دالة الموجة

تُعدّ جميع معادلات الموجة هذه ذات أهمية بالغة. وتُعتبر معادلة شرودنغر ومعادلة باولي، في كثير من الحالات، تقريبات ممتازة للمعادلات النسبية. كما أنها أسهل بكثير في الحل في المسائل العملية من نظيراتها النسبية.

على الرغم من أن معادلة كلاين -غوردون ومعادلة ديراك نسبيتان، إلا أنهما لا تمثلان توفيقًا كاملًا بين ميكانيكا الكم والنسبية الخاصة. ويُعرف فرع ميكانيكا الكم الذي تُدرس فيه هاتان المعادلتان بنفس طريقة دراسة معادلة شرودنغر، والذي يُطلق عليه غالبًا ميكانيكا الكم النسبية ، بنجاحه الكبير، إلا أنه يعاني من بعض القيود (انظر على سبيل المثال إزاحة لامب ) ومشاكل مفاهيمية (انظر على سبيل المثال بحر ديراك ).

تُحتّم النسبية عدم ثبات عدد الجسيمات في النظام. ولتحقيق التوافق التام، تُعدّ نظرية الحقل الكمومي ضرورية. ^{[ 23 ]} في هذه النظرية، تظلّ معادلات الموجة ودوال الموجة حاضرة، ولكن بصورة مختلفة نوعًا ما. فالمواضيع الرئيسية ليست دوال الموجة، بل المؤثرات، أو ما يُسمى بمؤثرات الحقل (أو الحقول ببساطة حيث يُفهم مصطلح "مؤثر") على فضاء هيلبرت للحالات (سيتم شرحه في القسم التالي). ويتضح أن معادلات الموجة النسبية الأصلية وحلولها لا تزال ضرورية لبناء فضاء هيلبرت. علاوة على ذلك، فإن مؤثرات الحقول الحرة ، أي عندما يُفترض عدم وجود تفاعلات، تُحقق (شكليًا) نفس المعادلة التي تُحققها الحقول (دوال الموجة) في كثير من الحالات.

وهكذا، تبقى معادلة كلاين-غوردون (اللف المغزلي 0 ) ومعادلة ديراك (اللف المغزلي 1/2 ) بهذا الشكل في النظرية. وتشمل نظائرها ذات اللف المغزلي الأعلى معادلة بروكا (اللف المغزلي 1 )، ومعادلة راريتا-شوينغر (اللف المغزلي 3/2 ) ، وبشكل أعم، معادلات بارغمان-ويغنر . بالنسبة للحقول الحرة عديمة الكتلة، يُعد مثالان هما معادلة ماكسويل للحقل الحر (اللف المغزلي 1 ) ومعادلة أينشتاين للحقل الحر (اللف المغزلي 2 ) لمؤثرات الحقل. ^{[ 24 ]} جميعها هي في الأساس نتيجة مباشرة لشرط ثبات لورنتز . يجب أن تتحول حلولها تحت تحويل لورنتز بطريقة محددة، أي تحت تمثيل معين لمجموعة لورنتز، وهذا بالإضافة إلى بعض المتطلبات المعقولة الأخرى، مثل خاصية تفكيك العنقود ، ^{[ 25 ]} مع ما يترتب على ذلك من آثار على السببية ، يكفي لتثبيت المعادلات.

ينطبق هذا على معادلات المجال الحر؛ ولا تُؤخذ التفاعلات في الحسبان. إذا توفرت كثافة لاغرانجية (تتضمن التفاعلات)، فإن الصيغة اللاغرانجية ستُنتج معادلة حركة على المستوى الكلاسيكي. قد تكون هذه المعادلة معقدة للغاية وغير قابلة للحل. أي حل سيشير إلى عدد ثابت من الجسيمات ولن يُفسر مصطلح "التفاعل" كما هو مُشار إليه في هذه النظريات، والذي يتضمن إنشاء الجسيمات وإفنائها وليس الكمونات الخارجية كما في نظرية الكم "المُكمّمة الأولى" العادية.

في نظرية الأوتار ، يبقى الوضع مماثلاً. على سبيل المثال، تؤدي دالة الموجة في فضاء الزخم دور معامل توسيع فورييه في حالة عامة لجسيم (وتر) ذي زخم غير محدد بدقة. ^{[ 26 ]}

الجسيمات الكلاسيكية، كالرصاص والصواريخ والكواكب، متمركزة مكانيًا، ومن المعروف أن الموجات بالمعنى الكلاسيكي، كالصوت وموجات المحيط، تنتشر على مساحات واسعة. مع ذلك، تُعدّ ازدواجية الموجة والجسيم في ميكانيكا الكم سمة فريدة للجسيمات الكمومية. فعلى سبيل المثال، تكون الذرات المتمركزة مكانيًا مستقرةً لوجود موجات مرتبطة بالإلكترونات فيها. لا يوجد إجماع حول طبيعة هذه الموجات المرتبطة بالجسيمات الكمومية، لكن يوجد إجماع على كيفية حساب المعادلات الرياضية المقابلة لها. ^{[ 27 ]}

في ميكانيكا الكم غير النسبية، توجد موجة مصاحبة لجسيم كمومي ذي لف مغزلي صفري. يجب حل معادلة شرودنغر الموجية للحصول على التعبير الرياضي المقابل لهذه الموجة. أما في ميكانيكا الكم النسبية، فيجب حل معادلة موجية نسبية . أو بدلاً من ذلك، يمكن حل زوج من المعادلات الموجية النسبية الشبيهة بمعادلة شرودنغر للحصول على التعبيرات الرياضية للموجتين الشبيهتين بمعادلة شرودنغر المصاحبتين لجسيم كمومي نسبي ذي لف مغزلي صفري. ^{[ 27 ]}

لا توجد موجة مرتبطة بجسيم كلاسيكي، ولكن توجد موجة شرودنغر واحدة مرتبطة بجسيم كمومي غير نسبي ذي لف مغزلي صفري. علاوة على ذلك، توجد موجتان من موجات شرودنغر مرتبطتان بجسيم كمومي نسبي ذي لف مغزلي صفري. تمتلك الجسيمات الكلاسيكية وغير النسبية الحرة طاقات حركية موجبة. مع ذلك، يمكن أن يرتبط الجسيم الكمومي النسبي بموجة شرودنغر "عادية" حيث يمتلك الجسيم طاقة حركية موجبة، ولكنه قد يرتبط أيضًا بموجة شرودنغر "استثنائية" حيث يمتلك الجسيم طاقة حركية سالبة. ^{[ 27 ]}

