عامل ذاتي الترافق

مؤثر ذاتي الترافق محدود${\displaystyle A:H\to H}$محدد في${\displaystyle \operatorname {Dom} \left(A\right)=H}$له الخصائص التالية: ^{[ 8 ] [ 9 ]}

• ${\displaystyle A:H\to \operatorname {Im} A\subseteq H}$تكون الصورة قابلة للعكس إذا كانت صورة${\displaystyle A}$كثيف في${\displaystyle H.}$
• معيار المؤثر يُعطى بواسطة${\displaystyle \left\|A\right\|=\sup \left\{|\langle x,Ax\rangle |:\|x\|=1\right\}}$
• لو${\displaystyle \lambda }$هي قيمة ذاتية لـ${\displaystyle A}$ثم${\displaystyle |\lambda |\leq \sup \left\{|\langle x,Ax\rangle |:\|x\|\leq 1\right\}}$القيم الذاتية حقيقية والمتجهات الذاتية المقابلة متعامدة.

لا تمتلك المؤثرات الذاتية المرافقة المحدودة بالضرورة قيمة ذاتية. مع ذلك، إذا${\displaystyle A}$إذا كان المؤثر ذاتي الترافق مضغوطًا، فإنه يمتلك دائمًا قيمة ذاتية.${\displaystyle |\lambda |=\|A\|}$والمتجه الذاتي المعياري المقابل. ^{[ 10 ]}

أولاً، دعونا${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ليكن فضاء قياس محدودًا من نوع σ و${\displaystyle h:X\to \mathbb {R} }$دالة قابلة للقياس على${\displaystyle X}$ثم يقوم المشغل${\displaystyle T_{h}:\operatorname {Dom} T_{h}\to L^{2}(X,\mu )}$، كما هو محدد بواسطة

${\displaystyle T_{h}\psi (x)=h(x)\psi (x),\quad \forall \psi \in \operatorname {Dom} T_{h},}$

أين

${\displaystyle \operatorname {Dom} T_{h}:=\left\{\psi \in L^{2}(X,\mu )\;|\;h\psi \in L^{2}(X,\mu )\right\},}$

يُطلق عليه اسم عامل الضرب . ^{[ 17 ]} أي عامل ضرب هو عامل ذاتي الترافق. ^{[ 18 ]}

ثانيًا، مشغلان${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$مع نطاقات كثيفة${\displaystyle \operatorname {Dom} A\subseteq H_{1}}$و${\displaystyle \operatorname {Dom} B\subseteq H_{2}}$في فضاءات هيلبرت${\displaystyle H_{1}}$و${\displaystyle H_{2}}$تكون هذه العمليات متكافئة وحدويًا إذا وفقط إذا كان هناك تحويل وحدوي.${\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}}$بحيث: ^{[ 19 ]}

• ${\displaystyle U\operatorname {Dom} A=\operatorname {Dom} B,}$
• ${\displaystyle UAU^{-1}\xi =B\xi ,\quad \forall \xi \in \operatorname {Dom} B.}$

إذا كانت متكافئة وحدوياً${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$إذا كانت محدودة،${\displaystyle \|A\|_{H_{1}}=\|B\|_{H_{2}}}$؛ لو${\displaystyle A}$إذا كان ذاتي الترافق، فإن كذلك${\displaystyle B}$.

تنطبق نظرية الطيف على كلٍ من المؤثرات الذاتية المرافقة المحدودة وغير المحدودة. ويُستنتج برهان الأخيرة من خلال اختزالها إلى نظرية الطيف للمؤثرات الوحدوية . ^{[ 21 ]} تجدر الإشارة إلى أنه إذا${\displaystyle T}$الضرب في${\displaystyle h}$ثم طيف${\displaystyle T}$إنها مجرد النطاق الأساسي لـ${\displaystyle h}$.

