نظرية الإجهاد المتناهي الصغر

لنفترض تشوهًا ثنائي الأبعاد لعنصر مادي مستطيل متناهي الصغر بأبعاد${\displaystyle dx}$بواسطة${\displaystyle dy}$(الشكل 1)، والذي يتخذ شكل معين بعد التشوه. من هندسة الشكل 1 لدينا

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {ab}}&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\&=dx{\sqrt {1+2{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\\end{aligned}}}$$

بالنسبة لتدرجات الإزاحة الصغيرة جدًا، أي${\displaystyle \|\nabla \mathbf {u} \|\ll 1}$لدينا $${\displaystyle {\overline {ab}}\approx dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}$$

الإجهاد الطبيعي في${\displaystyle x}$يتم تحديد اتجاه العنصر المستطيل بواسطة $${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {{\overline {ab}}-{\overline {AB}}}{\overline {AB}}}}$$ مع العلم بذلك${\displaystyle {\overline {AB}}=dx}$لدينا $${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}}$$

وبالمثل، فإن الإجهاد الطبيعي في${\displaystyle y}$-الاتجاه، و${\displaystyle z}$-اتجاه، يصبح $${\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\quad ,\qquad \varepsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}}$$

إجهاد القص الهندسي ، أو التغير في الزاوية بين خطين ماديين متعامدين في الأصل، في هذه الحالة الخط${\displaystyle {\overline {AC}}}$و${\displaystyle {\overline {AB}}}$، ويُعرَّف على أنه $${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta }$$

انطلاقاً من هندسة الشكل 1، لدينا $${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\dfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\quad ,\qquad \tan \beta ={\frac {{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\dfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}}$$

بالنسبة للدورات الصغيرة، أي${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$نكون${\displaystyle \ll 1}$لدينا $${\displaystyle \tan \alpha \approx \alpha \quad ,\qquad \tan \beta \approx \beta }$$ ومرة أخرى، بالنسبة لتدرجات الإزاحة الصغيرة، لدينا $${\displaystyle \alpha ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\quad ,\qquad \beta ={\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$$ هكذا $${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$$ عن طريق التبادل${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$و${\displaystyle u_{x}}$و${\displaystyle u_{y}}$، ويمكن إثبات ذلك${\displaystyle \gamma _{xy}=\gamma _{yx}}$.

وبالمثل، بالنسبة لـ${\displaystyle y}$-${\displaystyle z}$و${\displaystyle x}$-${\displaystyle z}$لدينا طائرات $${\displaystyle \gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}}$$

يتضح أنه يمكن التعبير عن مكونات إجهاد القص الموتري لموتر الإجهاد المتناهي الصغر باستخدام تعريف الإجهاد الهندسي.${\displaystyle \gamma }$، مثل $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\gamma _{xy}/2&\gamma _{xz}/2\\\gamma _{yx}/2&\varepsilon _{yy}&\gamma _{yz}/2\\\gamma _{zx}/2&\gamma _{zy}/2&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}}$$

من نظرية الإجهاد المحدود لدينا $${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot 2\mathbf {E} \cdot d\mathbf {X} \quad {\text{or}}\quad (dx)^{2}-(dX)^{2}=2E_{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}}$$

أما بالنسبة للإجهادات المتناهية الصغر، فلدينا $${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot 2\mathbf {\boldsymbol {\varepsilon }} \cdot d\mathbf {X} \quad {\text{or}}\quad (dx)^{2}-(dX)^{2}=2\varepsilon _{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}}$$

القسمة على${\displaystyle (dX)^{2}}$لدينا $${\displaystyle {\frac {dx-dX}{dX}}{\frac {dx+dX}{dX}}=2\varepsilon _{ij}{\frac {dX_{i}}{dX}}{\frac {dX_{j}}{dX}}}$$

بالنسبة للتشوهات الصغيرة، نفترض أن${\displaystyle dx\approx dX}$وبالتالي يصبح الحد الثاني من الطرف الأيسر كما يلي:${\displaystyle {\frac {dx+dX}{dX}}\approx 2}$.

