دالة المجموعة

دالة المجموعة${\displaystyle \mu }$على${\displaystyle {\mathcal {F}}}$يقال إنه ^{[ 1 ]}

• غير سالب إذا تم تقييمه في${\displaystyle [0,\infty ].}$
• خاصية الجمع المحدود إذا${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{n}F_{i}\right)}$لجميع المتتابعات المنتهية المنفصلة مثنى مثنى${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}}$بحيث${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{n}F_{i}\in {\mathcal {F}}.}$
  • لو${\displaystyle {\mathcal {F}}}$إذا كانت مغلقة في ظل الاتحادات الثنائية${\displaystyle \mu }$تكون جمعية منتهية إذا وفقط إذا${\displaystyle \mu (E\cup F)=\mu (E)+\mu (F)}$لجميع الأزواج المنفصلة${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}.}$
  • لو${\displaystyle \mu }$هي دالة جمعية نهائية، وإذا${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}$ثم أخذ${\displaystyle E:=F:=\varnothing }$يُظهر ذلك أن${\displaystyle \mu (\varnothing )=\mu (\varnothing )+\mu (\varnothing )}$وهذا لا يكون ممكناً إلا إذا${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$أو${\displaystyle \mu (\varnothing )=\pm \infty ,}$أما في الحالة الأخيرة،${\displaystyle \mu (E)=\mu (E\cup \varnothing )=\mu (E)+\mu (\varnothing )=\mu (E)+(\pm \infty )=\pm \infty }$لكل${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}$(لذا فقط في هذه الحالة)${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$مفيد).
• مادة مضافة قابلة للعد أوσ-جمعي ^{[ 2 ]} إذا كان بالإضافة إلى كونه جمعيًا بشكل محدود، لجميعالمتتالياتالمنفصلة زوجيًا${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \,}$في${\displaystyle {\mathcal {F}}}$بحيث${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\in {\mathcal {F}},}$جميع ما يلي ينطبق:
  1. ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$
     • تُعرَّف المتسلسلة على الجانب الأيسر بالطريقة المعتادة على أنها النهاية${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\displaystyle \lim _{n\to \infty }}\mu \left(F_{1}\right)+\cdots +\mu \left(F_{n}\right).}$
     • ونتيجة لذلك، إذا${\displaystyle \rho$ إذا كان `:\mathbb {N} \to \mathbb {N}` أي تبديل / تقابل، فإن${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{\rho (i)}\right);}$وذلك لأن${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}=\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{\rho (i)}}$ويضمن تطبيق هذا الشرط (أ) مرتين أن كلا${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$و${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{\rho (i)}\right)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{\rho (i)}\right)}$يُقال، بحسب التعريف، إن المتسلسلة المتقاربة التي تتمتع بهذه الخاصية متقاربة بلا شروط . بعبارة أخرى ، هذا يعني أنه بإعادة ترتيب/إعادة تسمية المجموعات${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots }$إلى النظام الجديد${\displaystyle F_{\rho (1)},F_{\rho (2)},\ldots }$لا يؤثر ذلك على مجموع مقاييسهم. وهذا أمر مرغوب فيه، لأنه تمامًا كما هو الحال في الاتحاد${\displaystyle F~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\textstyle \bigcup \limits _{i\in \mathbb {N} }F_{i}}$لا يعتمد ذلك على ترتيب هذه المجموعات، وينبغي أن ينطبق الأمر نفسه على المجاميع.