البصريات باستخدام تحويل فورييه

يبدأ علم البصريات باستخدام تحويل فورييه بمعادلة الموجة المتجانسة والقياسية (الصحيحة في المناطق الخالية من المصادر): $${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}\right)u(\mathbf {r} ,t)=0.}$$ أين${\displaystyle c}$هي سرعة الضوء و u ( r , t ) هو مكون ديكارتي حقيقي القيمة لموجة كهرومغناطيسية تنتشر عبر الفضاء الحر (على سبيل المثال، u ( r , t ) = E _i ( r , t ) لـ i = x , y , أو z حيث E _i هو مكون المحور i للمجال الكهربائي E في نظام الإحداثيات الديكارتية ).

إذا افترضنا ضوءًا بتردد ثابت في الزمن / الطول الموجي / اللون (كما هو الحال في ليزر أحادي النمط)، فإنه بناءً على اصطلاح الزمن الهندسي، الذي يفترض${\displaystyle e^{i\omega t}}$التغير الزمني في حلول الموجات عند التردد الزاوي${\displaystyle \omega =2\pi f}$مع${\displaystyle f=1/\tau }$أين${\displaystyle \tau }$يمثل الزمن الدوري للموجات، ويُعطى الشكل التوافقي الزمني للمجال البصري على النحو التالي: $${\displaystyle u(\mathbf {r} ,t)=\operatorname {Re} \left\{\psi (\mathbf {r} )e^{i\omega t}\right\}.}$$أين${\displaystyle i}$هي الوحدة التخيلية ،${\displaystyle \operatorname {Re} \left\{x\right\}}$هل يقوم المشغل بالجزء الحقيقي من${\displaystyle x}$، $${\displaystyle \omega =2\pi f}$$هي التردد الزاوي (بالراديان لكل وحدة زمنية) للموجات الضوئية، و $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=a(\mathbf {r} )e^{i\phi (\mathbf {r} )}}$$هي، بشكل عام، كمية مركبة ، ذات سعة منفصلة${\displaystyle a}$في عدد حقيقي غير سالب وطور${\displaystyle \phi }$.

بإدخال هذا التعبير في معادلة الموجة العددية أعلاه، نحصل على الشكل غير المعتمد على الزمن لمعادلة الموجة. $${\displaystyle \operatorname {Re} \left\{\left(\nabla ^{2}+k^{2}\right)\psi (\mathbf {r} )\right\}=0}$$ أين $${\displaystyle k={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}$$ بطول الموجة${\displaystyle \lambda }$في الفراغ، يمثل العدد الموجي (ويسمى أيضًا ثابت الانتشار ).${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$يمثل الجزء المكاني للمكون الديكارتي ذي القيمة المركبة للموجة الكهرومغناطيسية. لاحظ أن ثابت الانتشار${\displaystyle k}$والتردد الزاوي${\displaystyle \omega }$ترتبط هذه الموجات ببعضها البعض بشكل خطي، وهي سمة نموذجية للموجات الكهرومغناطيسية المستعرضة (TEM) في الأوساط المتجانسة.

بما أن الحل الأصلي المطلوب ذو القيم الحقيقية${\displaystyle u(\mathbf {r} ,t)}$يمكن الحصول على معادلة الموجة العددية ببساطة عن طريق أخذ الجزء الحقيقي من${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )e^{i\omega t}}$إن حل المعادلة التالية، والمعروفة باسم معادلة هيلمهولتز ، يهتم في الغالب بمعالجة دالة ذات قيم مركبة، حيث أن معالجة الدالة ذات القيم الحقيقية المقابلة لها غالبًا ما تكون أسهل بكثير من معالجة الدالة ذات القيم الحقيقية المقابلة لها. $${\displaystyle \left(\nabla ^{2}+k^{2}\right)\psi (\mathbf {r} )=0.}$$

يمكن إيجاد حلول معادلة هيلمهولتز في نظام الإحداثيات الديكارتية بسهولة باستخدام مبدأ فصل المتغيرات للمعادلات التفاضلية الجزئية . ينص هذا المبدأ على أنه في الإحداثيات المتعامدة القابلة للفصل ، يمكن بناء حل ضربي أولي لهذه المعادلة الموجية بالشكل التالي: $${\displaystyle \psi (x,y,z)=f_{x}(x)f_{y}(y)f_{z}(z)}$$ أي، كحاصل ضرب دالة في x ، في دالة في y ، في دالة في z . إذا تم استبدال حل حاصل الضرب الأولي هذا في معادلة الموجة، باستخدام لابلاس القياسي في نظام الإحداثيات الديكارتية $${\displaystyle \nabla ^{2}\psi ={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}},}$$ ثم نحصل على المعادلة التالية للدوال الثلاث الفردية $${\displaystyle f_{x}''(x)f_{y}(y)f_{z}(z)+f_{x}(x)f_{y}''(y)f_{z}(z)+f_{x}(x)f_{y}(y)f_{z}''(z)+k^{2}f_{x}(x)f_{y}(y)f_{z}(z)=0}$$ والتي يمكن إعادة ترتيبها بسهولة إلى الشكل التالي: $${\displaystyle {\frac {f_{x}''(x)}{f_{x}(x)}}+{\frac {f_{y}''(y)}{f_{y}(y)}}+{\frac {f_{z}''(z)}{f_{z}(z)}}+k^{2}=0}$$

يمكن الآن القول بأن كل حد في المعادلة أعلاه يجب أن يكون ثابتًا بالضرورة. ولتبرير ذلك، لنفترض أن الحد الأول ليس ثابتًا، بل هو دالة في x . بما أن أيًا من الحدود الأخرى في المعادلة لا يعتمد على المتغير x ، فإن الحد الأول أيضًا لا يعتمد على x ؛ بل يجب أن يكون ثابتًا. (إذا كان الحد الأول دالة في x ، فلا يمكن جعل الطرف الأيسر من هذه المعادلة يساوي صفرًا). يُرمز لهذا الثابت بـ -kx² . وباتباع نفس المنطق بالنسبة لحدود y _و ^z ، نحصل على ثلاث معادلات تفاضلية عادية لـ _fx و fy و _fz ، _{بالإضافة} إلى شرط فصل واحد .

$$\displaystyle \begin{aligned}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f_{x}(x)+k_{x}^{2}f_{x}(x)&=0\\[1pt]{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}f_{y}(y)+k_{y}^{2}f_{y}(y)&=0\\[1pt]{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}f_{z}(z)+k_{z}^{2}f_{z}(z)&=0\\[3pt]k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}&=k^{2}\end{aligned}}}$$