يُحدد وجود موجات شرودنغر المرتبطة بجسيم ما خصائصه الكمومية. فإذا اختفت هذه الموجات لأي سبب، يفقد الجسيم طبيعته الكمومية ويتحول إلى جسيم كلاسيكي. وقد طُرحت عدة أمثلة متعالية لهذه التحولات من الكمومية إلى الكلاسيكية لتفسير سبب ظهور الأجسام العيانية المحيطة بنا وكأنها كلاسيكية ومكونة من المادة فقط. ومن أمثلة هذه الحدود بين الكمومية والكلاسيكية ما يلي: ^{[ 27 ]}

• يمكن أن يؤدي التجاذب الكهروستاتيكي بين النواة والإلكترونات في الذرات الثقيلة إلى انهيار موجة شرودنغر العادية المرتبطة بالإلكترون النسبي. وهذا يفسر سبب عدم وجود ذرات متعادلة ذات عدد ذري ​​Z أكبر من 137.
• يمكن للجاذبية أن تُحوّل موجة شرودنغر العادية إلى جسيم كمومي نسبي ذي كتلة. وهذا يُفسّر لماذا تُعتبر الأجسام العيانية كلاسيكية.
• قد يؤدي التنافر الكهروستاتيكي إلى انهيار موجة شرودنغر غير العادية المرتبطة بالجسيم المضاد، لكن هذا لا يحدث مع الجسيمات الكمومية النسبية. وهذا يفسر عدم وجود جدول دوري للذرات المضادة، وعدم وجود حياة مصنوعة من المادة المضادة.

يتم وصف حالة هذا الجسيم بشكل كامل بواسطة دالته الموجية،$${\displaystyle \Psi (x,t)\,,}$$حيث يمثل x الموضع و t الزمن. هذه دالة ذات قيم مركبة لمتغيرين حقيقيين x و t .

بالنسبة لجسيم واحد عديم اللف المغزلي في بُعد واحد، إذا فُسِّرت الدالة الموجية على أنها سعة احتمالية ؛ فإن مربع القيمة المطلقة للدالة الموجية هو عدد حقيقي موجب. $${\displaystyle \left|\Psi (x,t)\right|^{2}=\Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)=\rho (x),}$$ يُفسَّر هذا على أنه دالة كثافة الاحتمال لقياس موضع الجسيم عند زمن معين t . تشير العلامة النجمية إلى المرافق المركب . إذا تم قياس موضع الجسيم ، فلا يمكن تحديد موقعه من الدالة الموجية، بل يُوصف بتوزيع احتمالي .

يمتلك الجسيم أيضًا دالة موجية في فضاء الزخم : $${\displaystyle \Phi (p,t)}$$ حيث p هو الزخم في بُعد واحد، والذي يمكن أن يكون أي قيمة من −∞ إلى +∞ ، و t هو الزمن.

وبالمثل لحالة الموضع، يمكن تعريف الضرب الداخلي لدالتين موجيتين Φ ₁ ( p , t ) و Φ ₂ ( p , t ) على النحو التالي:$${\displaystyle (\Phi _{1},\Phi _{2})=\int _{-\infty }^{\infty }\,\Phi _{1}^{*}(p,t)\Phi _{2}(p,t)dp\,.}$$

أحد الحلول المحددة لمعادلة شرودنغر غير المعتمدة على الزمن هو $${\displaystyle \Psi _{p}(x)=e^{ipx/\hbar },}$$موجة مستوية ، يمكن استخدامها في وصف جسيم ذي زخم يساوي p بالضبط ، لأنها دالة ذاتية لمؤثر الزخم . هذه الدوال غير قابلة للتطبيع إلى الوحدة (ليست قابلة للتكامل التربيعي)، لذا فهي ليست عناصر حقيقية في فضاء هيلبرت الفيزيائي. المجموعة $${\displaystyle \{\Psi _{p}(x,t),-\infty \leq p\leq \infty \}}$$ يشكل ما يُسمى أساس الزخم . هذا "الأساس" ليس أساسًا بالمعنى الرياضي المعتاد. فمن ناحية، بما أن الدوال غير قابلة للتطبيع، فإنها تُطبع بدلاً من ذلك إلى دالة دلتا ، ^{[ ملاحظة 4 ]}$${\displaystyle (\Psi _{p},\Psi _{p'})=\delta (p-p').}$$

من جهة أخرى، على الرغم من استقلالها الخطي، إلا أن عددها كبير جدًا (فهي تشكل مجموعة غير قابلة للعد) بحيث لا يمكن استخدامها كأساس لفضاء هيلبرت الفيزيائي. مع ذلك، يمكن استخدامها للتعبير عن جميع الدوال فيه باستخدام تحويلات فورييه كما هو موضح لاحقًا.

تمثيلات x و p هي $${\displaystyle {\begin{aligned}|\Psi \rangle =I|\Psi \rangle &=\int |x\rangle \langle x|\Psi \rangle dx=\int \Psi (x)|x\rangle dx,\\|\Psi \rangle =I|\Psi \rangle &=\int |p\rangle \langle p|\Psi \rangle dp=\int \Phi (p)|p\rangle dp.\end{aligned}}}$$

والآن، خذ إسقاط الحالة Ψ على الدوال الذاتية للزخم باستخدام التعبير الأخير في المعادلتين، $${\displaystyle \int \Psi (x)\langle p|x\rangle dx=\int \Phi (p')\langle p|p'\rangle dp'=\int \Phi (p')\delta (p-p')dp'=\Phi (p).}$$

ثم باستخدام التعبير المعروف للحالات الذاتية المعيارية المناسبة للزخم في حلول تمثيل الموضع لمعادلة شرودنغر الحرة$${\displaystyle \langle x|p\rangle =p(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{{\frac {i}{\hbar }}px}\Rightarrow \langle p|x\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{-{\frac {i}{\hbar }}px},}$$ يحصل المرء $${\displaystyle \Phi (p)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \Psi (x)e^{-{\frac {i}{\hbar }}px}dx\,.}$$

وبالمثل، باستخدام الدوال الذاتية للموضع، $${\displaystyle \Psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \Phi (p)e^{{\frac {i}{\hbar }}px}dp\,.}$$

وبذلك، وُجد أن دالتي الموجة في فضاء الموضع وفضاء الزخم هما تحويلان فورييه لبعضهما البعض. ^{[ 31 ]} وهما تمثيلان لنفس الحالة؛ يحتويان على نفس المعلومات، ويكفي أي منهما لحساب أي خاصية من خصائص الجسيم.

