عالم غروتينديك

في نظرية المجموعات ، كون غروتينديك هو مجموعة${\displaystyle U}$بالخصائص التالية:

1. لو${\displaystyle x}$هو عنصر من${\displaystyle U}$وإذا${\displaystyle y}$هو عنصر من${\displaystyle x}$، ثم${\displaystyle y}$وهو أيضاً عنصر من${\displaystyle U}$. (${\displaystyle U}$( مجموعة متعدية .)
2. لو${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$كلاهما عنصران من${\displaystyle U}$، ثم${\displaystyle \{x,y\}}$هو عنصر من${\displaystyle U}$.
3. لو${\displaystyle x}$هو عنصر من${\displaystyle U}$، ثم${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)}$، مجموعة القوى الخاصة بـ${\displaystyle x}$، وهو أيضاً عنصر من${\displaystyle U}$.
4. لو${\displaystyle \{x_{\alpha }\}_{\alpha \in I}}$هي عائلة من عناصر${\displaystyle U}$وإذا كان "أنا " عنصرًا من${\displaystyle U}$ثم الاتحاد${\textstyle \bigcup _{\alpha \in I}x_{\alpha }}$هو عنصر من${\displaystyle U}$.

يهدف كون غروتينديك إلى توفير مجموعة يمكن تطبيق جميع فروع الرياضيات عليها. في الواقع، توفر أكوان غروتينديك غير المعدودة نماذج لنظرية المجموعات مع علاقة ∈ الطبيعية، وعملية مجموعة القوى الطبيعية، وما إلى ذلك. تُسمى عناصر كون غروتينديك أحيانًا بالمجموعات الصغيرة . تعود فكرة الأكوان إلى ألكسندر غروتينديك ، الذي استخدمها كوسيلة لتجنب الفئات المناسبة في الهندسة الجبرية . كان اقتراح غروتينديك الأصلي هو إضافة بديهية الأكوان التالية إلى بديهيات نظرية المجموعات المعتادة: لكل مجموعة${\displaystyle s}$يوجد كون${\displaystyle U}$الذي يحتوي${\displaystyle s}$، أي،${\displaystyle s\in U}$.

إن وجود كون غروتينديك غير تافه يتجاوز البديهيات المعتادة لنظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات ؛ فهو يستلزم على وجه الخصوص وجود أعداد أصلية يصعب الوصول إليها بقوة . تُعد نظرية تارسكي-غروتينديك للمجموعات معالجة بديهية لنظرية المجموعات، وتُستخدم في بعض أنظمة البرهان الآلي، حيث تنتمي كل مجموعة إلى كون غروتينديك. ويمكن تعريف مفهوم كون غروتينديك أيضًا في طوبولوجيا أولية . ^{[ 1 ]}

كمثال على ذلك، سنثبت فرضية سهلة.

الفرضية . إذا${\displaystyle x\in U}$و${\displaystyle y\subseteq x}$، ثم${\displaystyle y\in U}$.

دليل .${\displaystyle y\in P(x)}$ لأن${\displaystyle y\subseteq x}$.${\displaystyle P(x)\in U}$لأن${\displaystyle x\in U}$، لذا${\displaystyle y\in U}$.

وبالمثل، من السهل إثبات أن أي كون من نوع غروتينديك${\displaystyle U}$يتضمن:

• جميع النسخ الفردية لكل عنصر من عناصرها،
• جميع منتجات جميع عائلات العناصر${\displaystyle U}$مفهرس بواسطة عنصر من${\displaystyle U}$،
• جميع الاتحادات المنفصلة لجميع عائلات عناصر${\displaystyle U}$مفهرس بواسطة عنصر من${\displaystyle U}$،
• جميع تقاطعات جميع العائلات غير الفارغة من عناصر${\displaystyle U}$مفهرس بواسطة عنصر من${\displaystyle U}$،
• جميع الدوال بين أي عنصرين من${\displaystyle U}$، و
• جميع المجموعات الفرعية من${\displaystyle U}$التي تمثل قيمتها العددية عنصرًا من${\displaystyle U}$.

