دالة الموجة الكولومبية

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 59 صور
الموسوعة الحرة
تم رسم دالة الموجة الكولومبية غير المنتظمة G من 0 إلى 20 مع التفاعلات التنافرية والتجاذبية في برنامج Mathematica 13.1
تم رسم دالة الموجة الكولومبية غير المنتظمة G من 0 إلى 20 مع التفاعلات التنافرية والتجاذبية في برنامج Mathematica 13.1
تمت إضافة صورة للرسم البياني المركب لدالة الموجة الكولومية المنتظمة

في الرياضيات ، دالة الموجة الكولومبية هي حل لمعادلة الموجة الكولومبية ، نسبةً إلى شارل أوغستان دي كولوم . تُستخدم هذه الدوال لوصف سلوك الجسيمات المشحونة في جهد كولوم ، ويمكن كتابتها بدلالة الدوال الهندسية الفائقة المتقاربة أو دوال ويتاكر ذات الوسيط التخيلي.

معادلة موجة كولوم

معادلة موجة كولوم لجسيم مشحون واحد كتلتهم{\displaystyle m}هي معادلة شرودنغر مع جهد كولوم [ 1 ]

(-ℏ2∇22م+Zℏجαر)ψك→(ر→)=ℏ2ك22مψك→(ر→)،{\displaystyle \left(-\hbar ^{2}{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}+{\frac {Z\hbar c\alpha }{r}}\right)\psi _{\vec {k}}({\vec {r}})={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\psi _{\vec {k}}({\vec {ص}})\,,}

أينZ=Z1Z2{\displaystyle Z=Z_{1}Z_{2}}هو حاصل ضرب شحنات الجسيم ومصدر المجال (بوحدات الشحنة الأولية ،Z=-1{\displaystyle Z=-1}(لذرة الهيدروجين)،α{\displaystyle \alpha }هو ثابت البنية الدقيقة ، وℏ2ك2/(2م){\displaystyle \hbar ^{2}ك^{2}/(2م)}هي طاقة الجسيم. ويمكن إيجاد الحل، وهو دالة الموجة الكولومبية، عن طريق حل هذه المعادلة في إحداثيات القطع المكافئ.

ξ=ر+ر→⋅ك^،ζ=ر-ر→⋅ك^(ك^=ك→/ك).{\displaystyle \xi =r+{\vec {r}}\cdot {\hat {k}},\quad \zeta =r-{\vec {r}}\cdot {\hat {k}}\qquad ({\hat {k}}={\vec {k}}/k)\,.}

تختلف أشكال الحل باختلاف الشروط الحدية المختارة. اثنان من هذه الحلول هما [ 2 ] و[ 3 ].

ψك→(±)(ر→)=Γ(1±أناη)هـ-πη/2هـأناك→⋅ر→م(∓أناη،1،±أناكر-أناك→⋅ر→)،{\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(\pm )}({\vec {r}})=\Gamma (1\pm i\eta )e^{-\pi \eta /2}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}M(\mp i\eta ,1,\pm ikr-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}})\,,}

أينم(أ،ب،z)≡1F1(أ؛ب؛z){\displaystyle M(a,b,z)\equiv {}_{1}\!F_{1}(a;b;z)}هي دالة فرط هندسية متقاربة ،η=Zمجα/(ℏك){\displaystyle \eta =Zmc\alpha /(\hbar k)}وΓ(z){\displaystyle \Gamma (z)}هي دالة غاما . الشرطان الحدوديان المستخدمان هنا هما

ψك→(±)(ر→)→هـأناك→⋅ر→(ك→⋅ر→→±∞)،{\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(\pm )}({\vec {r}})\rightarrow e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\qquad ({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}\rightarrow \pm \infty )\,,}

والتي تتوافق معك→{\displaystyle {\vec {k}}}الحالات التقاربية للموجات المستوية الموجهة قبل أو بعد اقترابها من مصدر المجال عند نقطة الأصل، على التوالي. الدوالψك→(±){\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(\pm )}}ترتبط هذه العناصر ببعضها البعض وفقًا للصيغة التالية:

ψك→(+)=ψ-ك→(-)*.{\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(+)}=\psi _{-{\vec {k}}}^{(-)*}\,.}

تمدد الموجة الجزئية

الدالة الموجيةψك→(ر→){\displaystyle \psi _{\vec {k}}({\vec {r}})}يمكن توسيعها إلى موجات جزئية (أي بالنسبة للأساس الزاوي) للحصول على دوال شعاعية مستقلة عن الزاويةwℓ(η،ρ){\displaystyle w_{\ell }(\eta ,\rho )}. هناρ=كر{\displaystyle \rho =kr}.

