تحويل Z

📅 آخر تحديث: ٢٠ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٠ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 214 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ومعالجة الإشارات ، يحوّل تحويل Z إشارة زمنية منفصلة ، ​​وهي عبارة عن سلسلة من الأعداد الحقيقية أو المركبة ، إلى تمثيل ذي قيم مركبة في مجال التردد ( مجال z أو مستوى z ). [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]

يمكن اعتبارها نظيرًا زمنيًا منفصلاً لتحويل لابلاس ( مجال s أو مستوى s ). [ 4 ] يتم استكشاف هذا التشابه في نظرية حساب المقياس الزمني .

بينما يُحسب تحويل فورييه المستمر على المحور الرأسي (المحور التخيلي) لمجال s، يُحسب تحويل فورييه المتقطع على طول دائرة الوحدة لمجال z . يُمثل النصف الأيسر من المستوى لمجال s المنطقة داخل دائرة الوحدة لمجال z، بينما يُمثل النصف الأيمن من المستوى لمجال s المنطقة خارج دائرة الوحدة لمجال z.

في معالجة الإشارات، تتمثل إحدى طرق تصميم المرشحات الرقمية في أخذ التصاميم التناظرية، وإخضاعها لتحويل ثنائي الخطية الذي يحولها من مجال s إلى مجال z، ثم إنتاج المرشح الرقمي عن طريق الفحص أو المعالجة أو التقريب العددي. لا تكون هذه الطرق دقيقة عادةً إلا في نطاق الترددات المنخفضة، أي بالقرب من الواحد المركب.

تاريخ

كانت الفكرة الأساسية المعروفة الآن باسم تحويل Z معروفة لدى لابلاس ، وأُعيد تقديمها عام 1947 من قِبل دبليو. هوريفيتش [ 5 ] [ 6 ] وآخرين كوسيلة لمعالجة أنظمة التحكم بالبيانات المأخوذة عينات والمستخدمة مع الرادار. وهي توفر طريقة عملية لحل المعادلات التفاضلية الخطية ذات المعاملات الثابتة. وقد أطلق عليها راغازيني وزاده لاحقًا اسم "تحويل Z" في مجموعة التحكم بالبيانات المأخوذة عينات بجامعة كولومبيا عام 1952. [ 7 ] [ 8 ]

تم تطوير التحويل Z المعدل أو المتقدم ونشره لاحقًا بواسطة EI Jury . [ 9 ] [ 10 ]

تُعرف الفكرة الكامنة وراء تحويل Z في الأدبيات الرياضية أيضًا باسم طريقة توليد الدوال ، والتي يعود تاريخها إلى عام 1730 عندما قدمها دي موافر بالتزامن مع نظرية الاحتمالات . [ 11 ] من وجهة نظر رياضية، يمكن أيضًا اعتبار تحويل Z بمثابة متسلسلة لوران، حيث يُنظر إلى سلسلة الأرقام قيد الدراسة على أنها توسيع (لوران) لدالة تحليلية.

تعريف

يمكن تعريف تحويل Z إما على أنه تحويل أحادي الجانب أو ثنائي الجانب (على غرار تحويل لابلاس أحادي الجانب وتحويل لابلاس ثنائي الجانب ). [ 12 ]

تحويل Z ثنائي الجانب

التحويل الثنائي أو ثنائي الجانب Z لإشارة زمنية منفصلةx[ن]{\displaystyle x[n]}هي سلسلة القوى الرسميةX(z){\displaystyle X(z)}يُعرَّف على النحو التالي:

X(z)=Z{x[ن]}=∑ن=-∞∞x[ن]z-ن{\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}}

أينن{\displaystyle n}هو عدد صحيح وz{\displaystyle z}هو، بشكل عام، عدد مركب . في الصورة القطبية ،z{\displaystyle z}يمكن كتابتها على النحو التالي:

z=أهـأناϕ=أ⋅(كوس⁡ϕ+أناالخطيئة⁡ϕ){\displaystyle z=Ae^{i\phi }=A\cdot (\cos {\phi }+i\sin {\phi })}

أينأ{\displaystyle A}مقدار​z{\displaystyle z}،​أنا{\displaystyle i}هي الوحدة التخيلية ، وϕ{\displaystyle \phi }هو الوسيط المركب (يشار إليه أيضًا بالزاوية أو الطور ) بالراديان .

تحويل Z أحادي الجانب

أو بدلاً من ذلك، في الحالات التيx[ن]{\displaystyle x[n]}يتم تعريفها فقط لـن≥0{\displaystyle n\geq 0}، يُعرَّف التحويل Zأحادي الجانب أو أحادي الاتجاه على النحو التالي:

X(z)=Z{x[ن]}=∑ن=0∞x[ن]z-ن.{\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n}.}

في معالجة الإشارات ، يمكن استخدام هذا التعريف لتقييم تحويل Z لاستجابة النبضة الوحدوية لنظام سببي منفصل الزمن .

من الأمثلة المهمة على تحويل Z أحادي الجانب دالة توليد الاحتمالات ، حيث يكون المكونx[ن]{\displaystyle x[n]}هي احتمالية أن يأخذ متغير عشوائي منفصل القيمة ⁠ن{\displaystyle n}⁠ . خصائص تحويلات Z (المدرجة في §  الخصائص ) لها تفسيرات مفيدة في سياق نظرية الاحتمالات.

التحويل العكسي Z

التحويل العكسي Z هو:

x[ن]=Z-1{X(z)}=12πأنا∮جX(z)zن-1دz{\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz}

أينج{\displaystyle C}هو مسار مغلق عكس اتجاه عقارب الساعة يحيط بنقطة الأصل ويقع بالكامل في منطقة التقارب . في حالة كون منطقة التقارب سببية (انظر المثال 2 )، فهذا يعني أن المسارج{\displaystyle C}يجب أن يحيط بجميع أقطاب ⁠X(z){\displaystyle X(z)}⁠ .

تحدث حالة خاصة من هذا التكامل الكفافي عندماج{\displaystyle C}هي دائرة الوحدة. يمكن استخدام هذا المحيط عندما تشمل منطقة التقارب دائرة الوحدة، وهو أمر مضمون دائمًا عندماX(z){\displaystyle X(z)}تكون مستقرة، أي عندما تكون جميع الأقطاب داخل دائرة الوحدة. مع هذا المحيط، يتبسط تحويل Z العكسي إلى تحويل فورييه المنفصل الزمني العكسي ، أو متسلسلة فورييه ، للقيم الدورية لتحويل Z حول دائرة الوحدة:

x[ن]=12π∫-ππX(هـأناω)هـأناωندω.{\displaystyle x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }X(e^{i\omega })e^{i\omega n}d\omega .}

التحويل Z ذو المدى المحدودن{\displaystyle n}وعدد محدود من التباعد المنتظمz{\displaystyle z}يمكن حساب القيم بكفاءة باستخدام خوارزمية تحويل فورييه السريع (FFT) لبلوستاين . يُعد تحويل فورييه المنفصل زمنيًا (DTFT) - والذي يجب عدم الخلط بينه وبين تحويل فورييه المنفصل (DFT) - حالة خاصة من تحويل Z هذا، والذي يتم الحصول عليه بتقييدz{\displaystyle z}أن تقع على دائرة الوحدة.