${\displaystyle \mu (F)=\mu \left(F_{1}\right)+\mu \left(F_{2}\right)+\cdots }$و${\displaystyle \mu (F)=\mu \left(F_{\rho (1)}\right)+\mu \left(F_{\rho (2)}\right)+\cdots \,.}$
  2. لو${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$إذا لم تكن هذه السلسلة لانهائية، فإن هذه السلسلة${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)}$يجب أن تتقارب أيضاً تقارباً مطلقاً ، وهو ما يعني بحكم التعريف أن${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\left|\mu \left(F_{i}\right)\right|}$يجب أن تكون محدودة. هذا صحيح تلقائيًا إذا${\displaystyle \mu }$غير سالب (أو حتى يتم تقييمه فقط في الأعداد الحقيقية الموسعة).
     • كما هو الحال مع أي متسلسلة متقاربة من الأعداد الحقيقية، وبحسب نظرية ريمان للمتسلسلات ، فإن المتسلسلة${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)={\displaystyle \lim _{N\to \infty }}\mu \left(F_{1}\right)+\mu \left(F_{2}\right)+\cdots +\mu \left(F_{N}\right)}$يتقارب تقاربًا مطلقًا إذا وفقط إذا كان مجموعه لا يعتمد على ترتيب حدوده (وهي خاصية تُعرف بالتقارب غير المشروط ). وبما أن التقارب غير المشروط مضمون بموجب (أ) أعلاه، فإن هذا الشرط يكون صحيحًا تلقائيًا إذا${\displaystyle \mu }$تُقدّر قيمتها في${\displaystyle [-\infty ,\infty ].}$
  3. لو${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)}$إذا كانت السلسلة لانهائية، فإنه يشترط أيضًا أن تكون قيمة واحدة على الأقل من عناصرها${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in \mathbb {N} }{\mu \left(F_{i}\right)>0}}\mu \left(F_{i}\right)\;{\text{ and }}\;\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in \mathbb {N} }{\mu \left(F_{i}\right)<0}}\mu \left(F_{i}\right)\;}$يجب أن تكون محدودة (بحيث يكون مجموع قيمها مُعرَّفًا جيدًا). ​​وهذا صحيح تلقائيًا إذا${\displaystyle \mu }$غير سالب .
• أالقياس المسبق إذا كانغير سالب،وقابل للعد الجمعي(بما في ذلكالجمعي المحدود)، ولهمجموعة فارغة فارغة.
• أيُعرَّف المقياس بأنهدالة مجموعة قابلة للعد والجمع غير سالبة على جبر سيجما، ويكونمجالهاجبرمجموعة فارغة.
• أمقياس الاحتمالية إذا كان مقياسًا لهكتلةمن${\displaystyle 1.}$
• أنالمقياس الخارجي إذا كان غير سالب،وقابلًا للعد، ولهمجموعة فارغة، ولهمجموعة القوى${\displaystyle \wp (\Omega )}$باعتبارها مجالها.
  • تظهر المقاييس الخارجية في نظرية كاراثيودوري للتمديد ، وغالبًا ما تقتصر على المجموعات الفرعية القابلة للقياس وفقًا لكاراثيودوري.
• أالمقياس الموقّع إذا كان قابلاً للعد الجمعي، ولهمجموعة فارغة، و${\displaystyle \mu }$لا يتولى كلا الأمرين${\displaystyle -\infty }$و${\displaystyle +\infty }$كقيم.
