ذرة الهيدروجين

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 100 صور
الموسوعة الحرة

رسم توضيحي لذرة الهيدروجين يُظهر قطرها ضعف نصف قطر نموذج بور تقريبًا . (الصورة ليست بمقياس الرسم)

ذرة الهيدروجين هي ذرة من عنصر الهيدروجين الكيميائي . تحتوي ذرة الهيدروجين المتعادلة كهربائياً على بروتون واحد موجب الشحنة في النواة، وإلكترون واحد سالب الشحنة مرتبط بالنواة بقوة كولوم . يشكل الهيدروجين الذري حوالي 74% من الكتلة الباريونية للكون. [ 1 ]

في الحياة اليومية على الأرض، تُعدّ ذرات الهيدروجين المنفردة (المعروفة باسم "الهيدروجين الذري") نادرة للغاية. فبدلاً من ذلك، تميل ذرة الهيدروجين إلى الاتحاد مع ذرات أخرى في مركبات، أو مع ذرة هيدروجين أخرى لتكوين غاز الهيدروجين العادي ( ثنائي الذرة )، H₂ . يُستخدم مصطلحا "الهيدروجين الذري" و"ذرة الهيدروجين" في اللغة الإنجليزية الدارجة بمعنى متداخل، ولكنه مختلف. فعلى سبيل المثال، يحتوي جزيء الماء على ذرتي هيدروجين، ولكنه لا يحتوي على الهيدروجين الذري (الذي يُشير إلى ذرات الهيدروجين المنفردة).

يُظهر التحليل الطيفي الذري وجود مجموعة لانهائية منفصلة من الحالات التي يمكن أن توجد فيها ذرة الهيدروجين (أو أي ذرة أخرى)، خلافًا لتوقعات الفيزياء الكلاسيكية . وقد كانت محاولات تطوير فهم نظري لحالات ذرة الهيدروجين مهمة لتاريخ ميكانيكا الكم ، إذ يمكن فهم جميع الذرات الأخرى تقريبًا من خلال معرفة تفاصيل هذا التركيب الذري الأبسط.

النظائر

البروتون ( 1H )، أو الهيدروجين الخفيف، هو النظير الأكثر وفرة ، ولا يحتوي على نيوترونات ، ويتكون ببساطة من بروتون وإلكترون . البروتون مستقر ويشكل 99.985% من ذرات الهيدروجين الموجودة في الطبيعة. [ 2 ]

يحتوي الديوتيريوم ( 2H ) على نيوترون واحد وبروتون واحد في نواته. الديوتيريوم مستقر، ويشكل 0.0156% من الهيدروجين الموجود في الطبيعة، [ 2 ] ويستخدم في العمليات الصناعية مثل المفاعلات النووية وطيف الرنين المغناطيسي النووي .

يحتوي التريتيوم ( ³H ) على نيوترونين وبروتون واحد في نواته، وهو غير مستقر، إذ يتحلل بنصف عمر يبلغ 12.32 سنة. وبسبب قصر عمر النصف، لا يوجد التريتيوم في الطبيعة إلا بكميات ضئيلة.

لا تُصنع النظائر الأثقل للهيدروجين إلا صناعيًا في مسرعات الجسيمات ، ويبلغ عمر النصف لها حوالي 10⁻²² ثانية . وهي عبارة عن رنينات غير مقيدة تقع خارج نطاق انبعاث النيوترونات ، مما يؤدي إلى انبعاث نيوترون فوري .

الصيغ أدناه صالحة لجميع نظائر الهيدروجين الثلاثة، ولكن يجب استخدام قيم مختلفة قليلاً لثابت ريدبيرج (صيغة التصحيح الواردة أدناه) لكل نظير من نظائر الهيدروجين.

أيون الهيدروجين

ذرات الهيدروجين المتعادلة المنفردة نادرة في الظروف العادية. ومع ذلك، فإن الهيدروجين المتعادل شائع عندما يرتبط تساهميًا بذرة أخرى، ويمكن أن توجد ذرات الهيدروجين أيضًا في صور كاتيونية وأنيونية .

إذا فقدت ذرة هيدروجين متعادلة إلكترونها، فإنها تتحول إلى كاتيون. يُكتب الأيون الناتج، الذي يتكون من بروتون واحد فقط في النظير المعتاد، على النحو التالي: "H + "، ويُسمى أحيانًا هيدرون . تُعد البروتونات الحرة شائعة في الوسط بين النجوم والرياح الشمسية . في سياق المحاليل المائية لأحماض برونستد-لوري الكلاسيكية ، مثل حمض الهيدروكلوريك ، يُقصد في الواقع أيون الهيدرونيوم ، H3O + . فبدلاً من تكوّن ذرة هيدروجين منفردة متأينة حرفيًا، ينقل الحمض الهيدروجين إلى الماء (H2O ) ، مُكَوِّنًا أيون الهيدرونيوم H3O + .

أما إذا اكتسبت ذرة الهيدروجين إلكترونًا ثانيًا، فإنها تصبح أيونًا سالبًا. يُكتب أيون الهيدروجين السالب على شكل "H – " ويُسمى هيدريد .

التحليل النظري

تتمتع ذرة الهيدروجين بأهمية خاصة في ميكانيكا الكم ونظرية المجال الكمي باعتبارها نظامًا فيزيائيًا بسيطًا لمسألة جسمين، وقد أسفر ذلك عن العديد من الحلول التحليلية البسيطة في شكل مغلق.