تُستخدم الطرق الثلاث التالية غالبًا لتقييم التحويل العكسي،

التقييم المباشر عن طريق تكامل الخطوط الكنتورية

تعتمد هذه الطريقة على تطبيق نظرية كوشي للبواقي لتقييم التحويل العكسي Z. من خلال التكامل حول مسار مغلق في المستوى المركب، تُجمع البواقي عند أقطاب دالة التحويل Z داخل منطقة التقارب. تُعد هذه التقنية مفيدة بشكل خاص عند التعامل مع الدوال المُعبر عنها بدلالة المتغيرات المركبة.

التوسع إلى سلسلة من الحدود في المتغيرين z و z −1

في هذه الطريقة، يتم توسيع تحويل Z إلى متسلسلة قوى. يُعد هذا النهج مفيدًا عندما تكون دالة تحويل Z كسرية، مما يسمح بتقريب الدالة العكسية عن طريق توسيعها إلى متسلسلة وتحديد معاملات الإشارة حدًا حدًا.

توسيع الكسور الجزئية والبحث في الجداول

تُحلل هذه التقنية تحويل Z إلى مجموع كسور أبسط، يُقابل كل منها زوجًا معروفًا من تحويلات Z. ثم يُحدد تحويل Z العكسي بالبحث عن كل حد في جدول قياسي لأزواج تحويلات Z. تُستخدم هذه الطريقة على نطاق واسع لكفاءتها وبساطتها، خاصةً عندما يُمكن تحليل الدالة الأصلية بسهولة إلى مكونات معروفة.

مثال

[ 13 ]

أ) حدد التحويل العكسي Z لما يلي باستخدام طريقة توسيع السلسلة، X(z)=11-1.5z-1+0.5z-2{\displaystyle X(z)={\frac {1}{1-1.5\,z^{-1}+0.5\,z^{-2}}}}

حل:

الحالة 1:

جمهورية الصين:|z|>1{\displaystyle \left\vert z\right\vert >1}

بما أن منطقة التقارب هي الجزء الخارجي من دائرة،x(ن){\displaystyle x(n)}هو سببي (إشارة موجودة لـ ⁠ن≥0{\displaystyle n\geq 0}) . X(z)=11-32z-1+12z-2=1+32z-1+74z-2+158z-3+3116z-4+....{\displaystyle X(z)={1 \over 1-{3 \over 2}z^{-1}+{1 \over 2}z^{-2}}=1+{{3 \over 2}z^{-1}}+{{7 \over 4}z^{-2}}+{{15 \over 8}z^{-3}}+{{31 \over 16}z^{-4}}+\ldots .} هكذا، x(ن)={1،32،74،158،3116...}↑{\displaystyle {\begin{aligned}x(n)&=\left\{1,{\frac {3}{2}},{\frac {7}{4}},{\frac {15}{8}},{\frac {31}{16}}\ldots \right\}\\&\qquad \!\uparrow \\\end{aligned}}}(يشير السهم إلى الحد عند ⁠x(0)=1{\displaystyle x(0)=1}) .

لاحظ أنه في كل خطوة من خطوات عملية القسمة المطولة، نتخلص من الحد ذي أدنى قوة .z-1{\displaystyle z^{-1}}⁠ .

الحالة الثانية:

جمهورية الصين:|z|<0.5{\displaystyle \left\vert z\right\vert <0.5}

بما أن منطقة التقارب هي داخل دائرة،x(ن){\displaystyle x(n)}هو مضاد للسببية (إشارة موجودة لـ ⁠ن<0{\displaystyle n<0}) .

بإجراء القسمة المطولة نحصل على X(z)=11-32z-1+12z-2=2z2+6z3+14z4+30z5+...{\displaystyle X(z)={\frac {1}{1-{\frac {3}{2}}z^{-1}+{\frac {1}{2}}z^{-2}}}=2z^{2}+6z^{3}+14z^{4}+30z^{5}+\ldots }

x(ن)={30،14،6،2،0،0}  ↑{\displaystyle {\begin{aligned}x(n)&=\{30,14,6,2,0,0\}\\&\qquad \qquad \qquad \quad \ \ \,\uparrow \\\end{aligned}}}(يشير السهم إلى الحد عند ⁠x(0)=0{\displaystyle x(0)=0}) .

لاحظ أنه في كل خطوة من خطوات عملية القسمة المطولة، نتخلص من الحد ذي أدنى قوة .z{\displaystyle z}⁠ .

ملحوظة:

  1. عندما تكون الإشارة سببية، نحصل على قوى موجبة لـz{\displaystyle z}وعندما تكون الإشارة مضادة للسببية، نحصل على قوى سالبة لـz{\displaystyle z}⁠ .
  2. zك{\displaystyle z^{k}}يشير إلى المصطلح عندx(-ك){\displaystyle x(-k)}وz-ك{\displaystyle z^{-k}}يشير إلى المصطلح في ⁠x(ك){\displaystyle x(k)}⁠ .

ب) حدد التحويل العكسي Z لما يلي باستخدام طريقة توسيع السلسلة،

إزالة القوى السلبية إذاz{\displaystyle z}والقسمة علىz{\displaystyle z}،​ X(z)z=z2z(z2-1.5z+0.5)=zz2-1.5z+0.5{\displaystyle {\frac {X(z)}{z}}={\frac {z^{2}}{z(z^{2}-1.5\,z+0.5)}}={\frac {z}{z^{2}-1.5\,z+0.5}}}

باستخدام تحليل الكسور الجزئية، X(z)z=z(z-1)(z-0.5)=أ1z-0.5+أ2z-1أ1=(z-0.5)X(z)z|z=0.5=0.5(0.5-1)=-1أ2=(z-1)X(z)z|z=1=11-0.5=2X(z)z=2z-1-1z-0.5{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {X(z)}{z}}&={\frac {z}{(z-1)(z-0.5)}}={\frac {A_{1}}{z-0.5}}+{\frac {A_{2}}{z-1}}\\[4pt]&A_{1}=\left.{\frac {(z-0.5)X(z)}{z}}\right\vert _{z=0.5}={\frac {0.5}{(0.5-1)}}=-1\\[4pt]&A_{2}=\left.{\frac {(z-1)X(z)}{z}}\right\vert _{z=1}={\frac {1}{1-0.5}}={2}\\[4pt]{\frac {X(z)}{z}}&={\frac {2}{z-1}}-{\frac {1}{z-0.5}}\end{aligned}}}

الحالة 1:

جمهورية الصين:|z|>1{\displaystyle \left\vert z\right\vert >1}

كلا المصطلحين سببيان، وبالتاليx(ن){\displaystyle x(n)}هو علاقة سببية.

x(ن)=2(1)نu(ن)-1(0.5)نu(ن)=(2-(0.5)ن)u(ن){\displaystyle {\begin{aligned}x(n)&=2{(1)^{n}}u(n)-1{(0.5)^{n}}u(n)\\&=(2-(0.5)^{n})u(n)\\\end{aligned}}}

الحالة الثانية:

جمهورية الصين:|z|<0.5{\displaystyle \left\vert z\right\vert <0.5}

كلا المصطلحين مضادان للسببية، وبالتاليx(ن){\displaystyle x(n)}هو مضاد للسببية.

x(ن)=-2(1)نu(-ن-1)-(-1(0.5)نu(-ن-1))=((0.5)ن-2)u(-ن-1){\displaystyle {\begin{aligned}x(n)&=-2{(1)^{n}}u(-n-1)-(-1{(0.5)^{n}}u(-n-1))\\&=((0.5)^{n}-2)u(-n-1)\\\end{aligned}}}