عمليًا، تُستخدم دالة الموجة في فضاء الموضع أكثر بكثير من دالة الموجة في فضاء الزخم. ويُحدد الجهد الداخل في المعادلة ذات الصلة (شرودنغر، ديراك، إلخ) الأساس الذي يكون فيه الوصف أسهل. بالنسبة للمذبذب التوافقي ، يدخل كل من x و p بشكل متناظر، لذا لا يهم أي وصف يُستخدم. وتنتج المعادلة نفسها (بصرف النظر عن الثوابت). ومن هذا، وبعد قليل من التفكير، يتبين أن حلول معادلة الموجة للمذبذب التوافقي هي دوال ذاتية لتحويل فورييه في L² . ^{[ ملاحظة 5 ]}

بينما تشير فضاءات هيلبرت في الأصل إلى فضاءات الضرب الداخلي الكاملة ذات الأبعاد اللانهائية ، فإنها تشمل، بحكم تعريفها، فضاءات الضرب الداخلي الكاملة ذات الأبعاد المحدودة أيضًا. ^{[ 32 ]} في الفيزياء، يُشار إليها غالبًا باسم فضاءات هيلبرت ذات الأبعاد المحدودة . ^{[ 33 ]} لكل فضاء هيلبرت ذي أبعاد محدودة، توجد متجهات أساسية متعامدة تغطي فضاء هيلبرت بأكمله.

إذا كانت المجموعة ذات الأبعاد N${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$إذا كانت متعامدة، فإن عامل الإسقاط للفضاء الذي تغطيه هذه الحالات يُعطى بالصيغة التالية:

$${\displaystyle P=\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|=I}$$حيث يكون الإسقاط مكافئًا لعامل الهوية لأن${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$يمتد هذا المفهوم على كامل فضاء هيلبرت، مما يجعل أي متجه من فضاء هيلبرت دون تغيير. ويُعرف هذا أيضاً بعلاقة اكتمال فضاء هيلبرت ذي الأبعاد المحدودة.

أما الدالة الموجية فتُعطى بالصيغة التالية:

$${\displaystyle |\psi \rangle =I|\psi \rangle =\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|\psi \rangle }$$أين${\textstyle \{\langle \phi _{i}|\psi \rangle \}}$، هي مجموعة من الأعداد المركبة التي يمكن استخدامها لإنشاء دالة موجية باستخدام الصيغة المذكورة أعلاه.

إن دالة الموجة المكانية المكانية لجسيم واحد بدون دوران في ثلاثة أبعاد مكانية تشبه حالة البعد المكاني الواحد المذكورة أعلاه:$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$$حيث r هو متجه الموضع في الفضاء ثلاثي الأبعاد، و t هو الزمن. وكما هو الحال دائمًا، فإن Ψ( r , t ) دالة ذات قيم مركبة لمتغيرات حقيقية. كمتجه واحد في تدوين ديراك$${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} ,t)\,|\mathbf {r} \rangle }$$

جميع الملاحظات السابقة حول الضرب الداخلي، ووظائف الموجة في فضاء الزخم، وتحويلات فورييه، وما إلى ذلك، تمتد إلى أبعاد أعلى.

بالنسبة لجسيم ذي دوران ، مع تجاهل درجات حرية الموضع، فإن الدالة الموجية هي دالة للدوران فقط (الوقت هو معلمة)؛ $${\displaystyle \xi (s_{z},t)}$$ حيث يُمثل s _z عدد الكم الإسقاطي للدوران على طول المحور z . ( يُعدّ المحور z اختيارًا اعتباطيًا؛ إذ يُمكن استخدام محاور أخرى بدلاً منه إذا تم تحويل الدالة الموجية بشكل مناسب، انظر أدناه). يُعدّ المعامل s _z ، على عكس r و t ، متغيرًا منفصلاً . على سبيل المثال، بالنسبة لجسيم ذي دوران 1/2 ، لا يُمكن أن يأخذ s _z إلا +1/2 أو −1/2 ، وليس أي قيمة أخرى. (بشكل عام، بالنسبة للدوران s ، يُمكن أن يأخذ s _z القيم s ، s − 1، ...، − s + 1، − s ). يُعطي إدخال كل عدد كمي دالة ذات قيم مركبة للمكان والزمان، ويبلغ عددها 2 s + 1. يُمكن ترتيب هذه الدوال في متجه عمودي.

$${\displaystyle \xi ={\begin{bmatrix}\xi (s,t)\\\xi (s-1,t)\\\vdots \\\xi (-(s-1),t)\\\xi (-s,t)\\\end{bmatrix}}=\xi (s,t){\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}+\xi (s-1,t){\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}+\cdots +\xi (-(s-1),t){\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1\\0\\\end{bmatrix}}+\xi (-s,t){\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\\1\\\end{bmatrix}}}$$

في تدوين برا-كيت ، يمكن ترتيب هذه العناصر بسهولة في مكونات متجه: $${\displaystyle |\xi (t)\rangle =\sum _{s_{z}=-s}^{s}\xi (s_{z},t)\,|s_{z}\rangle }$$

يمثل المتجه ξ حلاً لمعادلة شرودنغر (مع هاميلتوني مناسب)، والتي تتفكك إلى نظام مقترن من 2s + 1 معادلة تفاضلية عادية، حلولها هي ξ ( s , t )، ξ ( s − 1, t )، ...، ξ (−s , t ) . يستخدم بعض الباحثين مصطلح "دالة الدوران" بدلاً من "دالة الموجة". وهذا يختلف عن حلول دوال الموجة في فضاء الموضع، حيث تكون إحداثيات الموضع درجات حرية متصلة، لأن معادلة شرودنغر في هذه الحالة تأخذ شكل معادلة موجة.

وبشكل أعم، بالنسبة لجسيم في ثلاثة أبعاد بأي دوران، يمكن كتابة الدالة الموجية في "فضاء الموضع والدوران" على النحو التالي: $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)}$$ ويمكن أيضًا ترتيب هذه العناصر في متجه عمودي $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{bmatrix}\Psi (\mathbf {r} ,s,t)\\\Psi (\mathbf {r} ,s-1,t)\\\vdots \\\Psi (\mathbf {r} ,-(s-1),t)\\\Psi (\mathbf {r} ,-s,t)\\\end{bmatrix}}}$$ حيث يتم وضع الاعتماد على الدوران في فهرسة المدخلات، وتكون الدالة الموجية دالة متجهة معقدة للمكان والزمان فقط.

