الإحداثيات المنحنية

في الهندسة ، تُعرف الإحداثيات المنحنية بأنها نظام إحداثيات للفضاء الإقليدي، حيث قد تكون خطوط الإحداثيات منحنية. ويمكن اشتقاق هذه الإحداثيات من مجموعة إحداثيات ديكارتية باستخدام تحويل قابل للعكس محليًا (تحويل أحادي) عند كل نقطة. وهذا يعني أنه يمكن تحويل نقطة معينة في نظام إحداثيات ديكارتية إلى إحداثياتها المنحنية والعكس. وقد صاغ عالم الرياضيات الفرنسي لاميه مصطلح "الإحداثيات المنحنية" نظرًا لانحناء أسطح الإحداثيات في هذه الأنظمة.

من الأمثلة المعروفة لأنظمة الإحداثيات المنحنية في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد ( ^R³) الإحداثيات الأسطوانية والكروية . سطح الإحداثيات الديكارتية في هذا الفضاء هو مستوى إحداثي ؛ فعلى سبيل المثال ، z = 0 يُحدد المستوى x - y . في الفضاء نفسه، سطح الإحداثيات r = 1 في الإحداثيات الكروية هو سطح كرة الوحدة ، وهو سطح منحني. يوفر نظام الإحداثيات المنحنية وصفًا موحدًا وعامًا لأنظمة الإحداثيات القياسية.

تُستخدم الإحداثيات المنحنية غالبًا لتحديد موقع أو توزيع الكميات الفيزيائية، والتي قد تكون، على سبيل المثال، كميات قياسية أو متجهات أو موترات . ويمكن تحويل التعبيرات الرياضية التي تتضمن هذه الكميات في حساب المتجهات وتحليل الموترات (مثل التدرج ، والتباعد ، والالتفاف ، ومؤثر لابلاس ) من نظام إحداثيات إلى آخر، وفقًا لقواعد التحويل الخاصة بالكميات القياسية والمتجهات والموترات. وبذلك، تصبح هذه التعبيرات صالحة لأي نظام إحداثيات منحني.

قد يكون استخدام نظام الإحداثيات المنحنية أسهل من نظام الإحداثيات الديكارتية في بعض التطبيقات. عادةً ما يكون حل حركة الجسيمات تحت تأثير القوى المركزية أسهل في الإحداثيات الكروية منه في الإحداثيات الديكارتية؛ وينطبق هذا على العديد من المسائل الفيزيائية ذات التناظر الكروي المعرّف في الفضاء ثلاثي ^{الأبعاد}R³ . قد يكون حل المعادلات ذات الشروط الحدية التي تتبع أسطح الإحداثيات لنظام إحداثيات منحني معين أسهل في ذلك النظام. فبينما يمكن وصف حركة جسيم في صندوق مستطيل باستخدام الإحداثيات الديكارتية، يكون وصف الحركة في كرة أسهل باستخدام الإحداثيات الكروية. تُعد الإحداثيات الكروية أكثر أنظمة الإحداثيات المنحنية شيوعًا، وتُستخدم في علوم الأرض ، ورسم الخرائط ، وميكانيكا الكم ، والنسبية ، والهندسة .

الإحداثيات المنحنية المتعامدة في ثلاثة أبعاد

الإحداثيات، والأساس، والمتجهات

لنفترض الآن الفضاء ثلاثي الأبعاد . يمكن تعريف نقطة P في الفضاء ثلاثي الأبعاد (أو متجه موضعها r ) باستخدام الإحداثيات الديكارتية ( x ، y ، z ) [أو ما يكافئها ( x1 ^،x2 ^،x3 ⁾ ]، وذلك على النحو التالي : $\mathbf {r} =x\mathbf {e} _{x}+y\mathbf {e} _{y}+z\mathbf {e} _{z}$ ، حيث e _x و e _y و e _z هي متجهات الأساس القياسية .

يمكن تعريفها أيضًا بإحداثياتها المنحنية ( q1 ^،q2 ^،q3 ⁾ إذا كانت هذه الثلاثية من الأرقام تُحدد نقطة واحدة بطريقة لا لبس فيها. وتُعطى العلاقة بين الإحداثيات حينها بواسطة دوال التحويل العكسي التالية :

x=f^{1}(q^{1},q^{2},q^{3}),\,y=f^{2}(q^{1},q^{2},q^{3}),\,z=f^{3}(q^{1},q^{2},q^{3})

q^{1}=g^{1}(x,y,z),\,q^{2}=g^{2}(x,y,z),\,q^{3}=g^{3}(x,y,z)

تُسمى الأسطح q1 = ثابت، ^q2= ثابت، q3 = ثابت ^،أسطح الإحداثيات ؛ وتُسمى المنحنيات الفضائية الناتجة عن تقاطعها في أزواج، ^{منحنيات}الإحداثيات . تُحدد محاور الإحداثيات بواسطة المماسات لمنحنيات الإحداثيات عند تقاطع الأسطح الثلاثة. وهي ليست، بشكل عام، اتجاهات ثابتة في الفضاء، كما هو الحال في الإحداثيات الديكارتية البسيطة، وبالتالي لا يوجد أساس عالمي طبيعي للإحداثيات المنحنية.

في النظام الديكارتي، يمكن اشتقاق متجهات الأساس القياسية من مشتق موقع النقطة P بالنسبة للإحداثيات المحلية.

// {ص} {\جزئي ض}}.}

إن تطبيق نفس المشتقات على النظام المنحني محليًا عند النقطة P يحدد متجهات الأساس الطبيعية:

// {\جزئي \mathbf {r} }{\جزئي q^{3}}}.}

يُطلق على الأساس الذي تتغير متجهاته في اتجاهها و/أو مقدارها من نقطة إلى أخرى اسم الأساس المحلي . جميع الأسس المرتبطة بالإحداثيات المنحنية هي بالضرورة أسس محلية. أما متجهات الأساس التي تكون متطابقة عند جميع النقاط فهي أسس عالمية ، ولا يمكن ربطها إلا بأنظمة الإحداثيات الخطية أو الأفينية .

في هذه المقالة، تم تخصيص e للأساس القياسي (الديكارتي) و h أو b للأساس المنحني.

