شروط التنسيق

في النسبية العامة ، يمكن التعبير عن قوانين الفيزياء بصيغة متغيرة بشكل عام . بعبارة أخرى، لا يعتمد وصف العالم وفقًا لقوانين الفيزياء على اختيارنا لأنظمة الإحداثيات. مع ذلك، غالبًا ما يكون من المفيد تحديد نظام إحداثيات معين لحل مسائل واقعية أو إجراء تنبؤات محددة. ويحدد شرط الإحداثيات نظام (أو أنظمة) الإحداثيات هذا.

لا تُحدد معادلات أينشتاين للمجال المقياس بشكل فريد، حتى لو عُرفت قيمة موتر المقياس في كل مكان عند زمن ابتدائي. يُشابه هذا الوضع عجز معادلات ماكسويل عن تحديد الكمونات بشكل فريد. في كلتا الحالتين، يُمكن إزالة الغموض بتثبيت القياس . لذا، تُعد شروط الإحداثيات نوعًا من شروط القياس. ^{[ 1 ]} لا يوجد شرط إحداثيات متغاير بشكل عام، ولكن العديد من شروط الإحداثيات متغايرة لورنتز أو متغايرة دورانيًا .

قد يظن المرء، ببساطة، أن شروط الإحداثيات ستأخذ شكل معادلات لتطور الإحداثيات الأربع، وبالفعل في بعض الحالات (مثل شرط الإحداثيات التوافقي) يمكن صياغتها بهذا الشكل. مع ذلك، من الشائع أكثر أن تظهر على شكل أربع معادلات إضافية (إلى جانب معادلات أينشتاين للمجال) لتطور موتر القياس. لا تحدد معادلات أينشتاين للمجال وحدها تطور القياس بالنسبة لنظام الإحداثيات بشكل كامل. قد يبدو أنها تفعل ذلك لوجود عشر معادلات لتحديد مكونات القياس العشرة. لكن، نظرًا لهوية بيانكي الثانية لموتر انحناء ريمان ، فإن تباعد موتر أينشتاين يساوي صفرًا، مما يعني أن أربعًا من المعادلات العشر زائدة، تاركةً أربع درجات حرية يمكن ربطها باختيار الإحداثيات الأربع. ويمكن استخلاص النتيجة نفسها من توسيع كرامرز-مويال-فان-كامبن لمعادلة ماستر (باستخدام معاملات كليبيش-جوردان لتحليل منتجات الموتر) .

يُعد شرط الإحداثيات المفيد بشكل خاص هو الشرط التوافقي (المعروف أيضًا باسم "مقياس دي دوندر"):

${\displaystyle 0=\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }g^{\beta \gamma }\!.}$

هنا، يُمثل جاما رمز كريستوفيل (المعروف أيضًا باسم "الوصلة الأفينية")، و"g" مع الرموز العلوية هو معكوس موتر القياس . يستخدم الفيزيائيون هذا الشرط التوافقي بكثرة عند دراسة موجات الجاذبية . كما يُستخدم هذا الشرط بكثرة لاستنتاج تقريب ما بعد نيوتن .

على الرغم من أن شرط الإحداثيات التوافقية ليس متغايرًا بشكل عام، إلا أنه متغاير لورنتز. يحل شرط الإحداثيات هذا غموض موتر القياس.${\displaystyle g_{\mu \nu }\!}$من خلال توفير أربع معادلات تفاضلية إضافية يجب أن يحققها موتر القياس.

ومن الشروط الإحداثية المفيدة بشكل خاص شرط التزامن:

${\displaystyle g_{01}=g_{02}=g_{03}=0\!}$

و

${\displaystyle g_{00}=-1\!}$.

تُعرف الإحداثيات المتزامنة أيضاً باسم الإحداثيات الغاوسية. ^{[ 2 ]} وهي تُستخدم بكثرة في علم الكونيات . ^{[ 3 ]}

إن شرط الإحداثيات المتزامنة ليس متغايرًا بشكل عام ولا متغايرًا لورنتزيًا. يحل شرط الإحداثيات هذا غموض موتر القياس.${\displaystyle g_{\mu \nu }\!}$من خلال توفير أربع معادلات جبرية يجب أن يحققها موتر القياس.