الحالة الثالثة:

جمهورية الصين:0.5<|z|<1{\displaystyle 0.5<\left\vert z\right\vert <1}

أحد هذه المصطلحات هو السببي ( ⁠ص=0.5{\displaystyle p=0.5}يوفر الجزء السببي) والآخر مضاد للسببية (ص=1{\displaystyle p=1}( يوفر الجزء المضاد للسببية)، وبالتاليx(ن){\displaystyle x(n)}له وجهان.

x(ن)=-2(1)نu(-ن-1)-1(0.5)نu(ن)=-2u(-ن-1)-(0.5)نu(ن){\displaystyle {\begin{aligned}x(n)&=-2{(1)^{n}}u(-n-1)-1{(0.5)^{n}}u(n)\\&=-2u(-n-1)-(0.5)^{n}u(n)\\\end{aligned}}}

منطقة التقارب

منطقة التقارب (ROC) هي مجموعة النقاط في المستوى المركب التي يتقارب عندها مجموع تحويل Z بشكل مطلق :

Rياج={z:∑ن=-∞∞|x[ن]z-ن|<∞}{\displaystyle \mathrm {ROC} =\left\{z:\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|x[n]z^{-n}\right|<\infty \right\}}

المثال 1 (بدون ROC)

دع​x[ن]=(0.5)ن{\displaystyle x[n]=(0.5)^{n}}. التوسعx[ن]{\displaystyle x[n]}على الفترة(-∞،∞){\displaystyle (-\infty ,\infty )}يصبح

x[ن]={...،(0.5)-3،(0.5)-2،(0.5)-1،1،0.5،(0.5)2،(0.5)3،...}={...،23،22،2،1،0.5،(0.5)2،(0.5)3،...}.{\displaystyle x[n]=\left\{\dots ,(0.5)^{-3},(0.5)^{-2},(0.5)^{-1},1,0.5,(0.5)^{2},(0.5)^{3},\dots \right\}=\left\{\dots ,2^{3},2^{2},2,1,0.5,(0.5)^{2},(0.5)^{3},\dots \right\}.}

بالنظر إلى المجموع

∑ن=-∞∞x[ن]z-ن→∞.{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\to \infty .}

لذلك، لا توجد قيم لـz{\displaystyle z}التي تستوفي هذا الشرط.

المثال 2 (منحنى ROC السببي)

ROC (أزرق)، | z |  =  0.5 (دائرة سوداء متقطعة)، ودائرة الوحدة (دائرة رمادية منقطة).

يتركx[ن]=(0.5)نu[ن]{\displaystyle x[n]=(0.5)^{n}\,u[n]}(أينu{\displaystyle u}دالة هيفسايد المتدرجة ). توسيعx[ن]{\displaystyle x[n]}على الفترة(-∞،∞){\displaystyle (-\infty ,\infty )}يصبح

x[ن]={...،0،0،0،1،0.5،(0.5)2،(0.5)3،...}.{\displaystyle x[n]=\left\{\dots ,0,0,0,1,0.5,(0.5)^{2},(0.5)^{3},\dots \right\}.}

بالنظر إلى المجموع

∑ن=-∞∞x[ن]z-ن=∑ن=0∞(0.5)نz-ن=∑ن=0∞(0.5z)ن=11-0.5z-1.{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }(0.5)^{n}z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {0.5}{z}}\right)^{n}={\frac {1}{1-0.5\,z^{-1}}}.}

تنشأ المساواة الأخيرة من المتسلسلة الهندسية اللانهائية ، ولا تتحقق هذه المساواة إلا إذا|0.5z-1|<1{\displaystyle \vert 0.5\,z^{-1}\vert <1}والتي يمكن إعادة كتابتها بدلالةz{\displaystyle z}كما​|z|>0.5{\displaystyle \vert z\vert >0.5}وبالتالي ، فإن معدل التغير هو|z|>0.5{\displaystyle \vert z\vert >0.5}في هذه الحالة ، تكون منطقة التقارب هي المستوى المركب الذي يحتوي على قرص نصف قطره0.5{\displaystyle 0.5}في الأصل "مثقوب".

المثال 3 (منحنى ROC مضاد للسببية)

ROC (أزرق)، | z |  =  0.5 (دائرة سوداء متقطعة)، ودائرة الوحدة (دائرة رمادية منقطة).

يتركx[ن]=-(0.5)نu[-ن-1]{\displaystyle x[n]=-(0.5)^{n}\,u[-n-1]}(أينu{\displaystyle u}دالة هيفسايد المتدرجة ). توسيعx[ن]{\displaystyle x[n]}على الفترة(-∞،∞){\displaystyle (-\infty ,\infty )}يصبح

x[ن]={...،-(0.5)-3،-(0.5)-2،-(0.5)-1،0،0،0،0،...}.{\displaystyle x[n]=\left\{\dots ,-(0.5)^{-3},-(0.5)^{-2},-(0.5)^{-1},0,0,0,0,\dots \right\}.}

بالنظر إلى المجموع

∑ن=-∞∞x[ن]z-ن=-∑ن=-∞-1(0.5)نz-ن=-∑م=1∞(z0.5)م=-(0.5)-1z1-(0.5)-1z=-10.5z-1-1=11-0.5z-1{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,z^{-n}&=-\sum _{n=-\infty }^{-1}(0.5)^{n}\,z^{-n}\\&=-\sum _{m=1}^{\infty }\left({\frac {z}{0.5}}\right)^{m}\\&=-{\frac {(0.5)^{-1}z}{1-(0.5)^{-1}z}}\\&=-{\frac {1}{0.5\,z^{-1}-1}}\\&={\frac {1}{1-0.5\,z^{-1}}}\\\end{aligned}}}

وباستخدام المتسلسلة الهندسية اللانهائية مرة أخرى، فإن المساواة لا تتحقق إلا إذا|(0.5)-1z|<1{\displaystyle |(0.5)^{-1}z|<1}والتي يمكن إعادة صياغتها بدلالةz{\displaystyle z}كما​|z|<0.5{\displaystyle \vert z\vert <0.5}وبالتالي ، فإن معدل التغير هو|z|<0.5{\displaystyle \vert z\vert <0.5}في هذه الحالة ، تكون منطقة التقارب عبارة عن قرص مركزه نقطة الأصل ونصف قطره 0.5{\displaystyle 0.5}⁠ .

ما يميز هذا المثال عن المثال السابق هو فقط نطاق ROC. وهذا مقصود لتوضيح أن نتيجة التحويل وحدها غير كافية.

أمثلة وخلاصة

يوضح المثالان 2 و3 بوضوح أن تحويل ZX(z){\displaystyle X(z)}لx[ن]{\displaystyle x[n]}تكون فريدة فقط عند تحديد منحنى ROC. يُظهر إنشاء مخطط القطب-الصفر للحالة السببية وغير السببية أن منحنى ROC لأي من الحالتين لا يتضمن القطب الموجود عند ⁠0.5{\displaystyle 0.5}. وينطبق هذا على الحالات التي تحتوي على أقطاب متعددة: لن يحتوي منحنى ROC على أقطاب أبدًا .

في المثال الثاني، ينتج عن النظام السببي منحنى ROC يتضمن|z|=∞{\displaystyle |z|=\infty }بينما ينتج عن النظام المضاد للسببية في المثال 3 منحنى ROC يتضمن ⁠|z|=0{\displaystyle \vert z\vert =0}⁠ .