قد لا يكون لهذه المعاملات طول وحدة واحدة، وقد لا تكون متعامدة أيضاً. في حالة كونها متعامدة عند جميع النقاط التي تكون فيها المشتقات محددة جيداً، فإننا نُعرّف معاملات لاميه.(على غرار غابرييل لاميه ) بواسطة

h_{1}=|\mathbf {h} _{1}|;\;h_{2}=|\mathbf {h} _{2}|;\;h_{3}=|\mathbf {h} _{3}|

والمتجهات الأساسية المتعامدة المنحنية بواسطة

// _{3}}{h_{3}}}.}

قد تعتمد متجهات الأساس هذه على موضع النقطة P ؛ لذا من الضروري عدم افتراض ثباتها على منطقة معينة. (وهي تشكل تقنيًا أساسًا للفضاء المماسي لـ $\mathbb {R} ^{3}$ عند النقطة P ، وبالتالي فهي محلية بالنسبة إلى P. )

بشكل عام، تسمح الإحداثيات المنحنية بأن تكون متجهات الأساس الطبيعية h _i غير متعامدة فيما بينها، وليست بالضرورة ذات طول وحدة واحدة؛ إذ يمكن أن تكون ذات مقدار واتجاه عشوائيين. يُسهّل استخدام أساس متعامد عمليات معالجة المتجهات مقارنةً بالأساس غير المتعامد. مع ذلك، تتطلب بعض مجالات الفيزياء والهندسة ، ولا سيما ميكانيكا الموائع وميكانيكا الأوساط المتصلة ، استخدام أسس غير متعامدة لوصف التشوهات وانتقال الموائع ، وذلك لمراعاة التبعيات الاتجاهية المعقدة للكميات الفيزيائية. سيتم تناول الحالة العامة لاحقًا في هذه الصفحة.

حساب المتجهات

العناصر التفاضلية

في الإحداثيات المنحنية المتعامدة، بما أن التغير التفاضلي الكلي في r هو

d\mathbf {r} ={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}}dq^{1}+{\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}}dq^{2}+{\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}dq^{3}=h_{1}dq^{1}\mathbf {b} _{1}+h_{2}dq^{2}\mathbf {b} _{2}+h_{3}dq^{3}\mathbf {b} _{3}

لذا فإن عوامل المقياس هي $h_{i}=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\right|$

في الإحداثيات غير المتعامدة، يكون طول $d\mathbf {r} =dq^{1}\mathbf {h} _{1}+dq^{2}\mathbf {h} _{2}+dq^{3}\mathbf {h} _{3}$ هو الجذر التربيعي الموجب لـ $d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =dq^{i}dq^{j}\mathbf {h} _{i}\cdot \mathbf {h} _{j}$ (مع مراعاة اصطلاح جمع أينشتاين ). تُعمم الضربات العددية الستة المستقلة g _ij = h  _i , h _j لمتجهات الأساس الطبيعية عوامل المقياس الثلاثة المُعرّفة أعلاه للإحداثيات المتعامدة. أما g _ij التسعة فهي مُركّبات موتر القياس ، الذي لا يحتوي إلا على ثلاثة مُركّبات غير صفرية في الإحداثيات المتعامدة: g _11 = h  ₁ , h _22 = h __{2 ,}h 33 = h _₃ , h _₃ .

القواعد المتغيرة والمتغيرة عكسيًا

ترتبط التدرجات المكانية والمسافات والمشتقات الزمنية وعوامل المقياس داخل نظام إحداثيات من خلال مجموعتين من متجهات الأساس:

متجهات أساسية مماسية محليًا لمسار الإحداثيات المرتبط بها: $\mathbf {b} _{i}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}$ هي متجهات متغايرة (يُشار إليها بمؤشرات منخفضة)، و
متجهات أساسية عمودية محليًا على السطح المتساوي الناتج عن الإحداثيات الأخرى: $\mathbf {b} ^{i}=\nabla q^{i}$ هي متجهات متغايرة (يشار إليها بمؤشرات مرفوعة)، ∇ هو عامل الحذف .

لاحظ أنه بسبب اصطلاح الجمع لأينشتاين، فإن موضع مؤشرات المتجهات هو عكس موضع الإحداثيات.

وبالتالي ، يحتوي نظام الإحداثيات المنحنية العام على مجموعتين من متجهات الأساس لكل نقطة: {b1, ^{b2, b3} هي الأساس المتغاير، و{b1} , b2 _,b3 _}هي الأساس المتغاير ( أو المقلوب ⁾. ^تتشابه متجهات الأساس المتغاير والمتغاير في الاتجاه في أنظمة الإحداثيات المنحنية المتعامدة ، ولكن كما هو معتاد _، تكون وحداتها معكوسة بالنسبة لبعضها البعض.

لاحظ المساواة المهمة التالية: $\mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=\delta _{j}^{i}$ حيث $\delta _{j}^{i}$ يشير إلى دلتا كرونكر المعممة .

دليل

في نظام الإحداثيات الديكارتية $(\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z})$ يمكننا كتابة حاصل الضرب النقطي على النحو التالي:

\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} ^{j}=\left({\dfrac {\partial x}{\partial q_{i}}},{\dfrac {\partial y}{\partial q_{i}}},{\dfrac {\partial z}{\partial q_{i}}}\right)\cdot \left({\dfrac {\partial q_{j}}{\partial x}},{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial y}},{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial z}}\right)={\dfrac {\partial x}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial z}}

لنفترض إزاحة متناهية الصغر $d\mathbf {r} =dx\cdot \mathbf {e} _{x}+dy\cdot \mathbf {e} _{y}+dz\cdot \mathbf {e} _{z}$ . ليكن dq ₁ و dq ₂ و dq ₃ يمثل التغيرات المتناهية الصغر المقابلة في الإحداثيات المنحنية q ₁ و q ₂ و q ₃ على التوالي.

باستخدام قاعدة السلسلة، يمكن التعبير عن dq _{1 على النحو التالي:}

dq_{1}={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}dy+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}dz={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}\left({\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{3}}}dq_{3}\right)+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}\left({\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{3}}}dq_{3}\right)

إذا كانت الإزاحة d r بحيث يكون dq ₂ = dq ₃ = 0، أي أن متجه الموضع r يتحرك بمقدار متناهي الصغر على طول محور الإحداثيات q ₂ = ثابت و q ₃ = ثابت، فإن:

dq_{1}={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}dq_{1}

القسمة على dq ₁ ، وأخذ النهاية dq ₁ → 0:

1={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}{\dfrac {\partial x}{\partial q_{1}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}={\dfrac {\partial x}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}

أو ما يعادل ذلك:

\mathbf {b} _{1}\cdot \mathbf {b} ^{1}=1

الآن، إذا كانت الإزاحة d r بحيث يكون dq ₁ = dq ₃ = 0، أي أن متجه الموضع r يتحرك بمقدار متناهي الصغر على طول محور الإحداثيات q ₁ = ثابت و q ₃ = ثابت، فإن:

0={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}dq_{2}

القسمة على dq ₂ ، وأخذ النهاية dq ₂ → 0:

0={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}{\dfrac {\partial x}{\partial q_{2}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}={\dfrac {\partial x}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}

أو ما يعادل ذلك:

\mathbf {b} _{2}\cdot \mathbf {b} ^{1}=0

وهكذا بالنسبة لباقي المنتجات النقطية.

دليل بديل:

\delta _{j}^{i}dq^{j}=dq^{i}=\nabla q^{i}\cdot d\mathbf {r} =\mathbf {b} ^{i}\cdot {\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}dq^{j}=\mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}dq^{j}

ويتم تضمين اتفاقية جمع أينشتاين ضمنيًا .