ψك→(ر→)=4πر∑ℓ=0∞∑م=-ℓℓأناℓwℓ(η،ρ)Yℓم(ر^)Yℓم*(ك^).{\displaystyle \psi _{\vec {k}}({\vec {r}})={\frac {4\pi }{r}}\sum _{\ell =0}^{\infty}\sum _{m=-\ell }^{\ell }i^{\ell }w_{\ell }(\eta ,\rho )Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})Y_ {\ell}^{m\ast }({\hat {k}})\,.}

يمكن عزل حد واحد من المتسلسلة بواسطة الضرب القياسي مع توافقية كروية محددة

ψكℓم(ر→)=∫ψك→(ر→)Yℓم(ك^)دك^=Rكℓ(ر)Yℓم(ر^)،Rكℓ(ر)=4πأناℓwℓ(η،ρ)/ر.{\displaystyle \psi _{k\ell m}({\vec {r}})=\int \psi _{\vec {k}}({\vec {r}})Y_{\ell }^{m}({\hat {k}})d{\hat {k}}=R_{k\ell }(r)Y_{\ell }^{m}({\hat {r}}),\qquad R_{k\ell }(r)=4\pi i^{\ell }w_{\ell }(\eta ,\rho )/r.}

معادلة الموجة الجزئية المفردةwℓ(η،ρ){\displaystyle w_{\ell }(\eta ,\rho )}يمكن الحصول على ذلك عن طريق إعادة كتابة لابلاس في معادلة موجة كولوم في الإحداثيات الكروية وإسقاط المعادلة على توافقية كروية محددةYℓم(ر^){\displaystyle Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})}

د2wℓدρ2+(1-2ηρ-ℓ(ℓ+1)ρ2)wℓ=0.{\displaystyle {\frac {d^{2}w_{\ell}}{d\rho ^{2}}}+\left(1-{\frac {2\eta }{\rho }}-{\frac {\ell (\ell +1)}{\rho ^{2}}}\right)w_{\ell }=0\,.}

تُسمى هذه الحلول أيضًا دوال الموجة الكولومبية (الجزئية) أو دوال الموجة الكولومبية الكروية.z=-2أناρ{\displaystyle z=-2i\rho }يحوّل هذا إلى معادلة ويتاكر ، لذا يمكن التعبير عن دوال موجة كولوم بدلالة دوال ويتاكر ذات الوسائط التخيلية.م-أناη،ℓ+1/2(-2أناρ){\displaystyle M_{-i\eta ,\ell +1/2}(-2i\rho )}ودبليو-أناη،ℓ+1/2(-2أناρ){\displaystyle W_{-i\eta ,\ell +1/2}(-2i\rho )}ويمكن التعبير عن الأخير بدلالة الدوال الهندسية الفائقة المتداخلةم{\displaystyle M}ويو{\displaystyle U}. لℓ∈Z{\displaystyle \ell \in \mathbb {Z} }، يحدد المرء الحلول الخاصة [ 4 ]

حℓ(±)(η،ρ)=∓2أنا(-2)ℓهـπη/2هـ±أناσℓρℓ+1هـ±أناρيو(ℓ+1±أناη،2ℓ+2،∓2أناρ)،{\displaystyle H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )=\mp 2i(-2)^{\ell }e^{\pi \eta /2}e^{\pm i\sigma _{\ell }}\rho ^{\ell +1}e^{\pm i\rho }U(\ell +1\pm i\eta ,2\ell +2,\mp 2i\rho )\,,}

أين

σℓ=arg⁡Γ(ℓ+1+أناη){\displaystyle \sigma _{\ell }=\arg \Gamma (\ell +1+i\eta )}

يُطلق عليه اسم إزاحة طور كولوم. كما يتم تعريف الدوال الحقيقية

Fℓ(η،ρ)=12أنا(حℓ(+)(η،ρ)-حℓ(-)(η،ρ))،{\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {1}{2i}}\left(H_{\ell }^{(+)}(\eta ,\rho )-H_{\ell }^{(-)}(\eta ,\rho )\right)\,,}
تم رسم دالة الموجة الكولومبية المنتظمة F من 0 إلى 20 مع التفاعلات التنافرية والتجاذبية في برنامج Mathematica 13.1
تم رسم دالة الموجة الكولومبية المنتظمة F من 0 إلى 20 مع التفاعلات التنافرية والتجاذبية في برنامج Mathematica 13.1
جيℓ(η،ρ)=12(حℓ(+)(η،ρ)+حℓ(-)(η،ρ)).{\displaystyle G_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {1}{2}}\left(H_{\ell }^{(+)}(\eta ,\rho )+H_{\ell }^{(-)}(\eta ,\rho )\right)\,.}