توجد أيضًا نسخ أكثر اكتمالًا من نظرية الطيف تتضمن تكاملات مباشرة وتحمل معها مفهوم "المتجهات الذاتية المعممة". ^{[ 22 ]}

أحد تطبيقات نظرية الطيف هو تعريف حساب التفاضل والتكامل الوظيفي . أي، إذا${\displaystyle f}$هي دالة على خط الأعداد الحقيقية و${\displaystyle T}$إذا كان مؤثرًا ذاتيًا مترافقًا، فإننا نرغب في تعريف المؤثر${\displaystyle f(T)}$تُظهر نظرية الطيف أنه إذا${\displaystyle T}$يُمثل كعامل الضرب بـ${\displaystyle h}$، ثم${\displaystyle f(T)}$هو عامل الضرب بالتركيب${\displaystyle f\circ h}$.

أحد الأمثلة من ميكانيكا الكم هو الحالة التي${\displaystyle T}$هو المؤثر الهاميلتوني${\displaystyle {\hat {H}}}$. لو${\displaystyle {\hat {H}}}$يمتلك أساسًا متعامدًا حقيقيًا من المتجهات الذاتية${\displaystyle e_{j}}$مع القيم الذاتية${\displaystyle \lambda _{j}}$، ثم${\displaystyle f({\hat {H}}):=e^{-it{\hat {H}}/\hbar }}$يمكن تعريفها بأنها المؤثر المحدود الوحيد ذو القيم الذاتية${\displaystyle f(\lambda _{j}):=e^{-it\lambda _{j}/\hbar }}$بحيث:

${\displaystyle f({\hat {H}})e_{j}=f(\lambda _{j})e_{j}.}$

يهدف حساب التفاضل والتكامل الوظيفي إلى توسيع هذه الفكرة لتشمل الحالة التي${\displaystyle T}$له طيف متصل (أي حيث${\displaystyle T}$(ليس له متجهات ذاتية قابلة للتطبيع).

جرت العادة على استخدام الرموز التالية

${\displaystyle \operatorname {E} (\lambda )=\mathbf {1} _{(-\infty ,\lambda ]}(T)}$

أين${\displaystyle \mathbf {1} _{(-\infty ,\lambda ]}}$هي دالة المؤشر للفترة${\displaystyle (-\infty ,\lambda ]}$تُسمى عائلة عوامل الإسقاط E(λ) بتحليل الهوية لـ T. علاوة على ذلك، يمكن إثبات تمثيل ستيلتجس التكاملي التالي لـ T :

${\displaystyle T=\int _{-\infty }^{+\infty }\lambda d\operatorname {E} (\lambda ).}$

في ميكانيكا الكم، يُستخدم ترميز ديراك كصيغة مشتركة لكل من نظرية الطيف وحساب بوريل الوظيفي . أي، إذا كان H ذاتي الترافق و f دالة بوريل ،

${\displaystyle f(H)=\int dE\left|\Psi _{E}\rangle f(E)\langle \Psi _{E}\right|}$

مع

${\displaystyle H\left|\Psi _{E}\right\rangle =E\left|\Psi _{E}\right\rangle }$

حيث يمتد التكامل على كامل طيف H. تشير هذه الصيغة إلى أن H مُقطَّرة بواسطة المتجهات الذاتية Ψ _E. هذه الصيغة شكلية بحتة . يشبه تحليل الهوية (الذي يُسمى أحيانًا مقاييس ذات قيم إسقاطية ) شكليًا الإسقاطات من الرتبة 1.${\displaystyle \left|\Psi _{E}\right\rangle \left\langle \Psi _{E}\right|}$في تدوين ديراك، تُوصف القياسات (الإسقاطية) باستخدام القيم الذاتية والحالات الذاتية ، وكلاهما كائنات شكلية بحتة. وكما هو متوقع، لا يصمد هذا الوصف عند الانتقال إلى حل معادلات الهوية. في الصيغة الأخيرة، تُوصف القياسات باستخدام المقياس الطيفي لـ${\displaystyle |\Psi \rangle }$إذا تم إعداد النظام في${\displaystyle |\Psi \rangle }$قبل القياس. بدلاً من ذلك، إذا رغب المرء في الحفاظ على مفهوم الحالات الذاتية وجعله دقيقًا، بدلاً من كونه شكليًا فقط، فيمكنه استبدال فضاء الحالة بفضاء هيلبرت مناسب .

