دالة نقل التباين

Following Wade's notation,^[1] the exit wavefunction expression is represented by:

${\displaystyle \tau (r,z)=\tau _{o}\exp[-i\pi \lambda \int dz'U(r,z')]}$

${\displaystyle \tau _{o}=\tau (r,0)}$

${\displaystyle U(r,z)=2mV(r,z)/h^{2}}$

Where the exit wavefunction τ is a function of both ${\displaystyle r}$ in the plane of the sample, and ${\displaystyle z}$ perpendicular to the plane of the sample. ${\displaystyle \tau _{o}}$ represents the wavefunction incident on the top of the sample. ${\displaystyle \lambda }$ is the wavelength of the electron beam,^[5] which is set by the accelerating voltage. ${\displaystyle U}$ is the effective potential of the sample, which depends on the atomic potentials within the crystal, represented by ${\displaystyle V}$.

Within the exit wavefunction, the phase shift is represented by:

${\displaystyle \phi (r)=\pi \lambda \int dz'U(r,z')}$

This expression can be further simplified taken into account some more assumptions about the sample. If the sample is considered very thin, and a weak scatterer, so that the phase shift is << 1, then the wave function can be approximated by a linear Taylor polynomial expansion.^[6] This approximation is called the Weak Phase Object Approximation.

The exit wavefunction can then be expressed as:

${\displaystyle \tau (r,z)=\tau _{o}[1+i\phi (r)]}$

Passing through the objective lens incurs a Fourier transform and phase shift. As such, the wavefunction on the back focal plane of the objective lens can be represented by:

${\displaystyle I(\theta )=\delta (\theta )+\Phi K(\theta )}$

${\displaystyle \theta }$ = the scattering angle between the transmitted electron wave and the scattered electron wave

${\displaystyle \delta }$ = a delta function representing the non-scattered, transmitted, electron wave

${\displaystyle \Phi }$ = the Fourier transform of the wavefunction's phase

${\displaystyle K(\theta )}$= إزاحة الطور الناتجة عن انحرافات المجهر، والمعروفة أيضًا باسم دالة نقل التباين:

${\displaystyle K(\theta )=\sin[(2\pi /\lambda )W(\theta )]}$${\displaystyle W(\theta )=-z\theta ^{2}/2+C_{s}\theta ^{4}/4}$

${\displaystyle \lambda }$= الطول الموجي النسبي لموجة الإلكترون،${\displaystyle C_{s}}$= الانحراف الكروي للعدسة الشيئية

يمكن أيضًا التعبير عن دالة نقل التباين بدلالة الترددات المكانية، أو الفضاء المتبادل. مع العلاقة${\textstyle \theta =\lambda k}$تصبح دالة نقل تباين الطور كما يلي:

${\displaystyle K(k)=\sin[(2\pi )W(k)]}$${\displaystyle W(k)=-z\lambda k^{2}/2+C_{s}\lambda ^{3}k^{4}/4}$

${\displaystyle z}$= عدم وضوح العدسة الشيئية (باستخدام الاصطلاح القائل بأن عدم وضوح الصورة موجب وزيادة وضوحها سالبة)،${\displaystyle \lambda }$= الطول الموجي النسبي لموجة الإلكترون،${\displaystyle C_{s}}$= الانحراف الكروي للعدسة الشيئية،${\displaystyle k}$= التردد المكاني (بوحدات م ⁻¹ )

الزيغ الكروي هو تأثير ضبابي ينشأ عندما تعجز العدسة عن تجميع الأشعة الساقطة بزوايا سقوط عالية نحو نقطة التركيز، بل تُركّزها على نقطة أقرب إلى العدسة. ويؤدي هذا إلى انتشار نقطة الصورة (التي تُصوَّر عادةً كنقطة واحدة في مستوى الصورة الغاوسي ) على قرص ذي حجم محدود في مستوى الصورة. يُطلق على قياس الزيغ في مستوى عمودي على المحور البصري اسم الزيغ المستعرض. ويمكن إثبات أن حجم (نصف قطر) قرص الزيغ في هذا المستوى يتناسب طرديًا مع مكعب زاوية السقوط (θ) في ظل تقريب الزاوية الصغيرة، وأن الصيغة الصريحة في هذه الحالة هي