الوصف الكلاسيكي الفاشل

أظهرت تجارب إرنست رذرفورد عام 1909 أن بنية الذرة عبارة عن نواة كثيفة موجبة الشحنة محاطة بسحابة رقيقة من الشحنة السالبة. أثار هذا الاكتشاف تساؤلات فورية حول كيفية استقرار هذا النظام. وقد بيّنت الكهرومغناطيسية الكلاسيكية أن أي شحنة متسارعة تشع طاقة، كما هو موضح في معادلة لارمور . إذا افترضنا أن الإلكترون يدور في مسار دائري مثالي ويشع طاقة باستمرار، فإنه سيندفع بسرعة حلزونيًا نحو النواة بزمن سقوط قدره: [ 3 ]تيسقط≈أ034ر02ج≈1.6×10-11 s،{\displaystyle t_{\text{fall}}\approx {\frac {{a_{0}}^{3}}{4{r_{0}}^{2}c}}\approx 1.6\times 10^{-11}{\text{ s}},} أينأ0{\displaystyle a_{0}}هو نصف قطر بور ور0{\displaystyle r_{0}}يمثل نصف قطر الإلكترون الكلاسيكي . لو كان هذا صحيحًا، لانهارت جميع الذرات فورًا. مع ذلك، تبدو الذرات مستقرة. علاوة على ذلك، فإن الدوران الحلزوني نحو الداخل كان سيُطلق طيفًا واسعًا من الترددات الكهرومغناطيسية مع تقلص المدار. بدلًا من ذلك، لوحظ أن الذرات تُصدر ترددات إشعاعية منفصلة فقط. يكمن الحل في تطور ميكانيكا الكم .

نموذج بور-سومرفيلد

في عام 1913، توصل نيلز بور إلى مستويات الطاقة والترددات الطيفية لذرة الهيدروجين بعد وضع عدد من الافتراضات البسيطة لتصحيح النموذج الكلاسيكي الفاشل. وشملت هذه الافتراضات ما يلي:

  1. لا يمكن للإلكترونات أن تتواجد إلا في مدارات دائرية منفصلة أو حالات ثابتة ، وبالتالي يكون لها مجموعة منفصلة من أنصاف الأقطار والطاقات الممكنة.
  2. لا تُصدر الإلكترونات إشعاعًا أثناء وجودها في إحدى هذه الحالات الثابتة.
  3. يمكن للإلكترون أن يكتسب أو يفقد الطاقة عن طريق القفز من مدار منفصل إلى آخر.

افترض بور ​​أن الزخم الزاوي للإلكترون مُكمّم بقيم محتملة: ل=نℏ{\displaystyle L=n\hbar } أينن=1،2،3،...{\displaystyle n=1,2,3,\ldots } وℏ{\displaystyle \hbar }ثابت بلانك على2π{\displaystyle 2\pi }وافترض أيضًا أن القوة المركزية التي تُبقي الإلكترون في مداره ناتجة عن قوة كولوم ، وأن الطاقة محفوظة. وقد استنتج بور طاقة كل مدار من مدارات ذرة الهيدروجين على النحو التالي: [ 4 ]هـن=-مهـهـ42(4πε0)2ℏ21ن2،{\displaystyle E_{n}=-{\frac {m_{\text{e}}e^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}},} أينمهـ{\displaystyle m_{\text{e}}}كتلة الإلكترون ،هـ{\displaystyle e}هي شحنة الإلكترون ،ε0{\displaystyle \varepsilon _{0}}هي سماحية الفراغ ، ون{\displaystyle n}هو العدد الكمي (المعروف الآن بالعدد الكمي الرئيسي ). تطابقت تنبؤات بور مع التجارب التي تقيس سلسلة الطيف الهيدروجيني من الدرجة الأولى، مما أعطى مزيدًا من الثقة لنظرية تستخدم القيم الكمية.

لن=1{\displaystyle n=1}، القيمة [ 5 ]مهـهـ42(4πε0)2ℏ2=مهـهـ48ح2ε02=1سكة حديد=13.605693122994(26)إلكترون فولت{\displaystyle {\frac {m_{\text{e}}e^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}={\frac {m_{\text{e}}e^{4}}{8h^{2}\varepsilon _{0}^{2}}}=1\,{\text{Ry}}=13.605\;693\;122\;994(26)\,{\text{eV}}} تُسمى وحدة ريدبيرغ للطاقة. وهي مرتبطة بثابت ريدبيرغ.R∞{\displaystyle R_{\infty }}من فيزياء الذرة بواسطة1سكة حديد≡حجR∞.{\displaystyle 1\,{\text{Ry}}\equiv hcR_{\infty }.}

يفترض حساب القيمة الدقيقة لثابت ريدبيرغ أن كتلة النواة لانهائية بالنسبة للإلكترون. أما بالنسبة للهيدروجين-1، والهيدروجين-2 ( الديوتيريوم )، والهيدروجين-3 ( التريتيوم ) ذات الكتلة المحدودة، فيجب تعديل الثابت قليلاً لاستخدام الكتلة المختزلة للنظام، بدلاً من كتلة الإلكترون فقط. وهذا يشمل الطاقة الحركية للنواة في المسألة، لأن الطاقة الحركية الكلية (الإلكترون بالإضافة إلى الطاقة الحركية للنواة) تعادل الطاقة الحركية للكتلة المختزلة التي تتحرك بسرعة تساوي سرعة الإلكترون بالنسبة للنواة. ومع ذلك، بما أن النواة أثقل بكثير من الإلكترون، فإن كتلة الإلكترون والكتلة المختزلة متقاربتان. يُعطى ثابت ريدبيرغ ( RM ) لذرة الهيدروجين (إلكترون واحد) بالعلاقة التالية: Rم=R∞1+مهـ/م،{\displaystyle R_{M}={\frac {R_{\infty }}{1+m_{\text{e}}/M}},} أينم{\displaystyle M}هي كتلة نواة الذرة. بالنسبة للهيدروجين-1، الكميةمهـ/م،{\displaystyle m_{\text{e}}/M,}تبلغ النسبة حوالي 1/1836 (أي نسبة كتلة الإلكترون إلى كتلة البروتون). أما بالنسبة للديوتيريوم والتريتيوم، فتبلغ النسب حوالي 1/3670 و1/5497 على التوالي. هذه الأرقام، عند إضافتها إلى 1 في المقام، تمثل تصحيحات طفيفة جدًا في قيمة R ، وبالتالي تصحيحات طفيفة فقط لجميع مستويات الطاقة في نظائر الهيدروجين المقابلة.

لا تزال هناك مشاكل في نموذج بور:

  1. لقد فشلت في التنبؤ بتفاصيل طيفية أخرى مثل البنية الدقيقة والبنية فائقة الدقة
  2. لم يكن بإمكانها التنبؤ بمستويات الطاقة بدقة إلا بالنسبة للذرات أحادية الإلكترون (الذرات الشبيهة بالهيدروجين).
  3. كانت القيم المتوقعة صحيحة فقط إلىα2≈10-5{\displaystyle \alpha ^{2}\approx 10^{-5}}، أينα{\displaystyle \alpha }هو ثابت البنية الدقيقة .

