موتر انحناء ريمان

في مجال الهندسة التفاضلية ، يُعدّ موتر انحناء ريمان، أو موتر ريمان-كريستوفيل (نسبةً إلى برنارد ريمان وإلوين برونو كريستوفيل )، الطريقة الأكثر شيوعًا للتعبير عن انحناء المشعبات الريمانية . يُعيّن هذا الموتر موترًا لكل نقطة في المشعب الريماني (أي أنه حقل موتر ). وهو ثابت محلي للمقاييس الريمانية، يقيس عدم تبادل المشتقات التغايرية الثانية . يكون انحناء المشعب الريماني صفرًا إذا وفقط إذا كان مسطحًا ، أي متساوي القياس محليًا مع الفضاء الإقليدي . ^{[ 1 ]} يمكن أيضًا تعريف موتر الانحناء لأي مشعب شبه ريماني ، أو أي مشعب مزود بوصلة أفينية .

يُعدّ انحناء الزمكان أداة رياضية أساسية في نظرية النسبية العامة ، وهي النظرية الحديثة للجاذبية . ويمكن من حيث المبدأ رصد انحناء الزمكان عبر معادلة الانحراف الجيوديسي . ويمثل موتر الانحناء قوة المد والجزر التي يتعرض لها جسم صلب يتحرك على طول خط جيوديسي، وذلك بطريقة دقيقة تحددها معادلة جاكوبي .

يترك${\displaystyle (M,g)}$أن تكون متعددة شعب ريمانية أو شبه ريمانية ، و${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$ليكن فضاء جميع الحقول المتجهة على${\displaystyle M}$نُعرّف موتر انحناء ريمان على أنه دالة${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\rightarrow {\mathfrak {X}}(M)}$وفقًا للصيغة التالية ^{[ 2 ]} حيث${\displaystyle \nabla }$هل العلاقة بين ليفي-تشيفيتا هي :

${\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z}$

أو ما يعادل ذلك

${\displaystyle R(X,Y)=[\nabla _{X},\nabla _{Y}]-\nabla _{[X,Y]}}$

أين${\displaystyle [X,Y]}$هو قوس لي لحقول المتجهات و${\displaystyle [\nabla _{X},\nabla _{Y}]}$هو مُبدِّل للمؤثرات التفاضلية. ويتضح أن الطرف الأيمن يعتمد فقط على قيمة حقول المتجهات.${\displaystyle X,Y,Z}$عند نقطة معينة، وهو أمر جدير بالملاحظة لأن المشتقة المتغيرة لحقل متجه تعتمد أيضًا على قيم الحقل في جوار تلك النقطة. ومن ثم،${\displaystyle R}$هو${\displaystyle (1,3)}$حقل الموتر. لثابت${\displaystyle X,Y}$التحويل الخطي${\displaystyle Z\mapsto R(X,Y)Z}$يُطلق عليه أيضًا اسم تحويل الانحناء أو التشكل الداخلي . وفي بعض الأحيان، يُعرَّف موتر الانحناء بإشارة معاكسة.

يقيس موتر الانحناء عدم التبادلية للمشتق المتغير ، وعلى هذا النحو فهو عائق التكامل لوجود تماثل مع الفضاء الإقليدي (يسمى، في هذا السياق، الفضاء المسطح ).

بما أن اتصال ليفي-سيفيتا خالٍ من الالتواء، فإنه يمكن أيضًا التعبير عن انحنائه من حيث المشتقة المتغيرة الثانية ^{[ 3 ].}

${\textstyle \nabla _{X,Y}^{2}Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{\nabla _{X}Y}Z}$

والتي تعتمد فقط على قيم${\displaystyle X,Y}$عند نقطة ما. ويمكن كتابة الانحناء على النحو التالي:

${\displaystyle R(X,Y)=\nabla _{X,Y}^{2}-\nabla _{Y,X}^{2}}$

وبالتالي، يقيس موتر الانحناء عدم تبادلية المشتقة التغايرية الثانية. في تدوين المؤشر المجرد ،$${\displaystyle R^{d}{}_{cab}Z^{c}=\nabla _{a}\nabla _{b}Z^{d}-\nabla _{b}\nabla _{a}Z^{d}.}$$موتر انحناء ريمان هو أيضًا مبدل المشتقة المتغيرة لمتجه مرافق اختياري${\displaystyle A_{\nu }}$مع نفسه: ^{[ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle A_{\nu$ ;\rho \sigma }-A_{\nu  ;\sigma \rho }=A_{\beta }R^{\beta }{}_{\nu \rho \sigma }.}

تُعرف هذه الصيغة غالبًا باسم متطابقة ريتشي . ^{[ 6 ]} وهي الطريقة الكلاسيكية التي استخدمها ريتشي وليفي -سيفيتا للحصول على تعبير لموتر انحناء ريمان. ^{[ 7 ]} ويمكن تعميم هذه المتطابقة للحصول على المبدلات لمشتقين متغايرين لموترات عشوائية كما يلي. ^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla _{\delta }\nabla _{\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\nabla _{\gamma }\nabla _{\delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\[3pt]={}&R^{\alpha _{1}}{}_{\rho \delta \gamma }T^{\rho \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}+\ldots +R^{\alpha _{r}}{}_{\rho \delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\rho }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-R^{\sigma }{}_{\beta _{1}\delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\sigma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}-\ldots -R^{\sigma }{}_{\beta _{s}\delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\sigma }\end{aligned}}}$