لكل من هذه المعادلات التفاضلية الثلاث نفس شكل الحل: دوال الجيب، أو دوال جيب التمام، أو الدوال الأسية المركبة. سنختار الدالة الأسية المركبة لأن${\displaystyle \psi (x,y,z)}$أن تكون دالة معقدة. ونتيجة لذلك، يكون حل المنتج الأولي${\displaystyle \psi (x,y,z)}$يكون $${\displaystyle {\begin{محاذاة}\psi (x,y,z)&=Ae^{ik_{x}x}e^{ik_{y}y}e^{ik_{z}z}\\&=Ae^{i(k_{x}x+k_{y}y)}e^{ik_{z}z}\\&=Ae^{i(k_{x}x+k_{y}y)}e^{\pm iz{\sqrt {ك ^ {2} - ك _ {س} ^ {2} - ك _ {ص} ^ {2}}}} \ النهاية {محاذاة}}}$$ مع عدد مركب بشكل عام${\displaystyle A}$يمثل هذا الحل الجزء المكاني من مكون ديكارتي ذي قيم مركبة (على سبيل المثال،${\displaystyle E_{x}}$،${\displaystyle E_{y}}$، أو${\displaystyle E_{z}}$باعتبارها مركبة المجال الكهربائي على طول كل محور في نظام الإحداثيات الديكارتية ) لموجة مستوية منتشرة.${\displaystyle k_{i}}$(${\displaystyle i=x}$،${\displaystyle y}$، أو${\displaystyle z}$يمثل ) عددًا حقيقيًا هنا، نظرًا لافتراض وجود موجات في وسط خالٍ من المصادر، وبالتالي لا تتلاشى كل موجة مستوية أو تتضخم أثناء انتشارها في الوسط. الإشارة السالبة لـ${\displaystyle k_{i}}$(${\displaystyle i=x}$،${\displaystyle y}$، أو${\displaystyle z}$) في متجه الموجة${\displaystyle \mathbf {k} =k_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+k_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+k_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}$(أين${\textstyle \left|\mathbf {k} \right|=k={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}$) يعني أن متجه اتجاه انتشار الموجة له ​​قيمة موجبة${\displaystyle i}$(${\displaystyle i=x}$،${\displaystyle y}$، أو${\displaystyle z}$المكون )، بينما الإشارة الموجبة لـ${\displaystyle k_{i}}$يعني سلبي${\displaystyle i}$(${\displaystyle i=x}$،${\displaystyle y}$، أو${\displaystyle z}$المكون ) من ذلك المتجه.

كما يمكن الحصول بسهولة على حلول المنتج لمعادلة هيلمهولتز في الإحداثيات الأسطوانية والكروية ، مما ينتج عنه توافقيات أسطوانية وكروية (مع استخدام أنظمة الإحداثيات القابلة للفصل المتبقية بشكل أقل تكرارًا).

حل عام لمعادلة الموجة الكهرومغناطيسية المتجانسة عند تردد زمني ثابت${\displaystyle f}$في نظام الإحداثيات الديكارتية، يمكن تشكيلها كتراكب مرجح لجميع حلول الموجة المستوية الأولية الممكنة كما يلي:

$${\displaystyle \psi (x,y,z)=\int _{-\infty}^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }\Psi _{0}(k_{x},k_{y})~e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}~e^{\pm iz{\sqrt {ك ^ {2} - ك _ {س} ^ {2} - ك _ {ص} ^ {2}}}} ~ dk_ {x} dk_ {y}}$$

2.1

مع مراعاة القيود التالية${\displaystyle k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=k^{2}}$، كل${\displaystyle k_{i}}$كرقم حقيقي، و${\displaystyle k={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}$أين${\displaystyle \omega =2\pi f}$في هذا التراكب،${\displaystyle \Psi _{0}(k_{x},k_{y})}$يمثل عامل الوزن أو سعة مركبة الموجة المستوية ذات متجه الموجة${\displaystyle (k_{x},k_{y},k_{z})}$أين${\displaystyle k_{z}}$يتم تحديده من حيث${\displaystyle k_{x}}$و${\displaystyle k_{y}}$بسبب القيد المذكور.

ثم، دع$${\displaystyle \psi _{0}(x,y)=\psi (x,y,z)|_{z=0}.}$$ ثم:$${\displaystyle \psi _{0}(x,y)=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }\Psi _{0}(k_{x},k_{y})~e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}~dk_{x}dk_{y}}$$

إن تمثيل طيف الموجة المستوية لحقل كهرومغناطيسي عام (على سبيل المثال، موجة كروية) في المعادلة ( 2.1 ) هو الأساس الأساسي لبصريات فورييه (لا يمكن التأكيد على هذه النقطة بما فيه الكفاية)، لأنه عند z = 0، تصبح المعادلة ببساطة علاقة تحويل فورييه (FT) بين الحقل ومحتوياته من الموجة المستوية (ومن هنا جاء الاسم، بصريات فورييه ).

هكذا: $${\displaystyle \Psi _{0}(k_{x},k_{y})={\mathcal {F}}\{\psi _{0}(x,y)\}}$$ و $${\displaystyle \psi _{0}(x,y)={\mathcal {F}}^{-1}\{\Psi _{0}(k_{x},k_{y})\}}$$

يتم وصف جميع التغيرات المكانية لكل مكون من مكونات الموجة المستوية بشكل صريح بواسطة دالة أسية. معامل الدالة الأسية هو دالة لمكونين فقط من متجه الموجة لكل موجة مستوية (حيث يمكن تحديد المكونات المتبقية الأخرى من خلال القيود المذكورة أعلاه)، على سبيل المثال${\displaystyle k_{x}}$و${\displaystyle k_{y}}$تمامًا كما هو الحال في تحليل فورييه العادي وتحويلات فورييه .