يمكن تحديد المتجه v بدلالة أي من الأساسين، أي

\mathbf {v} =v^{1}\mathbf {b} _{1}+v^{2}\mathbf {b} _{2}+v^{3}\mathbf {b} _{3}=v_{1}\mathbf {b} ^{1}+v_{2}\mathbf {b} ^{2}+v_{3}\mathbf {b} ^{3}

باستخدام اصطلاح جمع أينشتاين، ترتبط متجهات الأساس بالمكونات من خلال ^{[ 2 ]}^{: 30-32}

\mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}\delta _{k}^{i}=v^{i}

\mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}\delta _{i}^{k}=v_{i}

و

\mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v^{k}\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=g_{ki}v^{k}

\mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v_{k}\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=g^{ki}v_{k}

حيث g هو موتر القياس (انظر أدناه).

يمكن تحديد المتجه باستخدام إحداثيات متغايرة (مؤشرات منخفضة، تُكتب v _k ) أو إحداثيات متغايرة عكسية (مؤشرات مرتفعة، تُكتب v ^k ). من مجاميع المتجهات المذكورة أعلاه، يتضح أن الإحداثيات المتغايرة العكسية مرتبطة بمتجهات أساسية متغايرة، والعكس صحيح.

تتمثل السمة الرئيسية لتمثيل المتجهات والموترات من حيث المكونات المفهرسة ومتجهات الأساس في الثبات بمعنى أن مكونات المتجه التي تتحول بطريقة متغيرة (أو متغيرة عكسيًا) تقترن بمتجهات الأساس التي تتحول بطريقة متغيرة عكسيًا (أو متغيرة).

اندماج

بناء أساس متغاير في بُعد واحد

لننظر إلى المنحنى أحادي البعد الموضح في الشكل 3. عند النقطة P ، التي تُعتبر نقطة الأصل ، يُمثل x أحد الإحداثيات الديكارتية، بينما يُمثل q₁ أحد الإحداثيات المنحنية. متجه الأساس المحلي (غير الوحدوي) هو b₁ (يُشار إليه أعلاه بـ h₁ _،_{مع تخصيص}b لمتجهات الوحدة) ^، وهو مبني على المحور q₁ الذي يُمسّ خط الإحداثيات عند النقطة P. يشكل المحور ^q₁، وبالتالي المتجه b₁ ^، زاوية _. $\alpha$ مع المحور السيني الديكارتي ومتجه الأساس الديكارتي e ₁ .

يمكن ملاحظة ذلك من خلال المثلث PAB

\cos \alpha ={\cfrac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {b} _{1}|}}\quad \Rightarrow \quad |\mathbf {e} _{1}|=|\mathbf {b} _{1}|\cos \alpha

حيث يمثل | _e1_|و | _b1| مقداري متجهي الأساس، أي المقطعين القياسيين PB و PA . كما يمثل PA إسقاط b1 على المحور x .

ومع ذلك، فإن هذه الطريقة لتحويلات متجه الأساس باستخدام جيوب التمام الاتجاهية غير قابلة للتطبيق على الإحداثيات المنحنية للأسباب التالية:

بزيادة المسافة من النقطة P ، تنحرف الزاوية بين الخط المنحني q ¹ والمحور الديكارتي x بشكل متزايد عن $\alpha$ .
عند المسافة PB، تكون الزاوية الحقيقية هي الزاوية التي يشكلها المماس عند النقطة C مع المحور x ، وهذه الزاوية الأخيرة تختلف بوضوح عن $\alpha$ .

تصبح الزوايا التي يشكلها الخط q ¹ وهذا المحور مع المحور x أقرب في القيمة كلما اقتربنا من النقطة P وتصبح متساوية تمامًا عند P.

لنفترض أن النقطة E تقع بالقرب من ^النقطةP ، بحيث تكون المسافة PE صغيرة للغاية. عندئذٍ، ^تكاد PE المقاسة على المحور q1 تتطابق مع PE المقاسة على الخط q1 . وفي الوقت نفسه، تصبح النسبة PD/PE ( حيث PD هي إسقاط PE على المحور x ) مساوية تقريبًا لـ $\cos \alpha$ .

لنفترض أن التقاطعات الصغيرة للغاية PD و PE يُرمز لها، على التوالي، بـ dx و dq1 ^.

\cos \alpha ={\cfrac {dx}{dq^{1}}}={\frac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {b} _{1}|}}

.

وبالتالي، يمكن استبدال جيوب التمام الاتجاهية في التحويلات بالنسب الأكثر دقة بين نقاط تقاطع الإحداثيات المتناهية الصغر. ويترتب على ذلك أن مركبة (إسقاط) _b1على المحور x هي

p^{1}=\mathbf {b} _{1}\cdot {\cfrac {\mathbf {e} _{1}}{|\mathbf {e} _{1}|}}=|\mathbf {b} _{1}|{\cfrac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {e} _{1}|}}\cos \alpha =|\mathbf {b} _{1}|{\cfrac {dx}{dq^{1}}}\quad \Rightarrow \quad {\cfrac {p^{1}}{|\mathbf {b} _{1}|}}={\cfrac {dx}{dq^{1}}}

.

إذا كانت الدالتان qᵢ = ^qᵢ ( x₁ _,x₂ , x₃ ) و xᵢ = _xᵢ₍ q₁ ^,q₂ , q₃ ⁾ سلستين ( قابلتين للتفاضل ^{باستمرار )}، فيمكن كتابة نسب التحويل _على النحو _التالي^: ${\cfrac {\partial q^{i}}{\partial x_{j}}}$ و ${\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}$ أي أن هذه النسب هي مشتقات جزئية للإحداثيات التي تنتمي إلى نظام واحد بالنسبة للإحداثيات التي تنتمي إلى النظام الآخر.

بناء أساس متغاير في ثلاثة أبعاد

وبفعل الشيء نفسه بالنسبة للإحداثيات في البعدين الآخرين، يمكن التعبير عن b _{1 على النحو التالي:}

\mathbf {b} _{1}=p^{1}\mathbf {e} _{1}+p^{2}\mathbf {e} _{2}+p^{3}\mathbf {e} _{3}={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{3}

تنطبق معادلات مماثلة على b ₂ و b ₃ بحيث يتم تحويل الأساس القياسي { e ₁ , e ₂ , e ₃ } إلى أساس محلي (مرتب ومعياري ) { b ₁ , b ₂ , b ₃ } بواسطة نظام المعادلات التالي:

{\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {b} _{2}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {b} _{3}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{3}\end{aligned}}

وباستخدام نفس المنطق، يمكن الحصول على التحويل العكسي من الأساس المحلي إلى الأساس القياسي:

{\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{3}\\\mathbf {e} _{2}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{3}\\\mathbf {e} _{3}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{3}\end{aligned}}

جاكوبيان التحويل

يمكن كتابة أنظمة المعادلات الخطية المذكورة أعلاه في شكل مصفوفة باستخدام اصطلاح جمع أينشتاين كما يلي:

{\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{k}}}\mathbf {e} _{i}=\mathbf {b} _{k},\quad {\cfrac {\partial q^{i}}{\partial x_{k}}}\mathbf {b} _{i}=\mathbf {e} _{k}

.