إذا كانت f = 1 ، فإن النظرية يشار إليها باسم حل الوحدة:

${\displaystyle I=\int dE\left|\Psi _{E}\right\rangle \left\langle \Psi _{E}\right|}$

في هذه الحالة${\displaystyle H_{\text{eff}}=H-i\Gamma }$هو مجموع مؤثر هيرميتي H ومؤثر هيرميتي معكوس (انظر مصفوفة هيرميتية معكوسة )${\displaystyle -i\Gamma }$، يحدد المرء مجموعة الأساس المتعامدة الثنائية

${\displaystyle H_{\text{eff}}^{*}\left|\Psi _{E}^{*}\right\rangle =E^{*}\left|\Psi _{E}^{*}\right\rangle }$

واكتب نظرية الطيف على النحو التالي:

${\displaystyle f\left(H_{\text{eff}}\right)=\int dE\left|\Psi _{E}\right\rangle f(E)\left\langle \Psi _{E}^{*}\right|}$

(انظر تقسيم فيشباخ-فانو للسياق الذي تظهر فيه هذه المؤثرات في نظرية التشتت ).

لا تنطبق نظرية الطيف إلا على المؤثرات ذاتية الترافق، وليس بشكل عام على المؤثرات المتناظرة. ومع ذلك، يمكننا في هذه المرحلة تقديم مثال بسيط لمؤثر متناظر (وتحديدًا، مؤثر ذاتي الترافق جوهريًا) له أساس متعامد من المتجهات الذاتية. لنعتبر فضاء هيلبرت المركب L² [0,1] ^{والمؤثر} التفاضلي

${\displaystyle A=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}}$

مع${\displaystyle \mathrm {Dom} (A)}$تتألف من جميع الدوال f ذات القيم المركبة والقابلة للتفاضل بلا حدود على الفترة [0، 1] والتي تحقق الشروط الحدية

${\displaystyle f(0)=f(1)=0.}$

ثم يُظهر التكامل بالتجزئة للجداء الداخلي أن المصفوفة A متناظرة. ^{[ ملاحظة 1 ]} الدوال الذاتية للمصفوفة A هي الدوال الجيبية.

${\displaystyle f_{n}(x)=\sin(n\pi x)\qquad n=1,2,\ldots }$

مع القيم الذاتية الحقيقية n ² π ² ؛ وتنتج خاصية التعامد المعروفة لدوال الجيب كنتيجة لكون A متناظرًا.

يمكن ملاحظة أن للمؤثر A معكوسًا مضغوطًا ، مما يعني أن المعادلة التفاضلية المقابلة Af = g تُحل بواسطة مؤثر تكاملي (وبالتالي مضغوط) G. وبالتالي ، يمتلك المؤثر المتناظر المضغوط G عائلة قابلة للعد من المتجهات الذاتية الكاملة في ^L² . وينطبق الأمر نفسه على A.

يكون للمؤثر الذاتي المرافق A على H طيف نقطي نقي إذا وفقط إذا كان لـ H أساس متعامد { e _i } _{i ∈ I} يتكون من المتجهات الذاتية لـ A.

مثال . يحتوي الهاميلتوني للمذبذب التوافقي على جهد تربيعي V ، أي

${\displaystyle -\Delta +|x|^{2}.}$

يتميز هذا الهاميلتوني بطيف نقطي بحت؛ وهذا أمر شائع في الهاميلتونيات ذات الحالة المقيدة في ميكانيكا الكم. ^{[ 23 ]} وكما أشير في مثال سابق، فإن الشرط الكافي لكي يكون للمؤثر المتناظر غير المحدود متجهات ذاتية تشكل أساسًا في فضاء هيلبرت هو أن يكون له معكوس مضغوط.