تتجمع جميع قيم الدالة الموجية، ليس فقط للمتغيرات المنفصلة ولكن أيضًا للمتغيرات المستمرة ، في متجه واحد. $${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{s_{z}}\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)\,|\mathbf {r} ,s_{z}\rangle }$$

بالنسبة لجسيم واحد، فإن حاصل الضرب الموتري ⊗ لمتجه حالة موضعه | ψ⟩ ومتجه حالة دورانه | ξ⟩ يعطي متجه حالة الموضع والدوران المركب $${\displaystyle |\psi (t)\rangle \!\otimes \!|\xi (t)\rangle =\sum _{s_{z}}\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\psi (\mathbf {r} ,t)\,\xi (s_{z},t)\,|\mathbf {r} \rangle \!\otimes \!|s_{z}\rangle }$$ مع تحديد الهوية $${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =|\psi (t)\rangle \!\otimes \!|\xi (t)\rangle }$$$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)=\psi (\mathbf {r} ,t)\,\xi (s_{z},t)}$$$${\displaystyle |\mathbf {r} ,s_{z}\rangle =|\mathbf {r} \rangle \!\otimes \!|s_{z}\rangle }$$

يُمكن دائمًا تحليل حالات الطاقة الذاتية باستخدام حاصل الضرب الموتري إذا كان الزخم الزاوي المداري والزخم الزاوي المغزلي للجسيم قابلين للفصل في مؤثر هاميلتوني الذي يُحدد ديناميكيات النظام (بمعنى آخر، يُمكن تقسيم الهاميلتوني إلى مجموع حدّي الزخم المداري والزخم الزاوي المغزلي ^{[ 35 ]} ). يُمكن وضع التغير الزمني في أيٍّ من العاملين، ودراسة تطور كلٍّ منهما على حدة. في ظل هذه الهاميلتونيات، تتطور أي حالة حاصل ضرب موتري إلى حالة حاصل ضرب موتري أخرى، مما يعني أساسًا أن أي حالة غير متشابكة تظل غير متشابكة مع مرور الوقت. يُقال إن هذا يحدث عندما لا يكون هناك تفاعل فيزيائي بين حالات حاصل الضرب الموتري. في حالة الهاميلتونيات غير القابلة للفصل، تُعتبر حالات الطاقة الذاتية توليفة خطية من هذه الحالات، والتي لا يشترط أن تكون قابلة للتحليل؛ ومن الأمثلة على ذلك جسيم في مجال مغناطيسي ، واقتران الدوران المداري .

لا يقتصر النقاش السابق على الدوران كمتغير منفصل، بل يمكن أيضًا استخدام الزخم الزاوي الكلي J. ^{[ 36 ]} ويمكن التعبير عن درجات الحرية المنفصلة الأخرى، مثل الدوران النظائري ، بطريقة مشابهة لحالة الدوران المذكورة أعلاه.

إذا كان هناك العديد من الجسيمات، ففي الغالب توجد دالة موجية واحدة فقط، وليس دالة موجية منفصلة لكل جسيم. إن حقيقة أن دالة موجية واحدة تصف العديد من الجسيمات هي ما يجعل التشابك الكمومي ومفارقة إي بي آر ممكنين. تُكتب الدالة الموجية المكانية المكانية لعدد N من الجسيمات على النحو التالي: ^{[ 20 ]}$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N},t)}$$ حيث يمثل rᵢ موضع الجسيم رقم i _في الفضاء ثلاثي الأبعاد، و t الزمن. وبذلك ، تكون هذه دالة ذات قيم مركبة لـ 3N + 1 متغير حقيقي.

في ميكانيكا الكم، ثمة فرق جوهري بين الجسيمات المتطابقة والجسيمات القابلة للتمييز . فعلى سبيل المثال، أي إلكترونين متطابقان تمامًا ولا يمكن تمييزهما عن بعضهما البعض؛ إذ تجعل قوانين الفيزياء من المستحيل "وضع رقم تعريف" على إلكترون معين لتتبعه. ^{[ 31 ]} وهذا يُترجم إلى شرط على الدالة الموجية لنظام من الجسيمات المتطابقة: $${\displaystyle \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {r} _{b},\ldots \right)=\pm \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {r} _{a},\ldots \right)}$$ حيث تُستخدم علامة الجمع (+) إذا كانت جميع الجسيمات بوزونات ، وعلامة الطرح (-) إذا كانت جميعها فرميونات . بعبارة أخرى، تكون الدالة الموجية إما متناظرة كليًا في مواقع البوزونات، أو غير متناظرة كليًا في مواقع الفرميونات. ^{[ 37 ]} يتوافق التبادل الفيزيائي للجسيمات مع تبديل الوسائط في الدالة الموجية رياضيًا. تؤدي خاصية عدم التناظر في الدوال الموجية الفرميونية إلى مبدأ باولي . عمومًا، تُعد متطلبات التناظر البوزوني والفرميوني مظهرًا من مظاهر إحصاءات الجسيمات ، وهي موجودة في صيغ أخرى لحالات الكم.

بالنسبة لـ N جسيمًا مميزًا (لا يوجد اثنان متطابقان ، أي لا يوجد اثنان لهما نفس مجموعة الأرقام الكمومية)، لا يوجد شرط بأن تكون الدالة الموجية متناظرة أو مضادة للتناظر.

بالنسبة لمجموعة من الجسيمات، بعضها متطابق بإحداثيات r ₁ ، r ₂ ، ... والبعض الآخر قابل للتمييز x ₁ ، x ₂ ، ... (غير متطابقة مع بعضها البعض، وغير متطابقة مع الجسيمات المتطابقة المذكورة أعلاه)، تكون الدالة الموجية متناظرة أو مضادة للتناظر في إحداثيات الجسيمات المتطابقة r _i فقط: $${\displaystyle \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots \right)=\pm \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots \right)}$$

مرة أخرى، لا يوجد شرط للتناظر بالنسبة لإحداثيات الجسيمات المميزة x _i .

الدالة الموجية لـ N جسيمًا، لكل منها عزم مغزلي، هي دالة ذات قيم مركبة $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1},s_{z\,2}\cdots s_{z\,N},t)}$$

بتجميع كل هذه المكونات في متجه واحد،

$${\displaystyle |\Psi \rangle =\overbrace {\sum _{s_{z\,1},\ldots ,s_{z\,N}}} ^{\text{discrete labels}}\overbrace {\int _{R_{N}}d^{3}\mathbf {r} _{N}\cdots \int _{R_{1}}d^{3}\mathbf {r} _{1}} ^{\text{continuous labels}}\;\underbrace {{\Psi }(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N},s_{z\,1},\ldots ,s_{z\,N})} _{\begin{array}{c}{\text{wave function (component of }}\\{\text{ state vector along basis state)}}\end{array}}\;\underbrace {|\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N},s_{z\,1},\ldots ,s_{z\,N}\rangle } _{\text{basis state (basis ket)}}\,.}$$

بالنسبة للجسيمات المتطابقة، تنطبق متطلبات التناظر على كل من وسيطي الموضع والدوران للدالة الموجية بحيث يكون لها التناظر الصحيح بشكل عام.

تُحسب صيغ الضرب الداخلي كتكاملات على جميع الإحداثيات أو الزخم، وكمجموعات على جميع أعداد الكم المغزلي. في الحالة العامة لـ N جسيمًا مغزليًا في ثلاثة أبعاد، $${\displaystyle (\Psi _{1},\Psi _{2})=\sum _{s_{z\,N}}\cdots \sum _{s_{z\,2}}\sum _{s_{z\,1}}\int \limits _{\mathrm {all\,space} }d^{3}\mathbf {r} _{1}\int \limits _{\mathrm {all\,space} }d^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int \limits _{\mathrm {all\,space} }d^{3}\mathbf {r} _{N}\Psi _{1}^{*}\left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)\Psi _{2}\left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)}$$ هذا عبارة عن N من التكاملات الحجمية ثلاثية الأبعاد و N من المجاميع على اللفات. تُكتب عناصر الحجم التفاضلية d ³ r _i أيضًا " dV _i " أو " dx _i dy _i dz _i ".

