ضغط النبض

النموذج الأمثل لأبسط أنواع الإشارات، وأولها تاريخيًا، التي يمكن أن يرسلها رادار أو سونار نبضي ، هو نبضة جيبية مقطوعة (تسمى أيضًا نبضة الموجة الحاملة ) ، ذات سعة${\displaystyle A}$وتردد الموجة الحاملة ،${\displaystyle f_{0}}$، مقطوعة بدالة مستطيلة ذات عرض،${\displaystyle T}$يتم إرسال النبضة بشكل دوري، لكن هذا ليس الموضوع الرئيسي لهذه المقالة؛ سنقتصر على دراسة نبضة واحدة فقط.${\displaystyle s}$إذا افترضنا أن النبضة تبدأ في وقت${\displaystyle t=0}$يمكن كتابة الإشارة بالطريقة التالية، باستخدام الترميز المركب :

${\displaystyle s(t)={\begin{cases}e^{2i\pi f_{0}t}&{\text{if}}\;0\leq t<T\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

لنحدد دقة المدى التي يمكن الحصول عليها باستخدام هذه الإشارة. إشارة العودة، المكتوبة${\displaystyle r(t)}$هي نسخة مخففة ومتأخرة زمنيًا من الإشارة الأصلية المرسلة (في الواقع، قد يلعب تأثير دوبلر دورًا أيضًا، لكن هذا ليس مهمًا هنا). يوجد أيضًا تشويش في الإشارة الواردة، سواء على القناة التخيلية أو الحقيقية. يُفترض أن يكون التشويش محدود النطاق، أي أن تردداته تقتصر على نطاق ترددي محدد.${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$(ينطبق هذا عمومًا في الواقع، حيث يُستخدم مرشح تمرير النطاق عادةً كإحدى المراحل الأولى في سلسلة الاستقبال)؛ نكتب${\displaystyle N(t)}$للدلالة على ذلك التشويش. وللكشف عن الإشارة الواردة، يُستخدم عادةً مرشح مُطابق . تُعد هذه الطريقة مثالية عند الرغبة في الكشف عن إشارة معروفة وسط تشويش إضافي ذي توزيع طبيعي .

بمعنى آخر، يتم حساب الارتباط التبادلي بين الإشارة المستقبلة والإشارة المرسلة. ويتحقق ذلك من خلال دمج الإشارة الواردة مع نسخة مترافقة ومعكوسة زمنيًا من الإشارة المرسلة. يمكن تنفيذ هذه العملية إما برمجيًا أو باستخدام مكونات مادية. نكتب${\displaystyle \langle s,r\rangle (t)}$لهذا الارتباط المتبادل. لدينا:

${\displaystyle \langle s,r\rangle (t)=\int _{t'\,=\,0}^{+\infty }s^{\star }(t')r(t+t')dt'}$

إذا عادت الإشارة المنعكسة إلى جهاز الاستقبال في وقت${\displaystyle t_{r}}$ويضعف بعامل${\displaystyle A}$وهذا ينتج عنه:

${\displaystyle r(t)=\left\{{\begin{array}{ll}Ae^{2i\pi f_{0}(t\,-\,t_{r})}+N(t)&{\mbox{if}}\;t_{r}\leq t<t_{r}+T\\N(t)&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\right.}$

بما أننا نعرف الإشارة المرسلة، فإننا نحصل على:

${\displaystyle \langle s,r\rangle (t)=A\Lambda \left({\frac {t-t_{r}}{T}}\right)e^{2i\pi f_{0}(t\,-\,t_{r})}+N'(t)}$