ثم لدينا $${\displaystyle {\frac {dx-dX}{dX}}=\varepsilon _{ij}N_{i}N_{j}=\mathbf {N} \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \mathbf {N} }$$ أين${\displaystyle N_{i}={\frac {dX_{i}}{dX}}}$، هو متجه الوحدة في اتجاه${\displaystyle d\mathbf {X} }$والتعبير الموجود على الجانب الأيسر هو السلالة الطبيعية${\displaystyle e_{(\mathbf {N} )}}$في اتجاه${\displaystyle \mathbf {N} }$في حالة خاصة من${\displaystyle \mathbf {N} }$في${\displaystyle X_{1}}$الاتجاه، أي${\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {I} _{1}}$لدينا $${\displaystyle e_{(\mathbf {I} _{1})}=\mathbf {I} _{1}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \mathbf {I} _{1}=\varepsilon _{11}.}$$

وبالمثل، بالنسبة لـ${\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {I} _{2}}$و${\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {I} _{3}}$يمكننا العثور على السلالات الطبيعية${\displaystyle \varepsilon _{22}}$و${\displaystyle \varepsilon _{33}}$وبالتالي، فإن العناصر القطرية لموتر الإجهاد المتناهي الصغر هي الإجهادات العمودية في اتجاهات الإحداثيات.

إذا اخترنا نظام إحداثيات متعامد (${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$يمكننا كتابة الموتر بدلالة مكوناته بالنسبة لتلك المتجهات الأساسية كما يلي: $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}}$$ في شكل مصفوفة، $${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}}$$ يمكننا بسهولة اختيار استخدام نظام إحداثيات متعامد آخر (${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1},{\hat {\mathbf {e} }}_{2},{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}$بدلاً من ذلك. في هذه الحالة، تكون مكونات الموتر مختلفة، على سبيل المثال $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\hat {\varepsilon }}_{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\otimes {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\quad \implies \quad {\underline {\underline {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}}}={\begin{bmatrix}{\hat {\varepsilon }}_{11}&{\hat {\varepsilon }}_{12}&{\hat {\varepsilon }}_{13}\\{\hat {\varepsilon }}_{12}&{\hat {\varepsilon }}_{22}&{\hat {\varepsilon }}_{23}\\{\hat {\varepsilon }}_{13}&{\hat {\varepsilon }}_{23}&{\hat {\varepsilon }}_{33}\end{bmatrix}}}$$ ترتبط مكونات الإجهاد في نظامي الإحداثيات بالعلاقة التالية: $${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{ij}=\ell _{ip}~\ell _{jq}~\varepsilon _{pq}}$$ حيث تم استخدام اصطلاح أينشتاين للجمع للمؤشرات المتكررة و${\displaystyle \ell _{ij}={\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\mathbf {e} }_{j}}$في شكل مصفوفة $${\displaystyle {\underline {\underline {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}}}={\underline {\underline {\mathbf {L} }}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}~{\underline {\underline {\mathbf {L} }}}^{T}}$$ أو $${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\hat {\varepsilon }}_{11}&{\hat {\varepsilon }}_{12}&{\hat {\varepsilon }}_{13}\\{\hat {\varepsilon }}_{21}&{\hat {\varepsilon }}_{22}&{\hat {\varepsilon }}_{23}\\{\hat {\varepsilon }}_{31}&{\hat {\varepsilon }}_{32}&{\hat {\varepsilon }}_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\ell _{11}&\ell _{12}&\ell _{13}\\\ell _{21}&\ell _{22}&\ell _{23}\\\ell _{31}&\ell _{32}&\ell _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ell _{11}&\ell _{12}&\ell _{13}\\\ell _{21}&\ell _{22}&\ell _{23}\\\ell _{31}&\ell _{32}&\ell _{33}\end{bmatrix}}^{T}}$$

تُعطي بعض العمليات على موتر الإجهاد نفس النتيجة بغض النظر عن نظام الإحداثيات المتعامدة المستخدم لتمثيل مركبات الإجهاد. تُسمى نتائج هذه العمليات بثوابت الإجهاد . ومن أكثر ثوابت الإجهاد شيوعًا ما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\\I_{2}&={\tfrac {1}{2}}\{[\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{2}-\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }}^{2})\}\\I_{3}&=\det({\boldsymbol {\varepsilon }})\end{aligned}}}$$ من حيث المكونات $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\\I_{2}&=\varepsilon _{11}\varepsilon _{22}+\varepsilon _{22}\varepsilon _{33}+\varepsilon _{33}\varepsilon _{11}-\varepsilon _{12}^{2}-\varepsilon _{23}^{2}-\varepsilon _{31}^{2}\\I_{3}&=\varepsilon _{11}(\varepsilon _{22}\varepsilon _{33}-\varepsilon _{23}^{2})-\varepsilon _{12}(\varepsilon _{21}\varepsilon _{33}-\varepsilon _{23}\varepsilon _{31})+\varepsilon _{13}(\varepsilon _{21}\varepsilon _{32}-\varepsilon _{22}\varepsilon _{31})\end{aligned}}}$$

