الشكلية ما بعد النيوتونية ذات المعلمات

في الفيزياء ، تُعدّ الصيغة البارامترية لما بعد نيوتن، أو صيغة PPN ، نسخةً من تقريب ما بعد نيوتن لنظرية النسبية العامة ، وتتضمن معايير قابلة للتعديل. تُستخدم هذه الصيغة كأداة لمقارنة جاذبية أينشتاين غير الخطية بجاذبية نيوتن الأبسط في حالة ضعف مجال الجاذبية الناتج عن أجسام تتحرك ببطء مقارنةً بسرعة الضوء. عمومًا، يمكن تطبيق صيغة PPN على جميع نظريات الجاذبية المترية التي تُحقق فيها جميع الأجسام مبدأ تكافؤ أينشتاين . تبقى سرعة الضوء ثابتة في صيغة PPN، وتفترض أن موتر القياس متناظر دائمًا.

معادلات أينشتاين للجاذبية غير خطية ويصعب حلها حتى في أبسط الأنظمة. يُعيد توسيع ما بعد نيوتن كتابة المعادلات في سلسلة من الحدود المتناسبة مع قوة نسبة فيزيائية صغيرة. على سبيل المثال، نسبة سرعة المادة التي تُشكّل مجال الجاذبية،${\displaystyle v}$بسرعة الضوء ،${\displaystyle c}$والتي يُطلق عليها في هذه الحالة بشكل أفضل سرعة الجاذبية . طالما أن${\displaystyle v/c\ll 1}$، المصطلحات في سلسلة ذات قوى مثل${\displaystyle (v/c)^{i}}$ستحتوي على عدد قليل من الحدود المهمة. سيكون الحد الأدنى هو قانون نيوتن للجاذبية الكونية . يسمح هذا بتقريب معادلات أينشتاين في حالة المجالات الضعيفة. يمكن إضافة حدود ذات رتب أعلى لزيادة الدقة، ولكن بالنسبة للمجالات القوية، قد يكون من الأفضل حل المعادلات الكاملة عدديًا.

تُعدّل صياغة ما بعد نيوتن المُعَلمة (PPN) معادلات ما بعد نيوتن الأساسية باستبدال المعاملات العددية بمعاملات قابلة للتعديل. وتُنتج القيم المختلفة لهذه المعاملات نظريات جاذبية مختلفة تُناسب ظروفًا مُختلفة. ومن الأمثلة على ذلك نماذج النظام الشمسي التي تستخدم كواكب جسيمية نقطية ، وأنظمة الكتل النقطية ذات الشحنة الكهربائية، والسوائل ذات الإجهادات غير المتجانسة. ^{[ 1 ] : 99}

يعتمد نموذج بسيط للنظام الشمسي على جاذبية الشمس فقط ويتجاهل دورانها. في هذا الزمكان المتجانس والثابت ، تُقاس المسافات بالزمن الخاص باستخدام المقياس التالي: $${\displaystyle ds^{2}=-A(r)dt^{2}+B(r)dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}.}$$ هنا${\displaystyle r}$هي المسافة من الشمس إلى كتلة اختبارية و${\displaystyle t}$يمثل الزمن الإحداثي لمراقب عند كتلة الاختبار. يمكن استنتاج طبيعة الدالتين A و B من خلال التحليل البُعدي والفيزيائي. يعتمد النظام ككل على كتلة الشمس M وثابت الجاذبية G ، في التركيبة GM . نسبة طاقة الوضع التثاقلية إلى كتلة السكون لجسيم الاختبار،${\displaystyle (GM/c^{2}r)\ll 1,}$صغيرة، لذا يمكن توسيع الدالتين في متسلسلة قوى لتلك النسبة الصغيرة: $${\displaystyle A(r)=1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}+2(\beta -\gamma ){\big (}{\frac {GM}{c^{2}r}}{\big )}+\dots }$$$${\displaystyle B(r)=1+2\gamma {\big (}{\frac {GM}{c^{2}r}}{\big )}+\dots }$$ المعايير${\displaystyle \beta }$و${\displaystyle \gamma }$كلاهما يساوي 1 في نظرية جاذبية أينشتاين. وتتوافق اختبارات النظام الشمسي للنسبية العامة مع هذه القيمة بدقة أفضل من جزء واحد من عشرة آلاف. تاريخيًا، تنبأت نظريات جاذبية أخرى بقيم مختلفة، لكن لم تتطابق أي منها مع الملاحظات. ^{[ 2 ] : 310}