في حالة كون فضاء هيلبرت فضاءً للدوال على نطاق محدود، فإن هذه الفروقات تتعلق بمسألة مألوفة في الفيزياء الكمومية: لا يمكن تعريف مؤثر - مثل مؤثر الزخم أو مؤثر هاميلتون - على نطاق محدود دون تحديد شروط حدودية . رياضياً، يُعادل اختيار الشروط الحدودية اختيار نطاق مناسب للمؤثر. لنأخذ، على سبيل المثال، فضاء هيلبرت${\displaystyle L^{2}([0,1])}$(فضاء الدوال القابلة للتكامل التربيعي على الفترة [0,1]). لنعرّف مؤثر الزخم A على هذا الفضاء بالصيغة المعتادة، مع وضع ثابت بلانك مساوياً لـ 1:

${\displaystyle Af=-i{\frac {df}{dx}}.}$

يجب علينا الآن تحديد نطاق لـ A ، وهو ما يعني اختيار الشروط الحدية. إذا اخترنا

${\displaystyle \operatorname {Dom} (A)=\left\{{\text{smooth functions}}\right\},}$

إذن فإن A ليست متناظرة (لأن حدود التكامل بالتجزئة لا تتلاشى).

إذا اخترنا

${\displaystyle \operatorname {Dom} (A)=\left\{{\text{smooth functions}}\,f\mid f(0)=f(1)=0\right\},}$

ثم باستخدام التكامل بالتجزئة، يمكن التحقق بسهولة من أن المؤثر A متناظر. مع ذلك، فإن هذا المؤثر ليس ذاتيًا مرافقًا بالضرورة، ^{[ 24 ]} وذلك أساسًا لأننا حددنا عددًا كبيرًا جدًا من الشروط الحدية على نطاق A ، مما يجعل نطاق المؤثر المرافق كبيرًا جدًا (انظر أيضًا المثال أدناه).

وبالتحديد، مع اختيار المجال المذكور أعلاه لـ A ، فإن مجال الإغلاق${\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}$من أ هو

${\displaystyle \operatorname {Dom} \left(A^{\mathrm {cl} }\right)=\left\{{\text{functions }}f{\text{ with two derivatives in }}L^{2}\mid f(0)=f(1)=0\right\},}$

بينما مجال المرافق${\displaystyle A^{*}}$من أ هو

${\displaystyle \operatorname {Dom} \left(A^{*}\right)=\left\{{\text{functions }}f{\text{ with two derivatives in }}L^{2}\right\}.}$

بمعنى آخر، يتمتع نطاق الإغلاق بنفس الشروط الحدية التي يتمتع بها نطاق A نفسه، مع افتراض أقل صرامة بشأن السلاسة. في الوقت نفسه، نظرًا لوجود "عدد كبير جدًا" من الشروط الحدية على A ، فإن هناك "عددًا قليلًا جدًا" (في الواقع، لا يوجد أي شرط حدي على الإطلاق في هذه الحالة) لـ${\displaystyle A^{*}}$إذا قمنا بحساب${\displaystyle \langle g,Af\rangle }$ل${\displaystyle f\in \operatorname {Dom} (A)}$باستخدام التكامل بالتجزئة، ثم بما أن${\displaystyle f}$تتلاشى عند طرفي الفترة، ولا توجد شروط حدودية على${\displaystyle g}$يلزم استخدام هذه الطرق لإلغاء الحدود في التكامل بالتجزئة. وبالتالي، فإن أي دالة سلسة بدرجة كافية${\displaystyle g}$يقع ضمن نطاق${\displaystyle A^{*}}$، مع${\displaystyle A^{*}g=-i\,dg/dx}$[ ^{25 ]​}

بما أن مجال الإغلاق ومجال المرافق لا يتطابقان، فإن A ليس ذاتيًا مرافقًا بالضرورة. ففي النهاية، تنص نتيجة عامة على أن مجال المرافق لـ${\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}$هو نفسه مجال المرافق لـ A. وبالتالي، في هذه الحالة، مجال المرافق لـ${\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}$أكبر من نطاق${\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}$نفسها، مما يدل على أن${\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}$ليس ذاتي الترافق، مما يعني بحكم التعريف أن A ليس ذاتي الترافق بشكل أساسي.