تنطبق هذه الصيغة أيضًا على كثافات الموتر دون تغيير، لأنه بالنسبة لوصلة ليفي-سيفيتا ( غير العامة ) يحصل المرء على: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \nabla _{\mu }\left({\sqrt {g}}\right)\equiv \left({\sqrt {g}}\right)_{;\mu }=0,}$

أين

${\displaystyle g=\left|\det \left(g_{\mu \nu }\right)\right|.}$

من الملائم أحيانًا تعريف النسخة المتغيرة تمامًا لموتر الانحناء بواسطة

${\displaystyle R_{\sigma \mu \nu \rho }=g_{\rho \zeta }R^{\zeta }{}_{\sigma \mu \nu }.}$

بتحويلها إلى ترميز مؤشر الموتر ، يُعطى موتر انحناء ريمان بالصيغة التالية:

${\displaystyle R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=dx^{\rho }\left(R\left(\partial _{\mu },\partial _{\nu }\right)\partial _{\sigma }\right)}$

أين${\displaystyle \partial _{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }}$هي حقول متجهات الإحداثيات. يمكن كتابة التعبير أعلاه باستخدام رموز كريستوفيل :

${\displaystyle R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }-\partial _{\nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }}$

(انظر أيضًا قائمة الصيغ في الهندسة الريمانية ).

يتمتع موتر انحناء ريمان بالتناظرات والمتطابقات التالية:

التناظر المائل	${\displaystyle R(u,v)=-R(v,u)}$	${\displaystyle R_{abcd}=-R_{abdc}\Leftrightarrow R_{ab(cd)}=0}$
التناظر المائل	${\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =-\langle R(u,v)z,w\rangle }$	${\displaystyle R_{abcd}=-R_{bacd}\Leftrightarrow R_{(ab)cd}=0}$
متطابقة بيانكي الأولى (الجبرية)	${\displaystyle R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0}$	${\displaystyle R_{abcd}+R_{acdb}+R_{adbc}=0\Leftrightarrow R_{a[bcd]}=0}$
تناظر التبادل	${\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =\langle R(w,z)u,v\rangle }$	${\displaystyle R_{abcd}=R_{cdab}}$
الهوية الثانية (التفاضلية) لبيانكي	${\displaystyle \left(\nabla _{u}R\right)(v,w)+\left(\nabla _{v}R\right)(w,u)+\left(\nabla _{w}R\right)(u,v)=0}$	${\displaystyle R_{abcd;e}+R_{abde;c}+R_{abec;d}=0\Leftrightarrow R_{ab[cd;e]}=0}$

حيث القوس${\displaystyle \langle ,\rangle }$يشير هذا إلى الضرب الداخلي على الفضاء المماسي الناتج عن موتر القياس ، وتشير الأقواس المعقوفة والأقواس العادية على المؤشرات إلى عاملي التناظر العكسي والتناظر ، على التوالي. إذا كان هناك التواء غير صفري ، فإن متطابقات بيانكي تتضمن موتر الالتواء .

تم اكتشاف أول متطابقة بيانكي (الجبرية) بواسطة ريتشي ، ولكنها تسمى غالبًا متطابقة بيانكي الأولى أو متطابقة بيانكي الجبرية ، لأنها تبدو مشابهة لمتطابقة بيانكي التفاضلية .

تشكل المتطابقات الثلاث الأولى قائمة كاملة بتناظرات موتر الانحناء، أي أنه لأي موتر يحقق المتطابقات المذكورة أعلاه، يمكن إيجاد مشعب ريماني ذي موتر انحناء مماثل عند نقطة ما. تُظهر حسابات بسيطة أن هذا الموتر يتمتع بـ${\displaystyle n^{2}\left(n^{2}-1\right)/12}$مكونات مستقلة. ^{[ 9 ]} ينتج تناظر التبادل من هذه المكونات. كما أن التناظرات الجبرية مكافئة للقول بأن R ينتمي إلى صورة مُتَناظر يونغ المُطابق للتقسيم 2+2.

على مشعب ريماني، يكون لدينا المشتق المتغير${\displaystyle \nabla _{u}R}$وتأخذ متطابقة بيانكي (التي تسمى غالبًا متطابقة بيانكي الثانية أو متطابقة بيانكي التفاضلية) شكل المتطابقة الأخيرة في الجدول.

موتر انحناء ريتشي هو انكماش المؤشرين الأول والثالث لموتر ريمان.

${\displaystyle \underbrace {R_{ab}} _{\text{Ricci}}\equiv R^{c}{}_{acb}=g^{cd}\underbrace {R_{cadb}} _{\text{Riemann}}}$

• مقدمة في رياضيات النسبية العامة
• تحليل موتر انحناء ريمان
• انحناء المشعبات الريمانية
• موتر انحناء ريتشي