يُظهر نطاق الانحناء (ROC) كحلقة زرقاء: 0.5  < | z | < 0.75   

في الأنظمة متعددة الأقطاب، من الممكن أن يكون هناك منطقة تقارب لا تشمل أيًا منهما.|z|=∞{\displaystyle |z|=\infty }ولا​|z|=0{\displaystyle \vert z\vert =0}⁠ . يُشكّل نطاق التقارب حلقة دائرية. على سبيل المثال،

x[ن]=(0.5)نu[ن]-(0.75)نu[-ن-1]{\displaystyle x[n]=(0.5)^{n}\,u[n]-(0.75)^{n}\,u[-n-1]}

يوجد أعمدة في0.5{\displaystyle 0.5}و​​0.75{\displaystyle 0.75}. ستكون ROC0.5<|z|<0.75{\displaystyle 0.5<\vert z\vert <0.75}، الذي لا يشمل الأصل ولا اللانهاية. يُطلق على هذا النظام اسم نظام السببية المختلطة لأنه يحتوي على حد سببي(0.5)نu[ن]{\displaystyle (0.5)^{n}\,u[n]}ومصطلح مضاد للسببية-(0.75)نu[-ن-1]{\displaystyle -(0.75)^{n}\,u[-n-1]}⁠ .

يمكن تحديد استقرار النظام بمعرفة منطقة التقارب فقط. إذا كانت منطقة التقارب تحتوي على دائرة الوحدة (أي ،|z|=1{\displaystyle \vert z\vert =1}إذا كان النظام مستقرًا، فإن النظام السببي (المثال 2) يكون مستقرًا في الأنظمة المذكورة أعلاه .|z|>0.5{\displaystyle \vert z\vert >0.5}يحتوي على دائرة الوحدة.

لنفترض أننا حصلنا على تحويل Z لنظام بدون منطقة تقارب (أي، غامض )x[ن]{\displaystyle x[n]}) . يمكننا تحديد فريدx[ن]{\displaystyle x[n]}بشرط أن نرغب في ما يلي:

  • استقرار
  • السببية

لضمان الاستقرار، يجب أن تحتوي منطقة التقارب على دائرة الوحدة. إذا كنا بحاجة إلى نظام سببي، فيجب أن تحتوي منطقة التقارب على اللانهاية، وستكون دالة النظام متتالية يمينية. أما إذا كنا بحاجة إلى نظام غير سببي، فيجب أن تحتوي منطقة التقارب على نقطة الأصل، وستكون دالة النظام متتالية يسارية. إذا كنا بحاجة إلى كل من الاستقرار والسببية، فيجب أن تقع جميع أقطاب دالة النظام داخل دائرة الوحدة.

فريد من نوعهx[ن]{\displaystyle x[n]}ويمكن العثور عليه بعد ذلك.

ملكيات

خصائص التحويل z

ملكية

المجال الزمني نطاق Z دليل جمهورية الصين
تعريف تحويل Zx[ن]{\displaystyle x[n]}X(z){\displaystyle X(z)}X(z)=Z{x[ن]}{\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}}(تعريف التحويل z)

x[ن]=Z-1{X(z)}{\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}}(تعريف التحويل العكسي z)

ر2<|z|<ر1{\displaystyle r_{2}<|z|<r_{1}}
الخطيةأ1x1[ن]+أ2x2[ن]{\displaystyle a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]}أ1X1(z)+أ2X2(z){\displaystyle a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)}X(z)=∑ن=-∞∞(أ1x1[ن]+أ2x2[ن])z-ن=أ1∑ن=-∞∞x1[ن]z-ن+أ2∑ن=-∞∞x2[ن]z-ن=أ1X1(z)+أ2X2(z){\displaystyle {\begin{aligned}X(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n])z^{-n}\\&=a_{1}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]\,z^{-n}+a_{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}[n]\,z^{-n}\\&=a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)\end{aligned}}}يحتوي على ROC 1 ∩ ROC 2
تمدد زمنيxك[ن]={x[ر]،ن=كر0،ن∉كZ{\displaystyle x_{K}[n]={\begin{cases}x[r],&n=Kr\\0,&n\notin K\mathbb {Z} \end{cases}}}

معكZ:={كر:ر∈Z}{\displaystyle K\mathbb {Z} :=\{Kr:r\in \mathbb {Z} \}}

X(zك){\displaystyle X(z^{K})}Xك(z)=∑ن=-∞∞xك[ن]z-ن=∑ر=-∞∞x[ر]z-رك=∑ر=-∞∞x[ر](zك)-ر=X(zك){\displaystyle {\begin{aligned}X_{K}(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{K}[n]z^{-n}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x[r]z^{-rK}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x[r](z^{K})^{-r}\\&=X(z^{K})\end{aligned}}}R1ك{\displaystyle R^{\frac {1}{K}}}
الإبادةx[كن]{\displaystyle x[Kn]}1ك∑ص=0ك-1X(z1ك⋅هـ-أنا2πكص){\displaystyle {\frac {1}{K}}\sum _{p=0}^{K-1}X\left(z^{\tfrac {1}{K}}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{K}}p}\right)}ohio-state.edu أو ee.ic.ac.uk
تأخير زمني x[ن-ك]{\displaystyle x[n-k]}

معك>0{\displaystyle k>0}وx:x[ن]=0 ∀ن<0{\displaystyle x:x[n]=0\ \forall \,n<0}

z-كX(z){\displaystyle z^{-k}X(z)}Z{x[ن-ك]}=∑ن=0∞x[ن-ك]z-ن=∑م=-ك∞x[م]z-(م+ك)م=ن-ك=∑م=-ك∞x[م]z-مz-ك=z-ك∑م=-ك∞x[م]z-م=z-ك∑م=0∞x[م]z-مx[β]=0،∀β<0=z-كX(z){\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x[n-k]\}&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}\\&=\sum _{m=-k}^{\infty }x[m]z^{-(m+k)}&&m=n-k\\&=\sum _{m=-k}^{\infty }x[m]z^{-m}z^{-k}\\&=z^{-k}\sum _{m=-k}^{\infty }x[m]z^{-m}\\&=z^{-k}\sum _{m=0}^{\infty }x[m]z^{-m}&&x[\beta ]=0,\forall \beta <0\\&=z^{-k}X(z)\end{aligned}}}باستثناءz=0{\displaystyle z=0}لوك>0{\displaystyle k>0}وz=∞{\displaystyle z=\infty }لوك<0{\displaystyle k<0}
تقدم زمني x[ن+ك]{\displaystyle x[n+k]}

معك>0{\displaystyle k>0}

التحويل الثنائي Z:

zكX(z){\displaystyle z^{k}X(z)} التحويل Z أحادي الجانب: [ 14 ]zكX(z)-zك∑ن=0ك-1x[ن]z-ن{\displaystyle z^{k}\,X(z)-z^{k}\sum _{n=0}^{k-1}x[n]\,z^{-n}}