وبالتحديد، يترتب على البديهية الأخيرة أنه إذا${\displaystyle U}$إذا كانت المجموعة غير فارغة، فلا بد أن تحتوي على جميع مجموعاتها الجزئية المنتهية ومجموعة جزئية من كل مجموعة أصلية منتهية. ويمكن إثبات ذلك مباشرةً من التعريفات، حيث أن تقاطع أي فئة غير فارغة من الأكوان هو كون.

هناك مثالان بسيطان على عوالم غروتينديك: المجموعة الفارغة ومجموعة جميع المجموعات المنتهية وراثيًا .

أما الأمثلة الأخرى فهي أكثر صعوبة في بنائها. وبشكل عام، يعود ذلك إلى أن عوالم غروتينديك تُكافئ الأعداد الأساسية غير القابلة للوصول بقوة . وبشكل أكثر دقة، فإن البديهيتين التاليتين متكافئتان:

(U) لكل مجموعة${\displaystyle x}$يوجد كون غروتينديك${\displaystyle U}$بحيث${\displaystyle x\in U}$.

(ج) لكل عدد أصلي${\displaystyle \kappa }$، هناك عدد أساسي يصعب الوصول إليه بشدة${\displaystyle \lambda }$هذا أكبر من${\displaystyle \kappa }$.

ولإثبات هذه الحقيقة، نقدم الدالة

${\displaystyle \mathbf {c} (U):=\sup _{x\in U}|x|}$،

حيث${\displaystyle |x|}$نعني عدد عناصر${\displaystyle x}$ثم بالنسبة لأي كون${\displaystyle U}$،${\displaystyle \mathbf {c} (U)}$إما أن يكون صفرًا،${\displaystyle \aleph _{0}}$أو غير قابلة للوصول إليها بشدة. بافتراض أنها غير قابلة للعد، فهي عدد أصلي ذو حد قوي لأن مجموعة القوى لأي عنصر من${\displaystyle U}$هو عنصر من${\displaystyle U}$وكل عنصر من${\displaystyle U}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle U}$لإثبات انتظامها، افترض أن${\displaystyle c_{\lambda }}$هي مجموعة من الأعداد الأصلية المفهرسة بواسطة I ، حيث تمثل عدد عناصر I وعدد عناصر كل عنصر.${\displaystyle c_{\lambda }}$أقل من${\displaystyle \mathbf {c} (U)}$ثم، بحسب تعريف${\displaystyle \mathbf {c} (U)}$أنا وكل​${\displaystyle c_{\lambda }}$يمكن استبدالها بعنصر من${\displaystyle U}$اتحاد عناصر${\displaystyle U}$مفهرس بواسطة عنصر من${\displaystyle U}$هو عنصر من${\displaystyle U}$إذن مجموع${\displaystyle c_{\lambda }}$له عدد عناصر${\displaystyle U}$وبالتالي فهو أقل من${\displaystyle \mathbf {c} (U)}$.

من خلال الاستناد إلى بديهية الأساس، التي تنص على أنه لا توجد مجموعة تحتوي على نفسها، يمكن إثبات أن${\displaystyle \mathbf {c} (U)}$يساوي${\displaystyle |U|}$عندما لا يُفترض مبدأ الأساس، توجد أمثلة مضادة: يمكننا أن نأخذ على سبيل المثال${\displaystyle U}$أن تكون مجموعة جميع المجموعات المنتهية من المجموعات المنتهية، إلخ. من المجموعات${\displaystyle x_{\alpha }}$حيث الفهرس${\displaystyle \alpha }$أي عدد حقيقي، و${\displaystyle x_{\alpha }=\{x_{\alpha }\}}$لكل${\displaystyle \alpha }$. ثم${\displaystyle U}$يمتلك عدد عناصر المتصل، لكن جميع عناصره لها عدد عناصر محدود، وهكذا${\displaystyle \mathbf {c} (U)=\aleph _{0}}$(انظر مقال بورباكي لمزيد من التفاصيل).

والآن لنبدأ${\displaystyle \kappa }$لنفترض أن مجموعة${\displaystyle S}$هو من النوع المحدد${\displaystyle \kappa }$إذا كان لدينا لأي متتالية${\displaystyle s_{n}\in \cdots \in s_{0}\in S}$، مع${\displaystyle |s_{n}|<\kappa }$. (${\displaystyle S}$(وهي نفسها تتوافق مع التسلسل الفارغ.) ثم المجموعة${\displaystyle u(\kappa )}$من جميع المجموعات من النوع المحدد${\displaystyle \kappa }$هو كون غروتينديك ذو عددية${\displaystyle \kappa }$للحصول على التفاصيل، يرجى الرجوع مرة أخرى إلى مقالة بورباكي، المدرجة في المراجع.

