الجبر الحالي

تُعرّف علاقات تبادلية معينة بين مؤثرات كثافة التيار في نظريات الحقول الكمومية جبر لي لانهائي الأبعاد يُسمى جبر التيار . ^{[ 1 ]} رياضياً، هذه جبر لي تتكون من خرائط سلسة من متعدد الشعب إلى جبر لي محدود الأبعاد. ^{[ 2 ]}

وصفت جبر التيارات الأصلي، الذي اقترحه موراي جيل مان عام 1964 ، التيارات الضعيفة والكهرومغناطيسية للجسيمات المتفاعلة بقوة، وهي الهادرونات ، مما أدى إلى صيغة أدلر-وايزبرغر ونتائج فيزيائية مهمة أخرى. وكان المفهوم الأساسي، في الحقبة التي سبقت الديناميكا اللونية الكمومية مباشرة ، هو أنه حتى بدون معرفة لاغرانجي الذي يحكم ديناميكيات الهادرونات بالتفصيل، فإنه لا يزال من الممكن ترميز المعلومات الحركية الدقيقة - التناظر المحلي - في جبر التيارات. ^{[ 3 ]}

تُشكل المبدلات المستخدمة في الجبر الحالي امتدادًا لا نهائي الأبعاد لخريطة جوردان ، حيث تمثل الحقول الكمومية مصفوفات لا نهائية من المذبذبات.

لا تزال التقنيات الجبرية الحالية جزءًا من الخلفية المشتركة لفيزياء الجسيمات عند تحليل التناظرات، وهي ضرورية في مناقشات نظرية غولدستون .

في تناظر يانغ ميلز غير أبيلي ، حيث V و A هما مكونات التيار النكهة والتيار المحوري من الرتبة 0 (كثافات الشحنة)، على التوالي، فإن نموذج جبر التيار هو ^{[ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle {\bigl [}\ V^{a}({\vec {x}})،\ V^{b}({\vec {y}})\ {\bigr ]}=i\ f_{c}^{ab}\ \delta ({\vec {x}}-{\vec {y}})\ V^{c}({\vec {x}})\ ,}$و

${\displaystyle {\bigl [}\ V^{a}({\vec {x}})،\ A^{b}({\vec {y}})\ {\bigr ]}=i\ f_{c}^{ab}\ \delta ({\vec {x}}-{\vec {y}})\ A^{c}({\vec {x}})\ ,\qquad {\bigl [}\ A^{a}({\vec {x}})،\ A^{b}({\vec {y}})\ {\bigr ]}=i\ f_{c}^{ab}\ \delta ({\vec {x}}-{\vec {y}})\ V^{c}({\vec {x}})~,}$

حيث تمثل f ثوابت بنية جبر لي . وللحصول على تعبيرات ذات معنى، يجب أن تكون هذه الثوابت مرتبة ترتيبًا طبيعيًا .

يتحول الجبر إلى مجموع مباشر لجبريْن، L و R ، عند تعريف

${\displaystyle L^{a}({\vec {x}})\equiv {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\ V^{a}({\vec {x}})-A^{a}({\vec {x}})\ {\bigr )}\ ,\qquad R^{a}({\vec {x}})\equiv {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\ V^{a}({\vec {x}})+A^{a}({\vec {x}})\ {\bigr )}\ ,}$

وعليه ${\displaystyle {\bigl [}\ L^{a}({\vec {x}}),\ L^{b}({\vec {y}})\ {\bigr ]}=i\ f_{c}^{ab}\ \delta ({\vec {x}}-{\vec {y}})\ L^{c}({\vec {x}})\ ,\quad {\bigl [}\ L^{a}({\vec {x}}),\ R^{b}({\vec {y}})\ {\bigr ]}=0,\quad {\bigl [}\ R^{a}({\vec {x}}),\ R^{b}({\vec {y}})\ {\bigr ]}=i\ f_{c}^{ab}\ \delta ({\vec {x}}-{\vec {y}})\ R^{c}({\vec {x}})~.}$

في حالة كون الفضاء دائرة أحادية البعد، تنشأ جبريات التيار بشكل طبيعي كامتداد مركزي لجبر الحلقات ، والمعروفة بجبريات كاك-مودي أو، على وجه التحديد، جبريات لي الأفينية . في هذه الحالة، يمكن إعطاء المبدل والترتيب الطبيعي تعريفًا رياضيًا دقيقًا للغاية بدلالة مسارات التكامل على المستوى العقدي ، مما يتجنب بعض صعوبات التباعد الشكلية الشائعة في نظرية الحقل الكمومي.

عند دمج صيغة كيلينغ لجبر لي مع مبدل التيار، نحصل على موتر الطاقة-الزخم لنظرية حقل توافقي ثنائي الأبعاد . وعند توسيع هذا الموتر كمتسلسلة لوران ، يُسمى الجبر الناتج جبر فيراسورو . ^{[ 6 ]} تُعرف هذه العملية الحسابية باسم بناء سوغاوارا .

يتم صياغة الحالة العامة على أنها جبر عامل الرأس .

• جبر لي الأفيني
• النموذج الكيرالي
• خريطة الأردن
• جبر فيراسورو
• جبر عامل الرأس
• جبر كاك-مودي

• جيل مان، م. (1962). "تناظرات الباريونات والميزونات" . مجلة Physical Review . 125 (3): 1067-1084 . Bibcode : 1962PhRv..125.1067G . doi : 10.1103/PhysRev.125.1067 .
• جيل مان، م.؛ نعمان ، ي. ، محرران. (1964). الطريق الثماني . دبليو إيه بنجامين . LCCN 65013009 . 
• جولدين، جي إيه (2006). فرانسواز، جيه بي؛ نابر، جي إل؛ تسون، تي إس (محررون). موسوعة الفيزياء الرياضية . الجبر الحالي. ISBN 978-0-12-512666-3.
• تريمان، إس بي ؛ جاكيو، آر ؛ غروس، دي جيه (2015) [1972]. محاضرات في جبر التيار وتطبيقاته . سلسلة برينستون في الفيزياء. برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون . doi : 10.1515/9781400871506 . ISBN 978-1-4008-7150-6– عبر دار نشر دي جرويتر .عينة.