مقياس العد

في الرياضيات ، وتحديداً في نظرية القياس ، يُعدّ قياس العدّ طريقة بديهية لوضع قياس على أي مجموعة – يُعتبر "حجم" المجموعة الجزئية هو عدد العناصر في المجموعة الجزئية إذا كانت المجموعة الجزئية تحتوي على عدد محدود من العناصر، و "اللانهاية"${\displaystyle \infty }$إذا كانت المجموعة الجزئية لانهائية . ^{[ 1 ]}

يمكن تعريف مقياس العد على أي فضاء قابل للقياس (أي أي مجموعة).${\displaystyle X}$إلى جانب جبر سيجما) ولكنه يُستخدم في الغالب على المجموعات القابلة للعد . ^{[ 1 ]}

في الترميز الرسمي، يمكننا تحويل أي مجموعة${\displaystyle X}$إلى مساحة قابلة للقياس عن طريق أخذ مجموعة القوى الخاصة بـ${\displaystyle X}$كجبر سيجما${\displaystyle \Sigma$ أي جميع المجموعات الفرعية من${\displaystyle X}$هي مجموعات قابلة للقياس. ثم يكون مقياس العد${\displaystyle \mu }$في هذه المساحة القابلة للقياس${\displaystyle (X,\Sigma )}$هو المقياس الإيجابي${\displaystyle \Sigma \to [0,+\infty ]}$محدد بواسطة $${\displaystyle \mu (A)={\begin{cases}\vert A\vert &{\text{إذا كانت }}A{\text{ محدودة}}\\+\infty &{\text{إذا كانت }}A{\text{ لانهائية}}\end{cases}}}$$ للجميع${\displaystyle A\in \Sigma ,}$أين${\displaystyle \vert A\vert }$يشير إلى عدد عناصر المجموعة${\displaystyle A.}$^{[ 2 ]}

مقياس العد على${\displaystyle (X,\Sigma )}$تكون الفضاءات منتهية من النوع σ إذا وفقط إذا${\displaystyle X}$قابل للعد . ^{[ 3 ]}

خذ مساحة القياس${\displaystyle (\mathbb {N} ,2^{\mathbb {N} },\mu )}$، أين${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}$هي مجموعة جميع المجموعات الجزئية من الأعداد الطبيعية و${\displaystyle \mu }$مقياس العد. خذ أي شيء قابل للقياس${\displaystyle f:\mathbb {N} \to [0,\infty ]}$كما هو مُعرَّف في${\displaystyle \mathbb {N} }$،${\displaystyle f}$يمكن تمثيلها نقطيًا على النحو التالي:$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)1_{\{n\}}(x)=\lim _{M\to \infty }\underbrace {\ \sum _{n=1}^{M}f(n)1_{\{n\}}(x)\ } _{\phi _{M}(x)}=\lim _{M\to \infty }\phi _{M}(x)}$$

كل${\displaystyle \phi _{M}}$قابل للقياس. علاوة على ذلك${\displaystyle \phi _{M+1}(x)=\phi _{M}(x)+f(M+1)\cdot 1_{\{M+1\}}(x)\geq \phi _{M}(x)}$. بل وأكثر من ذلك، كما هو الحال مع كل${\displaystyle \phi _{M}}$هي دالة بسيطة$$// _ {n=1}^{M}f(n)\cdot 1=\sum _{n=1}^{M}f(n)}$$وبالتالي، وفقًا لنظرية التقارب الرتيب $${\displaystyle \int _{\mathbb {N} }fd\mu =\lim _{M\to \infty }\int _{\mathbb {N} }\phi _{M}d\mu =\lim _{M\to \infty }\sum _{n=1}^{M}f(n)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$$

يُعدّ مقياس العدّ حالة خاصة من بنية أكثر عمومية. وباستخدام الترميز المذكور أعلاه، فإن أي دالة${\displaystyle f:X\to [0,\infty )}$يُعرّف مقياسًا${\displaystyle \mu }$على${\displaystyle (X,\Sigma )}$عبر $${\displaystyle \mu (A):=\sum _{a\in A}f(a)\quad {\text{ لجميع }}A\subseteq X,}$$ حيث يُعرَّف المجموع الذي قد يكون غير قابل للعد للأعداد الحقيقية بأنه القيمة العليا للمجاميع على جميع المجموعات الجزئية المنتهية، أي $${\displaystyle \sum _{y\,\in \,Y\!\ \subseteq \,\mathbb {R} }y\$$ := \sup _{F\subseteq Y,\,|F|<\infty }\left\{\sum _{y\in F}y\right\}.} مع أخذ${\displaystyle f(x)=1}$للجميع${\displaystyle x\in X}$يعطي مقياس العد.

• بيب (العد) - عناصر يسهل عدها 
• مقياس العد العشوائي – طريقة احتمالية لتخصيص الكميات عبر مساحة معينة. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• دالة المجموعة - دالة لتحويل المجموعات إلى أعداد