• تكتمل إذا كانت كل مجموعة جزئية من كلمجموعة فارغةفارغة؛ وهذا يعني تحديدًا: كلما${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}{\text{ satisfies }}\mu (F)=0}$و${\displaystyle N\subseteq F}$هي أي مجموعة جزئية من${\displaystyle F}$ثم${\displaystyle N\in {\mathcal {F}}}$و${\displaystyle \mu (N)=0.}$
  • بخلاف العديد من الخصائص الأخرى، فإن الاكتمال يفرض متطلبات على المجموعة${\displaystyle \operatorname {domain} \mu ={\mathcal {F}}}$(وليس فقط على${\displaystyle \mu }$قيم 's).
• تكون المجموعة منتهية من النوع 𝜎 إذا وُجدت متتالية${\displaystyle F_{1},F_{2},F_{3},\ldots \,}$في${\displaystyle {\mathcal {F}}}$بحيث${\displaystyle \mu \left(F_{i}\right)}$تكون محدودة لكل فهرس${\displaystyle i,}$وأيضًا${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }F_{n}=\textstyle \bigcup \limits _{F\in {\mathcal {F}}}F.}$
• قابلة للتحليل إذا وُجدت عائلة فرعية${\displaystyle {\mathcal {P}}\subseteq {\mathcal {F}}}$من المجموعات المنفصلة مثنى مثنى بحيث${\displaystyle \mu (P)}$محدود لكل${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$وأيضًا${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{P\in {\mathcal {P}}}\,P=\textstyle \bigcup \limits _{F\in {\mathcal {F}}}F}$(أين${\displaystyle {\mathcal {F}}=\operatorname {domain} \mu }$).
  • كل دالة لمجموعة منتهية من الرتبة 𝜎 قابلة للتحليل، ولكن ليس العكس. على سبيل المثال، مقياس العد على${\displaystyle \mathbb {R} }$(الذي نطاقه${\displaystyle \wp (\mathbb {R} )}$) قابلة للتحليل ولكنها ليست منتهية بالنسبة لـ 𝜎 .
• أقياس متجه إذا كانت دالة مجموعة قابلة للعد والجمع${\displaystyle \mu$ {\mathcal {F}}\to X} ذات قيم في فضاء متجهي طوبولوجي${\displaystyle X}$(مثل الفضاء المعياري ) الذي يكون نطاقه عبارة عن جبر سيجما .
  • لو${\displaystyle \mu }$يتم تقييمها في فضاء معياري${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$إذن، تكون قابلة للعد والإضافة إذا وفقط إذا كان لأي متتالية منفصلة مثنى مثنى${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \,}$في${\displaystyle {\mathcal {F}},}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|\mu \left(F_{1}\right)+\cdots +\mu \left(F_{n}\right)-\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)\right\|=0.}$لو${\displaystyle \mu }$إذا كانت المتتالية ذات خاصية الجمع المحدود وقيمتها في فضاء باناخ، فإنها تكون قابلة للعد الجمعي إذا وفقط إذا كان لأي متتالية منفصلة مثنى مثنى${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \,}$في${\displaystyle {\mathcal {F}},}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|\mu \left(F_{n}\cup F_{n+1}\cup F_{n+2}\cup \cdots \right)\right\|=0.}$
• أمقياس مركب إذا كاندالة مجموعة ذات قيممركبة${\displaystyle \mu$ :{\mathcal {F}}\to \mathbb {C} } الذي مجاله هو جبر سيجما .
  • بحكم التعريف، لا يأخذ المقياس المعقد أبدًا${\displaystyle \pm \infty }$كقيمة، وبالتالي فإن لها مجموعة فارغة فارغة .
• أمقياس عشوائي إذا كانعنصرًا عشوائيًا.

