قرص هوائي

في علم البصريات ، يُستخدم مصطلحا " قرص آيري " و "نمط آيري " لوصف أفضل بقعة ضوئية مركزة يمكن أن تُنتجها عدسة مثالية ذات فتحة دائرية ، وذلك في حدود حيود الضوء. ويُعدّ قرص آيري ذا أهمية بالغة في الفيزياء والبصريات وعلم الفلك .

يُظهر نمط الحيود الناتج عن فتحة دائرية مضاءة بشكل منتظم منطقة مركزية ساطعة تُعرف باسم قرص آيري، والذي يُطلق عليه مع سلسلة الحلقات متحدة المركز المحيطة به اسم نمط آيري. وقد سُمّي كلاهما نسبةً إلى جورج بيدل آيري . وكانت ظاهرة القرص والحلقات معروفة قبل آيري؛ فقد وصف جون هيرشل مظهر نجم ساطع يُرى من خلال تلسكوب تحت تكبير عالٍ في مقال نُشر عام 1828 عن الضوء في موسوعة متروبوليتانا .

...ثم يُرى النجم (في ظروف مواتية من جو هادئ ودرجة حرارة منتظمة، وما إلى ذلك) على شكل قرص كوكبي مستدير تمامًا وواضح المعالم، محاطًا بحلقتين أو ثلاث حلقات أو أكثر تتناوب بين الظلام والضوء، والتي إذا تم فحصها بعناية، يُلاحظ أنها ملونة قليلاً عند حوافها. وتتوالى هذه الحلقات على فترات متساوية تقريبًا حول القرص المركزي.... ^{[ 1 ]}

كتب إيري أول معالجة نظرية كاملة تشرح هذه الظاهرة (كتابه عام 1835 بعنوان "حول حيود عدسة موضوعية ذات فتحة دائرية"). ^{[ 2 ]}

رياضياً، يتميز نمط الحيود بطول موجة الضوء الساقط على الفتحة الدائرية، وحجم هذه الفتحة. كما يتميز مظهر نمط الحيود بحساسية العين أو أي كاشف آخر يُستخدم لرصد هذا النمط.

يُعدّ استخدام الكاميرات والمجاهر والتلسكوبات من أهم تطبيقات هذا المفهوم . فبسبب حيود الضوء، تكون أصغر نقطة يمكن للعدسة أو المرآة تركيز شعاع الضوء عليها بحجم قرص آيري. وحتى لو أمكن صنع عدسة مثالية، فسيظل هناك حدٌّ لدقة الصورة التي تُنتجها. ويُطلق على النظام البصري الذي لا تكون دقته محدودةً بعيوب العدسات، بل بالحيود فقط، اسم " نظام محدود بالحيود" .

بعيدًا عن الفتحة، تُعطى الزاوية التي يحدث عندها الحد الأدنى الأول، مقاسة من اتجاه الضوء الوارد، بالصيغة التقريبية التالية:

$${\displaystyle \sin \theta \approx 1.22{\frac {\lambda }{d}}}$$

أو، بالنسبة للزوايا الصغيرة، ببساطة

$${\displaystyle \theta \approx 1.22{\frac {\lambda }{d}},}$$

أين${\displaystyle \theta }$بالراديان،${\displaystyle \lambda }$يمثل طول موجة الضوء بالمتر، و${\displaystyle {d}}$يمثل قطر الفتحة بالأمتار. ويُعطى العرض الكامل عند نصف الحد الأقصى بالعلاقة التالية:${\displaystyle \theta _{\mathrm {FWHM} }=1.029{\frac {\lambda }{d}}.}$