الفرق الأول معكوسًا x[ن]-x[ن-1]{\displaystyle x[n]-x[n-1]}

معx[ن]=0{\displaystyle x[n]=0}لن<0{\displaystyle n<0}

(1-z-1)X(z){\displaystyle (1-z^{-1})\,X(z)}يحتوي على تقاطع منطقة التقارب لـX1(z){\displaystyle X_{1}(z)}وz≠0{\displaystyle z\neq 0}
الفرق الأول للأمامx[ن+1]-x[ن]{\displaystyle x[n+1]-x[n]}(z-1)X(z)-zx[0]{\displaystyle (z-1)\,X(z)-z\,x[0]}
عكس الزمن x[-ن]{\displaystyle x[-n]}X(z-1){\displaystyle X(z^{-1})}Z{x(-ن)}=∑ن=-∞∞x[-ن]z-ن=∑م=-∞∞x[م]zم=∑م=-∞∞x[م](z-1)-م=X(z-1){\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x(-n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[-n]z^{-n}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]z^{m}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]{(z^{-1})}^{-m}\\&=X(z^{-1})\\\end{aligned}}}1ر1<|z|<1ر2{\displaystyle {\tfrac {1}{r_{1}}}<|z|<{\tfrac {1}{r_{2}}}}
التدرج في المجال z أنx[ن]{\displaystyle a^{n}x[n]}X(أ-1z){\displaystyle X(a^{-1}z)}Z{أنx[ن]}=∑ن=-∞∞أنx[ن]z-ن=∑ن=-∞∞x[ن](أ-1z)-ن=X(أ-1z){\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\left\{a^{n}x[n]\right\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n}x[n]z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n](a^{-1}z)^{-n}\\&=X(a^{-1}z)\end{aligned}}}|أ|ر2<|z|<|أ|ر1{\displaystyle |a|r_{2}<|z|<|a|r_{1}}
الاقتران المعقدx*[ن]{\displaystyle x^{*}[n]}X*(z*){\displaystyle X^{*}(z^{*})}Z{x*(ن)}=∑ن=-∞∞x*[ن]z-ن=∑ن=-∞∞[x[ن](z*)-ن]*=[∑ن=-∞∞x[ن](z*)-ن]*=X*(z*){\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x^{*}(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{*}[n]z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[x[n](z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n](z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=X^{*}(z^{*})\end{aligned}}}
جزء حقيقييكرر⁡{x[ن]}{\displaystyle \operatorname {Re} \{x[n]\}}12[X(z)+X*(z*)]{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left[X(z)+X^{*}(z^{*})\right]}
الجزء الخياليأنا⁡{x[ن]}{\displaystyle \operatorname {Im} \{x[n]\}}12أنا[X(z)-X*(z*)]{\displaystyle {\tfrac {1}{2i}}\left[X(z)-X^{*}(z^{*})\right]}
التفاضل في المجال z نx[ن]{\displaystyle n\,x[n]}-zدX(z)دz{\displaystyle -z{\frac {dX(z)}{dz}}}Z{نx(ن)}=∑ن=-∞∞نx[ن]z-ن=z∑ن=-∞∞نx[ن]z-ن-1=-z∑ن=-∞∞x[ن](-نz-ن-1)=-z∑ن=-∞∞x[ن]ددz(z-ن)=-zدX(z)دz{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{n\,x(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }n\,x[n]z^{-n}\\&=z\sum _{n=-\infty }^{\infty }n\,x[n]z^{-n-1}\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n](-n\,z^{-n-1})\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]{\frac {d}{dz}}(z^{-n})\\&=-z{\frac {dX(z)}{dz}}\end{aligned}}}ROC، إذاX(z){\displaystyle X(z)}عقلاني؛

قد يستثني نطاق ROC الحدود، إذاX(z){\displaystyle X(z)}غير عقلاني [ 15 ]

التفافx1[ن]*x2[ن]{\displaystyle x_{1}[n]*x_{2}[n]}X1(z)X2(z){\displaystyle X_{1}(z)\,X_{2}(z)}Z{x1(ن)*x2(ن)}=Z{∑ل=-∞∞x1[ل]x2[ن-ل]}=∑ن=-∞∞[∑ل=-∞∞x1[ل]x2[ن-ل]]z-ن=∑ل=-∞∞x1[ل][∑ن=-∞∞x2[ن-ل]z-ن]=[∑ل=-∞∞x1(ل)z-ل][∑ن=-∞∞x2[ن]z-ن]=X1(z)X2(z){\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x_{1}(n)*x_{2}(n)\}&={\mathcal {Z}}\left\{\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}[l]x_{2}[n-l]\right\}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}[l]x_{2}[n-l]\right]z^{-n}\\&=\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}[l]\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}[n-l]z^{-n}\right]\\&=\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)z^{-l}\right]\!\!\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}[n]z^{-n}\right]\\&=X_{1}(z)X_{2}(z)\end{aligned}}}يحتوي على ROC 1 ∩ ROC 2
الارتباط المتبادلرx1،x2=x1*[-ن]*x2[ن]{\displaystyle r_{x_{1},x_{2}}=x_{1}^{*}[-n]*x_{2}[n]}Rx1،x2(z)=X1*(1z*)X2(z){\displaystyle R_{x_{1},x_{2}}(z)=X_{1}^{*}({\tfrac {1}{z^{*}}})X_{2}(z)}يحتوي على تقاطع منطقة التقارب لـX1(1z*){\displaystyle X_{1}({\tfrac {1}{z^{*}}})}وX2(z){\displaystyle X_{2}(z)}
تراكم ∑ك=-∞نx[ك]{\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{n}x[k]}11-z-1X(z){\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}X(z)}∑ن=-∞∞∑ك=-∞نx[ك]z-ن=∑ن=-∞∞(x[ن]+⋯)z-ن=X(z)(1+z-1+z-2+⋯)=X(z)∑ج=0∞z-ج=X(z)11-z-1{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]z^{-n}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(x[n]+\cdots )z^{-n}\\&=X(z)\left(1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots \right)\\&=X(z)\sum _{j=0}^{\infty }z^{-j}\\&=X(z){\frac {1}{1-z^{-1}}}\end{aligned}}}
الضربx1[ن]x2[ن]{\displaystyle x_{1}[n]\,x_{2}[n]}12πأنا∮جX1(v)X2(zv)v-1دv{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}({\tfrac {z}{v}})v^{-1}\mathrm {d} v}-

نظرية بارسيفال

∑ن=-∞∞x1[ن]x2*[ن]=12πأنا∮جX1(v)X2*(1v*)v-1دv{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\quad =\quad {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\tfrac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d} v}

نظرية القيمة الابتدائية  : إذاx[ن]{\displaystyle x[n]}إذا كان السببية، فإنx[0]=ليمz→∞X(z).{\displaystyle x[0]=\lim _{z\to \infty }X(z).}

نظرية القيمة النهائية : إذا كانت أقطاب(z-1)X(z){\displaystyle (z-1)X(z)}إذا كانت داخل دائرة الوحدة، فـx[∞]=ليمz→1(z-1)X(z).{\displaystyle x[\infty ]=\lim _{z\to 1}(z-1)X(z).}

جدول أزواج تحويل Z الشائعة

هنا:

u:ن↦u[ن]={1،ن≥00،ن<0{\displaystyle u:n\mapsto u[n]={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}}}

هي دالة الخطوة (أو دالة هيفسايد) و

دلتا:ن↦دلتا[ن]={1،ن=00،ن≠0{\displaystyle \delta :n\mapsto \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}}

هي دالة النبضة الوحدوية في الزمن المتقطع (انظر دالة ديراك دلتا ، وهي نسخة في الزمن المستمر). يتم اختيار الدالتين معًا بحيث تكون دالة الخطوة الوحدوية هي مجموع (المجموع التراكمي) دالة النبضة الوحدوية.

