المتتابعات التكميلية

للاطلاع على المتتاليات المتكاملة في علم الأحياء، انظر التكاملية (علم الأحياء الجزيئي) . وللاطلاع على المتتاليات العددية ذات المجموعات المتكاملة من العناصر، انظر نظرية لامبيك-موسر .

في الرياضيات التطبيقية، تُعرف المتتابعات التكميلية ( CS ) بأنها أزواج من المتتابعات تتميز بخاصية مفيدة، وهي أن مجموع معاملات الارتباط الذاتي غير الدورية خارج الطور يساوي صفرًا. وقد قدم مارسيل جيه إي غولاي المتتابعات التكميلية الثنائية لأول مرة عام 1949. وفي الفترة ما بين 1961 و1962، قدم غولاي عدة طرق لإنشاء متتابعات بطول 2^ ^N، وأعطى أمثلة على متتابعات تكميلية بطول 10 و26. وفي عام 1974 ، قدم آر جيه تورين طريقة لإنشاء متتابعات بطول mn من متتابعات بطول m و n ، مما يسمح بإنشاء متتابعات بأي طول على الصورة 2 ^{^N} 10 ^K 26 ^M.

لاحقًا، قام باحثون آخرون بتعميم نظرية المتتاليات التكميلية لتشمل المتتاليات التكميلية متعددة الأطوار، والمتتاليات التكميلية متعددة المستويات، والمتتاليات التكميلية المعقدة ذات التعسف. كما تم التطرق إلى المجموعات التكميلية ، والتي يمكن أن تحتوي على أكثر من متتاليتين.

ليكن ( a₀ _, a₁ _, ..., _aₙ₋₁ ) و( b₀ , _b₁ , ..., bₙ₋₁ ₎ زوجًا من المتتابعات ثنائية القطب، أي أن a ( k ) و b ( k ) تأخذان القيمتين +1 أو _{-1 . ولتكن دالة} الارتباط الذاتي غير الدورية للمتتابعة x معرفة كما يلي _:    

${\displaystyle R_{x}(k)=\sum _{j=0}^{Nk-1}x_{j}x_{j+k}.\,}$

يكون الزوج من المتتاليات a و b متكاملاً إذا:

${\displaystyle R_{a}(k)+R_{b}(k)=2N,\,}$

لـ k = 0، و

${\displaystyle R_{a}(k)+R_{b}(k)=0,\,}$

لـ k = 1، ...، N − 1.  

أو باستخدام دالة كرونكر دلتا، يمكننا كتابة:

${\displaystyle R_{a}(k)+R_{b}(k)=2N\delta (k),\,}$

لذا يمكننا القول أن مجموع دوال الارتباط الذاتي للتسلسلات التكميلية هو دالة دلتا، وهو ارتباط ذاتي مثالي للعديد من التطبيقات مثل ضغط نبضات الرادار والاتصالات السلكية واللاسلكية ذات الطيف المنتشر .

• كمثال بسيط، لدينا متتاليات بطول 2: (+1،  +1) و (+1، − 1). دوال الارتباط الذاتي الخاصة بها هي (2، 1) و (2، − 1)، والتي مجموعها يساوي (4، 0).    
• كمثال تالٍ (متتاليات بطول 4)، لدينا (+1،  +1،  +1، − 1) و(+1، +1، − 1، +1). دوال الارتباط الذاتي لهما هي (4، 1، 0، − 1) و(4، − 1، 0، 1)، ومجموعهما يساوي (8، 0، 0، 0).             
• أحد الأمثلة على الأعداد ذات الطول 8 هو (+1,  +1,  +1, − 1, +1, +1, − 1, +1) و (+1, +1, +1, − 1, − 1, − 1, +1, − 1). ودوال الارتباط الذاتي لهما هي (8, − 1, 0, 3, 0, 1, 0, 1) و (8, 1, 0, − 3, 0, − 1, 0, − 1).                          
• مثال على طول 10 قدمه غولاي هو (+1,  +1, − 1, +1, − 1, +1, − 1, − 1, +1, +1) و (+1, +1, − 1, +1, +1, +1, +1 , − 1, − 1). ودوال الارتباط الذاتي لهما هي (10, − 3, 0, − 1, 0, 1, − 2, − 1, 2, 1) و (10, 3, 0, 1 , 0, − 1, 2, 1, − 2, − 1).                                  

