دالة فرط هندسية متقاربة

في الرياضيات ، الدالة الهندسية الفائقة المتلاقية هي حل لمعادلة هندسية فائقة متلاقية ، وهي شكل متدهور من معادلة تفاضلية هندسية فائقة حيث تندمج اثنتان من النقاط الشاذة المنتظمة الثلاث لتشكلا نقطة شاذة غير منتظمة . يشير مصطلح "متلاقية" إلى اندماج النقاط الشاذة لعائلات من المعادلات التفاضلية؛ وكلمة "confluere " لاتينية تعني "التدفق معًا". توجد عدة أشكال قياسية شائعة للدوال الهندسية الفائقة المتلاقية :

• دالة كومر (الدالة الهندسية الفائقة المتلاقية) M ( a , b , z ) ، التي قدمها كومر ( 1837 ) ، هي حل لمعادلة كومر التفاضلية . تُعرف هذه الدالة أيضًا بالدالة الهندسية الفائقة المتلاقية من النوع الأول. توجد دالة كومر أخرى تحمل الاسم نفسه، وهي مختلفة وغير مرتبطة بها . 
• دالة تريكومي (الدالة الهندسية الفائقة المتقاربة) U ( a , b , z ) التي قدمها فرانشيسكو تريكومي ( 1947 ) ، والتي يُرمز لها أحيانًا بالرمز Ψ( a ; b ; z ) ، هي حل آخر لمعادلة كومر. وتُعرف أيضًا بالدالة الهندسية الفائقة المتقاربة من النوع الثاني. 
• دوال ويتاكر ( لإدموند تايلور ويتاكر ) هي حلول لمعادلة ويتاكر .
• دوال الموجة الكولومبية هي حلول لمعادلة الموجة الكولومبية .

تتشابه دوال كومر، ودوال ويتاكر، ودوال كولوم الموجية بشكل أساسي، ولا تختلف عن بعضها البعض إلا من خلال الدوال الأولية وتغيير المتغيرات.

يمكن كتابة معادلة كومر على النحو التالي:

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(bz){\frac {dw}{dz}}-aw=0,}$

مع نقطة شاذة منتظمة عند z = 0 ونقطة شاذة غير منتظمة عند z = ∞ . ولها حلان مستقلان خطيًا (عادةً) M ( a , b , z ) و U ( a , b , z ) .

دالة كومر من النوع الأول M هي سلسلة فوق هندسية معممة تم تقديمها في ( كومر 1837 ) ، وتعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle M(a,b,z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}z^{n}}{b^{(n)}n!}}={}_{1}F_{1}(a;b;z),}$

أين:

${\displaystyle a^{(0)}=1,}$

${\displaystyle a^{(n)}=a(a+1)(a+2)\cdots (a+n-1)\,,}$

هو المضروب التصاعدي . وهناك رمز شائع آخر لهذا الحل وهو Φ( a , b , z ) . عند اعتباره دالة لـ a أو b أو z مع تثبيت المتغيرين الآخرين، فإنه يُعرّف دالة كاملة لـ a أو z ، باستثناء الحالات التي تكون فيها b = 0، -1، -2، ... . أما كدالة لـ b، فهي دالة تحليلية باستثناء الأقطاب عند الأعداد الصحيحة غير الموجبة.

تُعطي بعض قيم a و b حلولًا يُمكن التعبير عنها بدلالة دوال أخرى معروفة. انظر #الحالات الخاصة . عندما يكون a عددًا صحيحًا غير موجب، فإن دالة كومر (إن كانت مُعرّفة) تُصبح متعددة حدود لاغير مُعمّمة .

كما أن المعادلة التفاضلية المتلاقية هي نهاية للمعادلة التفاضلية فوق الهندسية عندما تتحرك النقطة الشاذة عند 1 نحو النقطة الشاذة عند ∞، يمكن التعبير عن الدالة فوق الهندسية المتلاقية كنهاية للدالة فوق الهندسية.