تم حل معظم هذه النقائص بتعديل أرنولد سومرفيلد لنموذج بور. أدخل سومرفيلد درجتي حرية إضافيتين، مما سمح للإلكترون بالتحرك في مدار إهليلجي يتميز بانحرافه المركزي وميله بالنسبة لمحور محدد. أدى ذلك إلى ظهور عددين كميين إضافيين، يمثلان الزخم الزاوي المداري وإسقاطه على المحور المحدد. وهكذا تم التوصل إلى التعددية الصحيحة للحالات (باستثناء العامل 2 الذي يفسر دوران الإلكترون غير المعروف آنذاك). علاوة على ذلك، بتطبيق النسبية الخاصة على المدارات الإهليلجية، نجح سومرفيلد في اشتقاق التعبير الصحيح للبنية الدقيقة لأطياف الهيدروجين (والذي يتطابق تمامًا مع نظرية ديراك الأكثر تفصيلًا). مع ذلك، ظلت بعض الظواهر المرصودة، مثل تأثير زيمان الشاذ ، دون تفسير. تم حل هذه المشكلات مع التطور الكامل لميكانيكا الكم ومعادلة ديراك . كثيرًا ما يُزعم أن معادلة شرودنغر تتفوق على نظرية بور-سومرفيلد في وصف ذرة الهيدروجين. إلا أن هذا غير صحيح، إذ تتطابق معظم نتائج كلا المنهجين أو تكون متقاربة جدًا (باستثناء ملحوظ هو مشكلة ذرة الهيدروجين في مجالين كهربائي ومغناطيسي متعامدين، والتي لا يمكن حلها ذاتيًا في إطار نظرية بور-سومرفيلد)، وفي كلتا النظريتين، ينجم القصور الرئيسي عن غياب دوران الإلكترون. وقد أثبت فشل نظرية بور-سومرفيلد التام في تفسير الأنظمة متعددة الإلكترونات (مثل ذرة الهيليوم أو جزيء الهيدروجين) قصورها في وصف الظواهر الكمومية.

معادلة شرودنغر

تُعدّ معادلة شرودنغر النموذج القياسي في ميكانيكا الكم؛ فهي تُتيح حساب الحالات المستقرة والتطور الزمني للأنظمة الكمومية. وتتوفر إجابات تحليلية دقيقة لذرة الهيدروجين غير النسبية. قبل أن ننتقل إلى عرض شرح رسمي، نُقدّم هنا لمحة عامة مبسطة.

بما أن ذرة الهيدروجين تحتوي على نواة وإلكترون، فإن ميكانيكا الكم تسمح بتوقع احتمالية وجود الإلكترون عند أي مسافة شعاعية معينةر{\displaystyle r}يُعطى هذا الناتج بمربع دالة رياضية تُعرف باسم " الدالة الموجية "، وهي حل لمعادلة شرودنغر. تُعرف حالة التوازن ذات الطاقة الأدنى لذرة الهيدروجين بالحالة الأرضية. وتُعرف دالة الموجة للحالة الأرضية باسم...1s{\displaystyle 1\mathrm {s} }الدالة الموجية. تُكتب على النحو التالي: ψ1s(ر)=1πأ03/2هـ-ر/أ0.{\displaystyle \psi _{1\mathrm {s} }(r)={\frac {1}{{\sqrt {\pi }}a_{0}^{3/2}}}\mathrm {e} ^{-r/a_{0}}.}

هنا،أ0{\displaystyle a_{0}}يمثل القيمة العددية لنصف قطر بور. كثافة احتمال وجود الإلكترون على مسافةر{\displaystyle r}في أي اتجاه شعاعي تكون القيمة التربيعية للدالة الموجية: |ψ1s(ر)|2=1πأ03هـ-2ر/أ0.{\displaystyle |\psi _{1\mathrm {s} }(r)|^{2}={\frac {1}{\pi a_{0}^{3}}}\mathrm {e} ^{-2r/a_{0}}.}

ال1s{\displaystyle 1\mathrm {s} }دالة الموجة متناظرة كرويًا، ومساحة سطح الغلاف عند مسافةر{\displaystyle r}يكون4πر2{\displaystyle 4\pi r^{2}}إذن، الاحتمال الكليP(ر)در{\displaystyle P(r)\,dr}وجود الإلكترون في غلاف على مسافةر{\displaystyle r}والسماكةدر{\displaystyle dr}يكون P(ر)در=4πر2|ψ1s(ر)|2در.{\displaystyle P(r)\,\mathrm {d} r=4\pi r^{2}|\psi _{1\mathrm {s} }(r)|^{2}\,\mathrm {d} r.}

اتضح أن هذا هو الحد الأقصى عندر=أ0{\displaystyle r=a_{0}}أي أن صورة بور للإلكترون الذي يدور حول النواة عند نصف قطرأ0{\displaystyle a_{0}}يتوافق ذلك مع نصف القطر الأكثر احتمالاً. في الواقع، هناك احتمال محدود لوجود الإلكترون عند أي نصف قطر.ر{\displaystyle r}، باحتمالية تُشير إليها مربع دالة الموجة. وبما أن احتمالية وجود الإلكترون في مكان ما في الحجم الكلي تساوي واحدًا، فإن تكاملP(ر)در{\displaystyle P(r)\,\mathrm {d} r}إذا كانت القيمة تساوي واحدًا، فإننا نقول حينها أن الدالة الموجية قد تم تطبيعها بشكل صحيح.