أُجريت أولى عمليات تحديد معلمات تقريب ما بعد نيوتن على يد السير آرثر ستانلي إدينغتون عام 1922. إلا أنها اقتصرت على دراسة مجال الجاذبية في الفراغ خارج جسم كروي معزول. قام كين نوردتفيت (1968، 1969) بتوسيع هذا التقريب ليشمل سبعة معلمات في ورقتين بحثيتين نُشرتا عامي 1968 و1969. وفي عام 1971، قدّم كليفورد مارتن ويل وصفًا للمادة المستمرة والمُجهدة للأجرام السماوية.

تستند الإصدارات الموصوفة هنا إلى Wei-Tou Ni (1972) و Will و Nordtvedt (1972) و Charles W. Misner et al. (1973) (انظر كتاب الجاذبية ) و Will (1981، 1993) ولها عشرة معلمات.

تُحدد عشرة معايير ما بعد نيوتنية سلوك النظرية في المجال الضعيف بشكل كامل. وقد شكّل هذا النموذج أداة قيّمة في اختبارات النسبية العامة . وفي تدوين ويل (1971)، وني (1972)، وميسنر وآخرون (1973)، تكون قيم هذه المعايير كما يلي:

${\displaystyle \gamma }$	ما مقدار انحناء الفضاء${\displaystyle g_{ij}}$ينتج عن كتلة سكون وحدة
${\displaystyle \beta }$	ما مقدار اللاخطية الموجودة في قانون التراكب للجاذبية؟${\displaystyle g_{00}}$
${\displaystyle \beta _{1}}$	ما مقدار الجاذبية الناتجة عن وحدة طاقة حركية؟${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}\rho _{0}v^{2}}$
${\displaystyle \beta _{2}}$	ما مقدار الجاذبية التي تنتجها وحدة طاقة الوضع التثاقلية؟${\displaystyle \rho _{0}/U}$
${\displaystyle \beta _{3}}$	ما مقدار الجاذبية الناتجة عن وحدة طاقة داخلية؟${\displaystyle \rho _{0}\Pi }$
${\displaystyle \beta _{4}}$	ما مقدار الجاذبية الناتجة عن وحدة الضغط؟${\displaystyle p}$
${\displaystyle \zeta }$	الفرق بين الطاقة الحركية الشعاعية والعرضية في الجاذبية
${\displaystyle \eta }$	الفرق بين الإجهاد القطري والإجهاد العرضي الناتج عن الجاذبية
${\displaystyle \Delta _{1}}$	ما مقدار السحب الذي تتعرض له الأطر المرجعية العطالية؟${\displaystyle g_{0j}}$ينتج عن زخم الوحدة${\displaystyle \rho _{0}v}$
${\displaystyle \Delta _{2}}$	الفرق بين الزخم القطري والزخم العرضي في سحب الأطر المرجعية العطالية

${\displaystyle g_{\mu \nu }}$هو موتر متري متناظر 4×4 ذو مؤشرات${\displaystyle \mu }$و${\displaystyle \nu }$ going from 0 to 3. Below, an index of 0 will indicate the time direction and indices ${\displaystyle i}$ and ${\displaystyle j}$ (going from 1 to 3) will indicate spatial directions.