كتب آيري هذه العلاقة على النحو التالي:

$${\displaystyle s={\frac {2.76}{a}},}$$

أين${\displaystyle {s}}$كانت زاوية الحد الأدنى الأول بالثواني القوسية،${\displaystyle {a}}$كان نصف قطر الفتحة بالبوصات، وافتُرض أن طول موجة الضوء يساوي 0.000022  بوصة (560  نانومتر؛ متوسط ​​أطوال موجات الضوء المرئي). ^{[ 3 ]} وهذا يُعادل الدقة الزاوية لفتحة دائرية. ينص معيار رايلي للتمييز الدقيق بين جسمين نقطيين، مثل النجوم المرئية عبر التلسكوب، على أن مركز قرص آيري للجسم الأول يقع عند الحد الأدنى الأول لقرص آيري للجسم الثاني. وهذا يعني أن الدقة الزاوية لنظام محدود الانعراج تُعطى بنفس الصيغ.

مع ذلك، فبينما تعتمد الزاوية التي يحدث عندها الحد الأدنى الأول (والتي تُوصف أحيانًا بنصف قطر قرص آيري) على الطول الموجي وحجم الفتحة فقط، فإن مظهر نمط الحيود يتغير بتغير شدة (سطوع) مصدر الضوء. ولأن أي كاشف (عين، فيلم، رقمي) يُستخدم لرصد نمط الحيود قد يكون له عتبة شدة للكشف، فقد لا يظهر نمط الحيود الكامل. في علم الفلك، غالبًا ما تكون الحلقات الخارجية غير ظاهرة حتى في صورة مكبرة للغاية لنجم. قد لا تظهر أي من الحلقات، وفي هذه الحالة تظهر صورة النجم كقرص (الحد الأقصى المركزي فقط) بدلًا من نمط حيود كامل. علاوة على ذلك، تظهر النجوم الخافتة كأقراص أصغر من النجوم الأكثر سطوعًا، لأن جزءًا أقل من حدها الأقصى المركزي يصل إلى عتبة الكشف. ^{[ 4 ]} بينما من الناحية النظرية، فإن جميع النجوم أو "المصادر النقطية" الأخرى ذات الطول الموجي المحدد والتي تُرى من خلال فتحة معينة لها نفس نصف قطر قرص آيري الذي يتميز بالمعادلة المذكورة أعلاه (ونفس حجم نمط الحيود)، وتختلف فقط في شدة الإضاءة، إلا أن المظهر هو أن المصادر الخافتة تظهر كأقراص أصغر، والمصادر الأكثر سطوعًا تظهر كأقراص أكبر. ^{[ 5 ]} وقد وصف آيري هذا في عمله الأصلي: ^{[ 6 ]}

يُفسر الانخفاض السريع في شدة الضوء في الحلقات المتتالية رؤية حلقتين أو ثلاث حلقات مع نجم شديد السطوع، وعدم رؤية الحلقات مع نجم خافت. كما يُفسر اختلاف أقطار البقع المركزية (أو الأقراص الزائفة) للنجوم المختلفة تفسيراً كاملاً. فمثلاً، يُحدد نصف قطر القرص الزائف لنجم خافت، حيث لا يُؤثر الضوء الذي تقل شدته عن نصف شدة الضوء المركزي على العين، بالمعادلة [ s = 1.17/ a ]، بينما يُحدد نصف قطر القرص الزائف لنجم ساطع، حيث يكون الضوء الذي تبلغ شدته عُشر شدة الضوء المركزي محسوساً، بالمعادلة [ s = 1.97/ a ].

على الرغم من هذه السمة في عمل آيري، غالبًا ما يُذكر نصف قطر قرص آيري على أنه ببساطة زاوية الحد الأدنى الأول، حتى في الكتب الدراسية القياسية. ^{[ 7 ]} في الواقع، تُعد زاوية الحد الأدنى الأول قيمةً حديةً لحجم قرص آيري، وليست نصف قطرًا محددًا.

سيظهر الضوء القادم من فتحة دائرية مضاءة بشكل موحد (أو من شعاع موحد ومسطح) نمط حيود إيري بعيدًا عن الفتحة بسبب حيود فراونهوفر (حيود المجال البعيد).

