مجموعة (رياضيات)

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 3 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وفي إطار أساس الكون الواحد لنظرية الفئات ، [ 1 ] [ 2 ] يُطلق مصطلح "التكتل" على المجموعات العشوائية كمقابل للمجموعات المميزة التي تُمثل عناصر كون غروتينديك . [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]

تعريف

تقبل نظريات المجموعات البديهية الأكثر شيوعًا، وهي نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات (ZFC)، ونظرية فون نيومان-بيرنايز-غودل للمجموعات (NBG)، ونظرية مورس-كيلي للمجموعات (MK)، امتدادات غير محافظة تنشأ بعد إضافة بديهية تكميلية لوجود كون غروتينديك.يو{\displaystyle U}ومن الأمثلة على هذا التوسع نظرية مجموعة Tarski-Grothendieck ، حيث يتم افتراض وجود تسلسل هرمي لانهائي من أكوان Grothendieck.

تم ابتكار مفهوم التكتل للتعامل مع "مجموعات" من الفئات ، وهو أمر مرغوب فيه في نظرية الفئات بحيث يمكن اعتبار كل فئة عنصرًا من "مجموعة أكثر عمومية"، أي التكتل. من الناحية الفنية، يتم تنظيم ذلك من خلال تغييرات في المصطلحات: عندما يكون كون غروتينديكيو{\displaystyle U}إذا تمت إضافتها إلى نظرية المجموعة البديهية المختارة ( ZFC / NBG / MK ) فإنها تعتبر ملائمة [ 9 ] [ 10 ]

  • تطبيق مصطلح "مجموعة" فقط على عناصريو{\displaystyle U}،
  • تطبيق مصطلح "الفئة" فقط على مجموعات فرعية منيو{\displaystyle U}،
  • تطبيق مصطلح "مجموعة" على جميع المجموعات (ليس بالضرورة العناصر أو المجموعات الفرعية منيو{\displaystyle U}).

ونتيجة لذلك، في هذا المصطلح، كل مجموعة هي فئة، وكل فئة هي مجموعة متكاملة.

النتائج المترتبة

يصف هذا البناء رسميًا نموذجًا لنظرية المجموعات البديهية الأولية ( ZFC / NBG / MK ) في امتداد هذه النظرية (" عالم ZFC/NBG/MK+ Grothendieck ") معيو{\displaystyle U}كما هو الكون. [ 1 ] : 195 [ 2 ] : 23

إذا كانت نظرية المجموعات البديهية الأولية تقبل فكرة الفئة المناسبة (أي كائن لا يمكن أن يكون عنصرًا من أي كائن آخر، مثل الفئةSهـت{\displaystyle Set}إذا كان لدينا جميع المجموعات في NBG و MK)، فسيتم استبعاد هذه الكائنات (الفئات المناسبة) من الاعتبار في النظرية الجديدة ("عالم NBG/MK+Grothendieck"). ومع ذلك، (بغض النظر عن المشاكل المحتملة الناجمة عن البديهية التكميلية لوجوديو{\displaystyle U}لا يؤدي هذا، بمعنى ما، إلى فقدان معلومات حول كائنات النظرية القديمة (NBG أو MK)، لأن تمثيلها كنموذج في النظرية الجديدة ("عالم NBG/MK+Grothendieck") يعني أن ما يمكن إثباته في NBG/MK حول كائناتها المعتادة المسماة بالفئات (بما في ذلك الفئات الفعلية) يمكن إثباته أيضًا في "عالم NBG/MK+Grothendieck" حول فئاتها (أي حول مجموعات فرعية منيو{\displaystyle U}، بما في ذلك المجموعات الفرعية التي لا تُعد عناصر منيو{\displaystyle U}(وهي نظائر للفئات المناسبة من NBG/MK). في الوقت نفسه، فإن النظرية الجديدة لا تعادل النظرية الأولية، حيث يمكن إثبات بعض الافتراضات الإضافية حول الفئات في "عالم NBG/MK+Grothendieck" ولكن ليس في NBG/MK.