${\displaystyle M(a,c,z)=\lim _{b\to \infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;z/b)}$

والعديد من خصائص الدالة الهندسية الفائقة المتقاربة هي حالات حدية لخصائص الدالة الهندسية الفائقة.

بما أن معادلة كومر من الدرجة الثانية، فلا بد من وجود حل آخر مستقل. تخبرنا المعادلة الدليلية لطريقة فروبينيوس أن أدنى قوة لحل متسلسلة القوى لمعادلة كومر هي إما 0 أو 1 − b . إذا افترضنا أن w ( z ) هي

${\displaystyle w(z)=z^{1-b}v(z)}$

ثم تعطي المعادلة التفاضلية

${\displaystyle z^{2-b}{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}+2(1-b)z^{1-b}{\frac {dv}{dz}}-b(1-b)z^{-b}v+(bz)\left[z^{1-b}{\frac {dv}{dz}}+(1-b)z^{-b}v\right]-az^{1-b}v=0}$

والتي، عند قسمة z ^{1− b} وتبسيطها، تصبح

${\displaystyle z{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}+(2-bz){\frac {dv}{dz}}-(a+1-b)v=0.}$

هذا يعني أن z ^{1− b} M ( a + 1 − b , 2 − b , z ) هو حل طالما أن b ليس عددًا صحيحًا أكبر من 1، تمامًا كما أن M ( a , b , z ) هو حل طالما أن b ليس عددًا صحيحًا أصغر من 1. يمكننا أيضًا استخدام دالة تريكومي الهندسية الفائقة المتقاربة U ( a , b , z ) التي قدمها فرانشيسكو تريكومي ( 1947 ) ، والتي يُرمز لها أحيانًا بـ Ψ( a ; b ; z ) . وهي عبارة عن دمج للحلين السابقين، مُعرَّفة بـ 

${\displaystyle U(a,b,z)={\frac {\Gamma (1-b)}{\Gamma (a+1-b)}}M(a,b,z)+{\frac {\Gamma (b-1)}{\Gamma (a)}}z^{1-b}M(a+1-b,2-b,z).}$

على الرغم من أن هذا التعبير غير مُعرَّف للعدد الصحيح b ، إلا أنه يتميز بإمكانية تعميمه على أي عدد صحيح b بالاستمرارية. على عكس دالة كومر، وهي دالة تامة لـ z ، فإن U ( z ) عادةً ما يكون لها نقطة تفرد عند الصفر. على سبيل المثال، إذا كان b = 0 و a ≠ 0، فإن Γ( a + 1) U ( a , b , z ) - 1 تقترب من az ln z عندما يؤول z إلى الصفر. ولكن انظر #حالات خاصة للاطلاع على بعض الأمثلة التي تكون فيها دالة تامة (متعددة حدود).

لاحظ أن الحل z ^{1− b} U ( a + 1 − b , 2 − b , z ) لمعادلة كومر هو نفسه الحل U ( a , b , z ) ، انظر #تحويل كومر .

بالنسبة لمعظم تركيبات الأعداد الحقيقية أو المركبة a و b ، تكون الدالتان M ( a , b , z ) و U ( a , b , z ) مستقلتين. إذا كان b عددًا صحيحًا غير موجب، وبالتالي فإن M ( a , b , z ) غير موجودة، فيمكننا استخدام z ^{1− b} M ( a + 1− b , 2− b , z ) كحل ثانٍ. أما إذا كان a عددًا صحيحًا غير موجب و b عددًا صحيحًا غير موجب ، فإن U ( z ) تكون من مضاعفات M ( z ) . في هذه الحالة أيضًا، يمكن استخدام z ^{1− b} M ( a + 1− b , 2− b , z ) كحل ثانٍ إذا وُجد وكان مختلفًا. لكن عندما يكون b عددًا صحيحًا أكبر من 1، فإن هذا الحل غير موجود، وإذا كان b = 1 فإنه موجود ولكنه مضاعف لـ U ( a , b , z ) و M ( a , b , z ). في هذه الحالات، يوجد حل ثانٍ بالشكل التالي وهو صالح لأي عدد حقيقي أو مركب a وأي عدد صحيح موجب b باستثناء عندما يكون a عددًا صحيحًا موجبًا أصغر من b :