شروط التواجد في المجال البعيد وإظهار نمط إيري هي: أن يكون الضوء الساقط على الفتحة موجة مستوية (بدون تغير في الطور عبر الفتحة)، وأن تكون شدة الضوء ثابتة على مساحة الفتحة، والمسافة${\displaystyle R}$تكون المسافة من الفتحة التي يُرصد عندها الضوء المنحرف (مسافة الشاشة) كبيرة مقارنة بحجم الفتحة، ونصف القطر${\displaystyle a}$لا يزيد قطر الفتحة كثيرًا عن الطول الموجي${\displaystyle \lambda }$من الضوء. يمكن كتابة الشرطين الأخيرين رسميًا على النحو التالي${\displaystyle R>a^{2}/\lambda .}$

عمليًا، يمكن تحقيق شروط الإضاءة المنتظمة بوضع مصدر الإضاءة بعيدًا عن فتحة العدسة. إذا لم تتحقق شروط المجال البعيد (على سبيل المثال، إذا كانت فتحة العدسة كبيرة)، فيمكن الحصول على نمط حيود آيري للمجال البعيد على شاشة أقرب بكثير إلى فتحة العدسة باستخدام عدسة مباشرة بعد فتحة العدسة (أو يمكن للعدسة نفسها أن تُشكّل فتحة العدسة). عندئذٍ، سيتشكل نمط آيري عند بؤرة العدسة بدلًا من اللانهاية.

وبالتالي، فإن البقعة البؤرية لشعاع ليزر دائري منتظم (شعاع مسطح القمة) يتم تركيزه بواسطة عدسة ستكون أيضًا نمطًا من أنماط إيري.

في الكاميرا أو نظام التصوير، تُسقط العدسة الشيئية صورة جسم بعيد على الفيلم أو مستوى الكاشف، ويُرصد نمط حيود المجال البعيد عند الكاشف. الصورة الناتجة هي عبارة عن تراكب للصورة المثالية مع نمط حيود آيري الناتج عن الحيود من فتحة العدسة أو بسبب الحجم المحدود للعدسة. وهذا ما يُفسر الدقة المحدودة لنظام العدسات الموصوف أعلاه.

تتبع شدة نمط آيري نمط حيود فراونهوفر لفتحة دائرية، والذي يُعطى بواسطة مربع القيمة المطلقة لتحويل فورييه للفتحة الدائرية:

$${\displaystyle I(\theta )=I_{0}\left[{\frac {2J_{1}(k\,a\sin \theta )}{k\,a\sin \theta }}\right]^{2}=I_{0}\left[{\frac {2J_{1}(x)}{x}}\right]^{2}}$$

أين${\displaystyle I_{0}}$تمثل أقصى شدة للنمط في مركز قرص إيري،${\displaystyle J_{1}}$هي دالة بيسل من النوع الأول من الرتبة الأولى،${\displaystyle k={2\pi }/{\lambda }}$هو العدد الموجي ،${\displaystyle a}$يمثل نصف قطر الفتحة، و${\displaystyle \theta }$هي زاوية الرصد، أي الزاوية بين محور الفتحة الدائرية والخط الواصل بين مركز الفتحة ونقطة الرصد.${\displaystyle x=ka\sin \theta ={\frac {2\pi a}{\lambda }}{\frac {q}{R}},}$حيث q هي المسافة القطرية من نقطة الرصد إلى المحور البصري ، و R هي المسافة من نقطة الرصد إلى الفتحة. تجدر الإشارة إلى أن قرص آيري، كما هو موضح في التعبير أعلاه، لا يكون صالحًا إلا لقيم R الكبيرة ، حيث ينطبق حيود فراونهوفر ؛ أما حساب الظل في المجال القريب فيجب أن يتم باستخدام حيود فرينل .