${\displaystyle r_{s}=C_{s}\cdot \theta ^{3}\cdot M}$

أين${\displaystyle C_{s}}$هو الانحراف الكروي و${\displaystyle M}$يمثل التكبير، وكلاهما ثابتان فعليًا لإعدادات العدسة. ويمكن للمرء أن يلاحظ بعد ذلك أن الفرق في زاوية الانكسار بين شعاع مثالي وشعاع يعاني من الزيغ الكروي هو

${\displaystyle \alpha _{s}=\arctan \left({\frac {b}{R}}\right)-\arctan \left({\frac {b}{R+r_{s}}}\right)}$

أين${\displaystyle b}$هي المسافة من العدسة إلى مستوى الصورة الغاوسية و${\displaystyle R}$هي المسافة الشعاعية من المحور البصري إلى النقطة على العدسة التي مر بها الشعاع. وبتبسيط ذلك أكثر (دون تطبيق أي تقريبات) يتضح أن

${\displaystyle \alpha _{s}=\arctan \left({\frac {br_{s}}{R^{2}+Rr_{s}+b^{2}}}\right)}$

يمكن الآن تطبيق تقريبين للمضي قدمًا بطريقة مباشرة. يعتمدان على افتراض أن كليهما${\displaystyle r_{s}}$و${\displaystyle R}$أصغر بكثير من${\displaystyle b}$وهذا يُعادل القول بأننا نأخذ في الاعتبار زوايا سقوط صغيرة نسبيًا، وبالتالي انحرافات كروية صغيرة جدًا. وبناءً على هذا الافتراض، يكون الحدّان الرئيسيان في المقام ضئيلين، ويمكن تقريبهما على أنهما لا يُساهمان في النتيجة. ومن خلال هذه الافتراضات، ذكرنا ضمنيًا أيضًا أن الكسر نفسه يُمكن اعتباره صغيرًا، وهذا يؤدي إلى حذفه.${\displaystyle \arctan()}$الدالة عن طريق تقريب الزاوية الصغيرة؛

${\displaystyle \alpha _{s}\approx \arctan \left({\frac {br_{s}}{b^{2}}}\right)\approx {\frac {br_{s}}{b^{2}}}={\frac {r_{s}}{b}}={\frac {C_{s}\cdot \theta ^{3}\cdot M}{b}}}$

إذا اعتُبرت الصورة واضحة تقريبًا، فإن زاوية السقوط${\displaystyle \theta }$ثم يُعتبر صغيراً مرة أخرى،

${\displaystyle {\frac {R}{f}}\approx \tan \left(\theta \right)\approx \theta ~~{\text{and}}~~M\approx {\frac {b}{f}}}$

وهذا يعني أن التعبير التقريبي للفرق في زاوية الانكسار بين شعاع مثالي وشعاع يعاني من الزيغ الكروي يُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle \alpha _{s}\approx {\frac {C_{s}\cdot R^{3}}{f^{4}}}}$

على عكس الزيغ الكروي، سنتابع بتقدير انحراف الشعاع غير المركز عن الوضع المثالي من خلال تحديد الزيغ الطولي؛ وهو مقياس لمدى انحراف الشعاع عن النقطة البؤرية على طول المحور البصري.${\displaystyle \Delta b}$، من الممكن إثبات أن الفرق${\displaystyle \alpha _{f}}$يمكن ربط زاوية الانكسار بين الأشعة الصادرة من جسم مركز وجسم غير مركز بزاوية الانكسار كما يلي:

${\displaystyle {\sqrt {R^{2}+b^{2}}}\cdot \sin(\alpha _{f})=\Delta b\cdot \sin(\theta '-\alpha _{f})}$

أين${\displaystyle R}$و${\displaystyle b}$يتم تعريفها بنفس الطريقة التي تم تعريفها بها بالنسبة للانحراف الكروي. بافتراض أن${\displaystyle \alpha _{f}<<\theta '}$(أو ما يعادل ذلك)${\displaystyle |b\cdot \sin(\alpha _{f})|<<|R|}$يمكننا أن نبين أن

${\displaystyle \sin(\alpha _{f})\approx {\frac {\Delta b\sin(\theta ')}{\sqrt {R^{2}+b^{2}}}}={\frac {\Delta b\cdot R}{R^{2}+b^{2}}}}$