مصفوفة معاملات النظام الخطي هذه هي مصفوفة جاكوبي (ومعكوسها) للتحويل. هذه هي المعادلات التي يمكن استخدامها لتحويل أساس ديكارتي إلى أساس منحني، والعكس صحيح.

في ثلاثة أبعاد، تكون الأشكال الموسعة لهذه المصفوفات هي

\mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{3}}}\\{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{3}}}\\{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{3}}}\\\end{bmatrix}},\quad \mathbf {J} ^{-1}={\begin{bmatrix}{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{3}}}\\{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{3}}}\\{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}

في التحويل العكسي (نظام المعادلات الثاني)، تكون المجاهيل هي متجهات الأساس المنحنية. عند أي نقطة محددة، لا يمكن أن يوجد إلا مجموعة واحدة فقط من متجهات الأساس (وإلا فإن الأساس غير مُعرَّف جيدًا عند تلك النقطة). يتحقق هذا الشرط إذا وفقط إذا كان لنظام المعادلات حل وحيد. في الجبر الخطي ، يكون لنظام المعادلات الخطية حل وحيد (غير تافه) فقط إذا كان محدد مصفوفة النظام غير صفري.

\det(\mathbf {J} ^{-1})\neq 0

وهذا يوضح الأساس المنطقي وراء الشرط المذكور أعلاه فيما يتعلق بمحدد جاكوبي العكسي.

التعميم إلى n بُعدًا

يمتد هذا الشكل الرسمي إلى أي بُعد محدود على النحو التالي.

لنعتبر الفضاء الإقليدي الحقيقي ذو الأبعاد n ، أي R ⁿ = R × R × ... × R ( n مرة) حيث R هي مجموعة الأعداد الحقيقية و × تشير إلى الضرب الديكارتي ، وهو فضاء متجهي .

يمكن تمثيل إحداثيات هذا الفضاء بالصيغة التالية: x = ( x1 _,x2 _, ..., xn ₎ . وبما أن هذا متجه (عنصر من عناصر الفضاء المتجهي)، فيمكن كتابته على النحو التالي :

\mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} ^{i}

حيث e₁ ⁼ (1,0,0...,0)، ^e₂= (0,1,0...,0)، ^e₃= (0,0,1...,0)، ...، eₙ = (0,0,0...,1) هي مجموعة الأساس القياسية للمتجهات في الفضاء Rⁿ ^، و ⁱ = 1, 2, ..., n هو فهرس يُحدد مكونات المتجه. لكل متجه مكون واحد فقط في كل بُعد (أو "محور") ، وهذه المكونات متعامدة ( متعامدة ) ومُعَيَّرة (ذات قيمة مقدارية تساوي واحدًا ).

_{بشكلٍ أعم ،} يمكننا تعريف متجهات الأساس bᵢ بحيث تعتمد على q = ( q₁ _,q₂ _, ... , qₙ )، أي أنها تتغير من نقطة إلى أخرى: _bᵢ = bᵢ ( q ) . في هذه الحالة _، لتعريف النقطة x _نفسها بدلالة هذا الأساس البديل: فإن الإحداثيات vᵢ بالنسبة لهذا الأساس تعتمد بالضرورة على _x أيضًا، أي vᵢ = vᵢ ( _x ) . عندئذٍ ، يمكن توسيع المتجه v في هذا الفضاء ، بالنسبة لهذه الإحداثيات ومتجهات الأساس البديلة، كتركيبة خطية في هذا الأساس (وهذا _يعني ببساطة ضرب كل متجه أساس eᵢ بالعدد vᵢ _-_الضرب القياسي ).

\mathbf {v} =\sum _{j=1}^{n}{\bar {v}}^{j}\mathbf {b} _{j}=\sum _{j=1}^{n}{\bar {v}}^{j}(\mathbf {q} )\mathbf {b} _{j}(\mathbf {q} )

يتكون المجموع المتجهي الذي يصف v في الأساس الجديد من متجهات مختلفة، على الرغم من أن المجموع نفسه يظل كما هو.

تحويل الإحداثيات

من منظور أعم وأكثر تجريدًا، يُعرَّف نظام الإحداثيات المنحنية ببساطة بأنه رقعة إحداثيات على الفضاء التفاضلي E ^n ( الفضاء الإقليدي ذو البعد n ) متماثلة شكليًا مع رقعة الإحداثيات الديكارتية على نفس الفضاء. ^{[ 3 ]} ولا يشترط أن تتداخل رقعتا إحداثيات متماثلتان شكليًا على فضاء تفاضلي تداخلًا تفاضليًا. وبناءً على هذا التعريف البسيط لنظام الإحداثيات المنحنية، فإن جميع النتائج اللاحقة ما هي إلا تطبيقات لنظريات قياسية في الطوبولوجيا التفاضلية .

تكون دوال التحويل بحيث توجد علاقة واحد لواحد بين النقاط في الإحداثيات "القديمة" و"الجديدة"، أي أن هذه الدوال هي دوال تقابل ، وتفي بالمتطلبات التالية ضمن نطاقاتها :

هي دوال سلسة : q ⁱ = q ⁱ ( x )
المحدد اليعقوبي العكسي
$J^{-1}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{n}}}\\{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{n}}}\end{vmatrix}}\neq 0$
لا يساوي الصفر؛ مما يعني أن التحويل قابل للعكس : x _i ( q ) وفقًا لنظرية الدالة العكسية . يعكس شرط عدم تساوي محدد جاكوبي الصفر حقيقة أن ثلاثة أسطح من عائلات مختلفة تتقاطع في نقطة واحدة فقط، وبالتالي تحدد موضع هذه النقطة بطريقة فريدة. ^{[ 4 ]}

جبر المتجهات والموترات في الإحداثيات المنحنية ثلاثية الأبعاد

يُستخدم جبر المتجهات والموترات الأساسي في الإحداثيات المنحنية في بعض المراجع العلمية القديمة في الميكانيكا والفيزياء ، وقد يكون ضروريًا لفهم أعمال أوائل ومنتصف القرن العشرين، مثل كتاب غرين وزيرنا. ^{[ 5 ]} يُقدّم هذا القسم بعض العلاقات المفيدة في جبر المتجهات والموترات من الرتبة الثانية في الإحداثيات المنحنية. تستند الرموز والمحتويات بشكل أساسي إلى أوجدن، ^{[ 6 ]} ونغدي، ^{[ 7 ]} وسيموندز، ^{[ 2 ]} وغرين وزيرنا، ^{[ 5 ]} وباسار وويشرت، ^{[ 8 ]} وسيارليت. ^{[ 9 ]}

الموترات في الإحداثيات المنحنية

يمكن التعبير عن موتر من الدرجة الثانية على النحو التالي:

{\boldsymbol {S}}=S^{ij}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S^{i}{}_{j}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=S_{i}{}^{j}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S_{ij}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}

أين $\scriptstyle \otimes$ يرمز إلى حاصل الضرب الموتري . تُسمى المكونات S ^ij بالمكونات المتغيرة عكسيًا ، وS ^_ij بالمكونات المتغيرة يمينًا المختلطة ، و S _^ij بالمكونات المتغيرة يسارًا المختلطة ، و S _{ij} بالمكونات المتغيرة للموتر من الرتبة الثانية. وترتبط مكونات الموتر من الرتبة الثانية بالعلاقة التالية:

S^{ij}=g^{ik}S_{k}{}^{j}=g^{jk}S^{i}{}_{k}=g^{ik}g^{j\ell }S_{k\ell }

موتر القياس في الإحداثيات المنحنية المتعامدة

عند كل نقطة، يمكن إنشاء عنصر خط صغير $d x$ ، لذا فإن مربع طول عنصر الخط هو حاصل الضرب القياسي d x • d x ويسمى مقياس الفضاء ، ويعطى بالصيغة التالية :

d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} ={\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}{\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{k}}}dq^{j}dq^{k}

.