إشارة،x[ن]{\displaystyle x[n]}تحويل Z،X(z){\displaystyle X(z)}جمهورية الصين
1دلتا[ن]{\displaystyle \delta [n]}1جميع z
2دلتا[ن-ن0]{\displaystyle \delta [n-n_{0}]}z-ن0{\displaystyle z^{-n_{0}}}z≠0{\displaystyle z\neq 0}
3u[ن]{\displaystyle u[n]}11-z-1{\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}}|z|>1{\displaystyle |z|>1}
4-u[-ن-1]{\displaystyle -u[-n-1]}11-z-1{\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}}|z|<1{\displaystyle |z|<1}
5نu[ن]{\displaystyle nu[n]}z-1(1-z-1)2{\displaystyle {\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}}|z|>1{\displaystyle |z|>1}
6-نu[-ن-1]{\displaystyle -nu[-n-1]}z-1(1-z-1)2{\displaystyle {\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}}|z|<1{\displaystyle |z|<1}
7ن2u[ن]{\displaystyle n^{2}u[n]}z-1(1+z-1)(1-z-1)3{\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}}|z|>1{\displaystyle |z|>1}
8-ن2u[-ن-1]{\displaystyle -n^{2}u[-n-1]}z-1(1+z-1)(1-z-1)3{\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}}|z|<1{\displaystyle |z|<1}
9ن3u[ن]{\displaystyle n^{3}u[n]}z-1(1+4z-1+z-2)(1-z-1)4{\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}}|z|>1{\displaystyle |z|>1}
10-ن3u[-ن-1]{\displaystyle -n^{3}u[-n-1]}z-1(1+4z-1+z-2)(1-z-1)4{\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}}|z|<1{\displaystyle |z|<1}
11أنu[ن]{\displaystyle a^{n}u[n]}11-أz-1{\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}|z|>|أ|{\displaystyle |z|>|a|}
12-أنu[-ن-1]{\displaystyle -a^{n}u[-n-1]}11-أz-1{\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}|z|<|أ|{\displaystyle |z|<|a|}
13نأنu[ن]{\displaystyle na^{n}u[n]}أz-1(1-أz-1)2{\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}|z|>|أ|{\displaystyle |z|>|a|}
14-نأنu[-ن-1]{\displaystyle -na^{n}u[-n-1]}أz-1(1-أz-1)2{\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}|z|<|أ|{\displaystyle |z|<|a|}
15ن2أنu[ن]{\displaystyle n^{2}a^{n}u[n]}أz-1(1+أz-1)(1-أz-1)3{\displaystyle {\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}}|z|>|أ|{\displaystyle |z|>|a|}
16-ن2أنu[-ن-1]{\displaystyle -n^{2}a^{n}u[-n-1]}أz-1(1+أz-1)(1-أz-1)3{\displaystyle {\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}}|z|<|أ|{\displaystyle |z|<|a|}
17(ن+م-1م-1)أنu[ن]{\displaystyle \left({\begin{array}{c}n+m-1\\m-1\end{array}}\right)a^{n}u[n]}[14]⁠1(1-أz-1)م{\displaystyle {\frac {1}{(1-az^{-1})^{m}}}}، للأعداد الصحيحة الموجبةم{\displaystyle m}[ 15 ]|z|>|أ|{\displaystyle |z|>|a|}
18(-1)م(-ن-1م-1)أنu[-ن-م]{\displaystyle (-1)^{m}\left({\begin{array}{c}-n-1\\m-1\end{array}}\right)a^{n}u[-n-m]}⁠1(1-أz-1)م{\displaystyle {\frac {1}{(1-az^{-1})^{m}}}}، للأعداد الصحيحة الموجبةم{\displaystyle m}[ 15 ]|z|<|أ|{\displaystyle |z|<|a|}
19كوس⁡(ω0ن)u[ن]{\displaystyle \cos(\omega _{0}n)u[n]}1-z-1كوس⁡(ω0)1-2z-1كوس⁡(ω0)+z-2{\displaystyle {\frac {1-z^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}}|z|>1{\displaystyle |z|>1}
20الخطيئة⁡(ω0ن)u[ن]{\displaystyle \sin(\omega _{0}n)u[n]}z-1الخطيئة⁡(ω0)1-2z-1كوس⁡(ω0)+z-2{\displaystyle {\frac {z^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}}|z|>1{\displaystyle |z|>1}
21أنكوس⁡(ω0ن)u[ن]{\displaystyle a^{n}\cos(\omega _{0}n)u[n]}1-أz-1كوس⁡(ω0)1-2أz-1كوس⁡(ω0)+أ2z-2{\displaystyle {\frac {1-az^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}}|z|>|أ|{\displaystyle |z|>|a|}
22أنالخطيئة⁡(ω0ن)u[ن]{\displaystyle a^{n}\sin(\omega _{0}n)u[n]}أz-1الخطيئة⁡(ω0)1-2أz-1كوس⁡(ω0)+أ2z-2{\displaystyle {\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}}|z|>|أ|{\displaystyle |z|>|a|}

العلاقة بمتسلسلة فورييه وتحويل فورييه

بالنسبة لقيمz{\displaystyle z}في المنطقة|z|=1{\displaystyle \vert z\vert =1}، والمعروفة باسم دائرة الوحدة ، يمكننا التعبير عن التحويل كدالة لمتغير حقيقي واحدω{\displaystyle \omega }من خلال تعريفz=هـأناω{\displaystyle z=e^{i\omega }}. يتحول التحويل الثنائي إلى متسلسلة فورييه :

والذي يُعرف أيضًا باسم تحويل فورييه المنفصل زمنيًا (DTFT) لـx[ن]{\displaystyle x[n]}هذا التسلسل.2π{\displaystyle 2\pi }الدالة الدورية هي مجموع دوري لتحويل فورييه ، مما يجعلها أداة تحليل شائعة الاستخدام. لفهم ذلك، دعوناX(و){\displaystyle X(f)}ليكن تحويل فورييه لأي دالة ،x(ت){\displaystyle x(t)}⁠ ، التي يتم أخذ عينات منها على فترات زمنية معينةتي{\displaystyle T}يساويx[ن]{\displaystyle x[n]}ثم يتم حساب تحويل فورييه المنفصل (DTFT) للتسلسل.x[ن]{\displaystyle x[n]}يمكن كتابة التسلسل على النحو التالي.

أينتي{\displaystyle T}وحداتها هي الثواني،و{\displaystyle f}وحدات القياس هي الهرتز . وتكشف مقارنة السلسلتين أنω=2πوتي{\displaystyle \omega =2\pi fT}هي تردد معياري بوحدة راديان لكل عينة . القيمةω=2π{\displaystyle \omega =2\pi }يتوافق مع ⁠و=1تي{\displaystyle f={\tfrac {1}{T}}}والآن ، مع الاستبدالو=ω2πتي{\displaystyle f={\tfrac {\omega }{2\pi T}}}، يمكن التعبير عن المعادلة 1 بدلالةX(ω-2πك2πتي){\displaystyle X({\tfrac {\omega -2\pi k}{2\pi T}})}(تحويل فورييه):

مع تغير قيمة المعامل T ، تتباعد حدود المعادلة 2 أو تتقارب على طول المحور f . أما في المعادلة 3 ، فتبقى المسافة بين المراكز 2π ، بينما تتسع أو تضيق. عند التسلسلx(نتي){\displaystyle x(nT)}تمثل هذه الدالة استجابة النبضة لنظام خطي ثابت الزمن ، وتُعرف أيضًا باسم استجابة التردد . عندماx(نتي){\displaystyle x(nT)}المتتابعة دورية، ويكون تحويل فورييه المنفصل الزمني (DTFT) الخاص بها متباعدًا عند تردد توافقي واحد أو أكثر، وصفرًا عند جميع الترددات الأخرى. غالبًا ما يُعبَّر عن ذلك باستخدام دوال ديراك دلتا المتغيرة السعة عند الترددات التوافقية. نظرًا للدورية، يوجد عدد محدود فقط من السعات الفريدة، والتي يمكن حسابها بسهولة باستخدام تحويل فورييه المنفصل (DFT) الأبسط بكثير . (انظر تحويل فورييه المنفصل الزمني §  البيانات الدورية ).