تؤدي تحويلات فورييه متعددة الأبعاد لوظائف الموجة في فضاء الموضع أو فضاء الموضع والدوران إلى وظائف الموجة في فضاء الزخم أو فضاء الزخم والدوران.

من أبرز سمات ميكانيكا الموجة إمكانية وصول الجسيم إلى موقع ذي جهد قوة مانع (في الميكانيكا الكلاسيكية) . النموذج الشائع هو " حاجز الجهد "، وفي الحالة أحادية البعد يكون الجهد $${\displaystyle V(x)={\begin{cases}V_{0}&|x|<a\\0&|x|\geq a\end{cases}}}$$ وتكون حلول الحالة المستقرة لمعادلة الموجة على الشكل (لبعض الثوابت k و κ ) $${\displaystyle \Psi (x)={\begin{cases}A_{\mathrm {r} }e^{ikx}+A_{\mathrm {l} }e^{-ikx}&x<-a,\\B_{\mathrm {r} }e^{\kappa x}+B_{\mathrm {l} }e^{-\kappa x}&|x|\leq a,\\C_{\mathrm {r} }e^{ikx}+C_{\mathrm {l} }e^{-ikx}&x>a.\end{cases}}}$$

لاحظ أن هذه الدوال الموجية غير مُعَيَّرة؛ انظر نظرية التشتت للمزيد من التفاصيل.

التفسير القياسي لهذا هو أنه تيار من الجسيمات يُطلق عند العتبة من اليسار (اتجاه x السالب ): وضع A _{_r} = 1 يُشير إلى إطلاق الجسيمات بشكل منفرد؛ تشير الحدود التي تحتوي على A _{_r} و C _{_r} إلى الحركة نحو اليمين، بينما تشير الحدود التي تحتوي على A _{_l} و C_{_l} إلى الحركة نحو اليسار. وفقًا لهذا التفسير الشعاعي، نضع C _{_l} = 0 نظرًا لعدم وجود جسيمات قادمة من اليمين. بتطبيق استمرارية الدوال الموجية ومشتقاتها عند الحدود، يُمكن بالتالي تحديد الثوابت المذكورة أعلاه.

في بلورة شبه موصلة يكون نصف قطرها أصغر من نصف قطر بور للإكسيتون ، تنضغط الإكسيتونات، مما يؤدي إلى الحصر الكمومي . ويمكن نمذجة مستويات الطاقة باستخدام نموذج الجسيم في صندوق، حيث تعتمد طاقة الحالات المختلفة على طول الصندوق.

يمكن التعبير عن الدوال الموجية للمذبذب التوافقي الكمومي بدلالة كثيرات حدود هيرميت H _n ، وهي $${\displaystyle \Psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\cdot H_{n}{\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)}}$$ حيث n = 0، 1، 2، ... .

يتم التعبير عن الدوال الموجية للإلكترون في ذرة الهيدروجين من حيث التوافقيات الكروية ومتعددات حدود لاغير المعممة (يتم تعريفها بشكل مختلف من قبل مؤلفين مختلفين - انظر المقال الرئيسي حولها وذرة الهيدروجين).

من الملائم استخدام الإحداثيات الكروية، ويمكن فصل الدالة الموجية إلى دوال لكل إحداثية، ^{[ 40 ]}$${\displaystyle \Psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )=R(r)\,\,Y_{\ell }^{m}\!(\theta ,\phi )}$$ حيث R دوال شعاعية و Y ^m _ℓ ( θ , φ ) توافقيات كروية من الدرجة ℓ والرتبة m . هذه هي الذرة الوحيدة التي تم حل معادلة شرودنغر لها بدقة. تتطلب الذرات متعددة الإلكترونات طرقًا تقريبية. عائلة الحلول هي: ^{[ 41 ]}$${\displaystyle \Psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )={\sqrt {{\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)}^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]}}}}e^{-r/na_{0}}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)\cdot Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )}$$ حيث a₀ = 4πε₀ħ² / m _e e² هو نصف قطر بور ، _و L₂ℓ⁺¹ⁿ⁻ℓ⁻¹ هي كثيرات حدود لاغير المعممة من الدرجة _n⁻ℓ⁻¹ ^، _حيث n = ^{1 ،} 2 _، ... ^هو العدد الكمي الرئيسي ، وℓ = 0، 1، ...، n⁻¹ هو العدد الكمي ^السمتي ، _و m = ⁻ℓ ، ⁻ℓ + 1، ...، ℓ⁻¹ ، ℓ هو _العدد الكمي المغناطيسي . للذرات الشبيهة بالهيدروجين حلول مشابهة جدًا .

هذا الحل لا يأخذ في الاعتبار دوران الإلكترون.

في شكل مدارات الهيدروجين، تمثل الصور الفرعية التسع عشرة صورًا للدوال الموجية في فضاء الموضع (مربع معيارها). تمثل الدوال الموجية الحالة المجردة التي تتميز بثلاثية الأعداد الكمومية ( n ، ℓ ، m ) ، في أسفل يمين كل صورة. هذه الأعداد هي: العدد الكمومي الرئيسي، والعدد الكمومي لعزم الدوران المداري، والعدد الكمومي المغناطيسي. بالإضافة إلى عدد كمومي واحد لإسقاط اللف المغزلي للإلكترون، تُشكل هذه مجموعة كاملة من الكميات القابلة للرصد.

يمكن استخدام الشكل لتوضيح بعض الخصائص الإضافية لفضاءات الدوال الموجية.

• في هذه الحالة، تكون الدوال الموجية قابلة للتكامل التربيعي. يمكن اعتبار فضاء الدوال مبدئيًا فضاءً للدوال القابلة للتكامل التربيعي، والذي يُرمز إليه عادةً ^بـ L² .
• الدوال المعروضة هي حلول لمعادلة شرودنغر. من الواضح أن ليس كل دالة في L² تحقق معادلة شرودنغر لذرة الهيدروجين. وبالتالي، فإن فضاء الدوال هو فضاء ^جزئي من L² ^.
• تشكل الدوال المعروضة جزءًا من أساس فضاء الدوال. لكل ثلاثية ( n , ℓ , m ) دالة موجية أساسية مقابلة. إذا أُخذ اللف المغزلي في الاعتبار، فستكون هناك دالتان أساسيتان لكل ثلاثية. وبالتالي، فإن فضاء الدوال له أساس قابل للعد .
• الدوال الأساسية متعامدة بشكل متبادل .

