حالة سلسلة قابلة للعد

في نظرية الترتيب ، يقال إن المجموعة المرتبة جزئيًا X تحقق شرط السلسلة القابلة للعد ، أو أنها ccc ، إذا كانت كل سلسلة مضادة قوية في X قابلة للعد .

هناك شرطان أساسيان: شرط السلسلة القابلة للعد تصاعديًا وشرط السلسلة القابلة للعد تنازليًا . وهما ليسا متكافئين. فشرط السلسلة القابلة للعد يعني شرط السلسلة القابلة للعد تنازليًا، أي أنه لا يوجد عنصران لهما حد أدنى مشترك.

يُطلق على هذا اسم "شرط السلسلة القابلة للعد" بدلاً من المصطلح الأكثر منطقية "شرط السلسلة المضادة القابلة للعد"، وذلك لأسباب تاريخية تتعلق بسلاسل معينة من المجموعات المفتوحة في الفضاءات الطوبولوجية وسلاسل في الجبر البولياني الكامل ، حيث تتكافئ شروط السلسلة أحيانًا مع شروط السلسلة المضادة. على سبيل المثال، إذا كان κ عددًا أصليًا ، ففي الجبر البولياني الكامل، يكون حجم كل سلسلة مضادة أقل من κ إذا وفقط إذا لم يكن هناك تسلسل تنازلي من العناصر بطول κ ، وبالتالي فإن شروط السلسلة متكافئة مع شروط السلسلة المضادة.

تُستخدم الترتيبات الجزئية والفراغات التي تحقق شرط ccc في بيان بديهية مارتن .

في نظرية الإجبار ، تُستخدم الترتيبات الجزئية ccc لأن الإجبار بأي مجموعة عامة على مثل هذا الترتيب يحافظ على الأعداد الأصلية والنهائيات المشتركة . علاوة على ذلك، تُحفظ خاصية ccc بواسطة التكرارات ذات الدعم المحدود (انظر الإجبار المتكرر ). لمزيد من المعلومات حول ccc في سياق الإجبار، انظر الإجبار (نظرية المجموعات) §  شرط السلسلة القابلة للعد .

بشكل أعم، إذا كان κ عددًا أصليًا، يُقال إن مجموعة مرتبة جزئيًا تحقق شرط السلسلة κ ، والذي يُكتب أيضًا κ -cc، إذا كان حجم كل سلسلة مضادة قوية أقل من κ . أما شرط السلسلة القابلة للعد فهو شرط السلسلة ℵ ₁ .

يُقال إن الفضاء الطوبولوجي يحقق شرط السلسلة القابلة للعد، أو شرط سوسلين ، إذا كانت المجموعة المرتبة جزئيًا من المجموعات الفرعية المفتوحة غير الفارغة في X تحقق شرط السلسلة القابلة للعد، أي أن كل مجموعة منفصلة مثنى مثنى من المجموعات الفرعية المفتوحة غير الفارغة في X قابلة للعد. وقد اشتق الاسم من مسألة سوسلين .

• كل فضاء طوبولوجي قابل للفصل يمتلك خاصية ccc. علاوة على ذلك، فإن فضاء الضرب لعدد عشوائي من الفضاءات القابلة للفصل يمتلك خاصية ccc.
• الفضاء المتري له خاصية ccc إذا وفقط إذا كان قابلاً للفصل.
• بشكل عام، لا يشترط أن يكون الفضاء الطوبولوجي الذي يحتوي على ccc قابلاً للفصل. على سبيل المثال، مكعب كانتور${\displaystyle \{0,1\}^{\kappa }}$مع بنية المنتج، يكون ccc لأي عدد أساسي${\displaystyle \kappa }$، على الرغم من عدم إمكانية فصلها لـ${\displaystyle \kappa >{\mathfrak {c}}}$.
• المسافات شبه المدمجة ccc هي لينديلوف .
• ومن الأمثلة على الفضاء الطوبولوجي الذي يحتوي على ccc هو الخط الحقيقي.