تكمن مشكلة المثال السابق في أننا فرضنا الكثير من الشروط الحدية على نطاق A. والخيار الأفضل للنطاق هو استخدام الشروط الحدية الدورية.

${\displaystyle \operatorname {Dom} (A)=\{{\text{smooth functions}}\,f\mid f(0)=f(1)\}.}$

في هذا المجال، تكون A ذاتية الترافق بشكل أساسي. ^{[ 26 ]}

في هذه الحالة، يمكننا فهم دلالات مسائل المجال بالنسبة لنظرية الطيف. إذا استخدمنا الخيار الأول للمجال (بدون شروط حدودية)، فإن جميع الدوال${\displaystyle f_{\beta }(x)=e^{\beta x}}$ل${\displaystyle \beta \in \mathbb {C} }$هي متجهات ذاتية، ذات قيم ذاتية${\displaystyle -i\beta }$وبالتالي، فإن الطيف هو المستوى المركب بأكمله. إذا استخدمنا الخيار الثاني للمجال (مع شروط حدودية من نوع ديريشليه)، فلن يكون للمصفوفة A أي متجهات ذاتية على الإطلاق. أما إذا استخدمنا الخيار الثالث للمجال (مع شروط حدودية دورية)، فيمكننا إيجاد أساس متعامد من المتجهات الذاتية للمصفوفة A ، وهي الدوال.${\displaystyle f_{n}(x):=e^{2\pi inx}}$وبالتالي، في هذه الحالة، يُعدّ إيجاد مجال بحيث تكون A ذاتية الترافق حلاً وسطاً: يجب أن يكون المجال صغيراً بما يكفي لكي تكون A متناظرة، ولكنه كبير بما يكفي لكي${\displaystyle D(A^{*})=D(A)}$.

يأتي مثالٌ أكثر دقةً للتمييز بين المؤثرات المتناظرة والمؤثرات ذاتية الترافق (بشكل أساسي) من مؤثرات شرودنغر في ميكانيكا الكم. إذا كانت طاقة الوضع شاذة - وخاصةً إذا كانت غير محدودة من الأسفل - فقد لا يكون مؤثر شرودنغر المرتبط بها ذاتي الترافق بشكل أساسي. في بُعد واحد، على سبيل المثال، المؤثر

${\displaystyle {\hat {H}}:={\frac {P^{2}}{2m}}-X^{4}}$

لا يكون هذا النظام مترافقًا ذاتيًا بالضرورة على فضاء الدوال الملساء سريعة التلاشي. ^{[ 27 ]} في هذه الحالة، يعكس فشل خاصية الترافق الذاتي الأساسية خللًا في النظام الكلاسيكي الأساسي: جسيم كلاسيكي ذو${\displaystyle -x^{4}}$يهرب الجهد إلى اللانهاية في زمن محدود. لا يمتلك هذا المؤثر مُرافقًا ذاتيًا فريدًا ، ولكنه يقبل امتدادات مُرافقة ذاتية يتم الحصول عليها بتحديد "شروط حدودية عند اللانهاية". (بما أن${\displaystyle {\hat {H}}}$بما أنه مؤثر حقيقي، فإنه يتبادل مع المرافق المركب. وبالتالي، فإن مؤشرات النقص متساوية تلقائيًا، وهو الشرط اللازم للحصول على امتداد ذاتي الترافق.