مع ذلك، يظهر نمط آيري الدقيق على مسافة محددة إذا وُضعت عدسة عند فتحة العدسة. عندئذٍ، سيكون نمط آيري مُركّزًا تمامًا على المسافة التي تُحددها البُعد البؤري للعدسة (بافتراض سقوط ضوء متوازٍ على فتحة العدسة) وفقًا للمعادلات المذكورة أعلاه.

أصفار${\displaystyle J_{1}(x)}$هم في${\displaystyle x=ka\sin \theta \approx 3.8317,7.0156,10.1735,13.3237,16.4706\dots .}$ومن هذا، يتبين أن الحلقة المظلمة الأولى في نمط الحيود تحدث حيث${\displaystyle ka\sin {\theta }=3.8317\dots ,}$أو

$${\displaystyle \sin \theta \approx {\frac {3.83}{ka}}={\frac {3.83\lambda }{2\pi a}}=1.22{\frac {\lambda }{2a}}=1.22{\frac {\lambda }{d}}.}$$

إذا تم استخدام عدسة لتركيز نمط إيري على مسافة محددة، فإن نصف القطر${\displaystyle q_{1}}$تُحدد نسبة الحلقة المظلمة الأولى على مستوى البؤرة فقط بواسطة الفتحة العددية A (المرتبطة ارتباطًا وثيقًا بالعدد البؤري ) بواسطة $${\displaystyle q_{1}=R\sin \theta _{1}\approx 1.22{R}{\frac {\lambda }{d}}=1.22{\frac {\lambda }{2A}}}$$

حيث تساوي الفتحة العددية A نصف قطر الفتحة d /2 مقسومًا على R'، وهي المسافة من مركز نمط إيري إلى حافة الفتحة. عند النظر إلى فتحة نصف قطرها d /2 وعدسة ككاميرا (انظر الرسم التوضيحي أعلاه) تُسقط صورة على مستوى بؤري على مسافة f ، ترتبط الفتحة العددية A بالعدد البؤري الشائع N = f/d (نسبة البعد البؤري إلى قطر العدسة) وفقًا لـ

$${\displaystyle A={\frac {r}{R'}}={\frac {r}{\sqrt {f^{2}+r^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {4N^{2}+1}}};}$$

بالنسبة لـ N ≫ 1، يتم تقريبها ببساطة على النحو التالي${\textstyle A\approx 1/2N.}$هذا يوضح أن أفضل دقة صورة ممكنة للكاميرا محدودة بالفتحة العددية (وبالتالي رقم f) لعدستها بسبب الانعراج .

نصف القيمة القصوى لقرص إيري المركزي (حيث${\displaystyle 2J_{1}(x)/x=1/{\sqrt {2}}}$يحدث ) في${\displaystyle x=1.61633995\dots$ النقطة 1/e ² ( حيث ${\displaystyle 2J_{1}(x)/x=1/{e}}$يحدث ) في${\displaystyle x=2.58383899\dots ,}$ويحدث الحد الأقصى للحلقة الأولى عند${\displaystyle x=5.13562230\dots .}$

الشدة${\displaystyle I_{0}}$يرتبط مركز نمط الحيود بالقدرة الكلية${\displaystyle P_{0}}$حادثة على الفتحة بواسطة ^{[ 12 ]}

$${\displaystyle I_{0}={\frac {\mathrm {E} _{A}^{2}A^{2}}{2R^{2}}}={\frac {P_{0}A}{\lambda ^{2}R^{2}}}}$$

أين${\displaystyle \mathrm {E} }$تمثل قوة المصدر لكل وحدة مساحة عند الفتحة، و A مساحة الفتحة (${\displaystyle A=\pi a^{2}}$) و R هي المسافة من الفتحة. عند المستوى البؤري للعدسة،${\displaystyle I_{0}=(P_{0}A)/(\lambda ^{2}f^{2}).}$تبلغ شدة الإضاءة عند الحد الأقصى للحلقة الأولى حوالي 1.75% من شدة الإضاءة في مركز قرص إيري.