In Einstein's theory, the values of these parameters are chosen (1) to fit Newton's Law of gravity in the limit of velocities and mass approaching zero, (2) to ensure conservation of energy, mass, momentum, and angular momentum, and (3) to make the equations independent of the reference frame. In this notation, general relativity has PPN parameters ${\displaystyle \gamma =\beta =\beta _{1}=\beta _{2}=\beta _{3}=\beta _{4}=\Delta _{1}=\Delta _{2}=1}$ and ${\displaystyle \zeta =\eta =0.}$

In the more recent notation of Will & Nordtvedt (1972) and Will (1981, 1993, 2006) a different set of ten PPN parameters is used.

${\displaystyle \gamma =\gamma }$

${\displaystyle \beta =\beta }$

${\displaystyle \alpha _{1}=7\Delta _{1}+\Delta _{2}-4\gamma -4}$

${\displaystyle \alpha _{2}=\Delta _{2}+\zeta -1}$

${\displaystyle \alpha _{3}=4\beta _{1}-2\gamma -2-\zeta }$

${\displaystyle \zeta _{1}=\zeta }$

${\displaystyle \zeta _{2}=2\beta +2\beta _{2}-3\gamma -1}$

${\displaystyle \zeta _{3}=\beta _{3}-1}$

${\displaystyle \zeta _{4}=\beta _{4}-\gamma }$

${\displaystyle \xi }$ is calculated from ${\displaystyle 3\eta =12\beta -3\gamma -9+10\xi -3\alpha _{1}+2\alpha _{2}-2\zeta _{1}-\zeta _{2}}$

The meaning of these is that ${\displaystyle \alpha _{1}}$, ${\displaystyle \alpha _{2}}$ and ${\displaystyle \alpha _{3}}$ measure the extent of preferred frame effects. ${\displaystyle \zeta _{1}}$, ${\displaystyle \zeta _{2}}$, ${\displaystyle \zeta _{3}}$, ${\displaystyle \zeta _{4}}$ and ${\displaystyle \alpha _{3}}$ measure the failure of conservation of energy, momentum and angular momentum.

In this notation, general relativity has PPN parameters

${\displaystyle \gamma =\beta =1}$ and ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=\zeta _{1}=\zeta _{2}=\zeta _{3}=\zeta _{4}=\xi =0}$

The mathematical relationship between the metric, metric potentials and PPN parameters for this notation is:

${\displaystyle {\begin{matrix}g_{00}=-1+2U-2\beta U^{2}-2\xi \Phi _{W}+(2\gamma +2+\alpha _{3}+\zeta _{1}-2\xi )\Phi _{1}+2(3\gamma -2\beta +1+\zeta _{2}+\xi )\Phi _{2}\\\ +2(1+\zeta _{3})\Phi _{3}+2(3\gamma +3\zeta _{4}-2\xi )\Phi _{4}-(\zeta _{1}-2\xi )A-(\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3})w^{2}U\\\ -\alpha _{2}w^{i}w^{j}U_{ij}+(2\alpha _{3}-\alpha _{1})w^{i}V_{i}+O(\epsilon ^{3})\end{matrix}}}$

${\displaystyle g_{0i}=-\textstyle {\frac {1}{2}}(4\gamma +3+\alpha _{1}-\alpha _{2}+\zeta _{1}-2\xi )V_{i}-\textstyle {\frac {1}{2}}(1+\alpha _{2}-\zeta _{1}+2\xi )W_{i}-\textstyle {\frac {1}{2}}(\alpha _{1}-2\alpha _{2})w^{i}U-\alpha _{2}w^{j}U_{ij}+O(\epsilon ^{\frac {5}{2}})}$

${\displaystyle g_{ij}=(1+2\gamma U)\delta _{ij}+O(\epsilon ^{2})}$

where repeated indexes are summed. ${\displaystyle \epsilon }$ is on the order of potentials such as ${\displaystyle U}$, the square magnitude of the coordinate velocities of matter, etc. ${\displaystyle w^{i}}$ is the velocity vector of the PPN coordinate system relative to the mean rest-frame of the universe. ${\displaystyle w^{2}=\delta _{ij}w^{i}w^{j}}$ is the square magnitude of that velocity. ${\displaystyle \delta _{ij}=1}$ if and only if ${\displaystyle i=j}$, ${\displaystyle 0}$ otherwise.