لنفترض نظام تصوير حيث يمثل المحور z المحور البصري للنظام، ويكون مستوى الجسم (المراد تصويره على مستوى صورة النظام) هو المستوى عند${\displaystyle z=0}$على مستوى الجسم، يكون الجزء المكاني للمكون الديكارتي ذي القيم المركبة للموجة كما هو موضح أعلاه،${\textstyle \psi _{0}(x,y)=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }\Psi _{0}(k_{x},k_{y})~e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}~dk_{x}dk_{y}}$مع مراعاة القيود التالية${\displaystyle k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=k^{2}}$، كل${\displaystyle k_{i}}$كرقم حقيقي، و${\displaystyle k={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}$أين${\displaystyle \omega =2\pi f}$التصوير هو إعادة بناء موجة على مستوى الجسم (مع وجود معلومات حول نمط على مستوى الجسم المراد تصويره) على مستوى الصورة عبر انتشار الموجة المناسب من مستوى الجسم إلى مستوى الصورة (على سبيل المثال، فكّر في تصوير صورة في الفضاء الجوي). والموجة على مستوى الجسم، التي تتبع النمط المراد تصويره بالكامل، تُوصف من حيث المبدأ بتحويل فورييه العكسي غير المقيد .${\textstyle \psi _{0,{\text{unc}}}(x,y)=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }\Psi _{0}(k_{x},k_{y})~e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}~dk_{x}dk_{y}}$أين${\displaystyle k_{i}}$يأخذ نطاقًا لانهائيًا من الأعداد الحقيقية. هذا يعني أنه بالنسبة لتردد ضوئي معين، لا يمكن تصوير سوى جزء من الميزة الكاملة للنمط بسبب القيود المذكورة أعلاه على${\displaystyle k_{i}}$(1) ميزة دقيقة يتطلب تمثيلها في تحويل فورييه العكسي الترددات المكانية${\textstyle {\frac {k_{T}}{2\pi }}}$، أين${\displaystyle k_{T}}$أعداد الموجات المستعرضة التي تحقق${\displaystyle k_{T}^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}\geq k^{2}}$لا يمكن تصويرها بالكامل لأن الموجات ذات مثل هذه${\displaystyle k_{T}}$لا وجود لها في ضوء معين من${\displaystyle k}$(تُعرف هذه الظاهرة باسم حد الانعراج )، و(2) الترددات المكانية مع${\displaystyle k_{T}<k}$لكن بالقرب من${\displaystyle k}$لذا، تتطلب زوايا خروج الموجة الأعلى بالنسبة للمحور البصري نظام تصوير ذو فتحة عددية عالية ، وهو مكلف ويصعب بناؤه. بالنسبة للنقطة (1)، حتى لو كانت أعداد الموجات الطولية ذات قيم مركبة${\displaystyle k_{z}}$مسموح بها (بسبب تفاعل غير معروف بين الضوء ونمط مستوى الجسم الذي عادة ما يكون مادة صلبة)،${\displaystyle k_{z}}$يؤدي ذلك إلى اضمحلال الضوء على طول${\displaystyle z}$المحور (تضخيم الضوء على طول${\displaystyle z}$لا يكون للمحور معنى فيزيائي إذا لم تكن هناك مادة تضخيم بين مستوى الجسم ومستوى الصورة، وهذه حالة شائعة.${\displaystyle k_{z}}$قد لا تصل إلى مستوى الصورة الذي عادة ما يكون بعيدًا بما فيه الكفاية عن مستوى الجسم.

فيما يتعلق بتقنية الطباعة الضوئية للمكونات الإلكترونية، فإن هذين العاملين (1) و(2) هما السببان وراء استخدام ضوء ذي تردد أعلى (طول موجي أقصر، وبالتالي شدة أكبر)${\displaystyle k}$يتطلب تصوير التفاصيل الدقيقة للدوائر المتكاملة على طبقة مقاومة ضوئية على رقاقة السيليكون استخدام نظام تصوير ذي فتحة عددية أعلى. ونتيجة لذلك، أصبحت الآلات التي تُنفذ هذه الطباعة الضوئية أكثر تعقيدًا وتكلفة، مما يزيد بشكل ملحوظ من تكلفة إنتاج المكونات الإلكترونية.

يُفترض أن حل معادلة هيلمهولتز، باعتباره الجزء المكاني من المكون الديكارتي ذي القيم المركبة لموجة ذات تردد واحد، يأخذ الشكل التالي: $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=A(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$$ أين${\displaystyle \mathbf {k} }$هو متجه الموجة ، و $${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} =k_{x}\mathbf {x} +k_{y}\mathbf {y} +k_{z}\mathbf {z} }$$ و $${\displaystyle k=\|\mathbf {k} \|={\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}={\omega \over c}}$$ يمثل رقم الموجة. بعد ذلك، استخدم تقريب المحور ، وهو تقريب بزاوية صغيرة بحيث $${\displaystyle k_{x}^{2}+k_{y}^{2}\ll k_{z}^{2}}$$ لذا، حتى التقريب من الدرجة الثانية للدوال المثلثية (أي، أخذ الحد الثاني فقط في متسلسلة تايلور لكل دالة مثلثية)، $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &\approx \theta \\\tan \theta &\approx \theta \\\cos \theta &\approx 1-\theta ^{2}/2\end{aligned}}}$$

أين${\displaystyle \theta }$هي الزاوية (بالراديان) بين متجه الموجة k والمحور z باعتباره المحور البصري للنظام البصري قيد المناقشة.

نتيجة ل، $${\displaystyle k_{z}=k\cos \theta \approx k(1-\theta ^{2}/2)}$$ و $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )\approx A(\mathbf {r} )e^{-i(k_{x}x+k_{y}y)}e^{ikz\theta ^{2}/2}e^{-ikz}}$$

وبإدخال هذا التعبير في معادلة هيلمهولتز، يتم اشتقاق معادلة الموجة المحورية: $${\displaystyle \nabla _{T}^{2}A-2ik{\partial A \over \partial z}=0}$$ أين $${\displaystyle \nabla _{T}^{2}=\nabla ^{2}-{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}}$$يمثل المؤثر لابلاس المستعرض في نظام الإحداثيات الديكارتية . في اشتقاق معادلة الموجة المحورية، تُستخدم التقريبات التالية.

• ${\displaystyle \theta }$صغير (${\displaystyle \theta \ll 1}$) لذا مصطلح مع${\displaystyle \theta ^{2}}$يتم تجاهلها.
• شروط مع${\displaystyle 2k_{x}}$و${\displaystyle 2k_{y}}$أصغر بكثير من مصطلح مع${\displaystyle 2k}$(أو${\displaystyle 2k_{z}}$لذلك يتم تجاهل هذين المصطلحين.
• ${\textstyle \left|{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}A(\mathbf {r} )\right|\ll \left|k{\frac {\partial }{\partial z}}A(\mathbf {r} )\right|}$لذا مصطلح مع${\textstyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}A(\mathbf {r} )}$يتم تجاهلها. إنها تقريب الغلاف المتغير ببطء ، مما يعني أن سعة أو غلاف الموجة${\displaystyle A(\mathbf {r} )}$يتغير ببطء مقارنة بالفترة الرئيسية للموجة${\textstyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}}$.

تُعدّ المعادلة ( 2.2 ) أعلاه أساسيةً لربط النطاق المكاني (من جهة) والنطاق الزاوي (من جهة أخرى) في المجال البعيد. تجدر الإشارة إلى أن مصطلح "المجال البعيد" يُشير عادةً إلى موجة كروية متقاربة أو متباعدة ذات مركز طور مُحدّد بدقة. يُعدّ الربط بين النطاق المكاني والزاوي في المجال البعيد ضروريًا لفهم خاصية ترشيح الترددات المنخفضة للعدسات الرقيقة. راجع القسم 6.1.3 للاطلاع على الشرط الذي يُحدّد منطقة المجال البعيد.