بما أننا كنا بحاجة${\displaystyle \alpha _{f}}$أن تكون صغيرة، ولأن${\displaystyle \theta }$كون الشيء صغيرًا يعني${\displaystyle R<<b}$، لدينا تقريبًا لـ${\displaystyle \alpha _{f}}$مثل

${\displaystyle \alpha _{f}\approx {\frac {\Delta b\cdot R}{b^{2}}}}$

يمكن إثبات ذلك من خلال صيغة العدسة الرقيقة.${\displaystyle \Delta b/b^{2}\approx \Delta f/f^{2}}$مما ينتج عنه تقدير نهائي للفرق في زاوية الانكسار بين الأشعة البؤرية والأشعة غير البؤرية كما يلي:

${\displaystyle \alpha _{f}\approx {\frac {\Delta f\cdot R}{f^{2}}}}$

قيمة عدم التركيز (${\textstyle z}$يمكن استخدام هذه التقنية لمعادلة الانحراف الكروي، مما يسمح بتباين طوري أكبر. وقد طوّر شيرزر هذا التحليل، ويُطلق عليه اسم "عدم تركيز شيرزر". ^{[ 7 ]}

${\displaystyle z_{s}=(C_{s}\lambda )^{1/2}}$

المتغيرات هي نفسها المستخدمة في قسم المعالجة الرياضية، مع${\displaystyle z_{s}}$ضبط خاصية عدم التركيز الخاصة بـ Scherzer،${\displaystyle C_{s}}$باعتبارها الانحراف الكروي، وλ باعتبارها الطول الموجي النسبي لموجة الإلكترون.

يوضح الشكل في القسم التالي دالة نقل التباين (CTF) لمجهر CM300 عند ضبط بؤرة شيرزر. بالمقارنة مع دالة نقل التباين الموضحة أعلاه، توجد نافذة أكبر، تُعرف أيضًا بنطاق التمرير، للترددات المكانية ذات النفاذية العالية. وهذا يسمح بمرور المزيد من إشارة الطور إلى مستوى الصورة.

تمثل دالة الغلاف تأثير الانحرافات الإضافية التي تُضعف دالة نقل التباين، وبالتالي الطور. تميل حدود الغلاف المكونة لدالة الغلاف إلى كبح الترددات المكانية العالية. قد يختلف الشكل الدقيق لدوال الغلاف من مصدر لآخر. عمومًا، يتم تطبيقها بضرب دالة نقل التباين بحد غلاف Et يمثل الانحرافات الزمنية، وحد غلاف Es يمثل الانحرافات المكانية. ينتج عن ذلك دالة نقل تباين معدلة، أو فعالة.

${\displaystyle K_{eff}(k)=E_{t}E_{s}(\sin[(2\pi /\lambda )W(k)]}$

تشمل أمثلة الانحرافات الزمنية الانحرافات اللونية، وانتشار الطاقة، وانتشار البؤرة، وعدم استقرار مصدر الجهد العالي، وعدم استقرار تيار العدسة الشيئية. ومن أمثلة الانحرافات المكانية تقارب الشعاع الساقط المحدود. ^{[ 8 ]}

كما هو موضح في الشكل، فإنّ الحدّ الأكثر تقييدًا في غلاف الإشارة هو الذي يُهيمن على عملية تثبيط دالة نقل التباين. في هذا المثال تحديدًا، يُعدّ الحدّ الزمني هو الأكثر تقييدًا. ولأنّ حدود غلاف الإشارة تُثبّط بقوة أكبر عند الترددات المكانية العالية، فإنّ هناك نقطةً لا يمكن عندها تمرير المزيد من إشارة الطور. يُطلق على هذه النقطة اسم حدّ المعلومات للمجهر، وهو أحد مقاييس الدقة.

يمكن أن يوفر نمذجة دالة الغلاف فهمًا أعمق لتصميم أجهزة المجهر الإلكتروني النافذ ومعايير التصوير. ومن خلال نمذجة الانحرافات المختلفة عبر حدود الغلاف، يمكن تحديد أي الانحرافات هي الأكثر تأثيرًا على إشارة الطور.

تم تطوير برامج متنوعة لنمذجة كل من دالة نقل التباين ودالة الغلاف لأنواع معينة من المجاهر، ومعايير تصوير محددة. ^{[ 9 ] [ 10 ]}