الدالة الموجية هي عنصر من عناصر فضاء الدالة الذي يتميز جزئياً بالأوصاف الملموسة والمجردة التالية.

• معادلة شرودنغر خطية. وهذا يعني أنه يمكن جمع حلولها، وهي الدوال الموجية، وضربها بقيم قياسية لتكوين حل جديد. مجموعة حلول معادلة شرودنغر هي فضاء متجهي.
• مبدأ التراكب في ميكانيكا الكم. إذا كانت Ψ و Φ حالتين في فضاء الحالات المجرد لنظام ميكانيكي كمي، وكان a و b أي عددين مركبين، فإن a Ψ + b Φ حالة صالحة أيضًا. (أما مسألة اعتبار المتجه الصفري حالة صالحة ("عدم وجود نظام") فهي مسألة تعريف. على أي حال، لا يصف المتجه الصفري حالة الفراغ في نظرية الحقل الكمي). مجموعة الحالات المسموح بها هي فضاء متجهي.

هذا التشابه ليس من قبيل الصدفة بالطبع. وهناك أيضاً اختلافات بين المساحات يجب مراعاتها.

تتميز الحالات الأساسية بمجموعة من الأعداد الكمومية. هذه المجموعة هي مجموعة من القيم الذاتية لمجموعة قصوى من الكميات القابلة للرصد التبادلية . تُمثَّل الكميات الفيزيائية القابلة للرصد بمؤثرات خطية، تُسمى أيضًا بالكميات القابلة للرصد، على فضاء المتجهات. تعني القصوى أنه لا يمكن إضافة أي كميات قابلة للرصد مستقلة جبريًا تتبادل مع الكميات الموجودة بالفعل إلى المجموعة. يُطلق على اختيار مثل هذه المجموعة اسم اختيار التمثيل .

• من مسلمات ميكانيكا الكم أن أي كمية قابلة للرصد الفيزيائي في نظام ما، كالموقع أو الزخم أو اللف المغزلي، تُمثَّل بمؤثر هيرميتي خطي على فضاء الحالة. والنتائج المحتملة لقياس هذه الكمية هي القيم الذاتية للمؤثر. ^{[ 18 ]} وعلى مستوى أعمق، تنشأ معظم الكميات القابلة للرصد، وربما جميعها، كمولدات للتناظرات . ^{[ 18 ] [ 42 ] [ ملاحظة 6 ]}
• التفسير الفيزيائي هو أن هذه المجموعة تمثل ما يمكن - نظرياً - قياسه بدقة مطلقة في آن واحد. وتمنع علاقة عدم اليقين لهايزنبرغ القياسات الدقيقة المتزامنة لمتغيرين غير تبادليين.
• المجموعة غير فريدة. قد تكون، على سبيل المثال، لنظام جسيم واحد، إسقاطًا على المحور _z للموضع والدوران ( x , Sz ) ، أو إسقاطًا على المحور y للزخم والدوران ( p , Sy ₎ . في هذه الحالة، لا يتبادل المؤثر المقابل للموضع ( مؤثر الضرب في تمثيل الموضع ) مع المؤثر المقابل للزخم ( مؤثر التفاضل في تمثيل الموضع).
• بعد اختيار التمثيل، يبقى هناك مجال للاختيار. يبقى اختيار نظام الإحداثيات. قد يتوافق هذا، على سبيل المثال، مع اختيار المحاور س ، ص ، ع ، أو اختيار إحداثيات منحنية كما هو الحال في الإحداثيات الكروية المستخدمة لدوال الموجة الذرية للهيدروجين. يحدد هذا الاختيار الأخير أيضًا أساسًا في فضاء هيلبرت المجرد. تُصنف الحالات الأساسية بواسطة الأعداد الكمومية التي تتوافق مع المجموعة القصوى من الكميات القابلة للرصد التبادلية ونظام إحداثيات مناسب. ^{[ ملاحظة 7 ]}

تُعتبر الحالات المجردة "مجردة" فقط من حيث عدم وجود اختيار اعتباطي ضروري لوصفها بشكل صريح . وهذا يُشبه القول بأنه لم يتم تحديد مجموعة قصوى من الكميات القابلة للرصد التبادلية. وهذا يُشابه فضاءً متجهيًا بدون أساس مُحدد. وبناءً على ذلك، فإن الدوال الموجية المُقابلة لحالة ما ليست فريدة. ويعكس هذا التعدد عدم التعدد في اختيار مجموعة قصوى من الكميات القابلة للرصد التبادلية. بالنسبة لجسيم ذي لف مغزلي واحد في بُعد واحد، توجد دالتان موجيتان مُقابلتان لحالة مُعينة، _Ψ ( x , Sz ) و Ψ( p , Sy ₎ ، تصفان الحالة نفسها .

• لكل اختيار من مجموعات التبادل القصوى للملاحظات في فضاء الحالة المجرد، يوجد تمثيل مقابل مرتبط بفضاء دالة للدوال الموجية.
• توجد بين جميع فضاءات الدوال المختلفة هذه وفضاء الحالة المجرد علاقات تناظرية (مع تجاهل عوامل التطبيع وعوامل الطور غير القابلة للملاحظة)، والقاسم المشترك بينها هو حالة مجردة محددة. فعلى سبيل المثال، العلاقة بين دوال الموجة في فضاء الزخم وفضاء الموضع، والتي تصف الحالة نفسها، هي تحويل فورييه .

ينبغي النظر إلى كل اختيار للتمثيل على أنه يحدد فضاءً داليًا فريدًا توجد فيه الدوال الموجية الموافقة لذلك الاختيار. من الأفضل الحفاظ على هذا التمييز، حتى لو أمكن القول بأن فضاءين داليين من هذا النوع متساويان رياضيًا، كأن يكون أحدهما مجموعة الدوال القابلة للتكامل التربيعي. عندئذٍ، يمكن اعتبار الفضاءين الداليين نسختين مختلفتين من تلك المجموعة.

يوجد هيكل جبري إضافي على فضاءات المتجهات للدوال الموجية وفضاء الحالة المجرد.

• فيزيائيًا، تُفسَّر الدوال الموجية المختلفة على أنها تتداخل بدرجة ما. لا يمكن إيجاد نظام في الحالة Ψ غير المتداخلة مع الحالة Φ في الحالة Φ عند القياس. ولكن إذا تداخلت Φ₁ _، Φ₂ _، ... مع Ψ بدرجة ما ، فهناك احتمال أن يُوجد قياس نظام موصوف بـ Ψ في الحالات Φ₁ _، Φ₂ _، ... . كما تُطبَّق قواعد الانتقاء ، والتي تُصاغ عادةً في إطار الحفاظ على بعض الأعداد الكمومية. هذا يعني أن بعض العمليات المسموح بها من بعض المنظورات (مثل حفظ الطاقة والزخم) لا تحدث لأن الدوال الموجية الكلية الابتدائية والنهائية لا تتداخل.
• رياضياً، يتضح أن حلول معادلة شرودنغر لجهود معينة تكون متعامدة بطريقة ما، وعادة ما يتم وصف ذلك بواسطة تكامل$${\displaystyle \int \Psi _{m}^{*}\Psi _{n}w\,dV=\delta _{nm},}$$حيث يمثل m و n مجموعتين من المؤشرات (الأعداد الكمومية) التي تُشير إلى الحلول المختلفة، وتُسمى الدالة الموجبة تمامًا w دالة الوزن، و δmn هي دالة كرونكر دلتا _. ويتم إجراء التكامل على كامل الفضاء ذي الصلة.