بمجرد فهم مفهوم النطاق الزاوي، يستطيع عالم البصريات التنقل بسلاسة بين المجالين المكاني والطيفي لاكتساب رؤى سريعة يصعب الحصول عليها عادةً من خلال المجال المكاني أو اعتبارات البصريات الشعاعية وحدها. على سبيل المثال، أي نطاق ترددي للمصدر يتجاوز زاوية الحافة للعدسة الأولى (وهي الزاوية التي تحدد نطاق تردد النظام البصري) لن يتمكن النظام من التقاطه للمعالجة.

على هامش الموضوع، ابتكر علماء الكهرومغناطيسية وسيلة بديلة لحساب المجال الكهربائي في منطقة بعيدة لا تتطلب تكامل الطور الثابت. وقد ابتكروا مفهومًا يُعرف باسم "التيارات المغناطيسية الوهمية"، ويُرمز إليه عادةً بالرمز M ، ويُعرَّف على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbf {M} ~=~2\mathbf {E} ^{\text{aper}}\times \mathbf {\hat {z}} .}$$ في هذه المعادلة، يُفترض أن متجه الوحدة في الاتجاه z يشير إلى نصف الفضاء حيث ستُجرى حسابات المجال البعيد. تُحسب هذه التيارات المغناطيسية المكافئة باستخدام مبادئ التكافؤ ، والتي تسمح، في حالة سطح مستوٍ لانهائي، بتجاهل أي تيارات كهربائية J، بينما تُحسب التيارات المغناطيسية الوهمية من ضعف المجال الكهربائي للفتحة (انظر سكوت [1998]). بعد ذلك، يُحسب المجال الكهربائي المُشع من التيارات المغناطيسية باستخدام معادلة مشابهة لمعادلة المجال المغناطيسي المُشع بواسطة تيار كهربائي. وبهذه الطريقة، تُستنتج معادلة متجهة للمجال الكهربائي المُشع بدلالة المجال الكهربائي للفتحة، ولا يتطلب الاشتقاق استخدام مفاهيم الطور الثابت.

في حالة المعادلات التفاضلية، كما هو الحال في المعادلات المصفوفية، عندما يكون الطرف الأيمن للمعادلة صفرًا (على سبيل المثال، دالة القوة، أو متجه القوة، أو مصدر القوة)، قد تقبل المعادلة حلاً غير بديهي ، يُعرف في الرياضيات التطبيقية بحل الدالة الذاتية ، وفي الفيزياء بحل "النمط الطبيعي"، وفي نظرية الدوائر الكهربائية بـ"استجابة المدخلات الصفرية". هذا مفهوم يشمل نطاقًا واسعًا من التخصصات الفيزيائية. تشمل الأمثلة الفيزيائية الشائعة للأنماط الطبيعية الرنانة أنماط الاهتزاز الرنانة للآلات الوترية (بعد واحد)، وآلات الإيقاع (بعدان)، أو جسر تاكوما ناروز السابق (ثلاثة أبعاد). تشمل أمثلة الأنماط الطبيعية المنتشرة أنماط الموجات الدليلية ، وأنماط الألياف الضوئية ، والسوليتونات ، وموجات بلوخ . تقبل الأوساط المتجانسة اللانهائية الحلول التوافقية المستطيلة والدائرية والكروية لمعادلة هيلمهولتز، وذلك اعتمادًا على نظام الإحداثيات قيد الدراسة. ربما تكون الموجات المستوية المنتشرة التي سندرسها في هذه المقالة هي أبسط أنواع الموجات المنتشرة الموجودة في أي نوع من الوسائط.

توجد أوجه تشابه لافتة بين معادلة هيلمهولتز ( 2.3 ) المذكورة أعلاه، والتي يمكن كتابتها على النحو التالي $${\displaystyle \left(\nabla ^{2}+k^{2}\right)f=0,}$$ والصيغة المعتادة للمعادلة الخاصة بالقيم الذاتية / المتجهات الذاتية لمصفوفة مربعة A ، $${\displaystyle \left(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} \right)\mathbf {x} =0,}$$

وخاصةً أن كلاً من لابلاس القياسي${\displaystyle \nabla ^{2}}$والمصفوفة A عبارة عن مؤثرات خطية على دوالها/فضائها المتجهي. (إشارة السالب في معادلة المصفوفة هذه غير مهمة عمليًا، بينما إشارة الموجب في معادلة هيلمهولتز مهمة). من الجدير بالذكر أن حلول الدوال الذاتية/حلول المتجهات الذاتية لمعادلة هيلمهولتز/معادلة المصفوفة غالبًا ما تُنتج مجموعة متعامدة من الدوال الذاتية/المتجهات الذاتية التي تُشكل أساسًا لفضاء الدوال/الفضاء المتجهي قيد الدراسة. يمكن للقارئ المهتم استكشاف مؤثرات خطية وظيفية أخرى (لمعادلات مختلفة عن معادلة هيلمهولتز) تُنتج أنواعًا مختلفة من الدوال الذاتية المتعامدة، مثل كثيرات حدود ليجندر ، وكثيرات حدود تشيبيشيف ، وكثيرات حدود هيرميت .

في حالة معادلة المصفوفة التي تكون فيها A مصفوفة مربعة، القيم الذاتية${\displaystyle \lambda }$يمكن إيجاد المصفوفة بجعل محددها يساوي صفرًا، أي إيجاد النقطة التي لا يوجد فيها معكوس للمصفوفة. (تُسمى هذه المصفوفة المربعة بالمصفوفة المنفردة ). تحتوي المصفوفات المنتهية على عدد محدود فقط من القيم الذاتية/المتجهات الذاتية، بينما يمكن أن تحتوي المؤثرات الخطية على عدد لا نهائي قابل للعد من القيم الذاتية/الدوال الذاتية (في المناطق المحصورة) أو أطياف حلول لا نهائية غير قابلة للعد (متصلة)، كما هو الحال في المناطق غير المحدودة.

في بعض التطبيقات الفيزيائية، كحساب نطاقات التردد في حجم دوري ، غالبًا ما تكون عناصر المصفوفة دوالًا معقدة للغاية للتردد والعدد الموجي، وتكون المصفوفة غير منفردة (أي لها معكوس) لمعظم تركيبات التردد والعدد الموجي، ولكنها تكون منفردة (أي ليس لها معكوس) لبعض التركيبات المحددة. من خلال تحديد تركيبات التردد والعدد الموجي التي تجعل محدد المصفوفة يساوي صفرًا، يمكن تحديد خصائص انتشار الموجات في الوسط. تُعرف هذه العلاقات بين التردد والعدد الموجي بعلاقات التشتت ، وقد تسمح بعض الأنظمة الفيزيائية بأنواع عديدة من علاقات التشتت. ومن الأمثلة على ذلك في الكهرومغناطيسية، الدليل الموجي العادي، الذي قد يسمح بعلاقات تشتت متعددة، ترتبط كل منها بنمط انتشار فريد في الدليل الموجي. يُعرف كل نمط انتشار في الدليل الموجي بحل دالة ذاتية (أو حل نمط ذاتي) لمعادلات ماكسويل في الدليل الموجي. يسمح الفضاء الحر أيضًا بحلول الأنماط الذاتية (الأنماط الطبيعية) (المعروفة باسم الموجات المستوية)، ولكن مع اختلاف أن الفضاء الحر، لأي تردد معين، يسمح بطيف نمطي متصل، بينما تحتوي الأدلة الموجية على طيف نمطي منفصل. في هذه الحالة، تكون علاقة التشتت خطية، كما هو موضح في القسم 1.3 .