التعبير عن${\displaystyle I(\theta )}$يمكن دمج ما سبق لإعطاء إجمالي الطاقة الموجودة في نمط الحيود داخل دائرة ذات حجم معين:

$${\displaystyle P(\theta )=P_{0}[1-J_{0}^{2}(ka\sin \theta )-J_{1}^{2}(ka\sin \theta )]}$$

أين${\displaystyle J_{0}}$و${\displaystyle J_{1}}$هي دوال بيسل . ومن ثم فإن نسب القدرة الكلية الموجودة داخل الحلقات المظلمة الأولى والثانية والثالثة (حيث${\displaystyle J_{1}(ka\sin \theta )=0}$) هي 83.8% و91.0% و93.8% على التوالي. ^{[ 13 ]}

تفترض المعالجات الكلاسيكية لقرص آيري ونمط الحيود أن الضوء الساقط عبارة عن موجة مستوية تتكون من فوتونات متماسكة (متوافقة في الطور) لها نفس الطول الموجي وتتداخل فيما بينها. وقد أظهرت تجربة الشق المزدوج الشهيرة أن أنماط الحيود يمكن أن تنشأ حتى عندما تكون الفوتونات المتماسكة متباعدة زمنيًا لدرجة لا تسمح لها بالتداخل. أدى هذا إلى التصور الكمي الذي يفترض أن كل فوتون يسلك فعليًا جميع المسارات الممكنة من المصدر إلى الكاشف. أوضح ريتشارد فاينمان أن لكل مسار سعة مركبة يمكن اعتبارها متجه وحدة عموديًا على المسار، ويكمل دورة كاملة لكل طول موجي يقطعه. احتمال الكشف هو مربع القيمة المطلقة لمجموع السعات المركبة عند الكاشف. تنشأ أنماط الحيود لأن مجموع المسارات يختلف باختلاف مواقع الكاشف. وفقًا لهذه المبادئ، يمكن حساب قرص آيري ونمط الحيود عدديًا باستخدام تكاملات مسار الفوتون لفينمان لتحديد احتمالية الكشف عند نقاط مختلفة في المستوى البؤري لمرآة مكافئة. ^{[ 14 ]}

يتلاشى نمط آيري ببطء نسبيًا إلى الصفر مع ازدياد المسافة من المركز، حيث تحتوي الحلقات الخارجية على جزء كبير من شدة النمط المتكاملة. ونتيجة لذلك، يكون متوسط ​​الجذر التربيعي لحجم البقعة غير مُعرَّف (أي لانهائي). يتمثل مقياس بديل لحجم البقعة في تجاهل الحلقات الخارجية الصغيرة نسبيًا لنمط آيري وتقريب الفص المركزي بملف غاوسي ، بحيث

$${\displaystyle I(q)\approx I'_{0}\exp \left({\frac {-2q^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\right)\ ,}$$

أين${\displaystyle I'_{0}}$يمثل الإشعاع في مركز النمط،${\displaystyle q}$يمثل المسافة الشعاعية من مركز النمط، و${\textstyle \omega _{0}}$يمثل عرض الجذر التربيعي المتوسط ​​لتوزيع غاوس (في بُعد واحد). إذا قمنا بمساواة سعة الذروة لنمط آيري مع شكل غاوس، أي${\displaystyle I'_{0}=I_{0},}$وأوجد قيمة${\textstyle \omega _{0}}$بإعطاء التقريب الأمثل للنمط، نحصل على ^{[ 15 ]}

${\textstyle \omega _{0}\approx 0.84\lambda N\ ,}$

حيث N هو العدد البؤري . أما إذا أردنا، من ناحية أخرى، فرض أن يكون لملف غاوس نفس حجم نمط آيري، فإن هذا يصبح