${\displaystyle M(a,b,z)\ln z+z^{1-b}\sum _{k=0}^{\infty}C_{k}z^{k}}$

عندما تكون قيمة a تساوي صفرًا، يمكننا استخدام ما يلي كبديل:

${\displaystyle \int _{-\infty}^{z}(-u)^{-b}e^{u}\mathrm {d} u.}$

عندما b = 1 يكون هذا هو التكامل الأسي E ₁ ( −z ) .

تظهر مشكلة مشابهة عندما يكون a − b عددًا صحيحًا سالبًا ويكون b عددًا صحيحًا أقل من 1. في هذه الحالة، لا توجد M ( a , b , z ) ، وتكون U ( a , b , z ) من مضاعفات z ^{1− b} M ( a + 1− b , 2− b , z ). ويكون الحل الثاني على الصورة التالية:

${\displaystyle z^{1-b}M(a+1-b,2-b,z)\ln z+\sum _{k=0}^{\infty }C_{k}z^{k}}$

إذا كان Re b > Re a > 0 ، فيمكن تمثيل M ( a , b , z ) كتكامل

${\displaystyle M(a,b,z)={\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)\Gamma (ba)}}\int _{0}^{1}e^{zu}u^{a-1}(1-u)^{ba-1}\,du.}$

وبالتالي، فإن M ( a , a + b , it ) هي الدالة المميزة لتوزيع بيتا . بالنسبة لـ a ذات الجزء الحقيقي الموجب U، يمكن الحصول عليها من خلال تكامل لابلاس.

${\displaystyle U(a,b,z)={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int _{0}^{\infty }e^{-zt}t^{a-1}(1+t)^{ba-1}\,dt,\quad (\operatorname {Re} \ a>0)}$

يحدد التكامل حلاً في النصف الأيمن من المستوى Re z > 0 .

ويمكن تمثيلها أيضاً كتكاملات بارنز

${\displaystyle M(a,b,z)={\frac {1}{2\pi i}}{\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (-s)\Gamma (a+s)}{\Gamma (b+s)}}(-z)^{s}ds}$

حيث يمر المحيط إلى جانب واحد من أقطاب Γ(− s ) وإلى الجانب الآخر من أقطاب Γ( a + s ) .

إذا كان حل معادلة كومر مقاربًا لقوة z عندما z → ∞ ، فإن القوة يجب أن تكون −a . وهذا هو الحال بالفعل بالنسبة لحل تريكومي U ( a , b , z ) . ويمكن استنتاج سلوكه المقارب عندما z → ∞ من التمثيلات التكاملية. إذا كان z = x ∈ R ، فإن تغيير المتغيرات في التكامل، متبوعًا بتوسيع متسلسلة ذات الحدين وتكاملها رسميًا حدًا حدًا، يؤدي إلى توسيع متسلسل مقارب ، صالح عندما x → ∞ : ^{[ 2 ]}

${\displaystyle U(a,b,x)\sim x^{-a}\,_{2}F_{0}\left(a,a-b+1;\,;-{\frac {1}{x}}\right),}$

أين${\displaystyle _{2}F_{0}(\cdot ,\cdot$ {;-1/x)} هي متسلسلة هندسية فائقة معممة يكون حدها الرئيسي 1، وهي عمومًا لا تتقارب في أي مكان، ولكنها موجودة كمتسلسلة قوى رسمية في 1/ x . هذا التوسع التقاربي صالح أيضًا للأعداد المركبة z بدلًا من الأعداد الحقيقية x ، حيث | arg z | < 3π /2.