بالنسبة لـ${\displaystyle k}$مثل${\displaystyle k={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}$بالنسبة لمساحة فراغ متجانسة، فإن شرط الفصل، $${\displaystyle k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=k^{2}}$$ وهو ما يتطابق مع معادلة المقياس الإقليدي في فضاء التكوين ثلاثي الأبعاد، مما يشير إلى مفهوم متجه k في "فضاء k" ثلاثي الأبعاد، والذي يُعرَّف (للموجات المستوية المنتشرة) في إحداثيات مستطيلة على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbf {k} ~=~k_{x}\mathbf {\hat {x}} +k_{y}\mathbf {\hat {y}} +k_{z}\mathbf {\hat {z}} }$$ وفي نظام الإحداثيات الكروية كما

• ${\textstyle k_{x}=k~\sin \theta ~\cos \phi }$
• ${\textstyle k_{y}=k~\sin \theta ~\sin \phi }$
• ${\textstyle k_{z}=k~\cos \theta ~}$

سيتم استخدام علاقات نظام الإحداثيات الكروية هذه في القسم التالي .

يُعد مفهوم فضاء k أساسيًا للعديد من التخصصات في الهندسة والفيزياء، وخاصة في دراسة الأحجام الدورية، كما هو الحال في علم البلورات ونظرية النطاق لمواد أشباه الموصلات.

معادلة تحليل الطيف (حساب طيف دالة)${\displaystyle u(x,y)}$): $${\displaystyle U(k_{x},k_{y})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(x,y)e^{-i(k_{x}x+k_{y}y)}dxdy}$$

معادلة تركيبية (إعادة بناء الدالة)${\displaystyle u(x,y)}$من طيفه): $${\displaystyle u(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }U(k_{x},k_{y})e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}dk_{x}dk_{y}}$$

عامل التطبيع لـ${\displaystyle {1}/{(2\pi )^{2}}}$يكون موجودًا كلما تم استخدام التردد الزاوي (بالراديان)، ولكن ليس عند استخدام التردد العادي (بالدورات).

يُعرَّف مستوى الإدخال بأنه الموضع الهندسي لجميع النقاط التي تحقق z = 0. وبالتالي، فإن صورة الإدخال f هي $${\displaystyle f(x,y)=U(x,y,z){\big |}_{z=0}}$$

يُعرَّف مستوى الإخراج بأنه الموضع الهندسي لجميع النقاط التي تحقق z = d . وبالتالي، فإن صورة الإخراج g هي $${\displaystyle g(x,y)=U(x,y,z){\big |}_{z=d}}$$

$${\displaystyle g(x,y)~=~h(x,y)*f(x,y)}$$ أي،

$${\displaystyle g(x,y)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }h(x-x',y-y')~f(x',y')~dx'dy'}$$

4.1

سيلاحظ القارئ الفطن أن التكامل أعلاه يفترض ضمنيًا أن استجابة النبضة ليست دالةً لموقع نبضة الضوء (x',y') في مستوى الإدخال (وإلا لما أمكن إجراء هذا النوع من الالتفاف). تُعرف هذه الخاصية بثبات الإزاحة (سكوت [1998]). لا يوجد نظام بصري ثابت الإزاحة تمامًا: فمع ابتعاد النقطة الضوئية المثالية رياضيًا عن المحور البصري، ستؤدي الانحرافات في النهاية إلى تدهور استجابة النبضة (المعروفة باسم الغيبوبة في أنظمة التصوير المركزة). ومع ذلك، غالبًا ما تكون الأنظمة البصرية عالية الجودة "ثابتة الإزاحة بدرجة كافية" في مناطق معينة من مستوى الإدخال، بحيث يمكننا اعتبار استجابة النبضة دالةً فقط للفرق بين إحداثيات مستوى الإدخال ومستوى الإخراج، وبالتالي استخدام المعادلة أعلاه دون أي مشكلة.

كذلك، تفترض هذه المعادلة تكبيرًا موحدًا. إذا كان التكبير موجودًا، فإن المعادلة ( 4.1 ) تصبح

$${\displaystyle g(x,y)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }h_{M}(x-Mx',y-My')~f(x',y')~dx'dy'}$$

4.2

وهذا يعني أساسًا تحويل دالة استجابة النبضة، h _M ()، من x ′ إلى x = Mx ′ . في المعادلة ( 4.2 )، ستكون h _M نسخة مكبرة من دالة استجابة النبضة h لنظام مماثل غير مكبر، بحيث تكون h _M ( x , y ) = h ( x / M , y / M ).

يُعدّ التوسع إلى بُعدين أمرًا بسيطًا، باستثناء الاختلاف المتمثل في وجود السببية في المجال الزمني، وليس في المجال المكاني. وتعني السببية أن استجابة النبضة h ( t - t ′ ) لنظام كهربائي، نتيجةً لنبضة مُطبقة عند الزمن t′، يجب بالضرورة أن يكون صفرًا لجميع الأوقات t بحيث يكون t − t ′ < 0.

يتطلب الحصول على تمثيل الالتفاف لاستجابة النظام تمثيل إشارة الإدخال على أنها تراكب مرجح على سلسلة من وظائف النبض باستخدام خاصية التصفية لوظائف ديراك دلتا . $${\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t-t')f(t')dt'}$$

يُفترض حينها أن النظام قيد الدراسة خطي ، أي أن خرج النظام الناتج عن مدخلين مختلفين (ربما في وقتين مختلفين) هو مجموع مخرجات النظام الفردية لكل مدخل على حدة. وبالتالي، قد لا يحتوي النظام البصري على مواد غير خطية أو أجهزة فعالة (باستثناء الأجهزة الفعالة الخطية للغاية، إن وُجدت). يُعرَّف خرج النظام، عند إدخال دالة دلتا واحدة، بأنه استجابة النظام النبضية ، h ( t - t ′ ). وبناءً على افتراضنا للخطية (أي أن خرج النظام عند إدخال سلسلة نبضات هو مجموع المخرجات الناتجة عن كل نبضة على حدة)، يمكننا الآن القول إن دالة الإدخال العامة f ( t ) تُنتج الخرج التالي: $${\displaystyle g(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(t-t')f(t')dt'}$$ حيث تمثل h ( t − t ′ ) استجابة النظام الخطي (النبضية) لدالة دلتا المدخلة δ ( t − t ′ ) عند الزمن t′ . ومن هنا تأتي معادلة الالتفاف المذكورة أعلاه. وتكمن فائدة معادلة الالتفاف في سهولة إيجاد استجابة النظام لدالة دلتا المدخلة، ثم إجراء عملية الالتفاف المذكورة أعلاه لإيجاد الاستجابة لأي مدخل، مقارنةً بمحاولة إيجاد الاستجابة للمدخل مباشرةً. كما أن الاستجابة النبضية (سواء في المجال الزمني أو الترددي) تُعطي عادةً مؤشرات مهمة لأداء النظام. وفي حالة معظم العدسات، تُعد دالة انتشار النقطة (PSF) مؤشرًا شائعًا لتقييم الأداء.