• المتتابعات المتكاملة لها أطياف متكاملة. وبما أن دالة الارتباط الذاتي وأطياف القدرة تشكل زوجًا فورييه، فإن المتتابعات المتكاملة لها أيضًا أطياف متكاملة. ولكن بما أن تحويل فورييه لدالة دلتا ثابت، يمكننا كتابة

${\displaystyle S_{a}+S_{b}=C_{S},}$

حيث C _S ثابت.

يُعرَّف كلٌّ من S _a و S _b على أنهما مربعا مقدار تحويل فورييه للمتتاليات. يمكن أن يكون تحويل فورييه تحويل فورييه منفصلًا مباشرًا للمتتاليات، أو تحويل فورييه منفصلًا لمتتاليات مُصفَّرة، أو تحويل فورييه متصلًا للمتتاليات، وهو ما يُكافئ تحويل Z حيث Z = e ^{j ω} .

• طيف CS محدود من الأعلى. وبما أن S _a و S _b قيمتان غير سالبتين، فيمكننا كتابة

${\displaystyle S_{a}=C_{S}-S_{b}<C_{S},}$

أيضًا

${\displaystyle S_{b}<C_{S}.}$

• إذا عُكست أي من متتاليات زوج CS (ضُربت في -1) فإنها تظل مكملة. وبشكل أعم، إذا ضُربت أي من المتتاليات في e ^{j φ} فإنها تظل مكملة؛
• إذا تم عكس أي من التسلسلين، فإنهما يظلان متكاملين؛
• إذا تأخر أي من التسلسلين، فإنهما يظلان متكاملين؛
• إذا تم تبديل التسلسلات، فإنها تظل متكاملة؛
• إذا تم ضرب كلا المتتاليتين بنفس الثابت (حقيقي أو مركب) فإنهما تظلان متكاملتين؛
• إذا تم عكس البتات المتناوبة في كلا التسلسلين، فإنهما يظلان متكاملين. بشكل عام، بالنسبة لأي تسلسلات معقدة، إذا تم ضرب كلا التسلسلين في e ^{j π kn / N} (حيث k ثابت و n هو مؤشر الزمن)، فإنهما يظلان متكاملين؛
• يمكن تكوين زوج جديد من التسلسلات التكميلية على النحو التالي [ a b ] و [ a  − b ] حيث يشير [..] إلى التسلسل و a و b هما زوج من التسلسلات التكميلية؛
• يمكن تكوين زوج جديد من المتتاليات على النحو التالي: { a b } و { a  − b } حيث يشير {..} إلى تداخل المتتاليات.
• يمكن تكوين زوج جديد من المتتاليات على النحو التالي: a  + b و a − b .   

يمكن ترميز الزوج المتكامل a و b على شكل كثيرات حدود A ( z ) = a (0) + a (1) z + ... + a ( N - 1) zN ^{- 1} ، وبالمثل بالنسبة لـ B ( z ). خاصية التكامل بين المتتاليات مكافئة للشرط التالي ^:  

${\displaystyle \vert A(z)\vert ^{2}+\vert B(z)\vert ^{2}=2N\,}$

لكل قيمة z على دائرة الوحدة، أي | z |  =  1. إذا كان الأمر كذلك، فإن A و B تُشكلان زوجًا من كثيرات حدود غولاي . ومن الأمثلة على ذلك كثيرات حدود شابيرو ، التي تُنتج متتابعات مُكملة طولها قوة من قوى العدد اثنين .

• مطيافية متعددة الشقوق
• قياسات الموجات فوق الصوتية
• القياسات الصوتية
• ضغط نبضات الرادار
• شبكات الواي فاي ،
• شبكات الجيل الثالث اللاسلكية CDMA
• أنظمة الاتصالات بتقنية OFDM
• أنظمة الكشف عن عجلات القطار ^{[ 1 ] [ 2 ]}
• الاختبارات غير المدمرة (NDT)
• الاتصالات
• تم تصميم أقنعة الفتحة المشفرة باستخدام تعميم ثنائي الأبعاد للتسلسلات التكميلية.

• رمز غولاي الثنائي ( رمز تصحيح الأخطاء )
• تسلسلات ذهبية
• مشاهد كاسامي
• تسلسل متعدد الأطوار
• المتتاليات الثنائية شبه العشوائية (وتسمى أيضًا متتاليات الطول الأقصى أو متتاليات M)
• رمز غولاي الثلاثي ( رمز تصحيح الأخطاء )
• متواليات والش-هادامارد
• تسلسل زادوف-تشو