على وجه الخصوص، يمتلك المرء

Fℓ(η،ρ)=2ℓهـ-πη/2|Γ(ℓ+1+أناη)|(2ℓ+1)!ρℓ+1هـأناρم(ℓ+1+أناη،2ℓ+2،-2أناρ).{\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {2^{\ell }e^{-\pi \eta /2}|\Gamma (\ell +1+i\eta )|}{(2\ell +1)!}}\rho ^{\ell +1}e^{i\rho }M(\ell +1+i\eta ,2\ell +2,-2i\rho )\,.}

السلوك التقاربي لدوال كولوم الكرويةحℓ(±)(η،ρ){\displaystyle H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )}،Fℓ(η،ρ){\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )}، وجيℓ(η،ρ){\displaystyle G_{\ell }(\eta ,\rho )}على نطاق واسعρ{\displaystyle \rho }يكون

حℓ(±)(η،ρ)∼هـ±أناθℓ(ρ)،{\displaystyle H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )\sim e^{\pm i\theta _{\ell }(\rho )}\,,}
Fℓ(η،ρ)∼الخطيئة⁡θℓ(ρ)،{\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )\sim \sin \theta _{\ell }(\rho )\,,}
جيℓ(η،ρ)∼كوس⁡θℓ(ρ)،{\displaystyle G_{\ell }(\eta ,\rho )\sim \cos \theta _{\ell }(\rho )\,,}

أين

θℓ(ρ)=ρ-ηسجل⁡(2ρ)-12ℓπ+σℓ.{\displaystyle \theta _{\ell }(\rho )=\rho -\eta \log(2\rho )-{\frac {1}{2}}\ell \pi +\sigma _{\ell }\,.}

الحلولحℓ(±)(η،ρ){\displaystyle H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )}تتوافق مع الموجات الكروية الواردة والصادرة. الحلولFℓ(η،ρ){\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )}وجيℓ(η،ρ){\displaystyle G_{\ell }(\eta ,\rho )}هي دوال حقيقية وتُسمى دوال كولوم الموجية المنتظمة وغير المنتظمة. على وجه الخصوص، لدينا التوسع الموجي الجزئي التالي للدالة الموجيةψك→(+)(ر→){\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(+)}({\vec {r}})}[ 5 ]

ψك→(+)(ر→)=4πρ∑ℓ=0∞∑م=-ℓℓأناℓهـأناσℓFℓ(η،ρ)Yℓم(ر^)Yℓم*(ك^)،{\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(+)}({\vec {r}})={\frac {4\pi }{\rho }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }i^{\ell }e^{i\sigma _{\ell }}F_{\ell }(\eta ,\rho )Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})Y_{\ell }^{m\ast }({\hat {k}})\,,}

في الحدη→0{\displaystyle \eta \to 0}دوال الموجة الكولومبية المنتظمة/غير المنتظمةFℓ(η،ρ){\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )}،جيℓ(η،ρ){\displaystyle G_{\ell }(\eta ,\rho )}تتناسب مع دوال بيسل الكروية ودوال كولوم الكرويةحℓ(±)(η،ρ){\displaystyle H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )}تتناسب مع دوال هانكل الكروية

Fℓ(0،ρ)/ρ=جℓ(ρ){\displaystyle F_{\ell }(0,\rho )/\rho =j_{\ell }(\rho )}
جيℓ(0،ρ)/ρ=-yℓ(ρ){\displaystyle G_{\ell }(0,\rho )/\rho =-y_{\ell }(\rho )}
حℓ(+)(0،ρ)/ρ=أناحℓ(1)(ρ){\displaystyle H_{\ell }^{(+)}(0,\rho )/\rho =i\,h_{\ell }^{(1)}(\rho )}
حℓ(-)(0،ρ)/ρ=-أناحℓ(2)(ρ){\displaystyle H_{\ell }^{(-)}(0,\rho )/\rho =-i\,h_{\ell }^{(2)}(\rho )}

ويتم توحيدها بنفس طريقة دوال بيسل الكروية

∫0∞جل(كر)جل(ك′ر)ر2در=∫0∞Fℓ(±1أ0ك،كر)كرFℓ(±1أ0ك′،ك′ر)ك′رر2در=π2ك2دلتا(ك-ك′){\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }j_{l}(k\,r)j_{l}(k'r)\,r^{2}dr=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {F_{\ell }\left(\pm {\frac {1}{a_{0}k}},k\,r\right)}{k\,r}}{\frac {F_{\ell }\left(\pm {\frac {1}{a_{0}k'}},k'r\right)}{k'r}}\,r^{2}dr={\frac {\pi }{2k^{2}}}\delta (k-k')}

وينطبق الأمر نفسه على الثلاثة الآخرين.

خصائص دالة كولوم

تكون الأجزاء القطرية لعزم زاوي معين متعامدة. وعند معايرة الدوال الموجية القطرية المستمرة على مقياس العدد الموجي ( مقياس k )، فإنها تحقق [ 6 ] [ 7 ].