يُستخدم المنطق نفسه فيما يتعلق بمبدأ هيغنز-فرينل ، أو صيغة ستراتون-تشو، حيث يُشار إلى "استجابة النبضة" بدالة غرين للنظام. لذا، فإن تشغيل النظام البصري الخطي في المجال المكاني يُشابه مبدأ هيغنز-فرينل من هذه الناحية.

إذا تم تحويل المعادلة الأخيرة أعلاه باستخدام تحويل فورييه، فإنها تصبح: $${\displaystyle G(\omega )~=~H(\omega )\cdot F(\omega )}$$ أين

• ${\displaystyle G(\omega )}$هو طيف إشارة الخرج
• ${\displaystyle H(\omega )}$هي دالة نقل النظام
• ${\displaystyle F(\omega )}$هو طيف إشارة الإدخال

وبالمثل، يمكن تحويل المعادلة ( 4.1 ) باستخدام تحويل فورييه للحصول على:

$${\displaystyle G(k_{x},k_{y})~=~H(k_{x},k_{y})\cdot F(k_{x},k_{y})}$$

دالة نقل النظام،${\displaystyle H(\omega )}$في التصوير البصري، تُعرف هذه الوظيفة بشكل أفضل باسم وظيفة النقل البصري (جودمان) .

مرة أخرى، يمكن ملاحظة من المناقشة حول شرط جيب آبي أن هذه المعادلة تفترض تكبيرًا موحدًا.

تكتسب هذه المعادلة معناها الحقيقي عند إجراء تحويل فورييه،${\displaystyle ~G(k_{x},k_{y})}$يرتبط هذا بمعامل الموجة المستوية التي تكون أعداد موجاتها المستعرضة هي${\displaystyle ~(k_{x},k_{y})}$وبالتالي، يتحول طيف الموجة المستوية الداخلة إلى طيف الموجة المستوية الخارجة من خلال عملية الضرب لدالة نقل النظام. وفي هذه المرحلة من الفهم، تصبح المعلومات السابقة حول طيف الموجة المستوية بالغة الأهمية لتصور أنظمة فورييه البصرية.

إذا وُضع جسم شفاف عند بُعد بؤري واحد أمام عدسة ، فإن تحويل فورييه الخاص به سيتشكل عند بُعد بؤري واحد خلف العدسة. انظر الشكل على اليمين (انقر للتكبير).

في هذا الشكل، يُفترض سقوط موجة مستوية من اليسار. تقوم دالة النفاذية في المستوى البؤري الأمامي (أي المستوى 1) بتعديل الموجة المستوية الساقطة مكانيًا من حيث السعة والطور، كما هو موضح في الطرف الأيسر من المعادلة ( 2.1 ) (عند z = 0)، وبذلك تُنتج طيفًا من الموجات المستوية يُطابق تحويل فورييه لدالة النفاذية، كما هو موضح في الطرف الأيمن من المعادلة ( 2.1 ) (عند z > 0). تنتشر مكونات الموجة المستوية المختلفة بزوايا ميل مختلفة بالنسبة للمحور البصري للعدسة (أي المحور الأفقي). كلما كانت تفاصيل الشفافية أدق، اتسع النطاق الزاوي لطيف الموجة المستوية. سندرس أحد مكونات الموجة المستوية هذه، المنتشرة بزاوية θ بالنسبة للمحور البصري. يُفترض أن θ صغيرة ( تقريب المحور )، بحيث $${\displaystyle {\frac {k_{x}}{k}}=\sin \theta \simeq \theta }$$ و $${\displaystyle {\frac {k_{z}}{k}}=\cos \theta \simeq 1-{\frac {1}{2}}\theta ^{2}}$$ و $${\displaystyle {\frac {1}{\cos \theta }}\simeq {\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}\theta ^{2}}}\simeq 1+{\frac {1}{2}}\theta ^{2}}$$

في الشكل، طور الموجة المستوية ، الذي يتحرك أفقيًا من مستوى البؤرة الأمامية إلى مستوى العدسة، هو $${\displaystyle e^{ikf\cos \theta }}$$ وتكون مرحلة الموجة الكروية من العدسة إلى البقعة في مستوى البؤرة الخلفية كما يلي: $${\displaystyle e^{ikf/\cos \theta }}$$ ومجموع طولي المسارين هو f (1 + θ ² /2 + 1 − θ ² /2) = 2 f ؛ أي أنه قيمة ثابتة، مستقلة عن زاوية الميل θ ، بالنسبة للموجات المستوية المحورية. يظهر كل مكون من مكونات الموجة المستوية المحورية للمجال في المستوى البؤري الأمامي كبقعة دالة انتشار نقطية في المستوى البؤري الخلفي، بكثافة وطور مساويين لكثافة وطور مكون الموجة المستوية الأصلي في المستوى البؤري الأمامي. بعبارة أخرى، المجال في المستوى البؤري الخلفي هو تحويل فورييه للمجال في المستوى البؤري الأمامي.

تُحسب جميع مكونات تحويل فورييه في آنٍ واحد - بالتوازي - بسرعة الضوء. على سبيل المثال، ينتقل الضوء بسرعة تقارب 0.30 متر لكل نانوثانية ، لذا إذا كانت العدسة ذات بُعد بؤري 0.30 متر، يُمكن حساب تحويل فورييه ثنائي الأبعاد كاملًا في حوالي 2 نانوثانية (2 × 10⁻⁹ ^ثانية ). أما إذا كان البُعد البؤري بوصة واحدة، فإن الزمن يقل عن 200 بيكوثانية. لا يُمكن لأي حاسوب إلكتروني منافسة هذه الأرقام، وربما لن يتمكن من ذلك أبدًا، على الرغم من أن الحواسيب العملاقة قد تُثبت أنها أسرع من البصريات، مهما بدا ذلك مستبعدًا. مع ذلك، تُحقق هذه السرعة من خلال دمج العديد من الحواسيب التي، كلٌ على حدة، لا تزال أبطأ من البصريات. يكمن عيب تحويل فورييه البصري، كما يُبين الاشتقاق، في أن علاقة تحويل فورييه لا تنطبق إلا على الموجات المستوية المحورية، لذا فإن هذا "الحاسوب" لتحويل فورييه محدود النطاق بطبيعته. من ناحية أخرى، بما أن طول موجة الضوء المرئي ضئيل للغاية مقارنة حتى بأصغر أبعاد الميزات المرئية في الصورة، أي        $${\displaystyle k^{2}\gg k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}$$ (لكل قيم k _x و k _y ضمن النطاق المكاني للصورة، بحيث تكون k _z مساوية تقريبًا لـ k )، فإن التقريب المحوري ليس مقيدًا بشكل كبير عمليًا. وبالطبع، هذا حاسوب تناظري وليس رقميًا، لذا فإن الدقة محدودة. كما أن استخراج الطور قد يكون صعبًا؛ وغالبًا ما يُستنتج باستخدام قياس التداخل.