مبالغ عشوائية

كما هو موضح في قسم المتسلسلات المعممة في هذه المقالة ، لأي عائلة${\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i\in I}}$من الأعداد الحقيقية المفهرسة بواسطة مجموعة فهرسة عشوائية${\displaystyle I,}$من الممكن تحديد مجموعها${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$باعتبارها نهاية محصلة المجاميع الجزئية المحدودة${\displaystyle F\in \operatorname {FiniteSubsets} (I)\mapsto \textstyle \sum \limits _{i\in F}r_{i}}$حيث المجال${\displaystyle \operatorname {FiniteSubsets} (I)}$من إخراج​${\displaystyle \,\subseteq .\,}$ عندما تتقارب هذه الشبكة ، يُشار إلى نهايتها بالرموز التالية:${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$أما إذا تباعدت هذه الشبكة بدلاً من ذلك إلى${\displaystyle \pm \infty }$ويمكن الإشارة إلى ذلك عن طريق الكتابة${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}=\pm \infty .}$ أي مجموع على المجموعة الفارغة يُعرَّف بأنه يساوي صفرًا؛ أي، إذا${\displaystyle I=\varnothing }$ثم${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in \varnothing }r_{i}=0}$بحسب التعريف.

على سبيل المثال، إذا${\displaystyle z_{i}=0}$لكل${\displaystyle i\in I}$ثم${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}z_{i}=0.}$ ويمكن إثبات ذلك${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}=\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}=0}}r_{i}+\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}\neq 0}}r_{i}=0+\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}\neq 0}}r_{i}=\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}\neq 0}}r_{i}.}$ لو${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ثم السلسلة المعممة${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$يتقارب في${\displaystyle \mathbb {R} }$إذا وفقط إذا${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }r_{i}}$تتقارب بشكل غير مشروط (أو ما يعادله، تتقارب بشكل مطلق ) بالمعنى المعتاد. إذا كانت متسلسلة معممة${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$يتقارب في${\displaystyle \mathbb {R} }$ثم كلاهما${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}>0}}r_{i}}$و${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}<0}}r_{i}}$كما أنها تتقارب مع عناصر من${\displaystyle \mathbb {R} }$والمجموعة${\displaystyle \left\{i\in I:r_{i}\neq 0\right\}}$هو بالضرورة قابل للعد (أي إما محدود أو غير محدود قابل للعد )؛ ويبقى هذا صحيحًا إذا${\displaystyle \mathbb {R} }$يُستبدل بأي فضاء معياري . ^{[ البرهان 1 ]} ويترتب على ذلك أنه لكي تكون متسلسلة معممة${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$للتقارب في${\displaystyle \mathbb {R} }$أو${\displaystyle \mathbb {C} ,}$من الضروري أن يكون جميعهم، باستثناء عدد قليل منهم على الأكثر${\displaystyle r_{i}}$سيكون مساوياً لـ${\displaystyle 0,}$وهذا يعني أن${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}~=~\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}\neq 0}}r_{i}}$هو مجموع عدد لا نهائي من الحدود غير الصفرية. بعبارة أخرى، إذا${\displaystyle \left\{i\in I:r_{i}\neq 0\right\}}$إذا كانت غير قابلة للعد، فإن السلسلة المعممة${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$لا تتقارب.

باختصار، نظرًا لطبيعة الأعداد الحقيقية وطوبولوجيتها، يمكن اختزال أي متسلسلة معممة من الأعداد الحقيقية (مفهرسة بمجموعة اختيارية) متقاربة إلى متسلسلة عادية متقاربة مطلقًا من عدد معدود من الأعداد الحقيقية. لذا، في سياق نظرية القياس، لا يُستفاد كثيرًا من دراسة عدد غير معدود من المجموعات والمتسلسلات المعممة. ولهذا السبب تحديدًا، نادرًا ما يُعمم تعريف " الجمع المعدود " من نطاق المجموعات المعدودة.${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \,}$في${\displaystyle {\mathcal {F}}}$(وسلسلة العدّ المعتادة)${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)}$) إلى العديد من المجموعات بشكل تعسفي${\displaystyle \left(F_{i}\right)_{i\in I}}$(والمتسلسلة المعممة)${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}\mu \left(F_{i}\right)}$).