${\textstyle \omega _{0}\approx 0.90\lambda N\ .}$

في نظرية الانحراف البصري ، من الشائع وصف نظام التصوير بأنه محدود الانعراج إذا كان نصف قطر قرص آيري أكبر من حجم البقعة RMS المحدد من تتبع الأشعة الهندسية (انظر تصميم العدسات البصرية ). يوفر تقريب المظهر الجانبي الغاوسي وسيلة بديلة للمقارنة: باستخدام التقريب أعلاه، يتضح أن خصر غاوسي${\textstyle \omega _{0}}$يبلغ نصف قطر قرص آيري، وفقًا لتقريب غاوس، حوالي ثلثي نصف قطر قرص آيري، أي${\displaystyle 0.84\lambda N}$على عكس${\displaystyle 1.22\lambda N.}$

يمكن اشتقاق معادلات مماثلة لنمط حيود آيري المحجوب ^{[ 16 ] [ 17 ]} ، وهو نمط الحيود الناتج عن فتحة أو شعاع حلقي، أي فتحة دائرية منتظمة (شعاع) محجوبة بكتلة دائرية في المركز. وينطبق هذا الوضع على العديد من تصميمات التلسكوبات العاكسة الشائعة التي تتضمن مرآة ثانوية ، بما في ذلك التلسكوبات النيوتونية وتلسكوبات شميدت-كاسجرين .

$${\displaystyle I(R)={\frac {I_{0}}{(1-\epsilon ^{2})^{2}}}\left({\frac {2J_{1}(x)}{x}}-{\frac {2\epsilon J_{1}(\epsilon x)}{x}}\right)^{2}}$$

أين${\displaystyle \epsilon }$نسبة حجب الفتحة الحلقية، أو نسبة قطر القرص الحاجب وقطر الفتحة (الشعاع).${\displaystyle \left(0\leq \epsilon <1\right),}$ويتم تعريف x كما هو موضح أعلاه:${\displaystyle x=ka\sin(\theta )\approx {\frac {\pi R}{\lambda N}}}$أين${\displaystyle R}$هي المسافة الشعاعية في المستوى البؤري من المحور البصري،${\displaystyle \lambda }$هو الطول الموجي و${\displaystyle N}$يمثل f عدد النظام. الطاقة المحصورة جزئيًا (نسبة الطاقة الكلية الموجودة داخل دائرة نصف قطرها${\displaystyle R}$يتم إعطاء (المتمركزة عند المحور البصري في المستوى البؤري) بالصيغة التالية:

$${\displaystyle E(R)={\frac {1}{(1-\epsilon ^{2})}}\left(1-J_{0}^{2}(x)-J_{1}^{2}(x)+\epsilon ^{2}\left[1-J_{0}^{2}(\epsilon x)-J_{1}^{2}(\epsilon x)\right]-4\epsilon \int _{0}^{x}{\frac {J_{1}(t)J_{1}(\epsilon t)}{t}}\,dt\right)}$$

ل${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$تُختزل الصيغ إلى النسخ غير المحجوبة المذكورة أعلاه.

يتمثل الأثر العملي لوجود عائق مركزي في التلسكوب في أن القرص المركزي يصبح أصغر قليلاً، وتصبح الحلقة المضيئة الأولى أكثر سطوعاً على حساب القرص المركزي. وتزداد هذه المشكلة تعقيداً مع التلسكوبات ذات البعد البؤري القصير التي تتطلب مرايا ثانوية أكبر. ^{[ 18 ]}

سيشكل شعاع ليزر دائري ذو كثافة منتظمة، يتم تركيزه بواسطة عدسة، نمطًا إيريًا في المستوى البؤري للعدسة. وستكون الكثافة في مركز البؤرة${\displaystyle I_{0,Airy}=(P_{0}A)/(\lambda ^{2}f^{2})}$أين${\displaystyle P_{0}}$تمثل القدرة الكلية للشعاع،${\displaystyle A=\pi D^{2}/4}$مساحة الشعاع (${\displaystyle D}$( قطر الشعاع )${\displaystyle \lambda }$هو الطول الموجي، و${\displaystyle f}$هو البعد البؤري للعدسة.