أين${\displaystyle N'(t)}$، هي نتيجة الترابط المتبادل بين الضوضاء والإشارة المرسلة. دالة${\displaystyle \Lambda }$هي دالة المثلث، وقيمتها تساوي صفرًا على${\textstyle [-\infty ,-{\frac {1}{2}}]\cup [{\frac {1}{2}},+\infty ]}$، ويزداد خطيًا على${\textstyle [-{\frac {1}{2}},0]}$حيث تصل إلى قيمتها القصوى 1، ثم تتناقص خطيًا على${\textstyle [0,{\frac {1}{2}}]}$حتى يصل إلى الصفر مرة أخرى. تُظهر الأشكال في نهاية هذه الفقرة شكل الارتباط المتبادل لإشارة عينة (باللون الأحمر)، وهي في هذه الحالة دالة جيبية حقيقية مقطوعة، مدتها${\displaystyle T=1}$ثوانٍ، ذات سعة وتردد وحدة واحدة${\textstyle f_{0}=10}$هرتز. يعود صدىان (باللون الأزرق) بتأخير زمني قدره 3 و5 ثوانٍ، وبسعة تساوي 0.5 و0.3 ضعف سعة النبضة المرسلة على التوالي؛ وهذه مجرد قيم عشوائية لأغراض المثال. ولأن الإشارة حقيقية، فإن الارتباط المتبادل يُوزن بمعامل إضافي قدره 1/2 .

إذا عاد نبضان في نفس الوقت تقريبًا، فإن الارتباط بينهما يساوي مجموع الارتباطات بين الإشارتين الأساسيتين. ولتمييز غلاف "مثلثي" عن غلاف النبضة الأخرى، من الواضح أن وقت وصول النبضتين يجب أن يفصل بينهما على الأقل${\displaystyle T}$بحيث يمكن فصل القيم القصوى للنبضتين. إذا لم يتحقق هذا الشرط، فسيختلط المثلثان معًا ويستحيل فصلهما.

بما أن المسافة التي تقطعها الموجة خلال${\displaystyle T}$يكون${\displaystyle cT}$(حيث c هي سرعة الموجة في الوسط)، وبما أن هذه المسافة تتوافق مع زمن الذهاب والإياب، فإننا نحصل على:

النتيجة 1
دقة تحديد المدى باستخدام نبضة جيبية هي${\textstyle {\frac {1}{2}}cT}$أين${\displaystyle T}$مدة النبض و،${\displaystyle c}$سرعة الموجة. الخلاصة: لزيادة الدقة، يجب تقليل طول النبضة.

مثال (نبضة بسيطة): الإشارة المرسلة باللون الأحمر (الحامل 10 هرتز، السعة 1، المدة 1 ثانية) وصديان (باللون الأزرق).

قبل التصفية المطابقة	بعد التصفية المتطابقة

القدرة اللحظية للنبضة المستلمة هي${\displaystyle P(t)=|r|^{2}(t)}$الطاقة التي تُضخ في تلك الإشارة هي:

${\displaystyle E=\int _{0}^{T}P(t)dt=A^{2}T}$

لو${\displaystyle \sigma }$إذا كان الانحراف المعياري للضوضاء التي يُفترض أن لها نفس عرض النطاق الترددي للإشارة، فإن نسبة الإشارة إلى الضوضاء (SNR) عند جهاز الاستقبال هي:

${\displaystyle SNR={\frac {E_{r}}{\sigma ^{2}}}={\frac {A^{2}T}{\sigma ^{2}}}}$

نسبة الإشارة إلى الضوضاء تتناسب طرديًا مع مدة النبضة${\displaystyle T}$، إذا بقيت المعايير الأخرى ثابتة. وهذا يُدخل مقايضة: زيادة${\displaystyle T}$يحسن نسبة الإشارة إلى الضوضاء، لكنه يقلل من الدقة، والعكس صحيح.

للحصول على نبضة كبيرة بما يكفي، مع الحفاظ على نسبة إشارة إلى ضوضاء جيدة عند جهاز الاستقبال، دون فقدان الدقة، يمكن استخدام ضغط النبضة. ويتلخص المبدأ الأساسي فيما يلي:

• يتم إرسال إشارة، بطول كافٍ بحيث تكون ميزانية الطاقة صحيحة
• تم تصميم هذه الإشارة بحيث يكون عرض الإشارات المترابطة بعد التصفية المتطابقة أصغر من العرض الذي تم الحصول عليه بواسطة النبضة الجيبية القياسية، كما هو موضح أعلاه (ومن هنا جاء اسم التقنية: ضغط النبضة).

