المجموعات المنفصلة

في نظرية المجموعات في الرياضيات والمنطق الصوري ، يُقال إن مجموعتين منفصلتان إذا لم يكن بينهما أي عنصر مشترك. وبصورة مكافئة، مجموعتان منفصلتان هما مجموعتان تقاطعهما المجموعة الفارغة . ^{[ 1 ]} على سبيل المثال، {1، 2، 3} و{4، 5، 6} مجموعتان منفصلتان، بينما {1، 2، 3} و{3، 4، 5} ليستا منفصلتين. تُسمى مجموعة من مجموعتين أو أكثر منفصلة إذا كانت أي مجموعتين مختلفتين فيها منفصلتين.

يمكن توسيع تعريف المجموعات المنفصلة ليشمل عائلات المجموعات وعائلات المجموعات المفهرسة . وبحسب التعريف، تُسمى مجموعة من المجموعات عائلة مجموعات (مثل مجموعة القوى ، على سبيل المثال). في بعض المصادر، تُعرَّف هذه العائلة بأنها مجموعة من المجموعات، بينما تسمح مصادر أخرى بأن تكون مجموعة متعددة من المجموعات، مع تكرار بعض المجموعات. عائلة المجموعات المفهرسة${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I},}$هي بحكم تعريفها دالة متعددة القيم (أي أنها دالة تُسند مجموعة).${\displaystyle A_{i}}$لكل عنصر${\displaystyle i\in I}$في نطاقها) الذي نطاقه${\displaystyle I}$يُطلق عليها اسم مجموعة الفهارس (وتُسمى عناصر نطاقها بالفهارس ).

هناك تعريفان مختلفان بشكل طفيف لمصطلح "عائلة من المجموعات".${\displaystyle {\mathcal {F}}}$يُطلق على هذا النوع من المجموعات اسم "المجموعات المنفصلة ثنائياً" . وفقًا لأحد هذه التعريفات، تكون المجموعة منفصلة إذا كانت كل مجموعتين فيها إما متطابقتين أو منفصلتين. يسمح هذا التعريف بوجود نسخ مكررة من المجموعة نفسها في مجموعات المجموعات المنفصلة ثنائياً. بينما ينص تعريف بديل على أن كل مجموعتين في المجموعة يجب أن تكونا منفصلتين؛ ولا يُسمح بالنسخ المكررة. يمكن تطبيق التعريفين نفسيهما على مجموعة مفهرسة من المجموعات: وفقًا للتعريف الأول، يجب أن يشير كل فهرسين مختلفين في المجموعة إلى مجموعات منفصلة أو متطابقة، بينما وفقًا للتعريف الثاني، يجب أن يشير كل فهرسين مختلفين إلى مجموعات منفصلة. ^{[ 2 ]} على سبيل المثال، تُعتبر عائلة المجموعات { {0, 1, 2}, {3, 4, 5}, {6, 7, 8}, ... } منفصلة وفقًا لكلا التعريفين، وكذلك عائلة { {..., −2, 0, 2, 4, ...}, {..., −3, −1, 1, 3, 5} } لفئتي التكافؤ للأعداد الصحيحة. ومع ذلك، فإن عائلة${\displaystyle (\{n+2k\mid k\in \mathbb {Z} \})_{n\in \{0,1,\ldots ,9\}}}$تحتوي المجموعة المكونة من 10 أعضاء على خمسة تكرارات لكل من مجموعتين منفصلتين، لذا فهي منفصلة بشكل زوجي وفقًا للتعريف الأول ولكن ليس وفقًا للتعريف الثاني.

يُقال إن مجموعتين شبه منفصلتين إذا كان تقاطعهما صغيرًا بمعنى ما. على سبيل المثال، يمكن القول إن مجموعتين لانهائيتين تقاطعهما مجموعة منتهية شبه منفصلتين. ^{[ 3 ]}

في علم الطوبولوجيا ، توجد مفاهيم مختلفة للمجموعات المنفصلة بشروط أكثر صرامة من مجرد عدم التداخل. على سبيل المثال، يمكن اعتبار مجموعتين منفصلتين عندما يكون لهما إغلاقات منفصلة أو جوارات منفصلة . وبالمثل، في الفضاء المتري ، تُعرف المجموعات المنفصلة إيجابياً بأنها مجموعات تفصلها مسافة غير صفرية . ^{[ 4 ]}

يمكن التعبير عن عدم ترابط مجموعتين، أو عائلة من المجموعات، من حيث تقاطعات أزواج منها.