∫0∞Rكℓ*(ر)Rك′ℓ(ر)ر2در=دلتا(ك-ك′){\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell }(r)r^{2}dr=\delta (k-k')}

توجد عمليات تطبيع شائعة أخرى لدوال الموجة المتصلة على مقياس العدد الموجي المختزل (ك/2π{\displaystyle k/2\pi }-حجم)،

∫0∞Rكℓ*(ر)Rك′ℓ(ر)ر2در=2πدلتا(ك-ك′)،{\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell }(r)r^{2}dr=2\pi \delta (k-k')\,,}

وعلى مقياس الطاقة

∫0∞Rهـℓ*(ر)Rهـ′ℓ(ر)ر2در=دلتا(هـ-هـ′).{\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{E\ell }^{\ast }(r)R_{E'\ell }(r)r^{2}dr=\delta (E-E')\,.}

يتم تطبيع الدوال الموجية الشعاعية المحددة في القسم السابق إلى

∫0∞Rكℓ*(ر)Rك′ℓ(ر)ر2در=(2π)3ك2دلتا(ك-ك′){\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell }(r)r^{2}dr={\frac {(2\pi )^{3}}{k^{2}}}\delta (k-k')}

نتيجةً للتطبيع

∫ψك→*(ر→)ψك→′(ر→)د3ر=(2π)3دلتا(ك→-ك→′).{\displaystyle \int \psi _{\vec {k}}^{\ast }({\vec {r}})\psi _{{\vec {k}}'}({\vec {r}})d^{3}r=(2\pi )^{3}\delta ({\vec {k}}-{\vec {k}}')\,.}

تكون دوال الموجة المستمرة (أو التشتت) لكولوم متعامدة أيضًا مع جميع حالات كولوم المقيدة [ 8 ]

∫0∞Rكℓ*(ر)Rنℓ(ر)ر2در=0{\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{n\ell }(r)r^{2}dr=0}

بسبب كونها حالات ذاتية لنفس المؤثر الهرميتي ( الهاميلتوني ) بقيم ذاتية مختلفة.

للمزيد من القراءة

  • باتمان، هاري (1953)، الدوال المتعالية العليا (ملف PDF) ، المجلد  1، ماكجرو هيل، مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 11-08-2011 ، تم استرجاعه بتاريخ 30-07-2011.
  • جايجر، جيه سي؛ هولم، إتش آر (1935)، "التحويل الداخلي لأشعة غاما مع إنتاج الإلكترونات والبوزيترونات"، وقائع الجمعية الملكية في لندن. السلسلة أ، العلوم الرياضية والفيزيائية ، 148 (865): 708-728 ، رمز Bibcode : 1935RSPSA.148..708J ، doi : 10.1098/rspa.1935.0043 ، ISSN 0080-4630 ، JSTOR 96298  
  • سلاتر، لوسي جوان (1960)، الدوال الهندسية الفائقة المتقاربة ، مطبعة جامعة كامبريدج ، MR 0107026 .

مراجع

  1. ↑ هيل، روبرت ن. (2006)، دريك، جوردون (محرر)، دليل الفيزياء الذرية والجزيئية والبصرية ، سبرينغر نيويورك، ص 153-155 ، doi : 10.1007/978-0-387-26308-3 ، ISBN  978-0-387-20802-2
  2. ↑ لاندو، إل دي؛ ليفشيتز، إي إم (1977)، دورة في الفيزياء النظرية III: ميكانيكا الكم، النظرية غير النسبية ( الطبعة الثالثة)، دار بيرغامون للنشر، ص 569  
  3. ↑ ميسيا، ألبرت (1961)، ميكانيكا الكم ، دار نشر نورث هولاند، ص 485 
  4. ↑ غاسبارد، ديفيد (2018)، "صيغ الربط بين دوال الموجة الكولومبية"، مجلة الفيزياء الرياضية ، 59 (11): 112104، arXiv : 1804.10976 ، doi : 10.1063/1.5054368
  5. ↑ ميسيا، ألبرت (1961)، ميكانيكا الكم ، دار نشر نورث هولاند، ص 426 
  6. ^ فورمانك، جيري (2004)، مقدمة لنظرية الكم الأول (باللغة التشيكية) ( الطبعة الثانية)، براغ: الأكاديمية، ص 128 – 130  
  7. ↑ لاندو، إل دي؛ ليفشيتز، إي إم (1977)، دورة في الفيزياء النظرية III: ميكانيكا الكم، النظرية غير النسبية ( الطبعة الثالثة)، دار بيرغامون للنشر، ص 121  
  8. ↑ لاندو، إل دي؛ ليفشيتز، إي إم (1977)، دورة في الفيزياء النظرية III: ميكانيكا الكم، النظرية غير النسبية ( الطبعة الثالثة)، مطبعة بيرغامون، ص 668-669