العلاقة بتحويل لابلاس

التحويل الثنائي الخطي

يمكن استخدام التحويل الثنائي الخطي لتحويل مرشحات الزمن المستمر (الممثلة في مجال لابلاس) إلى مرشحات الزمن المتقطع (الممثلة في مجال Z)، والعكس صحيح. ويُستخدم الاستبدال التالي:

s=2تي(z-1)(z+1){\displaystyle s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1)}}}

لتحويل بعض الدوالح(s){\displaystyle H(s)}في مجال لابلاس إلى دالةح(z){\displaystyle H(z)}في نطاق Z ( تحويل توستين )، أو

z=هـsتي≈1+sتي/21-sتي/2{\displaystyle z=e^{sT}\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}}

من مجال Z إلى مجال لابلاس. من خلال التحويل الثنائي الخطي، يتم تحويل المستوى s المركب (لتحويل لابلاس) إلى المستوى z المركب (لتحويل z). على الرغم من أن هذا التحويل غير خطي (بالضرورة)، إلا أنه مفيد لأنه يحول كاملأناω{\displaystyle i\omega }محور المستوى s على دائرة الوحدة في المستوى z. وعلى هذا النحو، فإن تحويل فورييه (وهو تحويل لابلاس المحسوب علىأناω{\displaystyle i\omega }يصبح المحور) تحويل فورييه المتقطع. يفترض هذا وجود تحويل فورييه؛ أي أنأناω{\displaystyle i\omega }يقع المحور في منطقة تقارب تحويل لابلاس.

تحويل مميز

بالنظر إلى تحويل Z أحادي الجانبX(z){\displaystyle X(z)}بالنسبة لدالة مُعينة زمنيًا، يُنتج التحويل المُميز بنجمة تحويل لابلاس ويعيد الاعتماد علىتي{\displaystyle T}(معامل أخذ العينات):

X*(s)=X(z)|z=هـsتي{\displaystyle {\bigg .}X^{*}(s)=X(z){\bigg |}_{\displaystyle z=e^{sT}}}

التحويل العكسي لابلاس هو تجريد رياضي يُعرف باسم دالة أخذ العينات النبضية .

معادلة فرقية خطية ذات معامل ثابت

معادلة الفرق الخطي ذو المعامل الثابت (LCCD) هي تمثيل لنظام خطي يعتمد على معادلة المتوسط ​​المتحرك الانحداري الذاتي :

∑ص=0شمالy[ن-ص]αص=∑q=0مx[ن-q]βq.{\displaystyle \sum _{p=0}^{N}y[n-p]\alpha _{p}=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}.}

يمكن قسمة طرفي المعادلة أعلاه علىα0{\displaystyle \alpha _{0}}إذا لم تكن صفرًا. عن طريق التطبيع باستخدامα0=1{\displaystyle \alpha _{0}=1}، يمكن كتابة معادلة LCCD

y[ن]=∑q=0مx[ن-q]βq-∑ص=1شمالy[ن-ص]αص.{\displaystyle y[n]=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}-\sum _{p=1}^{N}y[n-p]\alpha _{p}.}

يُعد هذا الشكل من معادلة LCCD مناسبًا لجعل خرج "التيار" أكثر وضوحًاy[ن]{\displaystyle y[n]}هي دالة للمخرجات السابقةy[ن-ص]{\displaystyle y[n-p]}المدخلات الحالية​x[ن]{\displaystyle x[n]}، والمدخلات السابقةx[ن-q]{\displaystyle x[n-q]}⁠ .

دالة التحويل

وبأخذ التحويل Z للمعادلة أعلاه (باستخدام قوانين الخطية وإزاحة الزمن) ينتج ما يلي:

Y(z)∑ص=0شمالz-صαص=X(z)∑q=0مz-qβq{\displaystyle Y(z)\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}=X(z)\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}

أينX(z){\displaystyle X(z)}وY(z){\displaystyle Y(z)}هي تحويل Z لـx[ن]{\displaystyle x[n]}و​y[ن]{\displaystyle y[n]}على التوالي. (عادةً ما تستخدم اصطلاحات الترميز الأحرف الكبيرة للإشارة إلى تحويل Z لإشارة يرمز إليها بحرف صغير مطابق، على غرار الاصطلاح المستخدم لترميز تحويلات لابلاس.)

تؤدي إعادة الترتيب إلى دالة نقل النظام :

ح(z)=Y(z)X(z)=∑q=0مz-qβq∑ص=0شمالz-صαص=β0+z-1β1+z-2β2+⋯+z-مβمα0+z-1α1+z-2α2+⋯+z-شمالαشمال.{\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}{\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}}}={\frac {\beta _{0}+z^{-1}\beta _{1}+z^{-2}\beta _{2}+\cdots +z^{-M}\beta _{M}}{\alpha _{0}+z^{-1}\alpha _{1}+z^{-2}\alpha _{2}+\cdots +z^{-N}\alpha _{N}}}.}

الأصفار والأقطاب

من النظرية الأساسية للجبر ، يكون البسطم{\displaystyle M}الجذور (المقابلة لأصفارح{\displaystyle H}) والمقام يحتوي علىشمال{\displaystyle N}الجذور (المقابلة للأقطاب). إعادة كتابة دالة التحويل بدلالة الأصفار والأقطاب.

ح(z)=(1-q1z-1)(1-q2z-1)⋯(1-qمz-1)(1-ص1z-1)(1-ص2z-1)⋯(1-صشمالz-1)،{\displaystyle H(z)={\frac {(1-q_{1}z^{-1})(1-q_{2}z^{-1})\cdots (1-q_{M}z^{-1})}{(1-p_{1}z^{-1})(1-p_{2}z^{-1})\cdots (1-p_{N}z^{-1})}},}

أينqك{\displaystyle q_{k}}هوك{\displaystyle k}الصفر وصك{\displaystyle p_{k}}هوك{\displaystyle k}القطب رقم 1. عادةً ما تكون الأصفار والأقطاب أعدادًا مركبة، وعند رسمها على المستوى المركب (المستوى z) يُطلق عليها اسم مخطط الأقطاب والأصفار .

بالإضافة إلى ذلك، قد توجد أيضًا أصفار وأقطاب عندz=0{\displaystyle z=0}و​z=∞{\displaystyle z=\infty }. إذا أخذنا هذه الأقطاب والأصفار بالإضافة إلى الأصفار والأقطاب متعددة الرتب في الاعتبار، فإن عدد الأصفار والأقطاب يكون متساوياً دائماً.

بتحليل المقام إلى عوامله الأولية، يمكن استخدام تحليل الكسور الجزئية ، والذي يمكن تحويله بعد ذلك إلى المجال الزمني . وينتج عن ذلك استجابة النبضة ومعادلة الفرق الخطية ذات المعاملات الثابتة للنظام.