تكون المجموعتان A و B منفصلتين إذا وفقط إذا كان تقاطعهما${\displaystyle A\cap B}$هي المجموعة الفارغة . ^{[ 1 ]} ويترتب على هذا التعريف أن كل مجموعة منفصلة عن المجموعة الفارغة، وأن المجموعة الفارغة هي المجموعة الوحيدة المنفصلة عن نفسها. ^{[ 5 ]}

إذا احتوت مجموعة ما على مجموعتين على الأقل، فإن شرط كونها منفصلة يعني أن تقاطعها فارغ. مع ذلك، قد يكون تقاطع مجموعة من المجموعات فارغًا دون أن تكون منفصلة. إضافةً إلى ذلك، في حين أن مجموعة من أقل من مجموعتين منفصلة بشكل بديهي، لعدم وجود أزواج للمقارنة، فإن تقاطع مجموعة من مجموعة واحدة يساوي تلك المجموعة، التي قد تكون غير فارغة. ^{[ 2 ]} على سبيل المثال، المجموعات الثلاث {{1, 2}, {2, 3}, {1, 3}} لها تقاطع فارغ لكنها ليست منفصلة. في الواقع، لا توجد مجموعتان منفصلتان في هذه المجموعة.

تكون المجموعة الفارغة من المجموعات منفصلة مثنى مثنى. ^{[ 6 ]}

عائلة هيلي هي نظام من المجموعات التي لا تحتوي إلا على عائلات فرعية ذات تقاطعات فارغة، وهي العائلات المنفصلة مثنى مثنى. على سبيل المثال، تشكل الفترات المغلقة للأعداد الحقيقية عائلة هيلي: إذا كانت عائلة من الفترات المغلقة تحتوي على تقاطع فارغ وهي أصغرية (أي لا توجد عائلة فرعية من هذه العائلة تحتوي على تقاطع فارغ)، فلا بد أن تكون منفصلة مثنى مثنى. ^{[ 7 ]}

تجزئة المجموعة X هي أي مجموعة من المجموعات غير الفارغة المنفصلة التي يكون اتحادها هو X. ^{[ 8} ] يمكن وصف كل تجزئة بشكل مكافئ بعلاقة تكافؤ ، وهي علاقة ثنائية تحدد ما إذا كان عنصران ينتميان إلى نفس المجموعة في التجزئة. ^{[ 8 ]} تُعد هياكل بيانات المجموعات المنفصلة ^{[ 9 ]} وتحسين التجزئة ^{[ 10 ]} تقنيتين في علوم الحاسوب للحفاظ بكفاءة على تجزئات مجموعة ما، وذلك من خلال عمليات الاتحاد التي تدمج مجموعتين، أو عمليات التحسين التي تقسم مجموعة واحدة إلى مجموعتين ^.

قد يعني الاتحاد المنفصل أحد أمرين. ببساطة، قد يعني اتحاد مجموعات منفصلة. ^{[ 11 ]} ولكن إذا لم تكن مجموعتان أو أكثر منفصلتين بالفعل، فيمكن تكوين اتحادهما المنفصل بتعديل المجموعات لجعلها منفصلة قبل تكوين اتحاد المجموعات المعدلة. ^{[ 12 ]} على سبيل المثال، يمكن جعل مجموعتين منفصلتين باستبدال كل عنصر بزوج مرتب من العنصر وقيمة ثنائية تشير إلى ما إذا كان ينتمي إلى المجموعة الأولى أو الثانية. ^{[ 13 ]} بالنسبة لعائلات تتكون من أكثر من مجموعتين، يمكن استبدال كل عنصر بزوج مرتب من العنصر وفهرس المجموعة التي تحتوي عليه. ^{[ 14 ]}

• نظرية فصل المستويات الفائقة للمجموعات المحدبة المنفصلة
• أحداث حصرية متبادلة
• الأعداد الأولية النسبية ، وهي الأعداد التي لها مجموعات منفصلة من القواسم الأولية
• سيبارويد
• تعبئة المجموعات ، وهي مشكلة إيجاد أكبر مجموعة فرعية منفصلة من عائلة من المجموعات

• وايسشتاين، إريك دبليو. "المجموعات المنفصلة" . عالم الرياضيات .