في تطبيقات الرادار أو السونار ، تُعد الإشارات الخطية ذات التردد المتغير ( chirps) أكثر الإشارات استخدامًا لتحقيق ضغط النبضات. ولأن النبضة ذات طول محدود، فإن سعتها دالة مستطيلة . إذا كانت الإشارة المرسلة ذات مدة زمنية${\displaystyle T}$يبدأ عند${\displaystyle t=0}$ويقوم بمسح نطاق التردد بشكل خطي${\displaystyle \Delta f}$يركز على الناقل${\displaystyle f_{0}}$ويمكن كتابتها على النحو التالي:

${\displaystyle s_{c}(t)=\left\{{\begin{array}{ll}e^{i2\pi \left(\left(f_{0}\,-\,{\frac {\Delta f}{2}}\right)t\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t^{2}\,\right)}&{\mbox{if}}\;0\leq t<T\\0&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\right.}$

يعني تعريف التردد المتغير أعلاه أن طور الإشارة المتغيرة (أي وسيط الدالة الأسية المركبة) هو الدرجة الثانية:

${\displaystyle \phi (t)=2\pi \left(\left(f_{0}\,-\,{\frac {\Delta f}{2}}\right)t\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t^{2}\,\right)}$

وبالتالي فإن التردد اللحظي هو (بحسب التعريف):

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\left[{\frac {d\phi }{dt}}\right]_{t}=f_{0}-{\frac {\Delta f}{2}}+{\frac {\Delta f}{T}}t}$

وهو المنحدر الخطي المقصود الذي ينتقل من${\displaystyle f_{0}-{\frac {\Delta f}{2}}}$في${\displaystyle t=0}$ل${\textstyle f_{0}+{\frac {\Delta f}{2}}}$في${\displaystyle t=T}$.

غالباً ما تُستخدم علاقة الطور بالتردد في الاتجاه المعاكس، بدءاً من التردد المطلوب.${\displaystyle f(t)}$وكتابة طور الزقزقة عبر تكامل التردد:

${\displaystyle \phi (t)=2\pi \int _{0}^{t}f(u)\,du}$

تنعكس هذه الإشارة المرسلة عادةً من الهدف وتتعرض للتوهين لأسباب مختلفة، لذا فإن الإشارة المستقبلة هي نسخة متأخرة زمنيًا وموهنة من الإشارة المرسلة بالإضافة إلى ضوضاء مضافة ذات كثافة طيفية ثابتة .${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$وصفر في كل مكان آخر:

${\displaystyle r(t)=\left\{{\begin{array}{ll}Ae^{i2\pi \left(\left(f_{0}\,-\,{\frac {\Delta f}{2}}\right)(t-t_{r})\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}(t-t_{r})^{2}\,\right)}+N(t)&{\mbox{if}}\;t_{r}\leq t<t_{r}+T\\N(t)&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\right.}$

لحساب معامل الارتباط بين الإشارة المستقبلة والإشارات المرسلة، يجب اتخاذ إجراءين:

- الإجراء الأول هو تبسيط العملية. فبدلاً من حساب الارتباط المتبادل، يمكن حساب الارتباط الذاتي، بافتراض أن ذروة الارتباط الذاتي تتمركز عند الصفر. ولن يؤثر هذا على الدقة أو السعات.

${\displaystyle r'(t)={\begin{cases}Ae^{2i\pi \left(f_{0}\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t\right)t}+N(t)&{\mbox{if}}\;-{\frac {T}{2}}\leq t<{\frac {T}{2}}\\N(t)&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

- الإجراء الثاني، كما هو موضح أدناه، هو تحديد سعة إشارة مرجعية ليست واحدًا، ولكن${\displaystyle \rho \neq 1}$. ثابت${\displaystyle \rho }$يجب تحديد ذلك بحيث يتم الحفاظ على الطاقة من خلال الترابط.