يحفز هذا إدخال الضرب الداخلي على فضاء المتجهات للحالات الكمومية المجردة، بما يتوافق مع الملاحظات الرياضية المذكورة أعلاه عند الانتقال إلى تمثيل معين. يُرمز إليه بـ ( Ψ, Φ) ، أو في تدوين برا-كيت ⟨Ψ | Φ⟩ . وينتج عنه عدد مركب. مع الضرب الداخلي، يصبح فضاء الدوال فضاءً للضرب الداخلي . يعتمد الظهور الصريح للضرب الداخلي (عادةً ما يكون تكاملاً أو مجموع تكاملات) على اختيار التمثيل، لكن العدد المركب (Ψ, Φ) لا يعتمد عليه. ينبع جزء كبير من التفسير الفيزيائي لميكانيكا الكم من قاعدة بورن . تنص هذه القاعدة على أن احتمال p لإيجاد الحالة Φ عند القياس، علماً بأن النظام في الحالة Ψ، هو $${\displaystyle p=|(\Phi ,\Psi )|^{2},}$$ حيث يُفترض أن Φ و Ψ مُعَيَّرتان. لنفترض تجربة تشتت . في نظرية الحقل الكمومي، إذا كانت Φ _out تصف حالة في "المستقبل البعيد" (حالة "خارجية") بعد توقف التفاعلات بين جسيمات التشتت، و Ψ _in تصف حالة "داخلية" في "الماضي البعيد"، فإن الكميتين (Φ _out ، Ψ _in ) ، حيث تتغير Φ _out و Ψ _in على مجموعة كاملة من الحالات الداخلية والخارجية على التوالي، تُسمى مصفوفة التشتت ( S-matrix ). إن معرفة هذه المصفوفة تُعدّ، في الواقع، بمثابة حلٍّ للنظرية قيد الدراسة، على الأقل فيما يتعلق بالتنبؤات. ويمكن حساب كميات قابلة للقياس، مثل معدلات الاضمحلال ومقاطع التشتت ، من مصفوفة التشتت. ^{[ 43 ]}

تُلخص الملاحظات السابقة جوهر فضاءات الدوال التي تُعد الدوال الموجية عناصر منها. مع ذلك، لم يكتمل الوصف بعد. ثمة شرط تقني إضافي على فضاء الدوال، وهو شرط الاكتمال ، الذي يسمح بأخذ نهايات المتتاليات في فضاء الدوال، والتأكد من أن النهاية، إن وُجدت، هي عنصر من عناصر فضاء الدوال. يُسمى فضاء الضرب الداخلي الكامل فضاء هيلبرت . تُعد خاصية الاكتمال أساسية في المعالجات والتطبيقات المتقدمة لميكانيكا الكم. على سبيل المثال، يعتمد وجود مُؤثرات الإسقاط أو الإسقاطات المتعامدة على اكتمال الفضاء. ^{[ 44 ]} تُعد مُؤثرات الإسقاط هذه، بدورها، ضرورية لصياغة وإثبات العديد من النظريات المفيدة، مثل نظرية الطيف . لا تُعد هذه الخاصية ذات أهمية كبيرة في ميكانيكا الكم التمهيدية، ويمكن الاطلاع على التفاصيل التقنية والروابط في الحواشي، مثل الحاشية التالية. ^{[ 8 ] الفضاء} L² هو فضاء هيلبرت، وسيتم عرض الضرب الداخلي لاحقًا. فضاء الدوال في المثال الموضح في الشكل هو فضاء جزئي من L² ^. الفضاء الجزئي من فضاء هيلبرت هو فضاء هيلبرت إذا كان مغلقًا.

باختصار، تشكل مجموعة جميع الدوال الموجية القابلة للتطبيع الممكنة لنظام مع اختيار معين للأساس، جنبًا إلى جنب مع المتجه الصفري، فضاء هيلبرت.

ليست كل الدوال المهمة عناصر في فضاء هيلبرت، ولنقل L² . وأبرز مثال على ذلك مجموعة الدوال e²πip ^{· x / h} . هذه حلول موجية مستوية لمعادلة شرودنغر لجسيم حر ^، وهي غير قابلة للتطبيع، وبالتالي ليست في ^L² . ^{ومع ذلك ،} فهي أساسية للوصف. يمكن، باستخدامها، التعبير عن دوال ^قابلة للتطبيع باستخدام حزم موجية . وهي، بمعنى ما، أساس (ولكن ليس أساس فضاء هيلبرت، ولا أساس هامل ) يمكن من خلاله التعبير عن الدوال الموجية المهمة. هناك أيضًا ما يُعرف بـ "التطبيع إلى دالة دلتا" والذي يُستخدم غالبًا لتسهيل الترميز، انظر لاحقًا. دوال دلتا نفسها غير قابلة للتكامل التربيعي أيضًا.

إن الوصف المذكور أعلاه لفضاء الدوال الذي يحتوي على الدوال الموجية ذو دوافع رياضية في الغالب. تتميز فضاءات الدوال، من باب الشمولية، باتساعها الكبير . ليست كل الدوال وصفًا واقعيًا لأي نظام فيزيائي. على سبيل المثال، في فضاء الدوال L² ^، يمكن إيجاد دالة تأخذ القيمة 0 لجميع الأعداد النسبية و- i للأعداد غير النسبية في الفترة [0، 1] . هذه الدالة قابلة للتكامل التربيعي، ^{[ ملاحظة 9 ]،} ولكن من الصعب أن تمثل حالة فيزيائية.

بينما يُعد فضاء الحلول ككل فضاء هيلبرت، إلا أن هناك العديد من فضاءات هيلبرت الأخرى التي تظهر بشكل شائع كمكونات.