There are ten metric potentials, ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle U_{ij}}$, ${\displaystyle \Phi _{W}}$, ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle \Phi _{1}}$, ${\displaystyle \Phi _{2}}$, ${\displaystyle \Phi _{3}}$, ${\displaystyle \Phi _{4}}$, ${\displaystyle V_{i}}$ and ${\displaystyle W_{i}}$, one for each PPN parameter to ensure a unique solution. 10 linear equations in 10 unknowns are solved by inverting a 10 by 10 matrix. These metric potentials have forms such as:

${\displaystyle U(\mathbf {x} ,t)=\int {\rho (\mathbf {x} ',t) \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

which is simply another way of writing the Newtonian gravitational potential,

${\displaystyle U_{ij}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)(x-x')_{i}(x-x')_{j} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{3}}d^{3}x'}$

${\displaystyle \Phi _{W}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\rho (\mathbf {x} '',t)(x-x')_{i} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{3}}\left({(x'-x'')^{i} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}-{(x-x'')^{i} \over |\mathbf {x} '-\mathbf {x} ''|}\right)d^{3}x'd^{3}x''}$

${\displaystyle A=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\left(\mathbf {v} (\mathbf {x} ',t)\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\right)^{2} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{3}}d^{3}x'}$

${\displaystyle \Phi _{1}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\mathbf {v} (\mathbf {x} ',t)^{2} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

${\displaystyle \Phi _{2}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)U(\mathbf {x} ',t) \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

${\displaystyle \Phi _{3}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\Pi (\mathbf {x} ',t) \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

${\displaystyle \Phi _{4}=\int {p(\mathbf {x} ',t) \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

${\displaystyle V_{i}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)v(\mathbf {x} ',t)_{i} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

${\displaystyle W_{i}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\left(\mathbf {v} (\mathbf {x} ',t)\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\right)(x-x')_{i} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{3}}d^{3}x'}$

where ${\displaystyle \rho }$ is the density of rest mass, ${\displaystyle \Pi }$ is the internal energy per unit rest mass, ${\displaystyle p}$ is the pressure as measured in a local freely falling frame momentarily comoving with the matter, and ${\displaystyle \mathbf {v} }$ is the coordinate velocity of the matter.

Stress-energy tensor for a perfect fluid takes form

${\displaystyle T^{00}=\rho (1+\Pi +\mathbf {v} ^{2}+2U)}$

${\displaystyle T^{0i}=\rho (1+\Pi +\mathbf {v} ^{2}+2U+p/\rho )v^{i}}$

${\displaystyle T^{ij}=\rho (1+\Pi +\mathbf {v} ^{2}+2U+p/\rho )v^{i}v^{j}+p\delta ^{ij}(1-2\gamma U)}$

Examples of the process of applying PPN formalism to alternative theories of gravity can be found in Will (1981, 1993). It is a nine step process:

• Step 1: Identify the variables, which may include: (a) dynamical gravitational variables such as the metric ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$, scalar field ${\displaystyle \phi }$, vector field ${\displaystyle K_{\mu }}$, tensor field ${\displaystyle B_{\mu \nu }}$ and so on; (b) prior-geometrical variables such as a flat background metric ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$, cosmic time function ${\displaystyle t}$, and so on; (c) matter and non-gravitational field variables.
• Step 2: Set the cosmological boundary conditions. Assume a homogeneous isotropic cosmology, with isotropic coordinates in the rest frame of the universe. A complete cosmological solution may or may not be needed. Call the results ${\displaystyle g_{\mu \nu }^{(0)}=\operatorname {diag} (-c_{0},c_{1},c_{1},c_{1})}$, ${\displaystyle \phi _{0}}$, ${\displaystyle K_{\mu }^{(0)}}$, ${\displaystyle B_{\mu \nu }^{(0)}}$.
• Step 3: Get new variables from ${\displaystyle h_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }^{(0)}}$, with ${\displaystyle \phi -\phi _{0}}$, ${\displaystyle K_{\mu }-K_{\mu }^{(0)}}$ or ${\displaystyle B_{\mu \nu }-B_{\mu \nu }^{(0)}}$ if needed.
• الخطوة 4: استبدل هذه الصيغ في معادلات المجال، مع الاحتفاظ فقط بالحدود الضرورية للحصول على حل نهائي متسق لـ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$استبدل موتر الإجهاد السائل المثالي بمصادر المادة.
• الخطوة 5: حل لإيجاد${\displaystyle h_{00}}$ل${\displaystyle O(2)}$وبافتراض أن هذا يؤول إلى الصفر بعيدًا عن النظام، نحصل على الشكل التالي${\displaystyle h_{00}=2\alpha U}$أين${\displaystyle U}$هو جهد الجاذبية النيوتوني و${\displaystyle \alpha }$قد تكون دالة معقدة تتضمن "ثابت" الجاذبية.${\displaystyle G}$يأخذ المقياس النيوتني الشكل التالي:${\displaystyle g_{00}=-c_{0}+2\alpha U}$،${\displaystyle g_{0j}=0}$،${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}c_{1}}$اعمل بوحدات يكون فيها "ثابت" الجاذبية المقاس اليوم بعيدًا عن المادة الجاذبة يساوي واحدًا، لذا حدد${\displaystyle G_{\mathrm {today} }=\alpha /c_{0}c_{1}=1}$.
• الخطوة 6: من النسخ الخطية لمعادلات المجال، قم بحل المعادلة التالية:${\displaystyle h_{ij}}$ل${\displaystyle O(2)}$و${\displaystyle h_{0j}}$ل${\displaystyle O(3)}$.
• الخطوة 7: حل لإيجاد${\displaystyle h_{00}}$ل${\displaystyle O(4)}$هذه هي الخطوة الأكثر تعقيداً، إذ تتضمن جميع اللاخطية في معادلات المجال. كما يجب توسيع موتر الإجهاد والطاقة إلى رتبة كافية.
• الخطوة 8: التحويل إلى إحداثيات شبه ديكارتية محلية وإلى مقياس PPN القياسي.
• الخطوة 9: بمقارنة النتيجة لـ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$باستخدام المعادلات المعروضة في PPN مع معلمات ألفا زيتا ، اقرأ قيم معلمات PPN.

يمكن العثور على جدول يقارن معلمات PPN لـ 23 نظرية للجاذبية في بدائل النسبية العامة#معلمات ما بعد نيوتن البارامترية لمجموعة من النظريات .

يمكن تصنيف معظم النظريات المترية للجاذبية إلى فئات. تشمل النظريات القياسية للجاذبية النظريات المسطحة المطابقة والنظريات الطبقية ذات الشرائح المكانية المتعامدة زمنيًا.

في النظريات المسطحة المطابقة، مثل نظرية نوردستروم للجاذبية، يُعطى المقياس بواسطة${\displaystyle \mathbf {g} =f{\boldsymbol {\eta }}}$وبالنسبة لهذا المقياس${\displaystyle \gamma =-1}$وهو ما يتعارض بشكل كبير مع الملاحظات. في النظريات الطبقية مثل نظرية يلماز للجاذبية، يُعطى المقياس بواسطة${\displaystyle \mathbf {g} =f_{1}\mathbf {d} t\otimes \mathbf {d} t+f_{2}{\boldsymbol {\eta }}}$وبالنسبة لهذا المقياس${\displaystyle \alpha _{1}=-4(\gamma +1)}$وهذا يتعارض أيضاً بشكل كبير مع الملاحظات.