${\displaystyle s_{c}'(t)={\begin{cases}\rho e^{2i\pi \left(f_{0}\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t\right)t}&{\mbox{if}}\;-{\frac {T}{2}}\leq t<{\frac {T}{2}}\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

الآن، يمكن إثبات ^{[ 2 ]} أن دالة الارتباط لـ${\displaystyle s_{c}'}$مع${\displaystyle r'}$يكون:

${\displaystyle \langle s_{c}',r'\rangle (t)=\rho A{\sqrt {T}}\Lambda \left({\frac {t}{T}}\right)\mathrm {sinc} \left[\Delta ft\Lambda \left({\frac {t}{T}}\right)\right]e^{2i\pi f_{0}t}+N'(t)}$

أين${\displaystyle N'(t)}$هي العلاقة بين الإشارة المرجعية والضوضاء المستلمة.

عرض الإشارة بعد الارتباط

بافتراض انعدام الضوضاء، فإن القيمة القصوى لدالة الارتباط الذاتي لـ${\displaystyle s_{c'}}$تُبلغ هذه الدالة قيمتها عند الصفر. حول الصفر، تتصرف هذه الدالة كدالة sinc (أو دالة الجيب الأصلية)، المعرفة هنا على النحو التالي:${\displaystyle sinc(x)=sin(\pi x)/(\pi x)}$يبلغ عرض النطاق الزمني -3  ديسيبل لتلك الموجة الجيبية الأساسية ما يقارب${\textstyle T'={\frac {1}{\Delta f}}}$كل شيء يحدث كما لو أننا، بعد عملية الترشيح المتطابق، حصلنا على الدقة التي كان من الممكن الوصول إليها بنبضة بسيطة مدتها${\displaystyle T'}$بالنسبة للقيم الشائعة لـ${\displaystyle \Delta f}$،${\displaystyle T'}$أصغر من${\displaystyle T}$ومن هنا جاء اسم ضغط النبض .

بما أن الإشارة الجيبية الأساسية قد تحتوي على فصوص جانبية تُسبب مشاكل ، فإنّ من الممارسات الشائعة ترشيح الناتج باستخدام نافذة ( مثل نافذة هامينغ أو هان ). عمليًا، يُمكن القيام بذلك بالتزامن مع الترشيح المُعدّل بضرب إشارة التردد المرجعي في المرشح. ستكون النتيجة إشارة ذات سعة قصوى أقل قليلًا، ولكن سيتم التخلص من الفصوص الجانبية.

النتيجة 2
دقة المسافة التي يمكن الوصول إليها من خلال تعديل التردد الخطي للنبضة على نطاق ترددي${\displaystyle \Delta f}$يكون:${\textstyle {\frac {c}{2\Delta f}}}$أين${\displaystyle c}$هي سرعة الموجة.

 

تعريف
نسبة${\textstyle {\frac {T}{T'}}=T\Delta f}$نسبة ضغط النبض. وهي عادةً أكبر من 1 (عادةً ما تكون قيمتها من 20 إلى 30).

 

مثال (نبضة متذبذبة): الإشارة المرسلة باللون الأحمر (الحامل 10 هرتز، التعديل على 16 هرتز، السعة 1، المدة 1 ثانية) وصديين (باللون الأزرق).

لا تتغير طاقة الإشارة أثناء ضغط النبضة. ومع ذلك، فهي تقع الآن في الفص الرئيسي للموجة الجيبية الأساسية، والتي يبلغ عرضها تقريبًا${\textstyle T'\approx {\frac {1}{\Delta f}}}$. لو${\displaystyle P}$هي قوة الإشارة قبل الضغط، و${\displaystyle P'}$قوة الإشارة بعد الضغط، الطاقة${\displaystyle E}$يتم الحفاظ عليه:

${\displaystyle E=P\times T=P'\times T'}$

مما يؤدي إلى زيادة في الطاقة بعد ضغط النبضة:

${\displaystyle P'=P\times {\frac {T}{T'}}}$

في المجال الطيفي، يتميز طيف القدرة للتردد المتغير بكثافة طيفية ثابتة تقريبًا${\displaystyle D=P/\Delta f}$في الفترة${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$وصفر في أي مكان آخر، بحيث يمكن التعبير عن الطاقة بشكل مكافئ على النحو التالي:${\displaystyle E=P\times T=D.\Delta f.T}$. تبقى هذه الكثافة الطيفية كما هي بعد عملية الترشيح المتطابق.