الجزء التالي من المعادلة أعلاه

{\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{i}}}{\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{j}}}=g_{ij}(q^{i},q^{j})=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}

هو موتر متناظر يسمى الموتر الأساسي (أو المتري) للفضاء الإقليدي في الإحداثيات المنحنية.

يمكن رفع وخفض المؤشرات بواسطة المقياس التالي:

v^{i}=g^{ik}v_{k}

العلاقة مع معاملات لامي

تحديد عوامل المقياس h _i بواسطة

h_{i}h_{j}=g_{ij}=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}\quad \Rightarrow \quad h_{i}={\sqrt {g_{ii}}}=\left|\mathbf {b} _{i}\right|=\left|{\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\right|

يُقدّم هذا البحث علاقة بين موتر القياس ومعاملات لاميه، و

g_{ij}={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{j}}}=\left(h_{ki}\mathbf {e} _{k}\right)\cdot \left(h_{mj}\mathbf {e} _{m}\right)=h_{ki}h_{kj}

حيث تمثل h _{و ij} معاملات لاميه. بالنسبة للأساس المتعامد، لدينا أيضًا:

g=g_{11}g_{22}g_{33}=h_{1}^{2}h_{2}^{2}h_{3}^{2}\quad \Rightarrow \quad {\sqrt {g}}=h_{1}h_{2}h_{3}=J

مثال: الإحداثيات القطبية

إذا أخذنا في الاعتبار الإحداثيات القطبية لـ R ² ،

(x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )

(r, θ) هي الإحداثيات المنحنية، ومحدد جاكوبي للتحويل ( r ,θ) → ( r cos θ, r sin θ) هو r .

ناقلات الأساس المتعامدة هي b _r = (cos θ، sin θ)، b _θ = (−r sin θ، r cos θ). عوامل المقياس هي h _r = 1 و h _θ = r . الموتر الأساسي هو g ₁₁ =1, g ₂₂ = r ² , g ₁₂ = g ₂₁ =0.

الموتر المتناوب

في أساس متعامد يميني، يُعرَّف الموتر المتناوب من الرتبة الثالثة على النحو التالي:

{\boldsymbol {\mathcal {E}}}=\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} ^{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}\otimes \mathbf {e} ^{k}

في أساس منحني عام، يمكن التعبير عن نفس الموتر على النحو التالي

{\boldsymbol {\mathcal {E}}}={\mathcal {E}}_{ijk}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}={\mathcal {E}}^{ijk}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}\otimes \mathbf {b} _{k}

ويمكن أيضاً إثبات أن

{\mathcal {E}}^{ijk}={\cfrac {1}{J}}\varepsilon _{ijk}={\cfrac {1}{+{\sqrt {g}}}}\varepsilon _{ijk}

رموز كريستوفيل

رموز كريستوفيل من النوع الأول $\Gamma _{kij}$

\mathbf {b} _{i,j}={\frac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}=\mathbf {b} ^{k}\Gamma _{kij}\quad \Rightarrow \quad \mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} _{i,j}=\Gamma _{kij}

حيث تشير الفاصلة إلى مشتق جزئي (انظر حساب ريتشي ). للتعبير عن Γ _kij بدلالة g _ij ,

{\begin{aligned}g_{ij,k}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}=\mathbf {b} _{i,k}\cdot \mathbf {b} _{j}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j,k}=\Gamma _{jik}+\Gamma _{ijk}\\g_{ik,j}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}=\mathbf {b} _{i,j}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k,j}=\Gamma _{kij}+\Gamma _{ikj}\\g_{jk,i}&=(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}=\mathbf {b} _{j,i}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k,i}=\Gamma _{kji}+\Gamma _{jki}\end{aligned}}

منذ

\mathbf {b} _{i,j}=\mathbf {b} _{j,i}\quad \Rightarrow \quad \Gamma _{kij}=\Gamma _{kji}

باستخدام هذه لإعادة ترتيب العلاقات المذكورة أعلاه، نحصل على

\Gamma _{kij}={\frac {1}{2}}(g_{ik,j}+g_{jk,i}-g_{ij,k})={\frac {1}{2}}[(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}+(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}-(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}]

رموز كريستوفيل من النوع الثاني $\Gamma ^{k}{}_{ji}$

\Gamma ^{k}{}_{ij}=g^{kl}\Gamma _{lij}=\Gamma ^{k}{}_{ji},\quad {\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}=\mathbf {b} _{k}\Gamma ^{k}{}_{ij}

وهذا يعني أن

\Gamma ^{k}{}_{ij}={\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}\cdot \mathbf {b} ^{k}=-\mathbf {b} _{i}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{k}}{\partial q^{j}}}\quad

منذ

\quad {\cfrac {\partial }{\partial q^{j}}}(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} ^{k})=0

.

العلاقات الأخرى التي تلي ذلك هي

{\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{i}}{\partial q^{j}}}=-\Gamma ^{i}{}_{jk}\mathbf {b} ^{k},\quad {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} _{i}=\Gamma ^{k}{}_{ij}\mathbf {b} _{k}\otimes \mathbf {b} ^{j},\quad {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} ^{i}=-\Gamma ^{i}{}_{jk}\mathbf {b} ^{k}\otimes \mathbf {b} ^{j}

عمليات المتجهات

الضرب القياسي : حاصل الضرب القياسي لمتجهين في الإحداثيات المنحنية هو^{[ 2 ]}^{: 32}
$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u^{i}v_{i}=u_{i}v^{i}=g_{ij}u^{i}v^{j}=g^{ij}u_{i}v_{j}$
الضرب الاتجاهي : يُعطى الضرب الاتجاهي لمتجهين بالعلاقة ^{[ 2 ]}^{: 32-34}
$\mathbf {u} \times \mathbf {v} =\epsilon _{ijk}{u}_{j}{v}_{k}\mathbf {e} _{i}$
أين $\epsilon _{ijk}$ هو رمز التبديل و $\mathbf {e} _{i}$ هو متجه أساس ديكارتي. في الإحداثيات المنحنية، يكون التعبير المكافئ هو
$\mathbf {u} \times \mathbf {v} =[(\mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n})\cdot \mathbf {b} _{s}]u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}={\mathcal {E}}_{smn}u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}$
أين ${\mathcal {E}}_{ijk}$ هو موتر التناوب من الدرجة الثالثة .