وهناك فئة أخرى من النظريات وهي النظريات شبه الخطية مثل نظرية وايتهيد للجاذبية .${\displaystyle \xi =\beta }$تعتمد المقادير النسبية لتوافقيات مد وجزر الأرض على${\displaystyle \xi }$و${\displaystyle \alpha _{2}}$وتُظهر القياسات أن النظريات شبه الخطية لا تتفق مع ملاحظات المد والجزر على الأرض.

هناك فئة أخرى من النظريات المترية وهي نظرية القياس الثنائي . بالنسبة لجميع هذه${\displaystyle \alpha _{2}}$وهي قيمة غير صفرية. ومن خلال ترنح دوران الشمس، نعلم أن${\displaystyle \alpha _{2}<4\times 10^{-7}}$وهذا يستبعد فعلياً النظريات ثنائية القياس.

هناك فئة أخرى من النظريات المترية وهي نظريات القياس-الموتر ، مثل نظرية برانز-ديك . بالنسبة لجميع هذه النظريات،${\displaystyle \gamma =\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}}$حد${\displaystyle \gamma -1<2.3\times 10^{-5}}$هذا يعني أن${\displaystyle \omega }$سيكون حجمها كبيرًا جدًا، لذا تبدو هذه النظريات أقل احتمالًا مع تحسن دقة التجارب.

أما الفئة الرئيسية الأخيرة من نظريات القياس فهي نظريات المتجهات والموترات. وفي جميع هذه النظريات، يتغير "الثابت" الجاذبي مع الزمن.${\displaystyle \alpha _{2}}$وهي قيمة غير صفرية. تُقيّد تجارب قياس المسافة بالليزر على سطح القمر بدقة تغير "ثابت" الجاذبية مع الزمن و${\displaystyle \alpha _{2}<4\times 10^{-7}}$لذا تبدو هذه النظريات غير محتملة أيضاً.

هناك بعض النظريات المترية للجاذبية التي لا تتناسب مع الفئات المذكورة أعلاه، ولكنها تعاني من مشاكل مماثلة.

حدود معلمات PPN من Will (2006) و Will (2014)

المعلمة	مرتبط ب	الآثار	تجربة
${\displaystyle \gamma -1}$	2.3 × 10 −5	تأخير زمني، انحراف الضوء	تتبع كاسيني
${\displaystyle \beta -1}$	8 × 10 −5	انزياح نقطة الحضيض	انزياح نقطة الحضيض
${\displaystyle \beta -1}$	2.3 × 10 −4	تأثير نوردتفيت بافتراض${\displaystyle \eta _{N}=4\beta -\gamma -3}$	تأثير نوردتفيت
${\displaystyle \xi }$	4 × 10 −9	ترنح الدوران	النجوم النابضة ذات الثواني الملي ثانية
${\displaystyle \alpha _{1}}$	1 × 10 −4	الاستقطاب المداري	تحديد المدى بالليزر القمري
${\displaystyle \alpha _{1}}$	4 × 10 −5	الاستقطاب المداري	PSR J1738+0333
${\displaystyle \alpha _{2}}$	2 × 10 −9	ترنح الدوران	النجوم النابضة ذات الثواني الملي ثانية
${\displaystyle \alpha _{3}}$	4 × 10 −20	التسارع الذاتي	إحصائيات تباطؤ دوران النجوم النابضة
${\displaystyle \eta _{N}}$	9 × 10-4	تأثير نوردتفيت	تحديد المدى بالليزر القمري
${\displaystyle \zeta _{1}}$	0.02	حدود PPN المجمعة	—
${\displaystyle \zeta _{2}}$	4 × 10−5 ‍ †	تسارع النجوم النابضة الثنائية	PSR 1913+16
${\displaystyle \zeta _{3}}$	1 × 10-8	قانون نيوتن الثالث	التسارع القمري
${\displaystyle \zeta _{4}}$	0.006 ‍ ‡	—	تجربة كروزر

^† ويل، سي إم (10 يوليو 1992). "هل الزخم محفوظ؟ اختبار في النظام الثنائي PSR 1913 + 16". رسائل المجلة الفيزيائية الفلكية . 393 (2): L59–L61. رمز Bibcode : 1992ApJ...393L..59W . doi : 10.1086/186451 . ISSN 0004-637X . ^‡ بناءً على${\displaystyle 6\zeta _{4}=3\alpha _{3}+2\zeta _{1}-3\zeta _{3}}$من ويل (1976، 2006). من الممكن نظريًا أن يتجاوز نموذج بديل للجاذبية هذا الحد، وفي هذه الحالة يكون الحد هو${\displaystyle |\zeta _{4}|<0.4}$من ني (1972).