كما سيتم توضيحه أدناه، الحالة الأرضية1s{\displaystyle 1\mathrm {s} }ويُشار إلى ذلك أيضًا بواسطة الأرقام الكمومية(ن=1،ℓ=0،م=0){\displaystyle (n=1,\ell =0,m=0)}أما ثاني أدنى مستويات الطاقة، فوق الحالة الأرضية مباشرة، فتُعطى بواسطة الأعداد الكمومية.(2،0،0){\displaystyle (2,0,0)}،(2،1،0){\displaystyle (2,1,0)}، و(2،1،±1){\displaystyle (2,1,\pm 1)}. هؤلاءن=2{\displaystyle n=2}جميع الحالات لها نفس الطاقة وتُعرف باسم2s{\displaystyle 2\mathrm {s} }و2ص{\displaystyle 2\mathrm {p} }الولايات. هناك ولاية واحدة2s{\displaystyle 2\mathrm {s} }ولاية: ψ2،0،0=142πأ03/2(2-رأ0)هـ-ر/2أ0،{\displaystyle \psi _{2,0,0}={\frac {1}{4{\sqrt {2\pi }}a_{0}^{3/2}}}\left(2-{\frac {r}{a_{0}}}\right)\mathrm {e} ^{-r/2a_{0}},} وهناك ثلاثة2ص{\displaystyle 2\mathrm {p} }الولايات: ψ2،1،0=142πأ03/2رأ0هـ-ر/2أ0كوس⁡θ،{\displaystyle \psi _{2,1,0}={\frac {1}{4{\sqrt {2\pi }}a_{0}^{3/2}}}{\frac {r}{a_{0}}}\mathrm {e} ^{-r/2a_{0}}\cos \theta ,}ψ2،1،±1=∓18πأ03/2رأ0هـ-ر/2أ0الخطيئة⁡θ هـ±أناφ.{\displaystyle \psi _{2,1,\pm 1}=\mp {\frac {1}{8{\sqrt {\pi }}a_{0}^{3/2}}}{\frac {r}{a_{0}}}\mathrm {e} ^{-r/2a_{0}}\sin \theta ~\mathrm {e} ^{\pm \mathrm {i} \varphi }.}

إلكترون في2s{\displaystyle 2\mathrm {s} }أو2ص{\displaystyle 2\mathrm {p} }من المرجح أن توجد الحالة في مدار بور الثاني بطاقة معطاة بصيغة بور.

دالة الموجة

هاميلتونيان ذرة الهيدروجين هو مؤثر الطاقة الحركية الشعاعية مضافًا إليه طاقة الوضع الكهروستاتيكية الكولومبية بين البروتون الموجب والإلكترون السالب. باستخدام معادلة شرودنغر غير المعتمدة على الزمن، مع إهمال جميع تفاعلات اقتران اللف المغزلي واستخدام الكتلة المختزلةμ=مهـم/(مهـ+م){\displaystyle \mu =m_{\text{e}}M/(m_{\text{e}}+M)}، تُكتب المعادلة على النحو التالي: (-ℏ22μ∇2-هـ24πε0ر)ψ(ر،θ،φ)=هـψ(ر،θ،φ){\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\right)\psi (r,\theta ,\varphi )=E\psi (r,\theta ,\varphi )}

توسيع لابلاس في الإحداثيات الكروية: -ℏ22μ[1ر2∂∂ر(ر2∂ψ∂ر)+1ر2الخطيئة⁡θ∂∂θ(الخطيئة⁡θ∂ψ∂θ)+1ر2الخطيئة2⁡θ∂2ψ∂φ2]-هـ24πε0رψ=هـψ{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \varphi ^{2}}}\right]-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\psi =E\psi }

هذه معادلة تفاضلية جزئية قابلة للفصل ، ويمكن حلها بدلالة دوال خاصة. عندما يتم فصل دالة الموجة كحاصل ضرب دوالR(ر){\displaystyle R(r)}،Θ(θ){\displaystyle \Theta (\theta )}، وΦ(φ){\displaystyle \Phi (\varphi )}تظهر ثلاث دوال تفاضلية مستقلة [ 6 ] حيث A و B هما ثوابت الفصل:

  • شعاعي:ددر(ر2دRدر)+2μر2ℏ2(هـ+هـ24πε0ر)R-أR=0{\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)+{\frac {2\mu r^{2}}{\hbar ^{2}}}\left(E+{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\right)R-AR=0}
  • قطبي:الخطيئة⁡θΘددθ(الخطيئة⁡θدΘدθ)+أالخطيئة2⁡θ-ب=0{\displaystyle {\frac {\sin \theta }{\Theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)+A\sin ^{2}\theta -B=0}
  • السمت:1Φد2Φدφ2+ب=0.{\displaystyle {\frac {1}{\Phi }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}+B=0.}

دوال الموجة الموضعية المعيارية ، المعطاة بالإحداثيات الكروية، هي: ψنℓم(ر،θ،φ)=(2نأ0*)3(ن-ℓ-1)!2ن(ن+ℓ)!هـ-ρ/2ρℓلن-ℓ-12ℓ+1(ρ)Yℓم(θ،φ){\displaystyle \psi _{n\ell m}(r,\theta ,\varphi )={\sqrt {{\left({\frac {2}{na_{0}^{*}}}\right)}^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n(n+\ell )!}}}}\mathrm {e} ^{-\rho /2}\rho ^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(\rho )Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}

رسم توضيحي ثلاثي الأبعاد للحالة الذاتيةψ4،3،1{\displaystyle \psi _{4,3,1}}من المرجح بنسبة 45% أن يتم العثور على الإلكترونات في هذه الحالة داخل الجسم الصلب الموضح.

أين:

  • ρ=2رنأ0*{\displaystyle \rho ={2r \over {na_{0}^{*}}}}،
  • أ0*{\displaystyle a_{0}^{*}}هو نصف قطر بور المختزل ،أ0*=4πε0ℏ2μهـ2{\displaystyle a_{0}^{*}={{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}} \over {\mu e^{2}}}}،
  • ℓ{\displaystyle \ell }يحل محل ثابت الفصلأ{\displaystyle A}معℓ(ℓ+1)=أ{\displaystyle \ell (\ell +1)=A}،
  • م{\displaystyle m}يحل محل ثابت الفصلب{\displaystyle B}معم2=ب{\displaystyle m^{2}=B}،
  • لن-ℓ-12ℓ+1(ρ){\displaystyle L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(\rho )}هي متعددة حدود لاغير المعممة من الدرجةن-ℓ-1{\displaystyle n-\ell -1}، و
  • Yℓم(θ،φ){\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}هي دالة توافقية كروية من الدرجةℓ{\displaystyle \ell }والطلبم{\displaystyle m}.