في هذه الحالة، إذا قمنا في البداية بتعريف${\displaystyle {\hat {H}}}$في فضاء الدوال الملساء سريعة التضاؤل، سيكون المؤثر المرافق هو نفس المؤثر (أي، معطى بنفس الصيغة) ولكن على أكبر نطاق ممكن، أي

${\displaystyle \operatorname {Dom} \left({\hat {H}}^{*}\right)=\left\{{\text{twice differentiable functions }}f\in L^{2}(\mathbb {R} )\left|\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}-x^{4}f(x)\right)\in L^{2}(\mathbb {R} )\right.\right\}.}$

ومن ثم يمكن إثبات ذلك${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$ليس عاملاً متناظراً، مما يعني بالضرورة أن${\displaystyle {\hat {H}}}$ليس بالضرورة أن يكون ذاتيًا مترافقًا. في الواقع،${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$يحتوي على متجهات ذاتية ذات قيم ذاتية تخيلية بحتة، ^{[ 28 ] [ 29 ]} وهو أمر مستحيل بالنسبة لمؤثر متناظر. هذا الظهور الغريب ممكن بسبب إلغاء الحدين في${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$توجد وظائف${\displaystyle f}$في مجال${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$والتي لا${\displaystyle d^{2}f/dx^{2}}$ولا${\displaystyle x^{4}f(x)}$يتم ذلك بشكل منفصل في${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$لكن اجتماعها في${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$هو في${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$وهذا يسمح بـ${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$أن يكون غير متماثل، على الرغم من أن كليهما${\displaystyle d^{2}/dx^{2}}$و${\displaystyle X^{4}}$هي مؤثرات متناظرة. لا يحدث هذا النوع من الإلغاء إذا استبدلنا الجهد التنافري${\displaystyle -x^{4}}$مع إمكانية التقييد${\displaystyle x^{4}}$.

في ميكانيكا الكم، تتوافق الكميات القابلة للرصد مع المؤثرات الذاتية المرافقة. وبحسب نظرية ستون حول الزمر الوحدوية ذات المعامل الواحد ، فإن المؤثرات الذاتية المرافقة هي تحديدًا المولدات المتناهية الصغر للزمر الوحدوية لمؤثرات التطور الزمني . مع ذلك، تُصاغ العديد من المسائل الفيزيائية على شكل معادلة تطور زمني تتضمن مؤثرات تفاضلية يكون الهاميلتوني فيها متناظرًا فقط. في مثل هذه الحالات، إما أن يكون الهاميلتوني ذاتيًا مرافقًا بشكل أساسي، وفي هذه الحالة يكون للمسألة الفيزيائية حلول فريدة، أو يُحاول المرء إيجاد امتدادات ذاتية مرافقة للهاميلتوني تتوافق مع أنواع مختلفة من الشروط الحدية أو الشروط عند اللانهاية.

مثال. مؤثر شرودنغر أحادي البعد ذو الجهد${\displaystyle V(x)=-(1+|x|)^{\alpha }}$تُعرَّف الدالة في البداية على دوال سلسة ذات دعم مضغوط، وهي ذاتية الترافق بشكل أساسي لـ 0 < α ≤ 2 ولكن ليس لـ α > 2. ^{[ 30 ] [ 31 ]}

فشل خاصية الترافق الذاتي الأساسية لـ${\displaystyle \alpha >2}$له نظير في الديناميكا الكلاسيكية للجسيم ذي الجهد${\displaystyle V(x)}$: يهرب الجسيم الكلاسيكي إلى اللانهاية في زمن محدود. ^{[ 32 ]}

مثال. لا يوجد مؤثر زخم ذاتي مرافق${\displaystyle p}$بالنسبة لجسيم يتحرك على نصف خط. ومع ذلك، فإن الهاميلتوني${\displaystyle p^{2}}$للجسيم "الحر" على نصف خط عدة امتدادات ذاتية الترافق تتوافق مع أنواع مختلفة من الشروط الحدية. فيزيائيًا، ترتبط هذه الشروط الحدية بانعكاسات الجسيم عند نقطة الأصل. ^{[ 33 ]}

سنبدأ أولاً بدراسة فضاء هيلبرت${\displaystyle L^{2}[0,1]}$والمؤثر التفاضلي

${\displaystyle D:\phi \mapsto {\frac {1}{i}}\phi '}$

معرفة على فضاء الدوال المركبة القابلة للتفاضل باستمرار على [0,1]، والتي تحقق الشروط الحدية