يمكن إثبات أنه من الممكن إيجاد نظام إحداثيات (${\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}$) حيث تكون مكونات موتر الإجهاد $${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}&0&0\\0&\varepsilon _{2}&0\\0&0&\varepsilon _{3}\end{bmatrix}}\quad \implies \quad {\boldsymbol {\varepsilon }}=\varepsilon _{1}\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+\varepsilon _{2}\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\varepsilon _{3}\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}}$$ مكونات موتر الإجهاد في (${\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}$يُطلق على نظام الإحداثيات اسم الإجهادات الرئيسية والاتجاهات${\displaystyle \mathbf {n} _{i}}$تُسمى هذه الاتجاهات باتجاهات الإجهاد الرئيسي. وبما أنه لا توجد مركبات إجهاد قص في نظام الإحداثيات هذا، فإن الإجهادات الرئيسية تمثل أقصى وأدنى تمدد لحجم عنصري.

إذا أُعطيت لنا مركبات موتر الإجهاد في نظام إحداثيات متعامد عشوائي، فيمكننا إيجاد الإجهادات الرئيسية باستخدام تحليل القيم الذاتية المحدد عن طريق حل نظام المعادلات $${\displaystyle ({\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}-\varepsilon _{i}~{\underline {\underline {\mathbf {I} }}})~\mathbf {n} _{i}={\underline {\mathbf {0} }}}$$ هذا النظام من المعادلات يكافئ إيجاد المتجه${\displaystyle \mathbf {n} _{i}}$حيث يصبح موتر الإجهاد عبارة عن تمدد خالص بدون أي مكون قص.

الإجهاد الحجمي ، ويسمى أيضًا الإجهاد الكلي ، هو التغير النسبي في الحجم، الناتج عن التمدد أو الانضغاط ؛ وهو أول ثابت إجهاد أو أثر للموتر: $${\displaystyle \delta ={\frac {\Delta V}{V_{0}}}=I_{1}=\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}}$$ في الواقع، إذا اعتبرنا مكعبًا طول ضلعه a ، فإنه يصبح مكعبًا شبه كامل بعد التشوه (لا تؤثر تغيرات الزوايا على الحجم) بأبعاد${\displaystyle a\cdot (1+\varepsilon _{11})\times a\cdot (1+\varepsilon _{22})\times a\cdot (1+\varepsilon _{33})}$وبالتالي V ₀ = a ³ ، $${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V_{0}}}={\frac {\left(1+\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{33}+\varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}\right)\cdot a^{3}-a^{3}}{a^{3}}}}$$ بينما نأخذ في الاعتبار التشوهات الصغيرة، $${\displaystyle 1\gg \varepsilon _{ii}\gg \varepsilon _{ii}\cdot \varepsilon _{jj}\gg \varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}}$$ وبالتالي الصيغة.

في حالة القص النقي، يمكننا أن نرى أنه لا يوجد تغيير في الحجم.

موتر الإجهاد المتناهي الصغر${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$، على غرار موتر إجهاد كوشي ، يمكن التعبير عنه كمجموع موترين آخرين:

1. موتر الإجهاد المتوسط ​​أو موتر الإجهاد الحجمي أو موتر الإجهاد الكروي ،${\displaystyle \varepsilon _{M}\delta _{ij}}$، المرتبطة بتمدد الأوعية الدموية أو تغير حجمها؛ و
2. مكون انحرافي يُسمى موتر انحراف الإجهاد ،${\displaystyle \varepsilon '_{ij}}$، متعلق بالتشويه.

$${\displaystyle \varepsilon _{ij}=\varepsilon '_{ij}+\varepsilon _{M}\delta _{ij}}$$ أين${\displaystyle \varepsilon _{M}}$هو متوسط ​​الإجهاد المعطى بواسطة $${\displaystyle \varepsilon _{M}={\frac {\varepsilon _{kk}}{3}}={\frac {\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}}{3}}={\tfrac {1}{3}}I_{1}^{e}}$$

يمكن الحصول على موتر الإجهاد الانحرافي عن طريق طرح موتر الإجهاد المتوسط ​​من موتر الإجهاد المتناهي الصغر: $${\displaystyle {\begin{aligned}\ \varepsilon '_{ij}&=\varepsilon _{ij}-{\frac {\varepsilon _{kk}}{3}}\delta _{ij}\\{\begin{bmatrix}\varepsilon '_{11}&\varepsilon '_{12}&\varepsilon '_{13}\\\varepsilon '_{21}&\varepsilon '_{22}&\varepsilon '_{23}\\\varepsilon '_{31}&\varepsilon '_{32}&\varepsilon '_{33}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}\varepsilon _{M}&0&0\\0&\varepsilon _{M}&0\\0&0&\varepsilon _{M}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}-\varepsilon _{M}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}-\varepsilon _{M}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}-\varepsilon _{M}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