تجدر الإشارة إلى أن تعريفات كثيرات حدود لاغير المعممة تختلف بين المؤلفين. ويتوافق الاستخدام هنا مع التعريفات المستخدمة في برنامجي Messiah [ 7 ] وMathematica [ 8 ] . وفي مواضع أخرى، تتضمن كثيرة حدود لاغير عاملاً من(ن+ℓ)!{\displaystyle (n+\ell )!}[ 9 ] أو متعددة حدود لاغير المعممة التي تظهر في دالة الموجة الهيدروجينية هيلن+ℓ2ℓ+1(ρ){\displaystyle L_{n+\ell }^{2\ell +1}(\rho )}بدلاً من ذلك. [ 10 ]

يمكن أن تأخذ الأعداد الكمومية القيم التالية:

بالإضافة إلى ذلك، فإن هذه الدوال الموجية مُعَيَّرة (أي أن تكامل مربع قيمتها المطلقة يساوي 1) ومتعامدة : ∫0∞ر2در∫0πالخطيئة⁡θدθ∫02πدφψنℓم*(ر،θ،φ)ψن′ℓ′م′(ر،θ،φ)=⟨ن،ℓ،م|ن′،ℓ′،م′⟩=دلتانن′دلتاℓℓ′دلتامم′،{\displaystyle \int _{0}^{\infty }r^{2}\,dr\int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta \int _{0}^{2\pi }d\varphi \,\psi _{n\ell m}^{*}(r,\theta ,\varphi )\psi _{n'\ell 'm'}(r,\theta ,\varphi )=\langle n,\ell ,m|n',\ell ',m'\rangle =\delta _{nn'}\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'},} أين|ن،ℓ،م⟩{\displaystyle |n,\ell ,m\rangle }هي الحالة التي تمثلها الدالة الموجيةψنℓم{\displaystyle \psi _{n\ell m}}في تدوين ديراك ، ودلتا{\displaystyle \delta }هي دالة دلتا كرونكر . [ 11 ]

ترتبط الدوال الموجية في فضاء الزخم بالدوال الموجية في فضاء الموضع من خلال تحويل فورييه φ(ص،θص،φص)=(2πℏ)-3/2∫هـ-أناص→⋅ر→/ℏψ(ر،θ،φ)دV،{\displaystyle \varphi (p,\theta _{p},\varphi _{p})=(2\pi \hbar )^{-3/2}\int \mathrm {e} ^{-i{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}/\hbar }\psi (r,\theta ,\varphi )\,dV,} والذي ينتج عنه بالنسبة للحالات المرتبطة [ 12 ]φ(ص،θص،φص)=2π(ن-ℓ-1)!(ن+ℓ)!ن222ℓ+2ℓ!نℓصℓ(ن2ص2+1)ℓ+2جن-ℓ-1ℓ+1(ن2ص2-1ن2ص2+1)Yℓم(θص،φص)،{\displaystyle \varphi (p,\theta _{p},\varphi _{p})={\sqrt {{\frac {2}{\pi }}{\frac {(n-\ell -1)!}{(n+\ell )!}}}}n^{2}2^{2\ell +2}\ell !{\frac {n^{\ell }p^{\ell }}{(n^{2}p^{2}+1)^{\ell +2}}}C_{n-\ell -1}^{\ell +1}\left({\frac {n^{2}p^{2}-1}{n^{2}p^{2}+1}}\right)Y_{\ell }^{m}(\theta _{p},\varphi _{p}),} حيثجشمالα(x){\displaystyle C_{N}^{\alpha }(x)}يدل على متعدد الحدود Gegenbauer وص{\displaystyle p}بوحداتℏ/أ0*{\displaystyle \hbar /a_{0}^{*}}.

حلول معادلة شرودنغر للهيدروجين تحليلية ، إذ تُعطي تعبيرًا بسيطًا لمستويات طاقة الهيدروجين ، وبالتالي ترددات خطوط طيف الهيدروجين ، وقد استنسخت نموذج بور بالكامل وتجاوزته. كما تُعطي أيضًا عددين كميين آخرين وشكل دالة الموجة الإلكترونية ("المدار") لمختلف الحالات الكمومية الممكنة، مما يُفسر الطبيعة غير المتناحية للروابط الذرية.

تنطبق معادلة شرودنغر أيضاً على الذرات والجزيئات الأكثر تعقيداً . فعندما يكون هناك أكثر من إلكترون أو نواة، لا يكون الحل تحليلياً، ويصبح من الضروري إجراء حسابات حاسوبية أو وضع افتراضات مبسطة.

بما أن معادلة شرودنغر صالحة فقط لميكانيكا الكم غير النسبية، فإن الحلول التي تُنتجها لذرة الهيدروجين ليست دقيقة تمامًا. وتُحسّن معادلة ديراك في نظرية الكم النسبية هذه الحلول (انظر أدناه).

نتائج معادلة شرودنغر

يعتمد حل معادلة شرودنغر (المعادلة الموجية) لذرة الهيدروجين على حقيقة أن جهد كولوم الناتج عن النواة متناحٍ (أي أنه متناظر شعاعيًا في الفضاء ويعتمد فقط على المسافة من النواة). ورغم أن دوال الطاقة الذاتية الناتجة ( المدارات ) ليست متناحية بالضرورة، فإن اعتمادها على الإحداثيات الزاوية يتبع بشكل عام من تناحية الجهد الأساسي: يمكن اختيار الحالات الذاتية للهاميلتوني (أي حالات الطاقة الذاتية) كحالات ذاتية متزامنة لمؤثر الزخم الزاوي . وهذا يتوافق مع حقيقة أن الزخم الزاوي محفوظ في الحركة المدارية للإلكترون حول النواة. لذلك، يمكن تصنيف حالات الطاقة الذاتية بواسطة عددين كميين للزخم الزاوي .ℓ{\displaystyle \ell }وم{\displaystyle m}(كلاهما عددان صحيحان). العدد الكمي للزخم الزاويℓ=0،1،2،...{\displaystyle \ell =0,1,2,\ldots }يحدد مقدار الزخم الزاوي. العدد الكمي المغناطيسيم=-ℓ،...،+ℓ{\displaystyle m=-\ell ,\ldots ,+\ell }يحدد إسقاط الزخم الزاوي على (المختار بشكل تعسفي)z{\displaystyle z}-محور.

