاحظ أننا نحتاج إلى معرفة مرجع${\displaystyle \mathbf {w} (\mathbf {X} _{A})}$لتثبيت دوران الجسم الصلب. المجال${\displaystyle \mathbf {w} (\mathbf {X} )}$يتم تحديدها بشكل فريد فقط إذا كان التكامل الكفافي على طول كفاف مغلق بين${\displaystyle \mathbf {X} _{A}}$و${\displaystyle \mathbf {X} _{b}}$يساوي صفرًا، أي $${\displaystyle \oint _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }})\cdot d\mathbf {X} ={\boldsymbol {0}}}$$ لكن من نظرية ستوكس للجسم المتصل ببساطة والشرط الضروري للتوافق $${\displaystyle \oint _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }})\cdot d\mathbf {X} =\int _{\Omega _{AB}}\mathbf {n} \cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }})~da={\boldsymbol {0}}}$$ لذلك، فإن المجال${\displaystyle \mathbf {w} }$يتم تعريفها بشكل فريد مما يعني أن موتر الدوران المتناهي الصغر${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$كما أنه يُعرَّف بشكل فريد، شريطة أن يكون الجسم متصلاً ببساطة.

في الخطوة التالية من العملية، سننظر في تفرد مجال الإزاحة${\displaystyle \mathbf {u} }$كما في السابق، نقوم بتكامل تدرج الإزاحة $${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} _{B})-\mathbf {u} (\mathbf {X} _{A})=\int _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} \cdot d\mathbf {X} =\int _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}({\boldsymbol {\epsilon }}+{\boldsymbol {\omega }})\cdot d\mathbf {X} }$$ انطلاقاً من نظرية ستوكس وباستخدام العلاقات${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }}={\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} =-{\boldsymbol {\nabla }}\times \omega }$لدينا $${\displaystyle \oint _{\mathbf {X} _{A}}^{\mathbf {X} _{B}}({\boldsymbol {\epsilon }}+{\boldsymbol {\omega }})\cdot d\mathbf {X} =\int _{\Omega _{AB}}\mathbf {n} \cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\epsilon }}+{\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\omega }})~da={\boldsymbol {0}}}$$ وبالتالي مجال الإزاحة${\displaystyle \mathbf {u} }$يتم تحديدها بشكل فريد أيضًا. وبالتالي، فإن شروط التوافق كافية لضمان وجود مجال إزاحة فريد.${\displaystyle \mathbf {u} }$في جسم متصل ببساطة.

لنفترض أن حقلاً${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {X} )}$يوجد عنصر يحقق الشرط (1). بدلالة المكونات بالنسبة إلى أساس ديكارتي مستطيل $${\displaystyle {\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\beta }}}=C_{\alpha \beta }}$$ من نظرية الإجهاد المحدود نعلم أن${\displaystyle C_{\alpha \beta }=g_{\alpha \beta }}$ومن ثم يمكننا أن نكتب $${\displaystyle \delta _{ij}~{\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}~{\frac {\partial x^{j}}{\partial X^{\beta }}}=g_{\alpha \beta }}$$ بالنسبة لحقلين موتر متناظرين من الرتبة الثانية يتم تحويلهما بشكل أحادي، لدينا أيضًا العلاقة التالية:$${\displaystyle G_{ij}={\frac {\partial X^{\alpha }}{\partial x^{i}}}~{\frac {\partial X^{\beta }}{\partial x^{j}}}~g_{\alpha \beta }}$$ من العلاقة بين${\displaystyle G_{ij}}$و${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$الذي - التي${\displaystyle \delta _{ij}=G_{ij}}$لدينا $${\displaystyle _{(x)}\Gamma _{ij}^{k}=0}$$ ثم، من العلاقة $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}x^{m}}{\partial X^{\alpha }\partial X^{\beta }}}={\frac {\partial x^{m}}{\partial X^{\mu }}}\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }-{\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}~{\frac {\partial x^{j}}{\partial X^{\beta }}}\,_{(x)}\Gamma _{ij}^{m}}$$ لدينا $${\displaystyle {\frac {\partial F_{~\alpha }^{m}}{\partial X^{\beta }}}=F_{~\mu }^{m}\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }\qquad$$ ;~~F_{~\alpha }^{i}:={\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}} من نظرية الإجهاد المحدود لدينا أيضًا $${\displaystyle {\begin{aligned}_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta \gamma }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{\alpha \gamma }}{\partial X^{\beta }}}+{\frac {\partial g_{\beta \gamma }}{\partial X^{\alpha }}}-{\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial X^{\gamma }}}\right);\\[2pt]_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\nu }&=g^{\nu \gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta \gamma }~;\\[2pt]g_{\alpha \beta }&=C_{\alpha \beta }~;~~g^{\alpha \beta }=C^{\alpha \beta }\end{aligned}}}$$ لذلك، $${\displaystyle \,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }={\cfrac {C^{\mu \gamma }}{2}}\left({\frac {\partial C_{\alpha \gamma }}{\partial X^{\beta }}}+{\frac {\partial C_{\beta \gamma }}{\partial X^{\alpha }}}-{\frac {\partial C_{\alpha \beta }}{\partial X^{\gamma }}}\right)}$$ ولدينا $${\displaystyle {\frac {\partial F_{~\alpha }^{m}}{\partial X^{\beta }}}=F_{~\mu }^{m}~{\cfrac {C^{\mu \gamma }}{2}}\left({\frac {\partial C_{\alpha \gamma }}{\partial X^{\beta }}}+{\frac {\partial C_{\beta \gamma }}{\partial X^{\alpha }}}-{\frac {\partial C_{\alpha \beta }}{\partial X^{\gamma }}}\right)}$$ ومرة أخرى، باستخدام الطبيعة التبادلية لترتيب التفاضل، لدينا $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}F_{~\alpha }^{m}}{\partial X^{\beta }\partial X^{\rho }}}={\frac {\partial ^{2}F_{~\alpha }^{m}}{\partial X^{\rho }\partial X^{\beta }}}\\[1.2ex]\implies &{\frac {\partial F_{~\mu }^{m}}{\partial X^{\rho }}}\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }+F_{~\mu }^{m}~{\frac {\partial }{\partial X^{\rho }}}\left[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }\right]={\frac {\partial F_{~\mu }^{m}}{\partial X^{\beta }}}\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }+F_{~\mu }^{m}~{\frac {\partial }{\partial X^{\beta }}}\left[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }\right]\end{aligned}}}$$ أو $${\displaystyle F_{~\gamma }^{m}\,_{(X)}\Gamma _{\mu \rho }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }+F_{~\mu }^{m}~{\frac {\partial }{\partial X^{\rho }}}\left[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }\right]=F_{~\gamma }^{m}\,_{(X)}\Gamma _{\mu \beta }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }+F_{~\mu }^{m}~{\frac {\partial }{\partial X^{\beta }}}\left[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }\right]}$$ بعد جمع الشروط نحصل $${\displaystyle F_{~\gamma }^{m}\left(\,_{(X)}\Gamma _{\mu \rho }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }+{\frac {\partial }{\partial X^{\rho }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }]-\,_{(X)}\Gamma _{\mu \beta }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }-{\frac {\partial }{\partial X^{\beta }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\gamma }]\right)=0}$$ من تعريف${\displaystyle F_{\gamma }^{m}}$نلاحظ أنها قابلة للعكس، وبالتالي لا يمكن أن تساوي صفرًا. لذلك، $${\displaystyle R_{\alpha \beta \rho }^{\gamma }:={\frac {\partial }{\partial X^{\rho }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }]-{\frac {\partial }{\partial X^{\beta }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\gamma }]+\,_{(X)}\Gamma _{\mu \rho }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }-\,_{(X)}\Gamma _{\mu \beta }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }=0}$$ يمكننا إثبات أن هذه هي المكونات المختلطة لموتر انحناء ريمان-كريستوفيل . وبالتالي، فإن الشروط اللازمة لـ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$-التوافق هو أن انحناء ريمان-كريستوفيل للتشوه يساوي صفرًا.