• بدائل للنسبية العامة#معاملات ما بعد نيوتن البارامترية لمجموعة من النظريات
• الشكلية الفعالة للجسم الواحد
• الجاذبية الخطية
• معامل بيسكين-تاكيوتشي: هو نفسه معامل PPN، ولكن لنظرية التفاعل الكهروضعيف بدلاً من الجاذبية.
• اختبارات النسبية العامة

• إدينجتون، أ.س. (1922) النظرية الرياضية للنسبية، مطبعة جامعة كامبريدج.
• ميسنر، سي دبليو، ثورن، كيه إس وويلر، جيه إيه (1973) الجاذبية، دبليو إتش فريمان وشركاه.
• نوردتفيت، كينيث (25 مايو 1968). "مبدأ التكافؤ للأجسام ذات الكتلة. الجزء الثاني: النظرية". مجلة Physical Review ، المجلد 169 ، العدد 5. الجمعية الفيزيائية الأمريكية (APS): 1017-1025 . رمز Bibcode : 1968PhRv..169.1017N . doi : 10.1103/physrev.169.1017 . ISSN 0031-899X . 
• نوردتفيت، ك. (25 أبريل 1969). "مبدأ التكافؤ للأجسام الضخمة بما في ذلك الطاقة الدورانية وضغط الإشعاع". مجلة Physical Review ، 180 (5). الجمعية الفيزيائية الأمريكية (APS): 1293-1298 . Bibcode : 1969PhRv..180.1293N . doi : 10.1103/physrev.180.1293 . ISSN 0031-899X . 
• ويل، كليفورد م. (1971). "أطر نظرية لاختبار الجاذبية النسبية. الجزء الثاني: الديناميكا المائية ما بعد النيوتونية المُعَلمة، وتأثير نوردتفيت". المجلة الفيزيائية الفلكية . 163. دار نشر IOP: 611-628 . رمز Bibcode : 1971ApJ...163..611W . doi : 10.1086/150804 . ISSN 0004-637X . 
• ويل، سي إم (1976). "الكتلة الفعالة في الجاذبية النسبية - تفسير نظري لتجربة كروزر" . المجلة الفيزيائية الفلكية . 204. دار نشر IOP: 224-234 . رمز Bibcode : 1976ApJ...204..224W . doi : 10.1086/154164 . ISSN 0004-637X . 
• ويل، سي إم (1981، 1993) النظرية والتجربة في فيزياء الجاذبية، مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 0-521-43973-6.
• ويل، سي إم، (2006) المواجهة بين النسبية العامة والتجربة، https://web.archive.org/web/20070613073754/http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2006-3/
• ويل، كليفورد م. (11 يونيو 2014). "المواجهة بين النسبية العامة والتجربة" . مراجعات حية في النسبية . 17 (1): 4. arXiv : 1403.7377 . Bibcode : 2014LRR....17....4W . doi : 10.12942/lrr- 2014-4 . ISSN 2367-3613 . PMC 5255900. PMID 28179848 .   
• ويل، كليفورد م.؛ نوردتفيت، كينيث الابن (1972). "قوانين الحفظ والأطر المفضلة في الجاذبية النسبية. الجزء الأول: نظريات الإطار المفضل وصيغة PPN الموسعة" . المجلة الفيزيائية الفلكية . 177. دار نشر IOP: 757. Bibcode : 1972ApJ...177..757W . doi : 10.1086/151754 . ISSN 0004-637X .