تُعد المعالجة البصرية مفيدة بشكل خاص في التطبيقات التي تعمل في الوقت الحقيقي حيث تكون هناك حاجة إلى معالجة سريعة لكميات هائلة من البيانات ثنائية الأبعاد، لا سيما فيما يتعلق بالتعرف على الأنماط.

إن النظرية المتعلقة بوظائف النقل البصري، والمُقدمة في القسم 5، نظرية مجردة نوعًا ما. مع ذلك، يوجد جهاز معروف جدًا يُنفذ وظيفة نقل النظام H في الأجهزة باستخدام عدستين متطابقتين فقط ولوحة شفافة - وهو مُرابط 4F. على الرغم من أن أحد أهم تطبيقات هذا الجهاز هو تنفيذ العمليات الرياضية للترابط التبادلي والالتفاف ، إلا أن هذا الجهاز - الذي يبلغ طوله أربعة أطوال بؤرية - يُستخدم في الواقع في مجموعة واسعة من عمليات معالجة الصور التي تتجاوز بكثير ما يوحي به اسمه. يوضح الشكل أدناه رسمًا تخطيطيًا لمُرابط 4F نموذجي (انقر للتكبير). يمكن فهم هذا الجهاز بسهولة من خلال الجمع بين تمثيل طيف الموجة المستوية للمجال الكهربائي ( القسم 1.5 ) وخاصية تحويل فورييه للعدسات التربيعية ( القسم 6.1 ) للحصول على عمليات معالجة الصور البصرية الموضحة في القسم 5 .

يعتمد مُرابط 4F على _نظرية الالتفاف من نظرية تحويل فورييه ، والتي تنص على أن الالتفاف في المجال المكاني ( x , y ) يُكافئ الضرب المباشر في مجال التردد المكاني ( kx , ky ) (المعروف أيضًا بالمجال الطيفي ). مرة أخرى، يُفترض سقوط موجة مستوية من اليسار، وتُوضع شفافية تحتوي على دالة ثنائية الأبعاد _f ( x , y ) في مستوى إدخال المُرابط، على بُعد بُعد بؤري واحد أمام العدسة الأولى. تُعدّل الشفافية الموجة المستوية الساقطة مكانيًا في السعة والطور، كما هو موضح في الطرف الأيسر من المعادلة ( 2.1 )، وبذلك تُنتج طيفًا من الموجات المستوية يُطابق تحويل فورييه لدالة النفاذية، كما هو موضح في الطرف الأيمن من المعادلة ( 2.1 ). ثم يتشكل هذا الطيف كصورة على بُعد بُعد بؤري واحد خلف العدسة الأولى، كما هو موضح. تُوضع قناع نفاذية يحتوي على تحويل فورييه للدالة الثانية، g ( x , y )، في نفس المستوى _{، على بُعد بُعد بؤري واحد خلف العدسة الأولى، مما يجعل النفاذية عبر القناع مساوية لحاصل ضرب} F ( kx , ky ) × G ( kx , _ky ). يقع هذا الناتج الآن في "مستوى الإدخال" للعدسة الثانية (على بُعد بُعد بؤري واحد أمامها)، بحيث يتشكل تحويل فورييه لهذا الناتج (أي _التفاف f ( x , y ) و g ( x , y ) ) في مستوى البؤرة الخلفية للعدسة الثانية.

إذا وُضع مصدر ضوئي نقطي مثالي رياضيًا على محور مستوى الإدخال للعدسة الأولى، فسينتج مجال ضوئي موحد ومتوازي في مستوى الإخراج للعدسة الأولى. عند ضرب هذا المجال الموحد والمتوازي بقناع مستوى تحويل فورييه، ثم تحويله بواسطة العدسة الثانية، فإن مجال مستوى الإخراج (وهو في هذه الحالة استجابة النبضة للمُرابط) هو ببساطة دالة الارتباط لدينا، g ( x , y ). في التطبيقات العملية، ستكون g ( x , y ) نوعًا من المعالم التي يجب تحديدها وتحديد موقعها داخل مجال مستوى الإدخال (انظر سكوت [1998]). في التطبيقات العسكرية، قد يكون هذا المعلم دبابة أو سفينة أو طائرة يجب تحديدها بسرعة ضمن مشهد أكثر تعقيدًا.

يُعدّ مُرابط 4F أداةً ممتازةً لتوضيح جوانب "الأنظمة" في الأجهزة البصرية، كما أُشير إليه في القسم 5 أعلاه. دالة قناع مستوى تحويل فورييه، _G ( kx , ky ) _، هي دالة نقل النظام للمُرابط، والتي نرمز إليها عمومًا بـ H ( _kx , ky )، وهي تحويل فورييه لدالة استجابة النبضة للمُرابط، h ( x , _{y )} ، والتي هي ببساطة دالة الارتباط g ( x , y ). وكما ذُكر سابقًا، فإن استجابة النبضة للمُرابط هي مجرد صورة للميزة التي نحاول إيجادها في الصورة المدخلة. في مُرابط 4F، تُضرب دالة نقل النظام H ( kx , ky ) مباشرةً في طيف F ( kx , ky ₎ لدالة الإدخال، لإنتاج طيف دالة الإخراج. هكذا تعمل أنظمة معالجة الإشارات الكهربائية على الإشارات الزمنية _{أحادية البُعد .}

تُدرس ظاهرة تشويش الصورة الناتجة عن دالة انتشار النقطة على نطاق واسع في معالجة المعلومات البصرية، وإحدى طرق تخفيف هذا التشويش هي استخدام مرشح وينر. على سبيل المثال، لنفترض أن${\displaystyle o(x,y)}$يمثل توزيع شدة الضوء الصادر من جسم غير متماسك،${\displaystyle i(x,y)}$يمثل توزيع شدة الصورة التي تم تشويشها بواسطة دالة انتشار نقطية ثابتة مكانيًا${\displaystyle s(x,y)}$وضجيج${\displaystyle n(x,y)}$تم إدخالها في عملية الكشف: $${\displaystyle i(x,y)=o(x,y)\otimes s(x,y)+n(x,y)}$$