تخيل الآن نبضة جيبية مكافئة (موجة مستمرة) مدتها${\displaystyle T'=1/\Delta f}$وبنفس قدرة الإدخال، فإن هذه النبضة الجيبية المكافئة لها طاقة:

${\displaystyle E'=P\times T'=E{\frac {T'}{T}}}$

بعد تطبيق الترشيح المطابق، تتحول النبضة الجيبية المكافئة إلى إشارة مثلثة الشكل بعرض ضعف عرضها الأصلي، ولكن بنفس قدرة الذروة. الطاقة محفوظة. يتم تقريب المجال الطيفي بكثافة طيفية ثابتة تقريبًا.${\displaystyle D'}$في الفترة${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$أين${\displaystyle \Delta f\approx 1/T'}$من خلال الحفاظ على الطاقة ، لدينا:

${\displaystyle E'=E{\frac {T'}{T}}=D\Delta fT{\frac {T'}{T}}=D\Delta fT'}$

لأن بحسب التعريف:${\displaystyle E'=D'\Delta fT'}$ويترتب على ذلك ما يلي:${\displaystyle D'=D}$وهذا يعني أن الكثافة الطيفية للنبضة المتغيرة التردد، والنبضة المستمرة المكافئة لها، متطابقة تقريبًا، وتعادل كثافة مرشح تمرير النطاق على${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$يؤثر تأثير الترشيح الناتج عن الارتباط أيضًا على الضوضاء، مما يعني أن النطاق المرجعي للضوضاء هو${\displaystyle \Delta f}$ومنذ ذلك الحين${\displaystyle D=D'}$يتم الحصول على نفس تأثير الترشيح على الضوضاء في كلتا الحالتين بعد الارتباط. وهذا يعني أن التأثير الصافي لضغط النبضة هو أنه بالمقارنة مع نبضة الموجة المستمرة المكافئة، تتحسن نسبة الإشارة إلى الضوضاء (SNR) بمعامل${\displaystyle T/T'}$لأن الإشارة يتم تضخيمها ولكن الضوضاء لا يتم تضخيمها.

ونتيجة لذلك:  

النتيجة 3
بعد ضغط النبضة، يمكن اعتبار نسبة الإشارة إلى الضوضاء مُضخّمة بواسطة${\displaystyle T\Delta f}$بالمقارنة مع الوضع الأساسي لنبضة موجة مستمرة مدتها${\displaystyle T'=1/\Delta f}$ونفس سعة الإشارة المعدلة بتردد نبضي قبل الضغط، حيث خضعت الإشارة المستقبلة والضوضاء (ضمنياً) لترشيح تمرير النطاق على${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$ويمكن إدخال هذه الزيادة الإضافية في معادلة الرادار .

مثال: نفس الإشارات المذكورة أعلاه، بالإضافة إلى دالة غاوسية بيضاء مضافة خضعت لترشيح تمرير النطاق (الانحراف المعياري للجزء الحقيقي: 0.125 بعد الترشيح). بعد الارتباط، تبقى قدرة الضوضاء دون تغيير. أما الإشارة نفسها فتُضخّم بمعامل أربعة (أو 16 للقدرة، كما تنبأت به النظرية).

لأسباب تقنية ، لا يتم بالضرورة إجراء عملية الربط لنبضات الموجة المستمرة المستلمة فعليًا كما هو الحال بالنسبة للنبضات المُعدَّلة التردد. ومع ذلك، أثناء إزاحة النطاق الأساسي ، تخضع الإشارة لترشيح تمرير النطاق .${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$والذي له نفس التأثير الصافي على الضوضاء مثل الارتباط، لذلك يبقى المنطق العام كما هو (أي أن نسبة الإشارة إلى الضوضاء لا معنى لها إلا بالنسبة للضوضاء المحددة على نطاق ترددي معين، وهو هنا نطاق الإشارة).