دالة المجموعة${\displaystyle \mu }$يقال إنه يفي بـ ^{[ 1 ]}

• رتيب إذا${\displaystyle \mu (E)\leq \mu (F)}$حينما${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}}$مُرضٍ${\displaystyle E\subseteq F.}$
• تكون الوحدة نمطية إذا استوفت الشرط التالي، المعروف باسمالنمطية:${\displaystyle \mu (E\cup F)+\mu (E\cap F)=\mu (E)+\mu (F)}$للجميع${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}}$بحيث${\displaystyle E\cup F,E\cap F\in {\mathcal {F}}.}$
  • كل دالة جمعية محدودة على حقل من المجموعات هي دالة نمطية.
  • في الهندسة، تُعرف دالة المجموعة التي لها قيم في شبه زمرة أبيلية وتتمتع بهذه الخاصية باسم " التقييم ". يجب عدم الخلط بين هذا التعريف الهندسي لـ"التقييم" والتعريف الأقوى لـ"التقييم" في نظرية القياس غير المتكافئة، والذي يرد أدناه .
• شبه معياري إذا${\displaystyle \mu (E\cup F)+\mu (E\cap F)\leq \mu (E)+\mu (F)}$للجميع${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}}$بحيث${\displaystyle E\cup F,E\cap F\in {\mathcal {F}}.}$
• شبه جمعية نهائية إذا${\displaystyle |\mu (F)|\leq \textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\left|\mu \left(F_{i}\right)\right|}$لجميع المتتابعات المنتهية${\displaystyle F,F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}}$ذلك يرضي${\displaystyle F\;\subseteq \;\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{n}F_{i}.}$
• قابل للعد الفرعي الجمعي أوشبه جمعي σ إذا${\displaystyle |\mu (F)|\leq \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\left|\mu \left(F_{i}\right)\right|}$لجميع التسلسلات${\displaystyle F,F_{1},F_{2},F_{3},\ldots \,}$في${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ذلك يرضي${\displaystyle F\;\subseteq \;\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}.}$
  • لو${\displaystyle {\mathcal {F}}}$إذا كانت المجموعة مغلقة تحت الاتحادات المنتهية، فإن هذا الشرط يتحقق إذا وفقط إذا${\displaystyle |\mu (F\cup G)|\leq |\mu (F)|+|\mu (G)|}$للجميع${\displaystyle F,G\in {\mathcal {F}}.}$لو${\displaystyle \mu }$إذا كانت القيمة غير سالبة، فيمكن حذف القيم المطلقة.
  • لو${\displaystyle \mu }$إذا كان مقياسًا، فإن هذا الشرط يتحقق إذا وفقط إذا${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)\leq \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)}$للجميع${\displaystyle F_{1},F_{2},F_{3},\ldots \,}$في${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$^{[ 3 ]} إذا${\displaystyle \mu }$إذا كان مقياس احتمالية ، فإن هذه المتباينة هي متباينة بول .
  • لو${\displaystyle \mu }$هي قابلة للعد الفرعي الجمعي و${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}$مع${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$ثم${\displaystyle \mu }$هي دالة فرعية محدودة .
• مضاف فائق إذا${\displaystyle \mu (E)+\mu (F)\leq \mu (E\cup F)}$حينما${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}}$منفصلة عن${\displaystyle E\cup F\in {\mathcal {F}}.}$
• مستمر من الأعلى إذا${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$لجميع المتتاليات غير المتزايدة من المجموعات${\displaystyle F_{1}\supseteq F_{2}\supseteq F_{3}\cdots \,}$في${\displaystyle {\mathcal {F}}}$بحيث${\displaystyle \textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\in {\mathcal {F}}}$مع${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$وكل شيء${\displaystyle \mu \left(F_{i}\right)}$محدود.
  • مقياس ليبيغ${\displaystyle \lambda }$تكون متصلة من الأعلى، ولكنها لن تكون كذلك إذا افترضنا أن جميع${\displaystyle \mu \left(F_{i}\right)}$تم حذف عبارة "محدود في النهاية" من التعريف، كما يوضح هذا المثال: لكل عدد صحيح${\displaystyle i,}$يترك${\displaystyle F_{i}}$ليكن الفاصل الزمني المفتوح${\displaystyle (i,\infty )}$لهذا السبب.${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lambda \left(F_{i}\right)=\lim _{n\to \infty }\infty =\infty \neq 0=\lambda (\varnothing )=\lambda \left(\textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$أين${\displaystyle \textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}=\varnothing .}$
• مستمر من الأسفل إذا${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$لجميع المتتاليات غير المتناقصة من المجموعات${\displaystyle F_{1}\subseteq F_{2}\subseteq F_{3}\cdots \,}$في${\displaystyle {\mathcal {F}}}$بحيث${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\in {\mathcal {F}}.}$
• يتم الاقتراب من اللانهاية من الأسفل إذا كان كلما${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$يرضي${\displaystyle \mu (F)=\infty }$ثم لكل حقيقي${\displaystyle r>0,}$يوجد بعض${\displaystyle F_{r}\in {\mathcal {F}}}$بحيث${\displaystyle F_{r}\subseteq F}$و${\displaystyle r\leq \mu \left(F_{r}\right)<\infty .}$
• مقياس خارجي إذا${\displaystyle \mu }$هي غير سالبة، قابلة للعد ، ولها مجموعة فارغة ، ولها مجموعة القوى${\displaystyle \wp (\Omega )}$باعتبارها مجالها.
• أنالمقياس الداخلي إذا${\displaystyle \mu }$غير سالبة، وفوق الجمعية ، ومتصلة من الأعلى ، ولها مجموعة فارغة ، ولها مجموعة القوى${\displaystyle \wp (\Omega )}$باعتبارها مجالها، و${\displaystyle +\infty }$يتم الاقتراب منه من الأسفل .
• ذري إذا كانت كل مجموعة قابلة للقياس ذات قياس موجب تحتوي على ذرة .