بالإضافة إلى التعبيرات الرياضية للزخم الزاوي الكلي وإسقاط الزخم الزاوي للدوال الموجية، يجب إيجاد تعبير للاعتماد القطري للدوال الموجية. وهنا فقط تتضح تفاصيل...1/ر{\displaystyle 1/r}يدخل جهد كولوم (مما يؤدي إلى كثيرات حدود لاغير فير{\displaystyle r}وهذا يؤدي إلى عدد كمي ثالث، وهو العدد الكمي الرئيسين=1،2،3،...{\displaystyle n=1,2,3,\ldots }يرتبط العدد الكمي الرئيسي في الهيدروجين بالطاقة الكلية للذرة.

لاحظ أن القيمة القصوى للعدد الكمي للزخم الزاوي محدودة بالعدد الكمي الرئيسي: إذ لا يمكن أن تتجاوز قيمة معينة.ن-1{\displaystyle n-1}، أي،ℓ=0،1،...،ن-1{\displaystyle \ell =0,1,\ldots ,n-1}.

بسبب قانون حفظ الزخم الزاوي، فإن حالات نفسℓ{\displaystyle \ell }لكنها مختلفةم{\displaystyle m}لها نفس الطاقة (ينطبق هذا على جميع المسائل ذات التناظر الدوراني ). بالإضافة إلى ذلك، بالنسبة لذرة الهيدروجين، فإن حالات من نفسن{\displaystyle n}لكنها مختلفةℓ{\displaystyle \ell }وهي أيضًا متماثلة الطاقة (أي لها نفس الطاقة). ومع ذلك، فهذه خاصية خاصة بالهيدروجين، ولم تعد صحيحة بالنسبة للذرات الأكثر تعقيدًا التي لها جهد (فعال) يختلف عن شكلها.1/ر{\displaystyle 1/r}(بسبب وجود الإلكترونات الداخلية التي تحجب جهد النواة).

بإضافة عدد كمي أخير مع الأخذ في الاعتبار دوران الإلكترون، فإن إسقاط الزخم الزاوي لدوران الإلكترون على طولz{\displaystyle z}المحور - الذي يمكن أن يأخذ قيمتين. لذلك، يمكن وصف أي حالة ذاتية للإلكترون في ذرة الهيدروجين وصفًا كاملًا بأربعة أعداد كمية. ووفقًا لقواعد ميكانيكا الكم المعتادة، قد تكون الحالة الفعلية للإلكترون أي تراكب لهذه الحالات. وهذا يفسر أيضًا سبب اختيارz{\displaystyle z}المحور - بالنسبة للتكميم الاتجاهي لمتجه الزخم الزاوي غير مهم: مدار ذو قيمة معينةℓ{\displaystyle \ell }وم′{\displaystyle m'}تم الحصول عليه لمحور مفضل آخرz′{\displaystyle z'}يمكن دائمًا تمثيلها على أنها تراكب مناسب لمختلف حالات مختلفةم{\displaystyle m}(لكن نفس الشيء)ℓ{\displaystyle \ell }) التي تم الحصول عليها لـz{\displaystyle z}.

ملخص رياضي للحالات الذاتية لذرة الهيدروجين

في عام ١٩٢٨، وجد بول ديراك معادلةً تتوافق تمامًا مع النسبية الخاصة ، ونتيجةً لذلك، جعل الدالة الموجية " سبينور ديراك " رباعي المكونات ، بما في ذلك مكونات الدوران "العلوي" و"السفلي"، مع طاقة موجبة وسالبة (أو مادة ومادة مضادة). وقد أعطى حل هذه المعادلة النتائج التالية، وهي أكثر دقةً من حل شرودنغر.

مستويات الطاقة

يتم إعطاء مستويات طاقة الهيدروجين، بما في ذلك البنية الدقيقة (باستثناء إزاحة لامب والبنية فائقة الدقة )، بواسطة تعبير سومرفيلد للبنية الدقيقة : [ 13 ]هـجن=-μج2[1-(1+[αن-ج-12+(ج+12)2-α2]2)-1/2]≈-μج2α22ن2[1+α2ن2(نج+12-34)]،{\displaystyle {\begin{aligned}E_{j\,n}={}&-\mu c^{2}\left[1-\left(1+\left[{\frac {\alpha }{n-j-{\frac {1}{2}}+{\sqrt {\left(j+{\frac {1}{2}}\right)^{2}-\alpha ^{2}}}}}\right]^{2}\right)^{-1/2}\right]\\\approx {}&-{\frac {\mu c^{2}\alpha ^{2}}{2n^{2}}}\left[1+{\frac {\alpha ^{2}}{n^{2}}}\left({\frac {n}{j+{\frac {1}{2}}}}-{\frac {3}{4}}\right)\right],\end{aligned}}} أينα{\displaystyle \alpha }هو ثابت البنية الدقيقة وج{\displaystyle j}هو العدد الكمي للزخم الزاوي الكلي ، والذي يساوي|ℓ±12|{\displaystyle \left|\ell \pm {\tfrac {1}{2}}\right|}، اعتمادًا على اتجاه دوران الإلكترون بالنسبة إلى الزخم الزاوي المداري. [ 14 ] تمثل هذه الصيغة تصحيحًا طفيفًا للطاقة التي حصل عليها بور وشرودنغر كما هو موضح أعلاه. العامل الموجود بين قوسين مربعين في التعبير الأخير يقارب الواحد؛ وينشأ الحد الإضافي من التأثيرات النسبية (للمزيد من التفاصيل، انظر #ميزات تتجاوز حل شرودنغر ). تجدر الإشارة إلى أن هذا التعبير قد حصل عليه أ. سومرفيلد لأول مرة عام 1916 استنادًا إلى النسخة النسبية من نظرية بور القديمة . مع ذلك، استخدم سومرفيلد ترميزًا مختلفًا للأعداد الكمية.