• الدوال المركبة القابلة للتكامل التربيعي على الفترة [ 0، 2π ] . المجموعة { e ^int /2π ، n ∈ Z } هي أساس فضاء هيلبرت، أي مجموعة متعامدة قصوى.
• يُحوّل تحويل فورييه الدوال في الفضاء المذكور أعلاه إلى عناصر من l² ( Z ) ، ^وهو فضاء الدوال القابلة للجمع التربيعي Z → C. هذا الفضاء الأخير هو فضاء هيلبرت _، وتحويل فورييه هو تماثل بين فضاءات هيلبرت. ^{[ ملاحظة 10 ]} أساسه هو { eᵢ _, i ∈ Z } حيث eᵢ ( j ) = δᵢⱼ _, i , j ∈ Z.
• أبسط مثال على كثيرات الحدود الممتدة هو في فضاء الدوال القابلة للتكامل التربيعي على الفترة [ –1، 1 ] والتي تكون فيها كثيرات حدود ليجندر أساسًا لفضاء هيلبرت (مجموعة متعامدة كاملة).
• الدوال القابلة للتكامل التربيعي على كرة الوحدة S² هي فضاء هيلبرت ^. دوال الأساس في هذه الحالة هي التوافقيات الكروية . متعددات حدود ليجندر هي مكونات في التوافقيات الكروية. معظم المسائل ذات التناظر الدوراني لها حل "معروف" بالنسبة لهذا التناظر، لذا تُختزل المسألة الأصلية إلى مسألة ذات أبعاد أقل.
• تظهر كثيرات حدود لاغير المرتبطة في مسألة دالة الموجة الهيدروجينية بعد استخراج التوافقيات الكروية. وتمتد هذه كثيرات الحدود على فضاء هيلبرت للدوال القابلة للتكامل التربيعي على الفترة شبه اللانهائية [ 0, ∞) .

بشكلٍ أعم، يمكن النظر في معالجة موحدة لجميع حلول كثيرات الحدود من الدرجة الثانية لمعادلات ستورم-ليوفيل في فضاء هيلبرت. تشمل هذه الحلول كثيرات حدود ليجندر ولاغير، بالإضافة إلى كثيرات حدود تشيبيشيف وجاكوبي وهيرميت . تظهر جميع هذه الحلول في مسائل فيزيائية، لا سيما الأخيرة في المذبذب التوافقي ، وما كان في السابق متاهةً محيرةً من خصائص الدوال الخاصة، يتحول إلى مجموعة منظمة من الحقائق. للمزيد من المعلومات، انظر بايرون وفولر (1992 ، الفصل 5) .

توجد أيضًا فضاءات هيلبرت ذات أبعاد محدودة. الفضاء C ^_n هو فضاء هيلبرت ذو بُعد n . الضرب الداخلي هو الضرب الداخلي القياسي على هذه الفضاءات. يوجد فيه "الجزء المغزلي" لدالة الموجة لجسيم واحد.

• في الوصف غير النسبي للإلكترون يكون لدينا n = 2 وتكون الدالة الموجية الكلية حلاً لمعادلة باولي .
• في المعالجة النسبية المقابلة، n = 4 وتحل الدالة الموجية معادلة ديراك .

مع ازدياد عدد الجسيمات، يصبح الوضع أكثر تعقيدًا. إذ يتطلب الأمر استخدام الضرب الموتري ونظرية تمثيل مجموعات التناظر المعنية ( مجموعة الدوران ومجموعة لورنتز على التوالي) لاستخلاص الفضاءات التي تتواجد فيها دوال الموجة الدورانية (الكلي) من الضرب الموتري. (تظهر مشاكل أخرى في الحالة النسبية ما لم تكن الجسيمات حرة. [ 45 ] انظر معادلة بيث-سالبيتر ). تنطبق الملاحظات المماثلة على مفهوم الدوران النظائري ، الذي تكون مجموعة تناظره SU(2) . استخدمت نماذج القوى النووية في الستينيات (والتي لا تزال مفيدة حتى اليوم، انظر القوة النووية ) مجموعة التناظر SU(3) . في هذه الحالة أيضًا، يتواجد جزء دوال الموجة المقابل للتناظرات الداخلية في فضاءات فرعية من C n  أو من الضرب الموتري لهذه الفضاءات.

• في نظرية الحقل الكمومي، يُعد فضاء فوك هو فضاء هيلبرت الأساسي . يُبنى هذا الفضاء من حالات الجسيمات المفردة الحرة، أي الدوال الموجية عند اختيار تمثيل معين، ويمكنه استيعاب أي عدد محدود من الجسيمات، ليس بالضرورة ثابتًا مع الزمن. تكمن الديناميكيات المهمة (أو بالأحرى القابلة للمعالجة ) ليس في الدوال الموجية، بل في مؤثرات الحقل التي تعمل على فضاء فوك. لذا، يُعد تمثيل هايزنبرغ الخيار الأكثر شيوعًا (حالات ثابتة، مؤثرات متغيرة مع الزمن).

نظراً لطبيعة النظام اللانهائية الأبعاد، فإن الأدوات الرياضية المناسبة هي موضوعات للدراسة في التحليل الوظيفي .

لا تتناول جميع الكتب التمهيدية بالتفصيل آليات فضاء هيلبرت، بل تركز على معادلة شرودنغر غير النسبية في تمثيل الموضع لبعض الكمونات القياسية. وتُصاغ القيود التالية على دالة الموجة أحيانًا بشكل صريح لتسهيل الحسابات والتفسير الفيزيائي: ^{[ 46 ] [ 47 ]}

• يجب أن تكون الدالة الموجية قابلة للتكامل التربيعي . وهذا ما يبرره تفسير كوبنهاغن للدالة الموجية على أنها سعة احتمالية.
• يجب أن تكون متصلة في كل مكان وقابلة للتفاضل بشكل مستمر في كل مكان . وهذا ما يبرره ظهور معادلة شرودنغر لمعظم الكمونات المعقولة فيزيائياً.

من الممكن تخفيف هذه الشروط بعض الشيء لأغراض خاصة. ^{[ ملاحظة 11 ]} إذا لم تُستوفَ هذه المتطلبات، فلا يمكن تفسير الدالة الموجية على أنها سعة احتمالية. ^{[ 48 ]} تجدر الإشارة إلى أنه قد تنشأ استثناءات لقاعدة استمرارية المشتقات عند نقاط الانقطاع اللانهائي لحقل الجهد. على سبيل المثال، في حالة جسيم داخل صندوق، حيث يمكن أن تكون مشتقة الدالة الموجية غير مستمرة عند حدود الصندوق، حيث يُعرف أن الجهد ذو انقطاع لانهائي.

لا يُغيّر هذا من بنية فضاء هيلبرت الذي تشغله هذه الدوال الموجية تحديدًا، ولكن الفضاء الجزئي للدوال القابلة للتكامل التربيعي L² ^، وهو فضاء هيلبرت، والذي يُحقق الشرط الثاني، ليس مغلقًا في L² ^، وبالتالي فهو ليس فضاء هيلبرت بحد ذاته. ^{[ ملاحظة 12 ]} لا تزال الدوال التي لا تُحقق الشروط مطلوبة لأسباب تقنية وعملية. ^{[ ملاحظة 13 ] [ ملاحظة 14 ]}