حساب المتجهات والموترات في الإحداثيات المنحنية ثلاثية الأبعاد

يلزم إجراء تعديلات على حساب التكاملات الخطية والسطحية والحجمية . ولتبسيط الأمر، يقتصر ما يلي على ثلاثة أبعاد وإحداثيات منحنية متعامدة. مع ذلك، تنطبق الحجج نفسها على الفضاءات ذات الأبعاد n . عندما لا يكون نظام الإحداثيات متعامدًا، تظهر بعض الحدود الإضافية في التعبيرات.

يقتبس سيموندز، ^{[ 2 ]} في كتابه عن تحليل الموترات ، قول ألبرت أينشتاين ^{[ 10 ]}

إن سحر هذه النظرية لن يفشل في فرض نفسه على أي شخص فهمها حقًا؛ إنها تمثل انتصارًا حقيقيًا لمنهج حساب التفاضل المطلق، الذي أسسه جاوس وريمان وريتشي وليفي-سيفيتا.

يستخدم حساب المتجهات والموترات في الإحداثيات المنحنية العامة في تحليل الموترات على المشعبات المنحنية رباعية الأبعاد في النسبية العامة ، ^{[ 11 ]} وفي ميكانيكا الأغلفة المنحنية ، ^{[ 9 ]} وفي دراسة خصائص الثبات لمعادلات ماكسويل التي كانت موضع اهتمام في المواد الفائقة ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]} وفي العديد من المجالات الأخرى.

يُقدّم هذا القسم بعض العلاقات المفيدة في حساب المتجهات والموترات من الرتبة الثانية في الإحداثيات المنحنية. وتستند الرموز والمحتويات بشكل أساسي إلى مراجع أوجدن ^{[ 14 ]} ، وسيموندز ^{[ 2 ]،} وغرين وزيرنا ^{[ 5 ]} ، وباسار وويشرت ^{[ 8 ]} ، وسيارليت ^{[ 9 ] .}

ليكن φ = φ( x ) حقلاً قياسياً معرفاً جيداً، و _v= v ( x ) حقلاً متجهياً معرفاً جيداً ، و λ1 ، λ2 _، ... معلمات الإحداثيات.

العناصر الهندسية

متجه المماس : إذا كان x ( λ ) يمثل منحنى C في الإحداثيات الديكارتية، فإن
${\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }={\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}{\partial q^{i} \over \partial \lambda }=\left(h_{ki}{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}\right)\mathbf {b} _{k}$
هو متجه مماس للمتجه C في الإحداثيات المنحنية (باستخدام قاعدة السلسلة ). باستخدام تعريف معاملات لاميه، وتعريف المقياس g _ij = 0 عندما i ≠ j ، يكون المقدار كما يلي:
$\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }\right|={\sqrt {h_{ki}h_{kj}{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}{\cfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda }}}}={\sqrt {g_{ij}{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}{\cfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda }}}}={\sqrt {h_{i}^{2}\left({\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}\right)^{2}}}$
عنصر المستوى المماسي : إذا كان x ( λ1 _,λ2 ) يمثل سطحًا S في الإحداثيات الديكارتية، فإن حاصل الضرب الاتجاهي التالي لمتجهات المماس يمثل متجهًا عموديًا على S بقيمة عنصر مستوى متناهي الصغر، في الإحداثيات المنحنية. باستخدام النتيجة _أعلاه ،
${\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}=\left({\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}{\partial q^{i} \over \partial \lambda _{1}}\right)\times \left({\partial \mathbf {x} \over \partial q^{j}}{\partial q^{j} \over \partial \lambda _{2}}\right)={\mathcal {E}}_{kmp}\left(h_{ki}{\partial q^{i} \over \partial \lambda _{1}}\right)\left(h_{mj}{\partial q^{j} \over \partial \lambda _{2}}\right)\mathbf {b} _{p}$
أين ${\mathcal {E}}$ هو رمز التبديل . في صيغة المحدد:
${\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\mathbf {e} _{3}\\h_{1i}{\dfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda _{1}}}&h_{2i}{\dfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda _{1}}}&h_{3i}{\dfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda _{1}}}\\h_{1j}{\dfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda _{2}}}&h_{2j}{\dfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda _{2}}}&h_{3j}{\dfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda _{2}}}\end{vmatrix}}$

اندماج

المشغل	حقل قياسي	حقل متجه
التكامل الخطي	$\int _{C}\varphi (\mathbf {x} )ds=\int _{a}^{b}\varphi (\mathbf {x} (\lambda ))\left\|{\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }\right\|d\lambda$	$\int _{C}\mathbf {v} (\mathbf {x} )\cdot d\mathbf {s} =\int _{a}^{b}\mathbf {v} (\mathbf {x} (\lambda ))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }\right)d\lambda$
تكامل السطح	$\int _{S}\varphi (\mathbf {x} )dS=\iint _{T}\varphi (\mathbf {x} (\lambda _{1},\lambda _{2}))\left\|{\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}\right\|d\lambda _{1}d\lambda _{2}$	$\int _{S}\mathbf {v} (\mathbf {x} )\cdot dS=\iint _{T}\mathbf {v} (\mathbf {x} (\lambda _{1},\lambda _{2}))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}\right)d\lambda _{1}d\lambda _{2}$
تكامل الحجم	$\iiint _{V}\varphi (x,y,z)dV=\iiint _{V}\chi (q_{1},q_{2},q_{3})Jdq_{1}dq_{2}dq_{3}$	$\iiint _{V}\mathbf {u} (x,y,z)dV=\iiint _{V}\mathbf {v} (q_{1},q_{2},q_{3})Jdq_{1}dq_{2}dq_{3}$

التمايز

يمكن تمديد تعبيرات التدرج والتباعد واللابلاس مباشرة إلى n- الأبعاد، ومع ذلك فإن الدوران معرف فقط في 3D.

الحقل المتجهي bᵢ مماس لمنحنى ^{الإحداثيات} qᵢ _، ويشكل أساسًا طبيعيًا عند كل نقطة على المنحنى. هذا الأساس، كما ذُكر في بداية هذه المقالة، يُسمى أيضًا الأساس المنحني المتغاير . يمكننا أيضًا تعريف أساس مقلوب ، أو أساس منحني متغاير عكسيًا ، bᵢ ^. جميع العلاقات الجبرية بين متجهات الأساس، كما نوقشت في قسم جبر الموترات، تنطبق على الأساس الطبيعي ومقلوبه عند كل نقطة x .