مصطلحات

يُطلق على تغيير المصطلحات أحيانًا اسم "اتفاقية التكتلات". [ 7 ] : 6. تتمثل الخطوة الأولى، التي قام بها ماك لين ، [ 1 ] : 195 [ 2 ] : 23 في تطبيق مصطلح "الفئة" فقط على مجموعات فرعية منيو.{\displaystyle U.}لا يُعيد ماك لين تعريف المصطلحات الموجودة في نظرية المجموعات؛ بل يعمل في نظرية مجموعات بدون فئات (ZFC، وليس NBG/MK)، ويُطلق على أعضاءيو{\displaystyle U}"المجموعات الصغيرة"، وينص على أن المجموعات الصغيرة والفئات تحقق بديهيات نظرية المجموعات الجديدة. وهو لا يحتاج إلى "التكتلات"، لأن المجموعات لا يشترط أن تكون صغيرة.

يظهر مصطلح "التكتل" في مراجعات السبعينيات والثمانينيات في مجلة "المراجعات الرياضية " [ 11 ] دون تعريف أو شرح أو مرجع، وأحيانًا في الأوراق البحثية. [ 12 ]

مع أن اصطلاح التكتلات ساري المفعول، إلا أنه يجب استخدامه حصراً لتجنب الالتباس؛ أي أنه لا ينبغي تسمية التكتلات بـ"المجموعات" بالطريقة المعتادة في ZFC. [ 7 ] : 6

مراجع

  1. 1 2 3 ماك لين، سوندرز (1969). "كون واحد كأساس لنظرية الفئات". تقارير ندوة الغرب الأوسط الثالثة حول الفئات. سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد 106. المجلد 106. سبرينغر، برلين، هايدلبرغ . الصفحات 192-200 . doi : 10.1007/BFb0059147 . ISBN   978-3-540-04625-7.
  2. 1 2 3 ماك لين، سوندرز (1998). تصنيفات للرياضي العامل . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد 5 ( الطبعة الثانية). سبرينغر، نيويورك، نيويورك . ISBN   978-0-387-90036-0.
  3. ^ أداميك، جيري. الأماكن القريبة : ستريكر، جورج (1990). الفئات المجردة والخرسانة: متعة القطط (PDF) . منشورات دوفر. ص 13، 15، 16، 259. ISBN  978-0-486-46934-8.
  4. ^ هيرليخ، هورست ؛ ستريكر، جورج (2007). "المجموعات والطبقات والتكتلات" (PDF) . نظرية الفئة ( الطبعة الثالثة). هيلديرمان فيرلاغ. ص 9 – 12.  
  5. ↑ أوزبورن، إم. سكوت (2012-12-06). الجبر التماثلي الأساسي . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. الصفحات 151-153 . ISBN  9781461212782.
  6. ↑ برويس، جيرهارد (2012-12-06). نظرية البنى الطوبولوجية: مدخل إلى الطوبولوجيا الفئوية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 3. ISBN  9789400928596.
  7. 1 2 3 مورفيت، دانيال (5 أكتوبر 2006). "أسس نظرية الفئات" (PDF) .
  8. ↑ تشانغ، جينوين (1991). "نظام البديهيات ACG وإثبات اتساق نظامي QM وZF#" . التقدم في علوم الحاسوب الصينية . المجلد 3. الصفحات 153-171 . doi : 10.1142/9789812812407_0009 . ISBN   978-981-02-0152-4.
  9. ^ هيرليخ، هورست. ستريكر، جورج (2007). "الملحق الأسس" (PDF) . نظرية الفئة ( الطبعة الثالثة). هيلديرمان فيرلاغ. ص 328 – 3300.  
  10. ↑ نيل، لويس (2016-06-03). نظرية الاستمرارية . سبرينغر. ص 31. ISBN  9783319311593.
  11. ↑ المراجعات 48#5965 ، 56#3798 ، 82f:18003 ، 83d:18010 ، 84c:54045 ، 87m:18001
  12. ↑ تمت المراجعة: 89e:18002 ، 96g:18002