مادة كاوية (رياضيات)

في الهندسة التفاضلية ، يُعرف الغلاف الكاوي بأنه غلاف الأشعة المنعكسة أو المنكسرة بواسطة سطح متعدد الشعب . ويرتبط هذا المفهوم بمفهوم الغلاف الكاوي في البصريات الهندسية . قد يكون مصدر الشعاع نقطة (تُسمى نقطة الإشعاع) أو أشعة متوازية من نقطة في اللانهاية، وفي هذه الحالة يجب تحديد متجه اتجاه الأشعة.

بشكل أعم، وخاصةً عند تطبيقها على الهندسة التبسيطية ونظرية التفرد ، فإن الكاوستيك هو مجموعة القيم الحرجة لتطبيق لاغرانجي ( π ○ i )  : L ↪ M ↠ B ؛ حيث i  : L ↪ M هو غمر لاغرانجي لمتشعب لاغرانجي L في متشعب تبسيطي M ، و π  : M ↠ B هو تليف لاغرانجي للمتشعب التبسيطي M. الكاوستيك هو مجموعة جزئية ^من فضاء قاعدة التليف اللاغرانجي B. ^{[ 1} ]

تركيز الضوء، وخاصة ضوء الشمس ، قد يُسبب الحروق. في الواقع، كلمة "كاوستيك" مشتقة من الكلمة اليونانية καυστός، التي تعني "محترق"، عبر الكلمة اللاتينية causticus ، التي تعني "محترق".

من الحالات الشائعة التي تظهر فيها الكاوستيكات، سقوط الضوء على كأس للشرب. يُلقي الكأس ظلاً، ولكنه يُنتج أيضاً منطقة منحنية من الضوء الساطع. في الظروف المثالية (بما في ذلك الأشعة المتوازية تماماً، كما لو كانت من مصدر نقطي في اللانهاية)، يمكن أن تتكون بقعة ضوئية على شكل كلية . ^{[ 2 ] [ 3 ]} تتشكل الكاوستيكات المتموجة عادةً عندما يسقط الضوء عبر الأمواج على سطح الماء.

ومن الظواهر الكاوية المألوفة الأخرى قوس قزح . ^{[ 4 ] [ 5 ]} يتسبب تشتت الضوء بواسطة قطرات المطر في انكسار أطوال موجية مختلفة من الضوء إلى أقواس ذات أنصاف أقطار مختلفة، مما ينتج عنه القوس.

الحالة الانعكاسية هي الحالة الكارثية.

مع وجود نقطة إشعاع، يكون هو التطور المتعامد لنقطة الإشعاع.

حالة الأشعة المستوية ذات المصدر المتوازي: لنفترض أن متجه الاتجاه هو${\displaystyle (a,b)}$ويتم تحديد منحنى المرآة على النحو التالي:${\displaystyle (u(t),v(t))}$المتجه العمودي عند نقطة ما هو${\displaystyle (-v'(t),u'(t))}$انعكاس متجه الاتجاه هو (يحتاج العمودي إلى تطبيع خاص)

${\displaystyle 2{\mbox{proj}}_{n}dd={\frac {2n}{\sqrt {n\cdot n}}}{\frac {n\cdot d}{\sqrt {n\cdot n}}}-d=2n{\frac {n\cdot d}{n\cdot n}}-d={\frac {(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2},bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})}{v'^{2}+u'^{2}}}}$

بما أن مركبات المتجه المنعكس الموجود تُعامل كمماس

${\displaystyle (xu)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})=(yv)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2}).}$

باستخدام أبسط شكل للمظروف

${\displaystyle F(x,y,t)=(x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})}$

${\displaystyle =x(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-y(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})+b(uv'^{2}-uu'^{2}-2vu'v')+a(-vu'^{2}+vv'^{2}+2uu'v')}$

${\displaystyle F_{t}(x,y,t)=2x(bu'u''-a(u'v''+u''v')-bv'v'')-2y(av'v''-b(u''v'+u'v'')-au'u'')}$

${\displaystyle +b(u'v'^{2}+2uv'v''-u'^{3}-2uu'u''-2u'v'^{2}-2u''vv'-2u'vv'')+a(-v'u'^{2}-2vu'u''+v'^{3}+2vv'v''+2v'u'^{2}+2v''uu'+2v'uu'')}$

وهو أمر قد يكون غير جمالي، ولكن${\displaystyle F=F_{t}=0}$يعطي نظامًا خطيًا في${\displaystyle (x,y)}$وبالتالي، من السهل الحصول على تمثيل بارامتري للدالة الكارثية. ويمكن استخدام قاعدة كرامر لهذا الغرض.

• مشكلة ابن الهيثم
• الموضع المقطوع (متعدد الشعب الريماني)
• آخر بيان هندسي لجاكوبي
• مادة كاوية كلوية

• وايسشتاين، إريك دبليو. "كاوستيك" . ماث وورلد .