المشغل	حقل قياسي	حقل متجه	حقل موتر من الدرجة الثانية
تدرج	$\nabla \varphi ={\cfrac {1}{h_{i}}}{\partial \varphi \over \partial q^{i}}\mathbf {b} ^{i}$	$\nabla \mathbf {v} ={\cfrac {1}{h_{i}^{2}}}{\partial \mathbf {v} \over \partial q^{i}}\otimes \mathbf {b} _{i}$	${\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}={\cfrac {\partial {\boldsymbol {S}}}{\partial q^{i}}}\otimes \mathbf {b} ^{i}$
التباين	غير متوفر	$\nabla \cdot \mathbf {v} ={\cfrac {1}{\prod _{j}h_{j}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}(v^{i}\prod _{j\neq i}h_{j})$	$({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}})\cdot \mathbf {a} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\boldsymbol {S}}\cdot \mathbf {a} )$ حيث a متجه ثابت اختياري. في الإحداثيات المنحنية، ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}=\left[{\cfrac {\partial S_{ij}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ki}^{l}S_{lj}-\Gamma _{kj}^{l}S_{il}\right]g^{ik}\mathbf {b} ^{j}$
لابلاس	$\nabla ^{2}\varphi ={\cfrac {1}{\prod _{j}h_{j}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\cfrac {\prod _{j}h_{j}}{h_{i}^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{i}}}\right)$	$\nabla ^{2}\mathbf {v} \equiv \nabla \nabla \cdot \mathbf {v} -\nabla \times \nabla \times \mathbf {v}$ $~~~={\hat {\mathbf {x} }}\nabla ^{2}v_{x}+{\hat {\mathbf {y} }}\nabla ^{2}v_{y}+{\hat {\mathbf {z} }}\nabla ^{2}v_{z}$ (المساواة الأولى في الأبعاد الثلاثية فقط؛ المساواة الثانية في المكونات الديكارتية فقط)
حليقة	غير متوفر	للحقول المتجهة ثلاثية الأبعاد فقط، $\nabla \times \mathbf {v} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\mathbf {e} _{i}\epsilon _{ijk}h_{i}{\frac {\partial (h_{k}v_{k})}{\partial q^{j}}}$ أين $\epsilon _{ijk}$ هو رمز ليفي-تشيفيتا .	انظر التفاف حقل الموتر

القوى الوهمية في الإحداثيات المنحنية العامة

بحسب التعريف، إذا تم التعبير عن موضع جسيم لا تؤثر عليه أي قوى في نظام إحداثيات قصوري ( _x₁ , x₂ _,x₃ , t ₎، فلن يكون له تسارع (d²xj ^/ dt² ₌ 0 ⁾. [ ¹⁵^]^في هذا السياق، قد لا يكون نظام الإحداثيات "قصوريًا" إما بسبب عدم استقامة محور الزمن أو محاور الفضاء (أو كليهما). بعبارة أخرى، قد تتغير متجهات أساس الإحداثيات مع الزمن عند مواضع ثابتة، أو قد تتغير مع الموضع عند أزمنة ثابتة، أو كليهما. عند التعبير عن معادلات الحركة بدلالة أي نظام إحداثيات غير قصوري (بهذا المعنى)، تظهر حدود إضافية تُسمى رموز كريستوفيل. بالمعنى الدقيق، تمثل هذه الحدود مركبات التسارع المطلق (في ^{الميكانيكا}الكلاسيكية )، ولكن يمكننا أيضًا الاستمرار في اعتبار d²xj ^/ dt² _هو التسارع (كما لو كانت الإحداثيات قصورية) والتعامل مع الحدود الإضافية كما لو كانت قوى، وفي هذه الحالة تُسمى قوى وهمية. ^[¹⁶^] تُسمى مركبة أي قوة وهمية من هذا القبيل ، العمودية على مسار الجسيم وفي مستوى انحناء المسار، قوة الطرد المركزي . ^[¹⁷^]

يوضح هذا السياق الأكثر عمومية التطابق بين مفهومي قوة الطرد المركزي في أنظمة الإحداثيات الدوارة وأنظمة الإحداثيات المنحنية الثابتة. (يظهر كلا المفهومين بشكل متكرر في المراجع ^{[ 18 ]}^{[ 19 ]}^{[ 20 ]} ) . كمثال بسيط، لنفترض جسيمًا كتلته m يتحرك في دائرة نصف قطرها r بسرعة زاوية w بالنسبة لنظام إحداثيات قطبية يدور بسرعة زاوية W. معادلة الحركة الشعاعية هي mr = F _r + mr ( w + W ) ^2. وبالتالي، فإن قوة الطرد المركزي تساوي mr مضروبة في مربع السرعة الدورانية المطلقة A = w + W للجسيم. إذا اخترنا نظام إحداثيات يدور بسرعة الجسيم، فإن W = A و w = 0، وفي هذه الحالة تكون قوة الطرد المركزي mrA ^2. أما إذا اخترنا نظام إحداثيات ثابتًا، فإن W = 0 و w = A ، وفي هذه الحالة تكون قوة الطرد المركزي mrA ² أيضًا . سبب تساوي النتائج هو أن متجهات الأساس عند موقع الجسيم تتغير مع الزمن بنفس الطريقة تمامًا في كلتا الحالتين. لذا، فهما في الواقع طريقتان مختلفتان لوصف الشيء نفسه تمامًا، إحداهما باستخدام إحداثيات دوارة والأخرى باستخدام إحداثيات منحنية ثابتة، وكلاهما غير قصوري وفقًا للمعنى الأكثر تجريدًا لهذا المصطلح.

عند وصف الحركة العامة، تُنسب القوى الفعلية المؤثرة على الجسيم غالبًا إلى دائرة التماس اللحظية المماسية لمسار الحركة، وهذه الدائرة في الحالة العامة لا تتمركز في موقع ثابت، وبالتالي فإن تحليلها إلى مركبتي الطرد المركزي وكوريوليس يتغير باستمرار. وينطبق هذا بغض النظر عما إذا كانت الحركة موصوفة بإحداثيات ثابتة أو دوارة.