الهدف من استعادة الصورة هو إيجاد مرشح استعادة خطي يقلل من متوسط ​​مربع الخطأ بين التوزيع الحقيقي والتقدير.${\displaystyle {\hat {o}}(x,y)}$أي لتقليل $${\displaystyle \varepsilon ^{2}=|o-{\hat {o}}|^{2}}$$

حل مشكلة التحسين هذه هو مرشح وينر : $${\displaystyle H\left(f_{X},f_{Y}\right)={\frac {S^{*}\left(f_{X},f_{Y}\right)}{\left|S\left(f_{X},f_{Y}\right)\right|^{2}+{\frac {\Phi _{n}\left(f_{X},f_{Y}\right)}{\Phi _{o}\left(f_{X},f_{Y}\right)}}}},}$$ أين${\displaystyle S\left(f_{X},f_{Y}\right)}$،${\displaystyle \Phi _{o}\left(f_{X},f_{Y}\right)}$،${\displaystyle \Phi _{n}\left(f_{X},f_{Y}\right)}$تمثل هذه القيم كثافات الطيف القدرة لدالة انتشار النقطة، والجسم، والضوضاء.

اقترح راغنارسون طريقةً لتحقيق مرشحات استعادة وينر بصريًا باستخدام تقنية الهولوغرام، كما هو موضح في الشكل. ^{[ 2 ] [ 3 ]} ويتم وصف اشتقاق وظيفة هذا الإعداد على النحو التالي.

لنفترض وجود سطح شفاف كسطح تسجيل، ونبضة منبعثة من مصدر نقطي S. يتم تجميع موجة النبضة بواسطة العدسة L1 ، مما يشكل توزيعًا مساويًا لاستجابة النبضة.${\displaystyle h}$ثم التوزيع${\displaystyle h}$ثم يتم تقسيمها إلى جزأين:

1. يتم أولاً تركيز الجزء العلوي (أي تحويله باستخدام تحويل فورييه) بواسطة عدسة L2 على نقطة في المستوى البؤري الأمامي للعدسة L3 ، مما يشكل مصدرًا نقطيًا افتراضيًا يولد موجة كروية. ثم يتم تجميع الموجة بواسطة العدسة L3 وتنتج موجة مستوية مائلة بالشكل التالي:${\displaystyle r_{0}e^{-j2\pi \alpha y}}$في طائرة التسجيل.
2. يتم توجيه الجزء السفلي مباشرة بواسطة العدسة L3 ، مما ينتج عنه توزيع السعة${\displaystyle {\frac {1}{\lambda f}}H{\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)}}$.

وبالتالي، فإن توزيع الشدة الكلية هو $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {I}}\left(x_{2},y_{2}\right)&=\left|r_{o}\exp \left(-j2\pi \alpha y_{2}\right)+{\frac {1}{\lambda f}}H\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\right|^{2}\\&=r_{o}^{2}+{\frac {1}{\lambda ^{2}f^{2}}}\left|H\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\right|^{2}+{\frac {r_{o}}{\lambda f}}H\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\exp \left(j2\pi \alpha y_{2}\right)+{\frac {r_{o}}{\lambda f}}H^{*}\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\exp \left(-j2\pi \alpha y_{2}\right)\end{aligned}}}$$

يفترض${\displaystyle H}$له توزيع سعة${\displaystyle A}$وتوزيع الطور${\displaystyle \psi }$بحيث $${\displaystyle H\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)=S\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\exp \left[j\psi \left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\right],}$$

ثم يمكننا إعادة كتابة الشدة على النحو التالي: $${\displaystyle I\left(x_{2},y_{2}\right)=r_{o}^{2}+{\frac {1}{\lambda ^{2}f^{2}}}S^{2}\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)+{\frac {2r_{o}}{\lambda f}}S\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\cos \left[2\pi \alpha y_{2}+\psi \left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\right].}$$

لاحظ أنه بالنسبة للنقطة عند أصل مستوى الفيلم (${\displaystyle (x_{2},y_{2})=\mathbf {0} }$)، يجب أن تكون الموجة المسجلة من الجزء السفلي أقوى بكثير من تلك القادمة من الجزء العلوي لأن الموجة التي تمر عبر المسار السفلي تكون مركزة، مما يؤدي إلى العلاقة${\textstyle r_{0}\ll {\frac {1}{\lambda f}}}$.

في عمل راجنارسون، تستند هذه الطريقة إلى المسلمات التالية:

1. لنفترض وجود شفافية، ذات نفاذية سعة${\displaystyle t}$متناسب مع${\displaystyle s(x,y)}$، الذي سجل استجابة النبضة المعروفة للنظام المشوش.
2. المرحلة القصوى${\displaystyle \phi }$يكون الانزياح الناتج عن المرشح أصغر بكثير من${\displaystyle 2\pi }$بالراديان بحيث${\displaystyle e^{j\phi }\approx 1+j\phi }$.
3. يتناسب تغير طور الشفافية بعد التبييض تناسبًا طرديًا مع كثافة الفضة${\displaystyle D}$موجود قبل التبييض.
4. تتناسب الكثافة خطيًا مع لوغاريتم التعرض$${\displaystyle I=r_{o}^{2}+{\frac {1}{\lambda ^{2}f^{2}}}S^{2}.}$$
5. متوسط ​​التعرض${\displaystyle {\bar {I}}}$أقوى بكثير من التعرض المتفاوت$${\displaystyle \Delta I\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)={\frac {2r_{o}}{\lambda f}}S\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\cos \left[2\pi \alpha y_{2}+\psi \left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\right].}$$

وبناءً على هذه المسلمات، لدينا العلاقة التالية: $${\displaystyle \Delta t\propto \Delta \phi \propto \Delta D\propto \Delta (\log I)\approx {\frac {\Delta I}{I}}.}$$

وأخيرًا، نحصل على نفاذية السعة على شكل مرشح وينر: $${\displaystyle \Delta t\propto {\frac {S^{\ast }}{r_{0}^{2}\lambda ^{2}f^{2}+\left\vert S\right\vert ^{2}}}.}$$

إنّ موضوعي توسيع الدوال الذاتية والتحليل الوظيفي ، اللذين أُشير إليهما بإيجاز هنا، ليسا مستقلين تمامًا. فتوسيع الدوال الذاتية لبعض المؤثرات الخطية المعرفة على نطاق معين، غالبًا ما يُنتج مجموعة لا نهائية قابلة للعد من الدوال المتعامدة التي تغطي ذلك النطاق. وبناءً على المؤثر وأبعاد (وشكل، وشروط حدود) نطاقه، يُمكن من حيث المبدأ وجود أنواع عديدة من التحليلات الوظيفية.