إذا كانت عملية ثنائية${\displaystyle \,+\,}$إذا تم تعريفها، فإن دالة المجموعة${\displaystyle \mu }$يقال إنه

• ثابت تحت الإزاحة إذا${\displaystyle \mu (\omega +F)=\mu (F)}$للجميع${\displaystyle \omega \in \Omega }$و${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$بحيث${\displaystyle \omega +F\in {\mathcal {F}}.}$

لو${\displaystyle \tau }$هي طوبولوجيا على${\displaystyle \Omega }$ثم دالة المجموعة${\displaystyle \mu }$يقال إنه:

• أمقياس بوريل إذا كان مقياسًا معرفًا على جبر سيجما لجميعمجموعات بوريل، وهو أصغر جبر سيجما يحتوي على جميع المجموعات الفرعية المفتوحة (أي التي تحتوي على${\displaystyle \tau }$).
• أمقياس باير إذا كان مقياسًا معرفًا على الجبر σ لجميعمجموعات باير.
• تكون محدودة محليًا إذا كان لكل نقطة${\displaystyle \omega \in \Omega }$يوجد بعض الأحياء${\displaystyle U\in {\mathcal {F}}\cap \tau }$من هذه النقطة بحيث${\displaystyle \mu (U)}$محدود.
  • لو${\displaystyle \mu }$إذا كانت دالة جمعية منتهية، ورتيبة، ومحدودة محليًا،${\displaystyle \mu (K)}$تكون بالضرورة محدودة لكل مجموعة جزئية مدمجة قابلة للقياس${\displaystyle K.}$
• ${\displaystyle \tau }$-إضافي إذا${\displaystyle \mu \left({\textstyle \bigcup }\,{\mathcal {D}}\right)=\sup _{D\in {\mathcal {D}}}\mu (D)}$حينما${\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq \tau \cap {\mathcal {F}}}$موجه فيما يتعلق بـ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ويرضي${\displaystyle {\textstyle \bigcup }\,{\mathcal {D}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\textstyle \bigcup \limits _{D\in {\mathcal {D}}}D\in {\mathcal {F}}.}$
  • ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$موجه فيما يتعلق بـ${\displaystyle \,\subseteq \,}$إذا وفقط إذا لم تكن فارغة ولجميع${\displaystyle A,B\in {\mathcal {D}}}$يوجد بعض${\displaystyle C\in {\mathcal {D}}}$بحيث${\displaystyle A\subseteq C}$و${\displaystyle B\subseteq C.}$
• منتظم داخلي أوضيق إذا كان لكل${\displaystyle F\in {\mathcal {F}},}$${\displaystyle \mu (F)=\sup\{\mu (K):F\supseteq K{\text{ with }}K\in {\mathcal {F}}{\text{ a compact subset of }}(\Omega ,\tau )\}.}$
• منتظم خارجي إذا كان لكل${\displaystyle F\in {\mathcal {F}},}$${\displaystyle \mu (F)=\inf\{\mu (U):F\subseteq U{\text{ and }}U\in {\mathcal {F}}\cap \tau \}.}$
• منتظم إذا كان منتظمًا داخليًا ومنتظمًا خارجيًا.
• أمقياس بوريل العادي إذا كان مقياس بوريل عاديًاأيضًا.
• أمقياس رادون إذا كان مقياسًا منتظمًا ومحدودًا محليًا.
• موجب تمامًا إذا كان لكل مجموعة فرعية مفتوحة غير فارغة مقياس موجب (بشكل صارم).
• أالتقييم إذا كان غير سالب،ورتيب،ونمطي، ولهمجموعة فارغة، وله مجال${\displaystyle \tau .}$