السلوك التقاربي لحل كومر لقيم | z | الكبيرة هو:

${\displaystyle M(a,b,z)\sim \Gamma (b)\left({\frac {e^{z}z^{a-b}}{\Gamma (a)}}+{\frac {(-z)^{-a}}{\Gamma (b-a)}}\right)}$

تُحسب قوى z باستخدام −3π / 2 < arg z ≤ π /2 . ^{[ 3 ]} لا حاجة للحد الأول عندما تكون Γ( b − a ) محدودة، أي عندما لا يكون b − a عددًا صحيحًا غير موجب ويؤول الجزء الحقيقي من z إلى سالب ما لا نهاية، بينما لا حاجة للحد الثاني عندما تكون Γ( a ) محدودة، أي عندما لا يكون a عددًا صحيحًا غير موجب ويؤول الجزء الحقيقي من z إلى موجب ما لا نهاية.

يوجد دائمًا حل ما لمعادلة كومر يقترب من e ^z z ^{a − b} عندما z → −∞ . عادةً ما يكون هذا الحل مزيجًا من M ( a , b , z ) و U ( a , b , z )، ولكن يمكن أيضًا التعبير عنه على النحو التالي: e ^z (−1) ^{a - b} U ( b − a , b , − z ) .

توجد علاقات عديدة بين دوال كومر ذات الوسائط المختلفة ومشتقاتها. يقدم هذا القسم بعض الأمثلة النموذجية.

تنطبق نظريات الضرب التالية :

${\displaystyle {\begin{aligned}U(a,b,z)&=e^{(1-t)z}\sum _{i=0}{\frac {(t-1)^{i}z^{i}}{i!}}U(a,b+i,zt)\\&=e^{(1-t)z}t^{b-1}\sum _{i=0}{\frac {\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{i}}{i!}}U(a-i,b-i,zt).\end{aligned}}}$

فيما يتعلق بمتعددات حدود لاغير ، فإن دوال كومر لها عدة صيغ، على سبيل المثال

${\displaystyle M\left(a,b,{\frac {xy}{x-1}}\right)=(1-x)^{a}\cdot \sum _{n}{\frac {a^{(n)}}{b^{(n)}}}L_{n}^{(b-1)}(y)x^{n}}$( إرديلي وآخرون 1953 ، 6.12)

أو

${\displaystyle M\left(a,\,b,\,z\right)={\frac {\Gamma \left(1-a\right)\cdot \Gamma \left(b\right)}{\Gamma \left(b-a\right)}}\cdot L_{-a}^{(b-1)}\left(z\right)}$

تشمل الدوال التي يمكن التعبير عنها كحالات خاصة من دالة الهندسة الفائقة المتقاربة ما يلي:

• بعض الدوال الأولية التي يكون فيها الطرف الأيسر غير مُعرَّف عندما يكون b عددًا صحيحًا غير موجب، ولكن الطرف الأيمن لا يزال حلاً لمعادلة كومر المقابلة:

${\displaystyle M(0,b,z)=1}$

${\displaystyle U(0,c,z)=1}$

${\displaystyle M(b,b,z)=e^{z}}$

${\displaystyle U(a,a,z)=e^{z}\int _{z}^{\infty }u^{-a}e^{-u}du}$(متعددة الحدود إذا كان a عددًا صحيحًا غير موجب)

${\displaystyle {\frac {U(1,b,z)}{\Gamma (b-1)}}+{\frac {M(1,b,z)}{\Gamma (b)}}=z^{1-b}e^{z}}$

${\displaystyle M(n,b,z)}$بالنسبة للأعداد الصحيحة غير الموجبة n، تكون متعددة حدود لاغير المعممة .

${\displaystyle U(n,c,z)}$بالنسبة للعدد الصحيح غير الموجب n، يكون مضاعفًا لكثير حدود لاغير المعمم، يساوي${\displaystyle {\tfrac {\Gamma (1-c)}{\Gamma (n+1-c)}}M(n,c,z)}$عندما يكون الأخير موجوداً.