استجابة الإخراج

إذا كان مثل هذا النظامح(z){\displaystyle H(z)}يتم تشغيله بواسطة إشارةX(z){\displaystyle X(z)}ثم يكون الناتج ⁠Y(z)=ح(z)X(z){\displaystyle Y(z)=H(z)X(z)}. من خلال إجراء تحليل الكسور الجزئية علىY(z){\displaystyle Y(z)}ثم إجراء التحويل العكسي Z على الناتجy[ن]{\displaystyle y[n]}يمكن العثور عليها. عمليًا، غالبًا ما يكون من المفيد التفكيك الجزئيY(z)z{\displaystyle \textstyle {\frac {Y(z)}{z}}}قبل ضرب تلك الكمية فيz{\displaystyle z}لإنشاء شكل من أشكالY(z){\displaystyle Y(z)}والتي تحتوي على حدود ذات تحويلات Z عكسية سهلة الحساب.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ ماندال، جيوتسنا كومار (2020). " الترميز العكسي القائم على تحويل Z ". إخفاء المعلومات العكسي والتحقق من الهوية عبر ترميز التحويل . دراسات في الذكاء الحسابي. المجلد  901. سنغافورة: سبرينغر سنغافورة. الصفحات 157-195 . doi : 10.1007/978-981-15-4397-5_7 . ISBN  978-981-15-4396-8ISSN 1860-949X . S2CID 226413693. Z متغير مركب. يحوّل تحويل Z إشارة المجال المكاني المنفصلة إلى تمثيل في مجال التردد المركب. يُشتق تحويل Z من تحويل لابلاس .  
  2. ↑ لين، بول أ. (1986). "تحويل لابلاس وتحويل z ". الإشارات والأنظمة الإلكترونية . لندن: ماكميلان للتعليم في المملكة المتحدة. ص 225-272 . doi : 10.1007/978-1-349-18461-3_6 . ISBN  978-0-333-39164-8يُعدّ كلٌّ من تحويل لابلاس وتحويل z مرتبطين ارتباطًا وثيقًا بتحويل فورييه. ويُعتبر تحويل z مناسبًا بشكل خاص للتعامل مع الإشارات والأنظمة المتقطعة، إذ يوفر ترميزًا أكثر إيجازًا وسهولة من تحويل فورييه ذي الزمن المتقطع.
  3. ↑ جوري، إلياهو إبراهيم (1964). نظرية وتطبيق طريقة التحويل z . نيويورك: جون وايلي وأولاده. ص. XIII، 330. 
  4. ↑ بالاني، س. (26-08-2021). " تحليل تحويل z لإشارات وأنظمة الزمن المتقطع". الإشارات والأنظمة . تشام: دار نشر سبرينغر الدولية. ص 921-1055 . doi : 10.1007/978-3-030-75742-7_9 . ISBN  978-3-030-75741-0S2CID 238692483. تحويل z هو النظير المتقطع لتحويل لابلاس. يحوّل تحويل z معادلات الفرق لأنظمة الزمن المتقطع إلى معادلات جبرية، مما يبسط تحليل أنظمة الزمن المتقطع. يتشابه تحويل لابلاس وتحويل z ، إلا أن تحويل لابلاس يتعامل مع الإشارات والأنظمة الزمنية المستمرة. 
  5. ^ إيه آر كاناسيويتش (1981). تحليل التسلسل الزمني في الجيوفيزياء . جامعة ألبرتا. ص 186، 249. ردمك  978-0-88864-074-1.
  6. ↑ إي آر كاناسويتش (1981). تحليل التسلسل الزمني في الجيوفيزياء ( الطبعة الثالثة). جامعة ألبرتا. الصفحات 185-186 . ISBN   978-0-88864-074-1.
  7. ↑ راغازيني، جيه آر؛ زاده، إل إيه (1952). "تحليل أنظمة البيانات المأخوذة عينات منها". معاملات المعهد الأمريكي للمهندسين الكهربائيين، الجزء الثاني: التطبيقات والصناعة . 71 (5): 225-234 . doi : 10.1109/TAI.1952.6371274 . S2CID 51674188 . 
  8. ↑ كورنيليوس ت. ليوندس (1996). تنفيذ أنظمة التحكم الرقمية والتقنيات الحسابية . دار النشر الأكاديمية. ص 123. ISBN  978-0-12-012779-5.
  9. ↑ إلياهو إبراهيم جوري (1958). أنظمة التحكم بالبيانات المأخوذة عينات منها . جون وايلي وأولاده.
  10. ↑ إلياهو إبراهيم جوري (1973). نظرية وتطبيق طريقة التحويل Z. دار نشر كريجر. ISBN 0-88275-122-0.
  11. ↑ إلياهو إبراهيم جوري (1964). نظرية وتطبيق طريقة التحويل Z. جون وايلي وأولاده. ص 1. 
  12. ↑ جاكسون، ليلاند ب. (1996). "تحويل z". المرشحات الرقمية ومعالجة الإشارات . بوسطن، ماساتشوستس: سبرينغر الولايات المتحدة. ص 29-54 . doi : 10.1007/978-1-4757-2458-5_3 . ISBN  978-1-4419-5153-3يُشبه تحويل z في الأنظمة الزمنية المتقطعة ما يُشبه تحويل لابلاس في الأنظمة الزمنية المستمرة. z متغير مُركب. يُشار إلى هذا أحيانًا بتحويل z ثنائي الجانب، بينما يكون تحويل z أحادي الجانب مُماثلًا له باستثناء عملية الجمع من n = 0 إلى ما لا نهاية. يُستخدم تحويل z أحادي الجانب بشكل أساسي في المتتابعات السببية، وفي هذه الحالة يكون التحويلان متطابقين. لذلك، لن نُفرّق بينهما وسنُشير إلى z ببساطة على أنه تحويل z لـ x ( n ).
  13. ↑ بروكيس، جون؛ مانولاكيس، ديميتريس. مبادئ معالجة الإشارات الرقمية، والخوارزميات، والتطبيقات (الطبعة الثالثة ). برنتيس هول إنترناشونال، إنك. 
  14. ^ بولتسيرن، باولو. سكاتوليني، ريكاردو؛ سكيافوني، نيكولا (2015). Fondamenti di Controlli Automatici (باللغة الإيطالية). تعليم إم سي جراو هيل. رقم ISBN 978-88-386-6882-1.
  15. 1 2 3 أ. ر. فوروزان (2016). "منطقة تقارب مشتقة تحويل Z". رسائل الإلكترونيات . 52 (8): 617-619 . Bibcode : 2016ElL....52..617F . doi : 10.1049/el.2016.0189 . S2CID 124802942 . 

للمزيد من القراءة

  • رفعت العطار، ملاحظات محاضرة حول تحويل Z ، دار لولو للنشر، موريسفيل، كارولاينا الشمالية، 2005. ISBN 1-4116-1979-X.
  • أوغاتا، كاتسوهيكو، أنظمة التحكم الزمني المنفصل، الطبعة الثانية ، برنتيس هول، 1995، 1987. ISBN 0-13-034281-5.
  • آلان ف. أوبنهايم ورونالد و. شيفر (1999). معالجة الإشارات الزمنية المنفصلة، ​​الطبعة الثانية، سلسلة برنتيس هول لمعالجة الإشارات. ISBN 0-13-754920-2.