يترك (${\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}$لتكن ) اتجاهات الإجهادات الرئيسية الثلاثة. المستوى الثماني الأوجه هو مستوى يصنع عموده زوايا متساوية مع الاتجاهات الرئيسية الثلاثة. يُسمى إجهاد القص الهندسي على المستوى الثماني الأوجه بإجهاد القص الثماني الأوجه، ويُعطى بالعلاقة التالية: $${\displaystyle \gamma _{\mathrm {oct} }={\tfrac {2}{3}}{\sqrt {(\varepsilon _{1}-\varepsilon _{2})^{2}+(\varepsilon _{2}-\varepsilon _{3})^{2}+(\varepsilon _{3}-\varepsilon _{1})^{2}}}}$$ أين${\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3}}$وهي السلالات الرئيسية.

يُعطى الإجهاد العمودي على مستوى ثماني الأوجه بالعلاقة التالية :$${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {oct} }={\tfrac {1}{3}}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})}$$

تُستخدم كمية قياسية تُسمى الإجهاد المكافئ ، أو إجهاد فون ميزس المكافئ، لوصف حالة الإجهاد في المواد الصلبة. توجد عدة تعريفات للإجهاد المكافئ في المراجع العلمية. ومن التعريفات الشائعة الاستخدام في مراجع اللدونة ما يلي: $${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eq} }={\sqrt {{\tfrac {2}{3}}{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\mathrm {dev} }:{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\mathrm {dev} }}}={\sqrt {{\tfrac {2}{3}}\varepsilon _{ij}^{\mathrm {dev} }\varepsilon _{ij}^{\mathrm {dev} }}}~;~~{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\mathrm {dev} }={\boldsymbol {\varepsilon }}-{\tfrac {1}{3}}\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~{\boldsymbol {I}}}$$ هذه الكمية هي الشغل المترافق مع الإجهاد المكافئ المعرف على النحو التالي: $${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {{\tfrac {3}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {dev} }:{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {dev} }}}}$$

في المكونات الهندسية الحقيقية، يكون الإجهاد (والانفعال) موترات ثلاثية الأبعاد، ولكن في الهياكل المنشورية مثل قطعة معدنية طويلة، يكون طول الهيكل أكبر بكثير من البعدين الآخرين. الانفعالات المرتبطة بالطول، أي الانفعال العمودي${\displaystyle \varepsilon _{33}}$وإجهادات القص${\displaystyle \varepsilon _{13}}$و${\displaystyle \varepsilon _{23}}$(إذا كان الطول في الاتجاه الثلاثي) تكون هذه التشوهات مقيدة بالمواد المجاورة، وهي صغيرة مقارنةً بالتشوهات في المقطع العرضي . لذا، يُعدّ التشوه المستوي تقريبًا مقبولًا. يُكتب موتر التشوه في حالة التشوه المستوي على النحو التالي:$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&0\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$$ حيث يشير الخط المزدوج السفلي إلى موتر من الدرجة الثانية . تُسمى حالة الإجهاد هذه بالإجهاد المستوي . موتر الإجهاد المقابل هو: $${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&0\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&0\\0&0&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}$$ حيث غير الصفر${\displaystyle \sigma _{33}}$يلزم الحفاظ على القيد${\displaystyle \epsilon _{33}=0}$يمكن إزالة مصطلح الإجهاد هذا مؤقتًا من التحليل بحيث لا يتبقى سوى المصطلحات الموجودة في المستوى، مما يؤدي فعليًا إلى تقليل المشكلة ثلاثية الأبعاد إلى مشكلة ثنائية الأبعاد أبسط بكثير.