${\displaystyle \phi (0)=\phi (1)=0.}$

إذن _، D مؤثر متناظر كما يمكن إثباته بالتكامل بالتجزئة . تُعطى الفضاءات N ₊ و N- (المعرفة أدناه) على التوالي بالحلول التوزيعية للمعادلة

${\displaystyle {\begin{aligned}-iu'&=iu\\-iu'&=-iu\end{aligned}}}$

وهي تقع في ^{L² [} 0 , 1]. يمكن إثبات أن كل فضاء من فضاءات الحلول هذه أحادي البعد، مُوَلَّد بالدالتين x → e⁻x و x → e⁻x على التوالي. يُبين هذا أن D ليس ذاتيًا مترافقًا بالضرورة، ^{[ 34 ]} ولكنه يمتلك امتدادات ذاتية مترافقة. تُعَلم هذه الامتدادات الذاتية المترافقة بواسطة فضاء التطبيقات الوحدوية ^N⁺ → _N⁻ ، _والذي يُصادف في هذه الحالة أنه دائرة الوحدة T.

في هذه الحالة، يعود فشل خاصية الترافق الذاتي الأساسية إلى اختيار "غير صحيح" للشروط الحدية في تعريف نطاق${\displaystyle D}$. منذ${\displaystyle D}$بما أنه مؤثر من الدرجة الأولى، فإن شرطًا حدوديًا واحدًا فقط يكفي لضمان ذلك.${\displaystyle D}$متناظر. إذا استبدلنا شروط الحدود المذكورة أعلاه بشرط حدودي واحد

${\displaystyle \phi (0)=\phi (1)}$،

عندئذٍ، ستظل D متناظرة، وستكون في الواقع ذاتية الترافق بشكل أساسي. يُعطي هذا التغيير في الشروط الحدية امتدادًا ذاتيًا مترافقًا بشكل أساسي لـ D. وتنتج امتدادات أخرى ذاتية الترافق بشكل أساسي من فرض شروط حدية على النحو التالي:${\displaystyle \phi (1)=e^{i\theta }\phi (0)}$.

يوضح هذا المثال البسيط حقيقة عامة حول الامتدادات الذاتية المرافقة للمؤثرات التفاضلية المتناظرة P على مجموعة مفتوحة M. وهي تُحدد بواسطة التطبيقات الوحدوية بين فضاءات القيم الذاتية.

${\displaystyle N_{\pm }=\left\{u\in L^{2}(M):P_{\operatorname {dist} }u=\pm iu\right\}}$

حيث يمثل P _dist الامتداد التوزيعي لـ P.

سنقدم الآن مثالاً على المؤثرات التفاضلية ذات المعاملات الثابتة .

${\displaystyle P\left({\vec {x}}\right)=\sum _{\alpha }c_{\alpha }x^{\alpha }}$

ليكن متعدد حدود على R ⁿ بمعاملات حقيقية ، حيث يتراوح α على مجموعة (محدودة) من المؤشرات المتعددة . وبالتالي

${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$

و

${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}.}$

نستخدم أيضًا الترميز

${\displaystyle D^{\alpha }={\frac {1}{i^{|\alpha |}}}\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\partial _{x_{2}}^{\alpha _{2}}\cdots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}.}$

ثم المؤثر P (D) المعرف على فضاء الدوال القابلة للتفاضل بلا حدود ذات الدعم المدمج على R ⁿ بواسطة

${\displaystyle P(\operatorname {D} )\phi =\sum _{\alpha }c_{\alpha }\operatorname {D} ^{\alpha }\phi }$

هو في الأساس ذاتي الترافق على L ² ( R ⁿ ).