استخدم الفيزيائيون العديد من شروط الإحداثيات الأخرى، وإن لم يكن أي منها شائعًا مثل تلك المذكورة أعلاه. تتحقق جميع شروط الإحداثيات التي يستخدمها الفيزيائيون تقريبًا، بما في ذلك شروط الإحداثيات التوافقية والمتزامنة، بواسطة موتر متري يساوي موتر مينكوفسكي في كل مكان. (مع ذلك، بما أن موتر ريمان، وبالتالي موتر ريتشي لإحداثيات مينكوفسكي، يساوي صفرًا، فإن معادلات أينشتاين تعطي طاقة/مادة صفرية لإحداثيات مينكوفسكي؛ لذا لا يمكن اعتبار إحداثيات مينكوفسكي إجابة نهائية مقبولة). وعلى عكس شروط الإحداثيات التوافقية والمتزامنة، قد تكون بعض شروط الإحداثيات الشائعة الاستخدام إما غير محددة أو محددة بشكل مفرط.

من الأمثلة على الشرط غير الحاسم العبارة الجبرية التي تنص على أن محدد موتر القياس يساوي -1 ، مما يترك مجالًا واسعًا لحرية القياس. ^{[ 4 ]} يجب استكمال هذا الشرط بشروط أخرى لإزالة الغموض في موتر القياس.

من الأمثلة على شرط التحديد الزائد العبارة الجبرية التي تنص على أن الفرق بين موتر القياس وموتر مينكوفسكي هو ببساطة متجه رباعي صفري مضروب في نفسه، وهو ما يُعرف بصيغة كير-شيلد للقياس. ^{[ 5 ]} يتجاوز شرط كير-شيلد هذا مجرد إزالة غموض الإحداثيات، وبالتالي فهو يصف أيضًا نوعًا من بنية الزمكان الفيزيائية. محدد موتر القياس في قياس كير-شيلد هو سالب واحد، وهو بحد ذاته شرط تحديد ناقص للإحداثيات. ^{[ 4 ] [ 6 ]}

عند اختيار شروط الإحداثيات، من المهم الحذر من الأوهام أو التشوهات التي قد تنشأ عن هذا الاختيار. على سبيل المثال، قد يتضمن مقياس شوارزشيلد نقطة تفرد ظاهرة على سطح منفصل عن مصدر النقطة، لكن هذه النقطة ليست سوى نتاج لاختيار شروط الإحداثيات، وليست ناتجة عن الواقع الفيزيائي الفعلي. ^{[ 7 ]}

إذا كان المرء سيحل معادلات أينشتاين للمجال باستخدام طرق تقريبية مثل توسيع ما بعد نيوتن ، فعليه أن يسعى لاختيار شرط إحداثي يجعل التوسيع يتقارب بأسرع ما يمكن (أو على الأقل يمنعه من التباعد). وبالمثل، بالنسبة للطرق العددية، يجب تجنب النقاط الشاذة (نقاط التفرد الإحداثية).

إذا جمعنا شرطًا إحداثيًا متغايرًا لورنتزيًا، مثل شرط الإحداثيات التوافقي المذكور أعلاه، مع معادلات أينشتاين للمجال ، فسنحصل على نظرية متسقة إلى حد ما مع كل من النسبية الخاصة والعامة. ومن أبسط الأمثلة على هذه الشروط الإحداثية ما يلي:

1. ${\displaystyle g_{\alpha \beta ,\gamma }\eta ^{\beta \gamma }=k\,g_{\mu \nu ,\alpha }\eta ^{\mu \nu }\,.}$
2. ${\displaystyle g^{\alpha \beta {}_{,\beta }=k\,g^{\mu \nu }_{,\gamma }\eta _{\mu \nu }\eta ^{\alpha \gamma }\,.}$

حيث يمكن تثبيت الثابت k على أي قيمة مناسبة.