عند مرور شعاع غاوسي عبر فتحة صلبة، فإنه يتعرض للقص. تُفقد الطاقة ويحدث حيود الحواف، مما يزيد فعليًا من تباعد الشعاع. وبسبب هذه التأثيرات، يوجد قطر للشعاع الغاوسي يُعظّم شدة الضوء في المجال البعيد. ويحدث هذا عندما${\displaystyle 1/e^{2}}$يبلغ قطر التوزيع الغاوسي 89% من قطر الفتحة، وستكون شدة الإضاءة على المحور في المجال البعيد 81% من تلك الناتجة عن توزيع شدة إضاءة منتظم. ^{[ 19 ]}

التكامل الفورييه للمقطع العرضي الدائري ذي نصف القطر${\displaystyle a}$يكون

${\displaystyle \int _{0}^{a}rdr\int _{0}^{2\pi }d\phi e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}=\int _{0}^{a}rdr\int _{0}^{2\pi }d\phi e^{ikr\cos \phi }=2\int _{0}^{a}rdr\int _{0}^{\pi }d\phi \cos(kr\cos \phi )=2\pi \int _{0}^{a}rdrJ_{0}(kr)=2\pi {\frac {a}{k}}J_{1}(ka).}$

هذه حالة خاصة من تكامل فورييه للمقطع العرضي الإهليلجي ذي المحاور النصفية.${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$[ ^{20 ] [ 21 ]​}

${\displaystyle \int _{x^{2}/a^{2}+y^{2}/b^{2}\leq 1}e^{ik_{x}x}e^{ik_{y}y}dxdy=2\pi {\frac {ab}{c}}J_{1}(c)}$

أين

${\displaystyle c\equiv {\sqrt {(k_{x}a)^{2}+(k_{y}b)^{2}}}.}$

• علم الفلك للهواة
• التظليل
• حيود فراونهوفر
• تأثير التوهج (تأثير التظليل)
• دائرة من الارتباك
• حلقات نيوتن
• الوحدة البصرية
• دالة انتشار النقطة
• حلقة ديباي-شيرر
• نسبة ستريل
• نمط منقط

• مايكل دبليو ديفيدسون . "المفاهيم والصيغ في المجهر: الدقة" .Nikon MicroscopyU (موقع إلكتروني).
  • كينيث ر. سبرينغ؛ برايان أو. فلين ومايكل دبليو. ديفيدسون. "تكوين الصورة: الفتحة العددية ودقة الصورة" . تم الاطلاع عليه في 15 يونيو 2006 .(برنامج تعليمي تفاعلي للغة جافا) التعبيرات الجزيئية (موقع ويب).
  • كينيث ر. سبرينغ؛ برايان أو. فلين ومايكل دبليو. ديفيدسون. "تكوين الصورة: تكوين النمط الهوائي" . تم الاسترجاع في 15 يونيو 2006 .(برنامج تعليمي تفاعلي للغة جافا) التعبيرات الجزيئية .
• بول بادلي. "الحيود من فتحة دائرية" .، كونيكشنز (موقع إلكتروني)، 8 نوفمبر 2005. – تفاصيل رياضية لاستنتاج الصيغة المذكورة أعلاه.
• "القرص الهوائي: شرح لماهيته، ولماذا لا يمكنك تجنبه" ، أولدهام أوبتيكال المملكة المتحدة .
• وايسشتاين، إريك دبليو. "أصفار دالة بيسل" . عالم الرياضيات .
• "تحليل Nijboer-Zernike (ENZ) الموسع واسترجاع الانحراف" .