بشكل أعم، لننظر في المؤثرات التفاضلية الخطية التي تعمل على دوال ذات قيم مركبة قابلة للتفاضل بلا حدود ولها دعم مضغوط. إذا كانت M مجموعة جزئية مفتوحة من R ⁿ

${\displaystyle P\phi (x)=\sum _{\alpha }a_{\alpha }(x)\left[D^{\alpha }\phi \right](x)}$

حيث تمثل a و _α دوالًا قابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية (ليست بالضرورة ثابتة). P هو مؤثر خطي

${\displaystyle C_{0}^{\infty }(M)\to C_{0}^{\infty }(M).}$

يوجد عامل تفاضلي آخر مقابل P ، وهو المرافق الرسمي لـ P

${\displaystyle P^{\mathrm {*form} }\phi =\sum _{\alpha }D^{\alpha }\left({\overline {a_{\alpha }}}\phi \right)}$

نُعرّف أولاً التعددية المنتظمة :

التعريف . يكون للمؤثر الذاتي المرافق A تعدد منتظم n حيث n بحيث يكون 1 ≤ n ≤ ω إذا وفقط إذا كان A مكافئًا وحدويًا للمؤثر M _f للضرب بالدالة f ( λ ) = λ على

${\displaystyle L_{\mu }^{2}\left(\mathbf {R} ,\mathbf {H} _{n}\right)=\left\{\psi$ :\mathbf {R} \to \mathbf {H} _{n}:\psi {\text{ قابلة للقياس و }}\int _{\mathbf {R} }\|\psi (t)\|^{2}d\mu (t)<\infty \right\}}

حيث H _{_n} هو فضاء هيلبرت ذو بُعد n . يتكون مجال M_{_f} من دوال متجهة ψ على R بحيث

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }|\lambda |^{2}\ \|\psi (\lambda )\|^{2}\,d\mu (\lambda )<\infty .}$

تكون المقاييس غير السالبة القابلة للعد والجمع μ و ν مفردة بشكل متبادل إذا وفقط إذا كانت مدعومة على مجموعات بوريل منفصلة.

هذا التمثيل فريد من نوعه بالمعنى التالي: بالنسبة لأي تمثيلين من هذا القبيل لنفس A ، فإن المقاييس المقابلة متكافئة بمعنى أن لديهم نفس مجموعات القياس 0.

يمكن إعادة صياغة نظرية التعدد الطيفي باستخدام لغة التكاملات المباشرة لفضاءات هيلبرت:

بخلاف صيغة عامل الضرب لنظرية الطيف، فإن صيغة التكامل المباشر فريدة من نوعها بمعنى أن فئة تكافؤ القياس لـ μ (أو ما يكافئها من مجموعات ذات قياس 0) محددة بشكل فريد، والدالة القابلة للقياس${\displaystyle \lambda \mapsto \mathrm {dim} (H_{\lambda })}$يتم تحديدها تقريبًا في كل مكان بالنسبة إلى μ . ^{[ 36 ]} الدالة${\displaystyle \lambda \mapsto \operatorname {dim} \left(H_{\lambda }\right)}$هي دالة التعدد الطيفي للمؤثر.

يمكننا الآن ذكر نتيجة تصنيف المؤثرات ذاتية الترافق: يكون مؤثران ذاتيان الترافق متكافئين وحدويًا إذا وفقط إذا (1) تطابقت أطيافهما كمجموعات، (2) كانت المقاييس التي تظهر في تمثيلاتهما التكاملية المباشرة لها نفس مجموعات القياس الصفري، و(3) تطابقت دوال التعدد الطيفي الخاصة بهما تقريبًا في كل مكان فيما يتعلق بالقياس في التكامل المباشر. ^{[ 37 ]}

لابلاس على R ⁿ هو المؤثر

${\displaystyle \Delta =\sum _{i=1}^{n}\partial _{x_{i}}^{2}.}$

كما ذُكر سابقًا، يتم تحويل لابلاس إلى شكل قطري بواسطة تحويل فورييه. في الواقع، من الأنسب النظر إلى معكوس لابلاس −Δ لأنه كمؤثر غير سالب؛ (انظر المؤثر الإهليلجي ).