يبدو هذا التحسن في نسبة الإشارة إلى الضوضاء سحريًا، ولكن تذكر أن كثافة القدرة الطيفية لا تمثل طور الإشارة. في الواقع، تختلف الأطوار بين نبضة الموجة المستمرة المكافئة، ونبضة الموجة المستمرة بعد الارتباط، والنبضة الأصلية ذات التردد المتغير، والنبضة ذات التردد المتغير المرتبطة، مما يفسر الأشكال المختلفة للإشارات (وخاصة اختلاف أطوالها) على الرغم من امتلاكها (تقريبًا) نفس طيف القدرة في جميع الحالات. إذا كانت ذروة قدرة الإرسال${\displaystyle P}$وعرض النطاق الترددي${\displaystyle \Delta f}$في ظل القيود المفروضة، يحقق ضغط النبضة قدرة ذروة أفضل (مع الحفاظ على نفس الدقة) عن طريق إرسال نبضة أطول (أي طاقة أكبر)، مقارنةً بنبضة CW مكافئة لها نفس قدرة الذروة.${\displaystyle P}$وعرض النطاق الترددي${\displaystyle \Delta f}$وضغط النبضة عن طريق الارتباط. لا يُجدي هذا الأسلوب نفعًا إلا مع عدد محدود من أنواع الإشارات التي، بعد الارتباط، يكون لها ذروة أضيق من الإشارة الأصلية، وفصوص جانبية منخفضة.

في حين أن ضغط النبضات يمكن أن يضمن نسبة إشارة إلى ضوضاء جيدة ودقة نطاق عالية في نفس الوقت، إلا أن معالجة الإشارات الرقمية في مثل هذا النظام قد يكون من الصعب تنفيذها بسبب عرض النطاق الترددي اللحظي العالي للموجة (${\displaystyle \Delta f}$(قد تصل إلى مئات الميغاهرتز أو حتى تتجاوز 1  غيغاهرتز). معالجة التمديد هي تقنية للترشيح المطابق لموجة التردد المتغيرة واسعة النطاق، وهي مناسبة للتطبيقات التي تتطلب دقة نطاق عالية جدًا على فترات زمنية قصيرة نسبيًا. ^{[ 3 ]}

تُظهر الصورة أعلاه سيناريو تحليل معالجة التمدد. تقع نقطة المرجع المركزية (CRP) في منتصف نطاق النافذة محل الاهتمام عند نطاق${\displaystyle R_{0}}$، وهو ما يتوافق مع تأخير زمني قدره ${\displaystyle t_{0}}$.

إذا كان شكل الموجة المرسلة هو شكل موجة التشيرب:

${\displaystyle x(t)=\exp \left(j\pi {\frac {\Delta f}{T}}(t)^{2}\right)\exp(j2\pi f_{0}(t)),0\leq t\leq T}$

ثم صدى الهدف على مسافة${\displaystyle R_{b}}$يمكن التعبير عنها على النحو التالي:

${\displaystyle {\bar {x}}(t)=\rho \exp \left(j\pi {\frac {\Delta f}{T}}(t-t_{b})^{2}\right)\exp(j2\pi f_{0}(t-t_{b})),0\leq t-t_{b}\leq T}$

أين${\displaystyle \rho }$يتناسب مع انعكاسية الجسم المشتت. ثم نضرب الصدى في${\textstyle \exp(-j2\pi f_{0}t)\exp \left(-j\pi {\frac {\Delta f}{T}}(t-t_{0})^{2}\right)}$وسيصبح الصدى:

${\displaystyle y(t)=\rho \exp \left(-j{\frac {4\pi R_{b}}{\lambda }}\right)\exp \left(-j2\pi {\frac {\Delta f}{T}}\delta t_{b}(t-t_{0})\right)\exp \left(j\pi {\frac {\Delta f}{T}}(\delta t_{b})^{2}\right),t_{0}\leq t-\delta t_{b}\leq t_{0}+T}$

أين${\displaystyle \lambda }$هو الطول الموجي للموجة الكهرومغناطيسية في الهواء.