${\displaystyle U(c-n,c,z)}$عندما يكون n عددًا صحيحًا موجبًا، تكون الصيغة المغلقة مع قوى z مساوية لـ${\displaystyle {\tfrac {\Gamma (c-1)}{\Gamma (c-n)}}z^{1-c}M(1-n,2-c,z)}$عندما يكون الأخير موجوداً.

${\displaystyle U(a,a+1,z)=z^{-a}}$

${\displaystyle U(-n,-2n,z)}$بالنسبة للأعداد الصحيحة غير السالبة n، تكون متعددة حدود بيسل (انظر أدناه).

${\displaystyle M(1,2,z)=(e^{z}-1)/z,\ \ M(1,3,z)=2!(e^{z}-1-z)/z^{2}}$إلخ.

باستخدام العلاقة المتجاورة${\displaystyle aM(a+)=(a+z)M+z(a-b)M(b+)/b}$نحصل، على سبيل المثال، على${\displaystyle M(2,1,z)=(1+z)e^{z}.}$

• وظيفة باتمان
• دوال بيسل والعديد من الدوال ذات الصلة مثل دوال آيري ، ودوال كلفن ، ودوال هانكل . على سبيل المثال، في الحالة الخاصة b = 2a ، تختزل الدالة إلى دالة بيسل .

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a,2a,x)=e^{x/2}\,{}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)=e^{x/2}\left({\tfrac {x}{4}}\right)^{1/2-a}\Gamma \left(a+{\tfrac {1}{2}}\right)I_{a-1/2}\left({\tfrac {x}{2}}\right).}$

يُشار إلى هذه الهوية أحيانًا باسم التحول الثاني لكومر . وبالمثل،

${\displaystyle U(a,2a,x)={\frac {e^{x/2}}{\sqrt {\pi }}}x^{1/2-a}K_{a-1/2}(x/2),}$

عندما يكون a عددًا صحيحًا غير موجب، فإن هذا يساوي 2 ^{− a} θ _{− a} ( x /2) حيث θ هو متعدد حدود بيسل .

• يمكن التعبير عن دالة الخطأ على النحو التالي :

${\displaystyle \mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}dt={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}\ {}_{1}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}},-x^{2}\right).}$

• دالة الموجة الكولومبية
• وظائف كانينغهام
• التكامل الأسي والدوال ذات الصلة مثل تكامل الجيب والتكامل اللوغاريتمي
• كثيرات حدود هيرميت
• دالة غاما غير مكتملة
• كثيرات حدود لاغير
• دالة الأسطوانة المكافئة (أو دالة ويبر)
• دالة بواسون-شارلييه
• فعاليات تورنتو
• دوال ويتاكر M _κ,μ ( z )، W _κ,μ ( z ) هي حلول لمعادلة ويتاكر التي يمكن التعبير عنها بدلالة دوال كومر M و U بواسطة

${\displaystyle M_{\kappa ,\mu }(z)=e^{-{\tfrac {z}{2}}}z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}M\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}$

${\displaystyle W_{\kappa ,\mu }(z)=e^{-{\tfrac {z}{2}}}z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}U\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}$

• يمكن التعبير عن العزم الخام العام من الرتبة p ( حيث p ليس بالضرورة عددًا صحيحًا) على النحو التالي ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[\left|N\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)\right|^{p}\right]&={\frac {\left(2\sigma ^{2}\right)^{p/2}\Gamma \left({\tfrac {1+p}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}\ {}_{1}F_{1}\left(-{\tfrac {p}{2}},{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\\operatorname {E} \left[N\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)^{p}\right]&=\left(-2\sigma ^{2}\right)^{p/2}U\left(-{\tfrac {p}{2}},{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

في الصيغة الثانية ، يمكن اختيار قطع الفرع الثاني للدالة عن طريق الضرب في (−1) ^p .

