التوسع ما بعد نيوتني

في النسبية العامة ، تُستخدم متسلسلات ما بعد نيوتن ( متسلسلات PN ) لإيجاد حل تقريبي لمعادلات أينشتاين للمجال لموتر القياس . تُوسّع هذه التقريبات باستخدام معاملات صغيرة تُعبّر عن رتب الانحرافات عن قانون نيوتن للجاذبية الكونية . يسمح هذا بتقريب معادلات أينشتاين في حالة المجالات الضعيفة. يمكن إضافة حدود من رتب أعلى لزيادة الدقة، ولكن في حالة المجالات القوية، يُفضّل أحيانًا حل المعادلات كاملةً عدديًا. تُعدّ هذه الطريقة سمة شائعة لنظريات المجال الفعّالة . في النهاية، عندما تُساوي المعاملات الصغيرة صفرًا، يؤول متسلسل ما بعد نيوتن إلى قانون نيوتن للجاذبية.

تتطلب طرق ما بعد نيوتن وجود كتل منخفضة السرعة وحقول جاذبية ضعيفة. وتُلبى هذه المتطلبات بالكامل في جميع اختبارات النسبية العامة على النظام الشمسي. أما السرعات العالية التي تولد الإشعاع الجاذبي، أو الحقول الكبيرة بين الأجسام الثنائية المدمجة، مثل أزواج الثقوب السوداء، فلا يُمكن نمذجتها بشكل كافٍ باستخدام توسع ما بعد نيوتن. وتستند النماذج الكونية إلى افتراضات فيزيائية مختلفة، ولا تستفيد من طريقة التقريب هذه. ^{[ 2 ] : 86}

تُعدّ تقريبات ما بعد نيوتن متسلسلات بدلالة مُعامل صغير، وهو نسبة سرعة المادة المُولِّدة لحقل الجاذبية إلى سرعة الضوء ، والتي تُسمى في هذه الحالة، وبشكل أدق، سرعة الجاذبية . ^{[ 3 ]} في النهاية، عندما تصبح سرعة الجاذبية الأساسية لانهائية، يؤول متسلسل ما بعد نيوتن إلى قانون نيوتن للجاذبية. ^{[ 4 ]} وقد طوّر سوبرامانيان تشاندراسيكار وزملاؤه دراسة منهجية لمتسلسلات ما بعد نيوتن ضمن تقريبات الديناميكا المائية في ستينيات القرن العشرين. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

ثمة نهج آخر يتمثل في توسيع معادلات النسبية العامة في متسلسلة قوى في انحراف المقياس عن قيمته في غياب الجاذبية .

${\displaystyle h_{\alpha \beta }=g_{\alpha \beta }-\eta _{\alpha \beta }\,.}$

ولتحقيق هذه الغاية، يجب اختيار نظام إحداثيات تكون فيه القيم الذاتية لـ${\displaystyle h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \gamma }\,}$جميعها لها قيم مطلقة أقل من 1.

على سبيل المثال، إذا تجاوزنا خطوة واحدة من الجاذبية الخطية للحصول على التوسع من الدرجة الثانية في h :

${\displaystyle g^{\mu \nu }\approx \eta ^{\mu \nu }-\eta ^{\mu \alpha }h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \nu }+\eta ^{\mu \alpha }h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \gamma }h_{\gamma \delta }\eta ^ {\دلتا \نو }\,.}$

${\displaystyle {\sqrt {-g}}\approx 1+{\tfrac {1}{2}}h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \alpha }+{\tfrac {1}{8}}h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \alpha }h_{\gamma \delta }\eta ^{\delta \gamma }-{\tfrac {1}{4}}h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \gamma }h_{\gamma \delta }\eta ^{\delta \alpha }\,.}$

تُسمى التوسعات التي تعتمد فقط على المقياس، بغض النظر عن السرعة، بالتوسعات ما بعد مينكوفسكي (توسعات PM).

