تغطية (الجبر)

في الجبر المجرد ، الغطاء هو مثال واحد لبنية رياضية ما يُسقط على مثال آخر، مثل زمرة (بشكل بديهي) تغطي زمرة جزئية . يجب عدم الخلط بين هذا المفهوم ومفهوم الغطاء في علم الطوبولوجيا .

عندما يُقال إن كائنًا ما X يُغطي كائنًا آخر Y ، فإن هذا الغطاء يُحدد بواسطة دالة شاملة تحافظ على البنية f  : X → Y. يعتمد المعنى الدقيق لـ "الحفاظ على البنية" على نوع البنية الرياضية التي يُمثلها X و Y. ولجعل الغطاء ذا أهمية، فإنه عادةً ما يُزود بخصائص إضافية، تعتمد بشكل كبير على السياق.

تنص إحدى النتائج الكلاسيكية في نظرية أنصاف الزمر، والتي وضعها دي بي ماكاليستر، على أن لكل نصف زمرة عكسية غطاءً وحدويًا من النوع E ؛ فإلى جانب كونه شاملاً، فإن التشاكل في هذه الحالة هو أيضًا فصلٌ للعناصر المتساوية القوة ، مما يعني أنه في نواته لا ينتمي عنصران متساوي القوة وغير متساوي القوة إلى نفس فئة التكافؤ. وقد تم إثبات شيء أقوى قليلاً لأنصاف الزمر العكسية: فكل نصف زمرة عكسية تقبل غطاءً عكسيًا من النوع F. ^{[ 1 ]} ويُعمم مبرهنة التغطية لماكاليستر على أنصاف الزمر التقليدية : فكل نصف زمرة تقليدية لها غطاء وحدوي. ^{[ 2 ]}

وتشمل الأمثلة من مجالات أخرى في الجبر غطاء فراتيني لمجموعة منتهية ^{[ 3 ]} والغطاء الشامل لمجموعة لي .

إذا كانت F عائلة من الوحدات النمطية فوق حلقة R ، فإن غطاء F للوحدة النمطية M هو تشاكل X → M بالخصائص التالية:

• ينتمي X إلى العائلة F
• X → M دالة شاملة
• أي تطبيق شامل من وحدة نمطية في العائلة F إلى M يحلل عبر X
• أي تشاكل داخلي لـ X يتبادل مع الخريطة إلى M هو تشاكل ذاتي.

بشكل عام، لا يلزم وجود غطاء F لـ M ، ولكن إذا كان موجودًا فهو فريد حتى التشاكل (غير الفريد).

ومن الأمثلة على ذلك:

• الأغطية الإسقاطية (توجد دائمًا فوق الحلقات المثالية )
• الأغطية المسطحة (موجودة دائماً)
• الأغطية الخالية من الالتواء (توجد دائمًا فوق المجالات التكاملية)
• أغطية الحقن

• التضمين

• هاوي، جون م. (1995). أساسيات نظرية شبه الزمر . مطبعة كلارندون . ISBN 0-19-851194-9.