تصور مدارات إلكترونات الهيدروجين

كثافات الاحتمال عبر المستوى xz للإلكترون عند أعداد كمية مختلفة ( ℓ ، عبر الأعلى؛ n ، الجانب السفلي؛ m = 0)

تُظهر الصورة على اليمين المدارات القليلة الأولى لذرة الهيدروجين (دوال الطاقة الذاتية). هذه مقاطع عرضية لكثافة الاحتمال مُرمّزة بالألوان (الأسود يُمثل كثافة صفرية، والأبيض يُمثل أعلى كثافة). يُشار إلى عدد الكم الزاوي (المداري) ℓ في كل عمود، باستخدام رمز الحرف الطيفي المعتاد ( s تعني ℓ  =  0، وp تعني ℓ  =  1، وd تعني ℓ  =  2). يُشار إلى عدد الكم الرئيسي n (= 1، 2، 3، ...) على يمين كل صف. في جميع الصور، تم ضبط عدد الكم المغناطيسي m على 0، ومستوى المقطع العرضي هو المستوى xz (حيث z هو المحور الرأسي). يتم الحصول على كثافة الاحتمال في الفضاء ثلاثي الأبعاد بتدوير الكثافة الموضحة هنا حول المحور z .

إن " الحالة الأرضية "، أي حالة أدنى طاقة، والتي عادة ما يوجد فيها الإلكترون، هي الحالة الأولى، وهي حالة 1 s ( مستوى الكم الرئيسي n = 1، ℓ = 0).

تظهر الخطوط السوداء في كل مدار باستثناء المدار الأول: هذه هي عقد دالة الموجة، أي حيث تكون كثافة الاحتمال صفرًا. (وبشكل أدق، فإن العقد هي توافقيات كروية تظهر نتيجة لحل معادلة شرودنغر في الإحداثيات الكروية).

تحدد الأعداد الكمومية تخطيط هذه العقد. وهي كالتالي:

  • ن-1{\displaystyle n-1}إجمالي عدد العقد،
  • ℓ{\displaystyle \ell }منها عقد زاوية:
    • م{\displaystyle m}تدور العقد الزاوية حولφ{\displaystyle \varphi }المحور (في المستوى xy ). (لا يُظهر الشكل أعلاه هذه العقد لأنه يرسم مقاطع عرضية عبر المستوى xz .)
    • ℓ-م{\displaystyle \ell -m}(العقد الزاوية المتبقية) تحدث علىθ{\displaystyle \theta }المحور (الرأسي).
  • ن-ℓ-1{\displaystyle n-\ell -1}(العقد المتبقية غير الزاوية) هي عقد شعاعية.

تذبذب المدارات

تذبذب مدارين لهما نفس قيمة m

تردد حالة ما في المستوى n هوωن=هـن/ℏ{\displaystyle \omega _{n}=E_{n}/\hbar }لذا، في حالة تراكب مدارات متعددة، فإنها ستتذبذب بسبب اختلاف التردد. على سبيل المثال، حالتان، ψ1 و ψ2 : تُعطى دالة الموجة بالصيغة التالية:ψ=ψ1هـأناω1ت+ψ2هـأناω2ت{\displaystyle \psi =\psi _{1}e^{i\omega _{1}t}+\psi _{2}e^{i\omega _{2}t}}ودالة الاحتمال هي P(ت)=|ψ|2=(ψ1هـأناω1ت+ψ2هـأناω2ت)(ψ1*هـ-أناω1ت+ψ2*هـ-أناω2ت){\displaystyle P(t)=|\psi |^{2}=(\psi _{1}e^{i\omega _{1}t}+\psi _{2}e^{i\omega _{2}t})(\psi _{1}^{*}e^{-i\omega _{1}t}+\psi _{2}^{*}e^{-i\omega _{2}t})}∝|ψ1ψ2|كوس⁡[(ω1-ω2)ت]{\displaystyle \propto |\psi _{1}\psi _{2}|\cos {[(\omega _{1}-\omega _{2})t]}}

تذبذب مدارين ذوي أرقام زخم زاوي مختلفة

والنتيجة هي دالة موجية دوارة. حركة الإلكترونات وتغير الحالات الكمومية تشع ضوءًا بتردد جيب التمام.

ميزات تتجاوز حل شرودنغر

هناك العديد من التأثيرات المهمة التي تتجاهلها معادلة شرودنغر والتي هي المسؤولة عن بعض الانحرافات الصغيرة ولكن القابلة للقياس للخطوط الطيفية الحقيقية عن الخطوط المتوقعة:

  • على الرغم من أن متوسط ​​سرعة الإلكترون في الهيدروجين لا يتجاوز 1/137 من سرعة الضوء ، فإن العديد من التجارب الحديثة دقيقة بما يكفي بحيث يتطلب التفسير النظري الكامل معالجة نسبية كاملة للمسألة. وتؤدي المعالجة النسبية إلى زيادة في الزخم بمقدار جزء واحد تقريبًا من سرعة الضوء.37000 للإلكترون. وبما أن طول موجة الإلكترون يتحدد بزخمه، فإن المدارات التي تحتوي على إلكترونات ذات سرعة أعلى تُظهر انكماشًا بسبب أطوال موجات أقصر .
  • حتى في غياب مجال مغناطيسي خارجي ، يمتلك المجال الكهرومغناطيسي للنواة مركبة مغناطيسية في الإطار المرجعي العطالي للإلكترون المتحرك. ويرتبط دوران الإلكترون بعزم مغناطيسي يتفاعل مع هذا المجال المغناطيسي. يُفسَّر هذا التأثير أيضًا بالنظرية النسبية الخاصة، ويؤدي إلى ما يُعرف باقتران الدوران المداري ، أي التفاعل بين حركة الإلكترون المدارية حول النواة ودورانه .

تُدمج هاتان الميزتان (وغيرهما) في معادلة ديراك النسبية ، مع تنبؤات تقترب أكثر من التجربة. ويمكن حل معادلة ديراك تحليليًا في حالة خاصة لنظام ثنائي الجسيمات، مثل ذرة الهيدروجين. ويجب تصنيف حالات الكم الناتجة عن الحل وفقًا لعدد الزخم الزاوي الكلي j (الناشئ عن اقتران الزخم الزاوي الدوراني للإلكترون مع الزخم الزاوي المداري ). وتظل الحالات التي لها نفس قيمة j ونفس قيمة n متماثلة في الطاقة. وبالتالي، يتنبأ الحل التحليلي المباشر لمعادلة ديراك بأن مستويي 2S(1/2 ) و 2 P ( 1/2 ) للهيدروجين لهما نفس الطاقة تمامًا، وهو ما يتعارض مع الملاحظات ( تجربة لامب - ريثرفورد ).