	0PN		1PN		2PN		3PN		4PN		5PN		6PN		7PN
الساعة الواحدة ظهراً	(1)	+	${\displaystyle v^{2}}$	+	${\displaystyle v^{4}}$	+	${\displaystyle v^{6}}$	+	${\displaystyle v^{8}}$	+	${\displaystyle v^{10}}$	+	${\displaystyle v^{12}}$	+	${\displaystyle v^{14}}$	+	...	${\displaystyle G^{1}}$
الساعة 2 مساءً			(1)	+	${\displaystyle v^{2}}$	+	${\displaystyle v^{4}}$	+	${\displaystyle v^{6}}$	+	${\displaystyle v^{8}}$	+	${\displaystyle v^{10}}$	+	${\displaystyle v^{12}}$	+	...	${\displaystyle G^{2}}$
الساعة 3 مساءً					(1)	+	${\displaystyle v^{2}}$	+	${\displaystyle v^{4}}$	+	${\displaystyle v^{6}}$	+	${\displaystyle v^{8}}$	+	${\displaystyle v^{10}}$	+	...	${\displaystyle G^{3}}$
الساعة الرابعة مساءً							(1)	+	${\displaystyle v^{2}}$	+	${\displaystyle v^{4}}$	+	${\displaystyle v^{6}}$	+	${\displaystyle v^{8}}$	+	...	${\displaystyle G^{4}}$
الساعة 5 مساءً									(1)	+	${\displaystyle v^{2}}$	+	${\displaystyle v^{4}}$	+	${\displaystyle v^{6}}$	+	...	${\displaystyle G^{5}}$
الساعة السادسة مساءً											(1)	+	${\displaystyle v^{2}}$	+	${\displaystyle v^{4}}$	+	...	${\displaystyle G^{6}}$
جدول مقارنة القوى المستخدمة لتقريبات PN و PM في حالة جسمين غير دوارين. يمثل 0PN حالة نظرية نيوتن للجاذبية. ويمثل 0PM (غير موضح) فضاء مينكوفسكي المسطح . [ 10 ]

كان ألبرت أينشتاين أول من استخدم متسلسلة PN (من الدرجة الأولى) في حساب ترنح مدار عطارد عند نقطة الحضيض . واليوم، يُعد حساب أينشتاين مثالاً شائعاً لتطبيقات متسلسلة PN، حيث يُستخدم لحل مسألة الجسمين في النسبية العامة ، والتي تتضمن انبعاث موجات الجاذبية .

بشكل عام، يمكن كتابة المقياس المضطرب على النحو التالي ^{[ 11 ]}

${\displaystyle ds^{2}=a^{2}(\tau )\left[(1+2A)d\tau ^{2}-2B_{i}dx^{i}d\tau -\left(\delta _{ij}+h_{ij}\right)dx^{i}dx^{j}\right]}$

أين${\displaystyle A}$،${\displaystyle B_{i}}$و${\displaystyle h_{ij}}$هي دوال للمكان والزمان.${\displaystyle h_{ij}}$يمكن تحليلها إلى

$//$

أين${\displaystyle \Box }$هو عامل دالمبير ،${\displaystyle E}$هو كمية قياسية،${\displaystyle {\hat {E}}_{i}}$هو متجه و${\displaystyle {\tilde {E}}_{ij}}$هو موتر عديم الأثر. عندئذٍ تُعرَّف كمونات باردين على النحو التالي:

${\displaystyle \Psi \equiv A+H(BE'),+(B+E')',\quad \Phi \equiv -CH(BE')+{\frac {1}{3}}\Box E}$

أين${\displaystyle H}$يمثل ثابت هابل، والعلامة (') تمثل التفاضل بالنسبة للزمن المطابق${\displaystyle \tau \,}$.

أخذ${\displaystyle B=E=0}$(أي الإعداد)${\displaystyle \Phi \equiv -C}$و${\displaystyle \Psi \equiv A}$)، مقياس نيوتن هو

${\displaystyle ds^{2}=a^{2}(\tau )\left[(1+2\Psi )d\tau ^{2}-(1-2\Phi )\delta _{ij}dx^{i}dx^{j}\right]\,}$.

لاحظ أنه في حالة عدم وجود إجهاد متباين الخواص،${\displaystyle \Phi =\Psi }$.

يتم توفير امتداد غير خطي مفيد لهذا من خلال حقول الجاذبية غير النسبية .

• شروط التنسيق
• معادلات أينشتاين-إنفيلد-هوفمان
• الجاذبية الخطية
• الشكلية ما بعد النيوتونية ذات المعلمات

• "حول حركة الجسيمات في نظرية النسبية العامة" بقلم أ. أينشتاين ول. إنفيلد، مؤرشف بتاريخ 8 مارس 2012 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).
• كليفورد، إم. ويل (2011). "حول الفعالية غير المعقولة لتقريب ما بعد نيوتن في فيزياء الجاذبية" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم . 108 (15): 5938-5945 . arXiv : 1102.5192 . doi : 10.1073/pnas.1103127108 . PMC 3076827. PMID 21447714 .