لو${\displaystyle \mu }$و${\displaystyle \nu }$هما دالتان للمجموعات على${\displaystyle \Omega ,}$ثم:

• ${\displaystyle \mu }$يقال إنهبشكل مستمر تماماً فيما يتعلق بـ${\displaystyle \nu }$أو يهيمن عليها${\displaystyle \nu }$، مكتوب${\displaystyle \mu \ll \nu ,}$إذا كان لكل مجموعة${\displaystyle F}$ذلك ينتمي إلى مجال كليهما${\displaystyle \mu }$و${\displaystyle \nu ,}$لو${\displaystyle \nu (F)=0}$ثم${\displaystyle \mu (F)=0.}$
  • لو${\displaystyle \mu }$و${\displaystyle \nu }$نكون${\displaystyle \sigma }$- قياسات محدودة على نفس الفضاء القابل للقياس، وإذا${\displaystyle \mu \ll \nu ,}$ثم مشتق رادون-نيكوديم${\displaystyle {\frac {d\mu }{d\nu }}}$موجود ولكل قابل للقياس${\displaystyle F,}$$${\displaystyle \mu (F)=\int _{F}{\frac {d\mu }{d\nu }}d\nu .}$$
• ${\displaystyle \mu }$و${\displaystyle \nu }$تم الاتصال بـمتكافئة إذا كانت كل واحدة منهامتصلة بشكل مطلقبالنسبة للأخرى. ${\displaystyle \mu }$يُطلق عليه اسممقياس داعم لمقياس${\displaystyle \nu }$لو${\displaystyle \mu }$يكون${\displaystyle \sigma }$-محدودة ومتكافئة. ^{[ 4 ]}
• ${\displaystyle \mu }$و${\displaystyle \nu }$نكونمفرد ، مكتوب${\displaystyle \mu \perp \nu ,}$إذا وُجدت مجموعات منفصلة${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$في مجالات${\displaystyle \mu }$و${\displaystyle \nu }$بحيث${\displaystyle M\cup N=\Omega ,}$${\displaystyle \mu (F)=0}$للجميع${\displaystyle F\subseteq M}$في مجال${\displaystyle \mu ,}$و${\displaystyle \nu (F)=0}$للجميع${\displaystyle F\subseteq N}$في مجال${\displaystyle \nu .}$

مقياس ليبيغ بشأن${\displaystyle \mathbb {R} }$هي دالة مجموعة تُسند عددًا حقيقيًا غير سالب لكل مجموعة من الأعداد الحقيقية التي تنتمي إلى مجموعة لوبيغ.${\displaystyle \sigma }$-الجبر. ^{[ 5 ]}