لإثبات أن بديهية العدد الكبير (C) تستلزم بديهية الكون (U)، اختر مجموعة${\displaystyle x}$. يترك${\displaystyle x_{0}=x}$ولكل${\displaystyle n}$، يترك${\displaystyle x_{n+1}=\textstyle \bigcup x_{n}}$أن يكون اتحاد عناصر${\displaystyle x_{n}}$. يترك${\displaystyle y=\textstyle \bigcup _{n}x_{n}}$. بحسب (ج)، هناك عدد أصلي يصعب الوصول إليه بشدة${\displaystyle \kappa }$بحيث${\displaystyle |y|<\kappa }$. يترك${\displaystyle u(\kappa )}$ليكن الكون المذكور في الفقرة السابقة. ثم${\displaystyle x}$هو من النوع المحدد${\displaystyle \kappa }$، لذا${\displaystyle x\in u(\kappa )}$لإثبات أن بديهية الكون (U) تستلزم بديهية العدد الأساسي الكبير (C)، اختر عددًا أساسيًا${\displaystyle \kappa }$.${\displaystyle \kappa }$هي مجموعة، لذا فهي عنصر من عناصر عالم غروتينديك${\displaystyle U}$عددية${\displaystyle U}$يصعب الوصول إليه بشدة وهو أكبر بكثير من حجم${\displaystyle \kappa }$.

في الواقع، أي كون من عوالم غروتينديك يكون على شكل${\displaystyle u(\kappa )}$بالنسبة للبعض${\displaystyle \kappa }$وهذا يعطي شكلاً آخر من أشكال التكافؤ بين عوالم غروتينديك والأعداد الأساسية التي يصعب الوصول إليها بشدة:

لأي عالم غروتينديك${\displaystyle U}$،${\displaystyle |U|}$إما أن يكون صفرًا،${\displaystyle \aleph _{0}}$أو عدد أصلي يصعب الوصول إليه بشدة. وإذا${\displaystyle \kappa }$يساوي صفرًا،${\displaystyle \aleph _{0}}$أو عدد أساسي يصعب الوصول إليه بشدة، عندها يوجد عالم غروتينديك${\displaystyle u(\kappa )}$. بالإضافة إلى،${\displaystyle u(|U|)=U}$، و${\displaystyle |u(\kappa )|=\kappa }$.

بما أنه لا يمكن إثبات وجود الأعداد الأصلية التي يصعب الوصول إليها بشدة من بديهيات نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات (ZFC)، فإن وجود عوالم أخرى غير المجموعة الفارغة و${\displaystyle V_{\omega }}$لا يمكن إثبات ذلك من خلال نظرية ZFC أيضًا. ومع ذلك، فإن الأعداد الكاردينالية غير القابلة للوصول بقوة تقع في الطرف الأدنى من قائمة الأعداد الكاردينالية الكبيرة ؛ وبالتالي، فإن معظم نظريات المجموعات التي تستخدم الأعداد الكاردينالية الكبيرة (مثل "نظرية ZFC بالإضافة إلى وجود عدد كاردينالي قابل للقياس "، و"نظرية ZFC بالإضافة إلى وجود عدد لا نهائي من أعداد وودين الكاردينالية ") ستثبت وجود أكوان غروتينديك.

• عالم قابل للبناء
• الكون (الرياضيات)
• عالم فون نيومان

• بورباكي، نيكولاس (1972). "الكون" . في أرتين, مايكل ; الأماكن القريبة : فيردير، جان لويس (محرران). Théorie des Topos et Cohomologie Étale des Schémas I. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie 1963–64 (SGA 4) . ملاحظات محاضرة في الرياضيات (باللغة الفرنسية). المجلد.  269. سبرينغر برلين، هايدلبرغ. ص 185 – 217. مؤرشفة من الأصلي بتاريخ 2016-08-09 . تم الاسترجاع 2010-12-06 . 
• "الكون" . بلانيت ماث . 22-03-2013 . تم الاطلاع عليه في 25 نوفمبر 2024 .