يُعدّ الإجهاد المضاد للمستوى حالة خاصة أخرى من الإجهاد يمكن أن تحدث في الجسم، على سبيل المثال في منطقة قريبة من خلع لولبي . ويُعطى موتر الإجهاد للإجهاد المضاد للمستوى بالصيغة التالية:$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}0&0&\varepsilon _{13}\\0&0&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&0\end{bmatrix}}}$$

يحتوي الموتر المتناظر المائل من الرتبة الثانية على ثلاثة مركبات قياسية مستقلة. تُستخدم هذه المركبات الثلاثة لتعريف متجه محوري .${\displaystyle \mathbf {w} }$، كما يلي $${\displaystyle W_{ij}=-\epsilon _{ijk}~w_{k}~;~~w_{i}=-{\tfrac {1}{2}}~\epsilon _{ijk}~W_{jk}}$$ أين${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$هو رمز التبديل . في شكل المصفوفة $${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {W}}}}={\begin{bmatrix}0&-w_{3}&w_{2}\\w_{3}&0&-w_{1}\\-w_{2}&w_{1}&0\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\mathbf {w} }}={\begin{bmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{bmatrix}}}$$ يُطلق على المتجه المحوري أيضًا اسم متجه الدوران المتناهي الصغر . ويرتبط متجه الدوران بتدرج الإزاحة بالعلاقة التالية: $${\displaystyle \mathbf {w} ={\tfrac {1}{2}}~{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {u} }$$ في تدوين الفهرس $${\displaystyle w_{i}={\tfrac {1}{2}}~\epsilon _{ijk}~u_{k,j}}$$ لو${\displaystyle \lVert {\boldsymbol {W}}\rVert \ll 1}$و${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {0}}}$ثم تخضع المادة لدوران جسم صلب تقريبي بمقدار${\displaystyle |\mathbf {w} |}$حول المتجه${\displaystyle \mathbf {w} }$.

بافتراض وجود حقل إزاحة مستمر ذي قيمة واحدة${\displaystyle \mathbf {u} }$وموتر الإجهاد المتناهي الصغر المقابل${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$لدينا (انظر مشتقة الموتر (ميكانيكا الأوساط المتصلة) ) $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=e_{ijk}~\varepsilon _{lj,i}~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}={\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~[u_{l,ji}+u_{j,li}]~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}}$$ بما أن تغيير ترتيب التفاضل لا يغير النتيجة،${\displaystyle u_{l,ji}=u_{l,ij}}$. لذلك $${\displaystyle e_{ijk}u_{l,ji}=(e_{12k}+e_{21k})u_{l,12}+(e_{13k}+e_{31k})u_{l,13}+(e_{23k}+e_{32k})u_{l,32}=0}$$ أيضًا $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~u_{j,li}=\left({\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~u_{j,i}\right)_{,l}=\left({\tfrac {1}{2}}~e_{kij}~u_{j,i}\right)_{,l}=w_{k,l}}$$ لذلك $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=w_{k,l}~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}={\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} }$$

انطلاقاً من متطابقة مهمة تتعلق بدوران الموتر، نعلم أنه بالنسبة لحقل إزاحة مستمر أحادي القيمة${\displaystyle \mathbf {u} }$، $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )={\boldsymbol {0}}.}$$ منذ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ={\boldsymbol {\varepsilon }}+{\boldsymbol {W}}}$لدينا $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {W}}=-{\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=-{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} .}$$

في الإحداثيات القطبية الأسطوانية (${\displaystyle r,\theta ,z}$يمكن كتابة متجه الإزاحة على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbf {u} =u_{r}~\mathbf {e} _{r}+u_{\theta }~\mathbf {e} _{\theta }+u_{z}~\mathbf {e} _{z}}$$ مكونات موتر الإجهاد في نظام إحداثيات أسطواني معطاة بواسطة: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\cfrac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{zz}&={\cfrac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\varepsilon _{r\theta }&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta z}&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial \theta }}\right)\\\varepsilon _{zr}&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{r}}{\partial z}}+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial r}}\right)\end{aligned}}}$$

في الإحداثيات الكروية (${\displaystyle r,\theta ,\phi }$يمكن كتابة متجه الإزاحة على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbf {u} =u_{r}~\mathbf {e} _{r}+u_{\theta }~\mathbf {e} _{\theta }+u_{\phi }~\mathbf {e} _{\phi }}$$ يتم إعطاء مكونات موتر الإجهاد في نظام الإحداثيات الكروية بواسطة ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\cfrac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{\phi \phi }&={\cfrac {1}{r\sin \theta }}\left({\cfrac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+u_{r}\sin \theta +u_{\theta }\cos \theta \right)\\\varepsilon _{r\theta }&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta \phi }&={\cfrac {1}{2r}}\left({\cfrac {1}{\sin \theta }}{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \phi }}+{\cfrac {\partial u_{\phi }}{\partial \theta }}-u_{\phi }\cot \theta \right)\\\varepsilon _{\phi r}&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+{\cfrac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\phi }}{r}}\right)\end{aligned}}}$$