بعد إجراء عملية أخذ العينات وتحويل فورييه المنفصل على y(t) تردد الموجة الجيبية${\displaystyle F_{b}}$يمكن حلها:

${\displaystyle F_{b}=-\delta t_{b}{\frac {\Delta f}{T}}(Hz)}$

والمدى التفاضلي${\displaystyle \delta R_{b}}$يمكن الحصول على:

${\displaystyle \delta R_{b}=-{\frac {cTF_{b}}{2\Delta f}}}$

لإثبات أن عرض نطاق y(t) أقل من عرض نطاق الإشارة الأصلية${\displaystyle \Delta f}$نفترض أن نطاق النافذة هو${\displaystyle R_{w}={\frac {cT_{w}}{2}}}$طويل. إذا كان الهدف عند الحد الأدنى لنافذة المدى، فسيصل الصدى${\displaystyle t_{0}-T_{w}/2}$بعد ثوانٍ من الإرسال؛ وبالمثل، إذا كان الهدف عند الحد الأعلى لنافذة النطاق، فسيصل الصدى${\displaystyle t_{0}+T_{w}/2}$بعد ثوانٍ من الإرسال. وقت وصول الترس التفاضلي${\displaystyle \delta t_{b}}$لكل حالة هو${\displaystyle -T_{w}/2}$و${\displaystyle T_{w}/2}$، على التوالى.

يمكننا بعد ذلك الحصول على عرض النطاق الترددي من خلال مراعاة الفرق في تردد الموجة الجيبية للأهداف عند الحد الأدنى والحد الأعلى لنافذة المدى: $${\displaystyle \Delta f_{s}=F_{b,{\text{near}}}-F_{b,{\text{far}}}=-{\frac {\Delta f}{T}}(-T_{w}/2-T_{w}/2)={\frac {T_{w}}{T}}\Delta f}$$ ونتيجة لذلك:  

النتيجة 4
من خلال معالجة التمديد، يكون عرض النطاق الترددي عند مخرج جهاز الاستقبال أقل من عرض النطاق الترددي للإشارة الأصلية إذا${\displaystyle T_{w}<T}$مما يسهل تنفيذ نظام معالجة الإشارات الرقمية في نظام رادار ذي تعديل التردد الخطي.

  لإثبات أن معالجة التمديد تحافظ على دقة المدى، نحتاج إلى فهم أن y(t) هي في الواقع سلسلة نبضات ذات مدة نبضة T ودورة${\displaystyle T_{trans}}$وهو ما يساوي دورة سلسلة النبضات المرسلة. ونتيجة لذلك، فإن تحويل فورييه لـ y(t) هو في الواقع دالة sinc بدقة رايلي.${\textstyle {\frac {1}{T}}}$أي أن المعالج سيكون قادراً على تحديد الجسيمات المشتتة التي${\displaystyle F_{b}}$هم على الأقل${\displaystyle \Delta F_{b}=1/T}$منفصل.

بالتالي،

${\displaystyle {\frac {1}{T}}=\left\vert {\frac {\Delta f}{T}}\Delta (\delta t_{b})\right\vert \Rightarrow \left\vert \Delta (\delta t_{b})\right\vert ={\frac {1}{\Delta f}}}$

و،

${\displaystyle \Delta (\delta R_{b})={\frac {c\Delta (\delta t_{b})}{2}}={\frac {c}{2\Delta f}}}$

وهو نفس دقة شكل الموجة الأصلية لتعديل التردد الخطي.

على الرغم من أن معالجة التمديد يمكن أن تقلل من عرض نطاق إشارة النطاق الأساسي المستقبلة، إلا أنه لا يزال يتعين على جميع المكونات التناظرية في دوائر الواجهة الأمامية للترددات الراديوية أن تكون قادرة على دعم عرض نطاق فوري لـ${\displaystyle \Delta f}$بالإضافة إلى ذلك، يتغير الطول الموجي الفعال للموجة الكهرومغناطيسية أثناء مسح تردد إشارة التشيرب، وبالتالي سيتغير اتجاه النظر للهوائي حتماً في نظام المصفوفة الطورية .