بتطبيق حجة حدية على الكسر المستمر لغوس، يمكن إثبات أن ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\frac {M(a+1,b+1,z)}{M(a,b,z)}}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {\displaystyle {\frac {b-a}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {\displaystyle {\frac {a+1}{(b+1)(b+2)}}z}{1-{\cfrac {\displaystyle {\frac {b-a+1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {\displaystyle {\frac {a+2}{(b+3)(b+4)}}z}{1-\ddots }}}}}}}}}}}$

وأن هذا الكسر المستمر يتقارب بشكل منتظم إلى دالة ميرومورفية لـ z في كل مجال محدود لا يتضمن قطبًا.

• منحنى بيزير المركب

• أبراموفيتز، ميلتون ؛ ستيجون، إيرين آن ، محرران. (1983) [يونيو 1964]. "الفصل 13" . دليل الدوال الرياضية مع الصيغ والرسوم البيانية والجداول الرياضية . سلسلة الرياضيات التطبيقية. المجلد  55 (الطبعة التاسعة المعاد طباعتها مع تصحيحات إضافية للطبعة العاشرة الأصلية مع التصحيحات (ديسمبر 1972)؛  الطبعة الأولى). واشنطن العاصمة؛ نيويورك: وزارة التجارة الأمريكية، المكتب الوطني للمعايير؛ منشورات دوفر. ص  504. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .   
• تشيستوفا، إي. أ. (2001) [1994]، "الدالة الهندسية الفائقة المتقاربة" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس
• دالهاوس، أدري ب. أولد (2010)، "الدالة الهندسية الفائقة المتقاربة" ، في أولفر، فرانك دبليو جيه ؛ لوزير، دانيال إم؛ بويسفيرت، رونالد إف؛ كلارك، تشارلز دبليو (محررون)، دليل المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا للدوال الرياضية ، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 978-0-521-19225-5MR 2723248​ .
• إرديلي، آرثر ؛ ماغنوس، فيلهلم ؛ أوبرهيتينغر، فريتز وتريكومي، فرانشيسكو ج. (1953). الدوال المتعالية العليا. المجلد الأول . نيويورك - تورنتو - لندن: شركة ماكجرو هيل للنشر، MR 0058756 . 
• كومر، إرنست إدوارد (1837). "Deتكامل quibusdam definitis وseriebus infinitis" . Journal für die reine und angewandte Mathematik (باللاتينية). 1837 (17): 228–242 . دوى : 10.1515/crll.1837.17.228 . ISSN 0075-4102 . S2CID 121351583 .  
• سلاتر، لوسي جوان (1960). الدوال الهندسية الفائقة المتقاربة . كامبريدج، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة كامبريدج. MR 0107026 . 
• تريكومي، فرانشيسكو ج. (1947). "Sulle funzioni ipergeometriche confluenti" . Annali di Matematica Pura ed Applicata . السلسلة 4 (باللغة الإيطالية). 26 : 141 – 175. دوى : 10.1007 / bf02415375 . ISSN 0003-4622 . السيد 0029451 . S2CID 119860549 .   
• تريكومي، فرانشيسكو ج. (1954). Funzioni ipergeometriche confluenti . Consiglio Nazionale Delle Ricerche Monografie Matematiche (باللغة الإيطالية). المجلد.  1. روما: إديزيوني كريمونيزي. رقم ISBN 978-88-7083-449-9. MR 0076936 . {{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• أولدهام، ك.ب.؛ مايلاند، ج.؛ سبانير، ج. (2010). أطلس الدوال: مع إكواتور، حاسبة دوال الأطلس . سبرينغر نيويورك. ISBN 978-0-387-48807-3تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 أغسطس 2017 .

• الدوال الهندسية الفائقة المتقاربة في المكتبة الرقمية للدوال الرياضية التابعة للمعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا
• دالة كومر فوق الهندسية على موقع Wolfram Functions
• دالة تريكومي فوق الهندسية على موقع Wolfram Functions