انظر أيضاً

مراجع

↑ جيه إيه ويلر؛ سي. ميسنر؛ كيه إس ثورن (1973). الجاذبية . دبليو إتش فريمان وشركاه. رقم ISBN 0-7167-0344-0.
1 2 3 4 5 6 سيموندز، جي جي (1994). موجز في تحليل الموترات . سبرينغر. ISBN 0-387-90639-8.
↑ بوثبي، دبليو إم (2002). مقدمة في المشعبات التفاضلية والهندسة الريمانية ( طبعة منقحة). نيويورك، نيويورك: أكاديميك برس.
↑ ماكونيل، أ. ج. (1957). تطبيقات تحليل الموترات . نيويورك، نيويورك: منشورات دوفر. الفصل 9، القسم 1. ISBN 0-486-60373-3.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
1 2 3 غرين، أ. إي.؛ زيرنا، و. (1968). المرونة النظرية . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 0-19-853486-8.
↑ أوجدن، آر دبليو (2000). التشوهات المرنة غير الخطية . دوفر.
↑ نغدي، ب.م. (1972). "نظرية الأغلفة والصفائح". في س. فلوغه (محرر). دليل الفيزياء . المجلد السادس أ/2. الصفحات 425-640 .
1 2 باسار، ي.؛ ويشيرت، د. (2000). ميكانيكا الأوساط المتصلة العددية للمواد الصلبة: المفاهيم الأساسية والآفاق . سبرينغر.
1 2 3 سيارليت، بي جي (2000). نظرية الأغلفة . المجلد 1. إلسيفير ساينس.
↑ أينشتاين، أ. (1915). "مساهمة في نظرية النسبية العامة". في لاكزوس، س. (محرر). عقد أينشتاين . ص 213. ISBN 0-521-38105-3.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
↑ ميسنر، سي دبليو؛ ثورن، كيه إس؛ ويلر، جيه إيه (1973). الجاذبية . دبليو إتش فريمان وشركاه. رقم ISBN 0-7167-0344-0.
↑ غرينليف، أ.؛ لاساس، م.؛ أولمان، ج. (2003). "الموصلية المتباينة التي لا يمكن الكشف عنها بواسطة التصوير الكهربائي للمقاومة". القياسات الفيزيولوجية . 24 (2): 413-419 . doi : 10.1088/0967-3334/24/2/353 . PMID 12812426 .
↑ ليونهاردت، يو.؛ فيلبين، تي جي (2006). "النسبية العامة في الهندسة الكهربائية". مجلة الفيزياء الجديدة . 8 (10): 247. arXiv : cond-mat/0607418 . Bibcode : 2006NJPh....8..247L . doi : 10.1088/1367-2630/8/10/247 .
↑ أوجدن
↑ فريدمان، مايكل (1989). أسس نظريات الزمكان . مطبعة جامعة برينستون. ISBN 0-691-07239-6.
↑ ستوميل، هنري م.؛ مور، دينيس و. (1989). مقدمة في قوة كوريوليس . مطبعة جامعة كولومبيا. ISBN 0-231-06636-8.
↑ بير؛ جونستون (1972). علم السكون وعلم الحركة ( الطبعة الثانية). ماكجرو هيل. ص 485. ISBN 0-07-736650-6.
↑ هيلدبراند، فرانسيس ب. ( 1992). أساليب الرياضيات التطبيقية . دوفر. ص 156. ISBN 0-13-579201-0.
↑ ماكواري، دونالد آلان (2000). الميكانيكا الإحصائية . منشورات جامعة العلوم. ISBN 0-06-044366-9.
↑ ويبر، هانز يورغن؛ أرفكن، جورج براون (2004). الأساليب الرياضية الأساسية للفيزيائيين . دار النشر الأكاديمية. ص 843. ISBN 0-12-059877-9.

للمزيد من القراءة

شبيغل، مر. (1959). تحليل المتجهات . نيويورك: سلسلة الخطوط العريضة لشوم. رقم ISBN 0-07-084378-3.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
آرفكين، جورج (1995). الأساليب الرياضية للفيزيائيين . دار النشر الأكاديمية. رقم ISBN 0-12-059877-9.

روابط خارجية

[1] جيه إيه ويلر؛ سي. ميسنر؛ كيه إس ثورن (1973). الجاذبية . دبليو إتش فريمان وشركاه. رقم ISBN 0-7167-0344-0.

[Simmonds-2] 1 2 3 4 5 6 سيموندز، جي جي (1994). موجز في تحليل الموترات . سبرينغر. ISBN 0-387-90639-8.

[3] بوثبي، دبليو إم (2002). مقدمة في المشعبات التفاضلية والهندسة الريمانية ( طبعة منقحة). نيويورك، نيويورك: أكاديميك برس.

[4] ماكونيل، أ. ج. (1957). تطبيقات تحليل الموترات . نيويورك، نيويورك: منشورات دوفر. الفصل 9، القسم 1. ISBN 0-486-60373-3.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )

[Green-5] 1 2 3 غرين، أ. إي.؛ زيرنا، و. (1968). المرونة النظرية . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 0-19-853486-8.

[Ogden00-6] أوجدن، آر دبليو (2000). التشوهات المرنة غير الخطية . دوفر.

[Naghdi-7] نغدي، ب.م. (1972). "نظرية الأغلفة والصفائح". في س. فلوغه (محرر). دليل الفيزياء . المجلد السادس أ/2. الصفحات 425-640 .

[Basar-8] 1 2 باسار، ي.؛ ويشيرت، د. (2000). ميكانيكا الأوساط المتصلة العددية للمواد الصلبة: المفاهيم الأساسية والآفاق . سبرينغر.

[Ciarlet-9] 1 2 3 سيارليت، بي جي (2000). نظرية الأغلفة . المجلد 1. إلسيفير ساينس.

[Lanczos-10] أينشتاين، أ. (1915). "مساهمة في نظرية النسبية العامة". في لاكزوس، س. (محرر). عقد أينشتاين . ص 213. ISBN 0-521-38105-3.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )

[Misner-11] ميسنر، سي دبليو؛ ثورن، كيه إس؛ ويلر، جيه إيه (1973). الجاذبية . دبليو إتش فريمان وشركاه. رقم ISBN 0-7167-0344-0.

[Greenleaf-12] غرينليف، أ.؛ لاساس، م.؛ أولمان، ج. (2003). "الموصلية المتباينة التي لا يمكن الكشف عنها بواسطة التصوير الكهربائي للمقاومة". القياسات الفيزيولوجية . 24 (2): 413-419 . doi : 10.1088/0967-3334/24/2/353 . PMID 12812426 .

[Leonhardt-13] ليونهاردت، يو.؛ فيلبين، تي جي (2006). "النسبية العامة في الهندسة الكهربائية". مجلة الفيزياء الجديدة . 8 (10): 247. arXiv : cond-mat/0607418 . Bibcode : 2006NJPh....8..247L . doi : 10.1088/1367-2630/8/10/247 .

[14] أوجدن

[15] فريدمان، مايكل (1989). أسس نظريات الزمكان . مطبعة جامعة برينستون. ISBN 0-691-07239-6.

[16] ستوميل، هنري م.؛ مور، دينيس و. (1989). مقدمة في قوة كوريوليس . مطبعة جامعة كولومبيا. ISBN 0-231-06636-8.

[17] بير؛ جونستون (1972). علم السكون وعلم الحركة ( الطبعة الثانية). ماكجرو هيل. ص 485. ISBN 0-07-736650-6.

[18] هيلدبراند، فرانسيس ب. ( 1992). أساليب الرياضيات التطبيقية . دوفر. ص 156. ISBN 0-13-579201-0.

[19] ماكواري، دونالد آلان (2000). الميكانيكا الإحصائية . منشورات جامعة العلوم. ISBN 0-06-044366-9.

[20] ويبر، هانز يورغن؛ أرفكن، جورج براون (2004). الأساليب الرياضية الأساسية للفيزيائيين . دار النشر الأكاديمية. ص 843. ISBN 0-12-059877-9.

)

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

15

[

[

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