تُعدّ الموجات ذات التردد المتدرج تقنية بديلة يمكنها الحفاظ على دقة النطاق العالية ونسبة الإشارة إلى الضوضاء للإشارة المستقبلة دون الحاجة إلى عرض نطاق ترددي لحظي كبير. على عكس الموجة المتغيرة التردد، التي تمسح خطيًا عبر عرض نطاق ترددي إجمالي يبلغ${\displaystyle \Delta f}$في نبضة واحدة، تستخدم الموجة ذات التردد المتدرج سلسلة من النبضات حيث يتم زيادة تردد كل نبضة بمقدار${\displaystyle \Delta F}$من النبضة السابقة. يمكن التعبير عن إشارة النطاق الأساسي على النحو التالي:

${\displaystyle x(t)=\sum _{m=0}^{M-1}x_{p}(t-mT)e^{j2\pi m\Delta F(t-mT)}}$

أين${\displaystyle x_{p}(t)}$هي نبضة مستطيلة طولها${\displaystyle \tau }$وM هو عدد النبضات في سلسلة نبضات واحدة. ويظل عرض النطاق الترددي الإجمالي للموجة مساوياً لـ${\displaystyle \Delta f=M\Delta F}$لكن يمكن إعادة ضبط المكونات التناظرية لدعم تردد النبضة التالية خلال الفترة الفاصلة بين النبضات. ونتيجة لذلك، يمكن تجنب المشكلة المذكورة أعلاه.

لحساب مسافة الهدف المقابلة للتأخير${\displaystyle t_{l}+\delta t}$، تتم معالجة النبضات الفردية من خلال مرشح النبضات المتطابقة البسيط:

${\displaystyle h_{p}(t)=x_{p}^{*}(-t)}$

ويكون ناتج المرشح المطابق كالتالي:

${\displaystyle y_{m}(t)=s_{p}^{*}(t-(t_{l}+\delta t)-mT)e^{j2\pi m\Delta F(t-(t_{l}+\delta t)-mT)}}$

أين

${\displaystyle s_{p}^{*}(t-(t_{l}+\delta t)-mT)=x_{p}(t-(t_{l}+\delta t)-mT)*h_{p}(t)}$

إذا قمنا بأخذ عينات${\displaystyle y_{m}(t)}$في${\displaystyle t=t_{l}+mT}$، يمكننا الحصول على:

${\displaystyle y[l,m]=s_{p}^{*}(\delta t)e^{j2\pi m\Delta F\delta t}}$

حيث يمثل l نطاق النطاق l. بإجراء تحويل فورييه المنفصل (حيث يمثل m الوقت هنا)، يمكننا الحصول على:

${\displaystyle Y[l,\omega ]=\sum _{m=0}^{M-1}y[l,m]e^{-j\omega m}=s_{p}^{*}(\delta t)\sum _{m=0}^{M-1}e^{j(\omega -2\pi \Delta F\delta t)m}}$

وتحدث ذروة المجموع عندما${\displaystyle \omega =2\pi \Delta F\delta t}$.

وبالتالي، فإن تحويل فورييه المنفصل الزمني لـ${\displaystyle y[l,m]}$يوفر مقياسًا لتأخير الهدف بالنسبة لتأخير نطاق المسافة${\displaystyle t_{l}}$: $${\displaystyle \delta t={\frac {\omega _{p}}{2\pi \Delta F}}={\frac {f_{p}}{\Delta F}}}$$ ويمكن الحصول على المدى التفاضلي:

${\displaystyle \delta R={\frac {cf_{p}}{2\Delta F}}}$

حيث c هي سرعة الضوء .

ولإثبات أن شكل الموجة ذي التردد المتدرج يحافظ على دقة المدى، تجدر الإشارة إلى أن${\displaystyle Y[l,\omega ]}$هي دالة شبيهة بدالة sinc، وبالتالي فإن لها دقة رايلي تبلغ${\displaystyle \Delta f_{p}=1/M}$. نتيجة ل:

${\displaystyle \Delta (\delta t)={\frac {1}{M\Delta F}}={\frac {1}{\Delta f}}}$

وبالتالي فإن دقة نطاق التفاضل هي  :

${\displaystyle \Delta (\delta R)={\frac {c}{2\Delta f}}}$

وهو نفس دقة شكل الموجة الأصلية ذات التضمين الترددي الخطي.