يبدأ تعريفها بالمجموعة${\displaystyle \operatorname {Intervals} (\mathbb {R} )}$من جميع فترات الأعداد الحقيقية، وهو شبه جبر على${\displaystyle \mathbb {R} .}$ الدالة التي تُسند إلى كل فترة${\displaystyle I}$إنه${\displaystyle \operatorname {length} (I)}$هي دالة مجموعة جمعية منتهية (بشكل صريح، إذا${\displaystyle I}$يحتوي على نقاط نهاية${\displaystyle a\leq b}$ثم${\displaystyle \operatorname {length} (I)=b-a}$يمكن توسيع دالة المجموعة هذه لتشمل مقياس ليبيغ الخارجي على${\displaystyle \mathbb {R} ,}$وهي دالة المجموعة الثابتة تحت الإزاحة${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}:\wp (\mathbb {R} )\to [0,\infty ]}$يرسل ذلك مجموعة فرعية${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} }$إلى أدنى حد$${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\operatorname {length} (I_{k}):{(I_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ is a sequence of open intervals with }}E\subseteq \bigcup _{k=1}^{\infty }I_{k}\right\}.}$$ مقياس ليبيغ الخارجي ليس قابلاً للعد الجمعي (وبالتالي فهو ليس مقياسًا) على الرغم من تقييده على جبر 𝜎 لجميع المجموعات الجزئية${\displaystyle M\subseteq \mathbb {R} }$التي تستوفي معيار كاراثيودوري : $${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(M)=\lambda ^{\!*\!}(M\cap E)+\lambda ^{\!*\!}(M\cap E^{c})\quad {\text{ for every }}S\subseteq \mathbb {R} }$$ هو مقياس يُسمى مقياس ليبيغ . مجموعات فيتالي هي أمثلة على مجموعات الأعداد الحقيقية غير القابلة للقياس .

المقياس الوحيد غير المتغير مع الإزاحة على${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} }$مع النطاق${\displaystyle \wp (\mathbb {R} )}$وهي محدودة على كل مجموعة جزئية مضغوطة من${\displaystyle \mathbb {R} }$دالة المجموعة التافهة${\displaystyle \wp (\mathbb {R} )\to [0,\infty ]}$وهو يساوي تمامًا${\displaystyle 0}$(أي أنه يرسل كل${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} }$ل${\displaystyle 0}$[ ^{6 ] مع ذلك، إذا تم إضعاف خاصية الجمع المعدود إلى خاصية الجمع المحدود ،} فإن دالة مجموعة غير تافهة بهذه الخصائص موجودة بالفعل، بل إن بعضها له قيم في${\displaystyle [0,1].}$في الواقع، ستوجد مثل هذه الدوال الجماعية غير التافهة حتى لو${\displaystyle \mathbb {R} }$يتم استبدالها بأي مجموعة أبيلية أخرى${\displaystyle G.}$^{[ 7 ]}

لنفترض أن${\displaystyle \mu }$هي دالة مجموعة على شبه جبر${\displaystyle {\mathcal {F}}}$زيادة${\displaystyle \Omega }$ودع $${\displaystyle \operatorname {algebra} ({\mathcal {F}}):=\left\{F_{1}\sqcup \cdots \sqcup F_{n}:n\in \mathbb {N} {\text{ and }}F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}{\text{ are pairwise disjoint }}\right\},}$$ وهو الجبر على${\displaystyle \Omega }$تم إنشاؤه بواسطة${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ المثال النموذجي للجبر شبه الذي ليس جبرًا هو عائلة $${\displaystyle {\mathcal {S}}_{d}:=\{\varnothing \}\cup \left\{\left(a_{1},b_{1}\right]\times \cdots \times \left(a_{1},b_{1}\right]~:~-\infty \leq a_{i}<b_{i}\leq \infty {\text{ for all }}i=1,\ldots ,d\right\}}$$ على${\displaystyle \Omega$ :=\mathbb {R} ^{d}} حيث${\displaystyle (a,b]:=\{x\in \mathbb {R} :a<x\leq b\}}$للجميع${\displaystyle -\infty \leq a<b\leq \infty .}$^{[ 9 ]} والأهم من ذلك، أن المتباينتين غير الصارمتين${\displaystyle \,\leq \,}$في${\displaystyle -\infty \leq a_{i}<b_{i}\leq \infty }$لا يمكن استبدالها بتفاوتات صارمة${\displaystyle \,<\,}$بما أن الجبر الجزئي يجب أن يحتوي على المجموعة الأساسية بأكملها${\displaystyle \mathbb {R} ^{d};}$إنه،${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}\in {\mathcal {S}}_{d}}$يُعدّ شرطًا من شروط الجبر الجزئي (كما هو الحال)${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {S}}_{d}}$).