من أجل هذه التطورات، كان من الضروري التوصل إلى حل معادلة ديراك لذرة الهيدروجين بدقة، بحيث يجب أخذ أي انحراف يتم ملاحظته تجريبياً على محمل الجد كإشارة إلى فشل النظرية.

بدائل لنظرية شرودنغر

بلغة ميكانيكا المصفوفات لهايزنبرغ ، تم حل معادلة ذرة الهيدروجين لأول مرة بواسطة فولفغانغ باولي [ 15 ] باستخدام تناظر دوراني في أربعة أبعاد [تناظر O(4)] ناتج عن الزخم الزاوي ومتجه لابلاس-رونج-لينز . ​​وبتوسيع مجموعة التناظر O(4) إلى المجموعة الديناميكية O(4,2)، تم تضمين الطيف بأكمله وجميع الانتقالات في تمثيل مجموعة غير قابلة للاختزال. [ 16 ]

في عام 1979، تم حل معادلة ذرة الهيدروجين (غير النسبية) لأول مرة ضمن صياغة فاينمان للتكامل المساري في ميكانيكا الكم بواسطة دورو وكلاينرت. [ 17 ] [ 18 ] وقد وسّع هذا العمل نطاق تطبيق طريقة فاينمان بشكل كبير .

ومن النماذج البديلة الأخرى ميكانيكا بوم وصياغة هاميلتون-جاكوبي المعقدة لميكانيكا الكم .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ بالمر، د. (13 سبتمبر 1997). "الهيدروجين في الكون" . ناسا . مؤرشف من الأصل في 29 أكتوبر 2014. تم الاطلاع عليه في 23 فبراير 2017 .
  2. 1 2 هاوسكروفت، كاثرين إي.؛ شارب، آلان جي. (2005). الكيمياء غير العضوية ( الطبعة الثانية). بيرسون برنتيس هول. ص 237. ISBN   0130-39913-2.
  3. ↑ أولسن، جيمس؛ ماكدونالد، كيرك (7 مارس 2005). "العمر الكلاسيكي لذرة بور" (ملف PDF) . مختبرات جوزيف هنري، جامعة برينستون. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 9 سبتمبر 2019. تم الاطلاع عليه في 11 ديسمبر 2015 .
  4. ↑ "اشتقاق معادلات بور لذرة الإلكترون الواحد" (ملف PDF) . جامعة ماساتشوستس بوسطن.
  5. ↑ إيتي تيسينغا، بيتر جيه. موهر، ديفيد بي. نيويل، وباري إن. تايلور (2019)، "القيم الموصى بها من قِبل CODATA لعام 2018 للثوابت الفيزيائية الأساسية" (إصدار الويب 8.0). قاعدة البيانات من تطوير جيه. بيكر، إم. دوما، وإس . كوتوشيغوفا . متاحة على الرابط http://physics.nist.gov/constants ، المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا، غايثرسبيرغ، ماريلاند 20899. رابط إلى R∞ ، رابط إلى hcR∞
  6. ↑ "حل معادلة شرودنغر لذرة الهيدروجين :: الفيزياء الذرية :: موقع رودي وينتر الإلكتروني" . users.aber.ac.uk . تاريخ الاطلاع: 30 نوفمبر 2020 .  
  7. ↑ مسيح، ألبرت (1999). ميكانيكا الكم . نيويورك: دوفر. ص 1136. ISBN  0-486-40924-4.
  8. ↑ صفحة LaguerreL . Wolfram Mathematica
  9. ↑ غريفيث، ص 152
  10. ↑ كوندون وشورتلي (1963). نظرية الأطياف الذرية . لندن: كامبريدج. ص 441. 
  11. ↑ غريفيث، الفصل 4، صفحة 89
  12. ↑ برانسدن، ب.هـ؛ جواكين، س.ج. (1983). فيزياء الذرات والجزيئات . لونغمان . ص. الملحق 5. ISBN  0-582-44401-2.
  13. ^ سومرفيلد ، أرنولد (1919). Atombau und Spektrallinien [ التركيب الذري والخطوط الطيفية ] . براونشفايغ: فريدريش فيويغ وسون. رقم ISBN 3-87144-484-7.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) الألمانية الإنجليزية
  14. ↑ أتكينز ، بيتر؛ دي باولا، خوليو (2006). الكيمياء الفيزيائية ( الطبعة الثامنة). دبليو إتش فريمان. ص 349. ISBN   0-7167-8759-8.
  15. ^ باولي ، دبليو (1926). "Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik". Zeitschrift für Physik . 36 (5): 336– 363. بيب كود : 1926ZPhy...36..336P . دوى : 10.1007/BF01450175 . S2CID 128132824 . 
  16. ↑ كلاينرت هـ. (1968). "ديناميكيات المجموعة لذرة الهيدروجين" (ملف PDF) . محاضرات في الفيزياء النظرية، حررها دبليو إي بريتين وإيه أو باروت، جوردون وبريتش، نيويورك 1968 : 427-482 .
  17. ↑ دورو، آي إتش، وكلاينرت، إتش. (1979). "حل التكامل المساري لذرة الهيدروجين" (ملف PDF) . رسائل الفيزياء ب . 84 (2): 185-188 . Bibcode : 1979PhLB...84..185D . doi : 10.1016/0370-2693(79)90280-6 .
  18. ^ دورو آي إتش، كلاينرت هـ. (1982). “ميكانيكا الكم لـ H-Atom من تكاملات المسار” (PDF) . فورتشر. فيز . 30 (2): 401– 435. بيب كود : 1982ForPh..30..401D . دوى : 10.1002/prop.19820300802 .

الكتب

  • غريفيث، ديفيد ج. (1995). مقدمة في ميكانيكا الكم . برنتيس هول . ISBN 0-13-111892-7.يتناول القسم 4.2 ذرة الهيدروجين على وجه التحديد، ولكن الفصل 4 بأكمله ذو صلة.
  • كلاينرت، هـ. (2009). تكاملات المسار في ميكانيكا الكم، والإحصاء، وفيزياء البوليمرات، والأسواق المالية ، الطبعة الرابعة، Worldscibooks.com ، وورلد ساينتيفيك، سنغافورة (متوفر أيضًا عبر الإنترنت physik.fu-berlin.de )