يُعدّ إثبات الكفاية أكثر تعقيدًا بعض الشيء. ^{[ 5 ] [ 6 ]} نبدأ بافتراض أن $${\displaystyle R_{\alpha \beta \rho }^{\gamma }=0~;~~g_{\alpha \beta }=C_{\alpha \beta }}$$ علينا أن نثبت وجودها${\displaystyle \mathbf {x} }$و${\displaystyle \mathbf {X} }$بحيث $${\displaystyle {\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\beta }}}=C_{\alpha \beta }}$$ من نظرية لـ TYThomas ^{[ 7 ]} نعلم أن نظام المعادلات $${\displaystyle {\frac {\partial F_{~\alpha }^{i}}{\partial X^{\beta }}}=F_{~\gamma }^{i}~\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }}$$ لديها حلول فريدة${\displaystyle F_{~\alpha }^{i}}$على نطاقات متصلة ببساطة إذا $${\displaystyle _{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }=_{(X)}\Gamma _{\beta \alpha }^{\gamma }~;~~R_{\alpha \beta \rho }^{\gamma }=0}$$ أول هذه الأمور صحيح من تعريف${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}}$والثاني مفترض. ومن ثم فإن الشرط المفترض يعطينا حالة فريدة${\displaystyle F_{~\alpha }^{i}}$إنه${\displaystyle C^{2}}$مستمر.

ثم لننظر في نظام المعادلات $${\displaystyle {\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}=F_{~\alpha }^{i}}$$ منذ${\displaystyle F_{~\alpha }^{i}}$يكون${\displaystyle C^{2}}$والجسم متصل ببساطة، وهناك حل ما${\displaystyle x^{i}(X^{\alpha })}$بالنسبة للمعادلات المذكورة أعلاه، يمكننا أن نبين أن${\displaystyle x^{i}}$كما أنها تحقق الخاصية التي $${\displaystyle \det \left|{\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}\right|\neq 0}$$ يمكننا أيضًا أن نبين أن العلاقة $${\displaystyle {\frac {\partial x^{i}}{\partial X^{\alpha }}}~g^{\alpha \beta }~{\frac {\partial x^{j}}{\partial X^{\beta }}}=\delta ^{ij}}$$ يشير ذلك إلى أن $${\displaystyle g_{\alpha \beta }=C_{\alpha \beta }={\frac {\partial x^{k}}{\partial X^{\alpha }}}~{\frac {\partial x^{k}}{\partial X^{\beta }}}}$$ إذا ربطنا هذه الكميات بحقول الموترات، يمكننا أن نبين أن${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}}$قابلة للعكس، ويحقق حقل الموتر المُنشأ التعبير الخاص بـ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$.