نموذج ويس-زومينو-ويتن

ل${\displaystyle \Sigma }$سطح ريمان ،${\displaystyle G}$جماعة كاذبة ، و${\displaystyle k}$لنعرّف العدد (المركب عمومًا)${\displaystyle G}$نموذج WZW${\displaystyle \Sigma }$على المستوى${\displaystyle k}$النموذج هو نموذج سيجما غير خطي، ويكون تأثيره دالةً لحقل ما .${\displaystyle \gamma$ :\Sigma \to G} :

$// kS^{\mathrm {W} Z}(\gamma ).}$

هنا،${\displaystyle \Sigma }$مزود بنظام قياس إقليدي مسطح ،${\displaystyle \partial _{\mu }}$هي المشتقة الجزئية ، و${\displaystyle {\mathcal {K}}}$هو شكل كيلينغ على جبر لي لـ${\displaystyle G}$مصطلح ويس-زومينو للفعل هو

${\displaystyle S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )=-{\frac {1}{48\pi ^{2}}}\int _{\mathbf {B} ^{3}}d^{3}y\,\epsilon ^{ijk}{\mathcal {K}}\left(\gamma ^{-1}\partial _{i}\gamma ,\left[\gamma ^{-1}\partial _{j}\gamma ,\gamma ^{-1}\partial _{k}\gamma \right]\right).}$

هنا${\displaystyle \epsilon ^{ijk}}$هو موتر مضاد للتناظر تمامًا ، و${\displaystyle [.,.]}$هو قوس لي . حد ويس-زومينو هو تكامل على مشعب ثلاثي الأبعاد${\displaystyle \mathbf {B} ^{3}}$التي حدودها${\displaystyle \partial \mathbf {B} ^{3}=\Sigma }$.

لكي يكون مصطلح ويس-زومينو منطقياً، نحتاج إلى المجال${\displaystyle \gamma }$للحصول على امتداد لـ${\displaystyle \mathbf {B} ^{3}}$وهذا يتطلب مجموعة التماثل${\displaystyle \pi _{2}(G)}$أن يكون الأمر تافهاً، وهو الحال على وجه الخصوص بالنسبة لأي مجموعة لي متراصة${\displaystyle G}$.

امتداد لشيء معين${\displaystyle \gamma$ :\Sigma \to G} إلى${\displaystyle \mathbf {B} ^{3}}$ليس فريدًا بشكل عام. لكي يكون نموذج WZW محددًا جيدًا،${\displaystyle e^{iS_{k}(\gamma )}}$ لا ينبغي أن يعتمد ذلك على اختيار الامتداد. إن حد ويس-زومينو ثابت تحت التشوهات الصغيرة لـ${\displaystyle \gamma }$ويعتمد ذلك فقط على فئة التماثل الخاصة به . وتُحدد فئات التماثل الممكنة بواسطة مجموعة التماثل.${\displaystyle \pi _{3}(G)}$.

لأي مجموعة لي بسيطة متصلة ومضغوطة${\displaystyle G}$لدينا${\displaystyle \pi _{3}(G)=\mathbb {Z} }$وامتدادات مختلفة لـ${\displaystyle \gamma }$تؤدي إلى قيم${\displaystyle S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )}$والتي تختلف بأعداد صحيحة. لذلك، فإنها تؤدي إلى نفس قيمة${\displaystyle e^{iS_{k}(\gamma )}}$بشرط أن يلتزم المستوى

${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$

تلعب القيم الصحيحة للمستوى دورًا هامًا في نظرية تمثيل جبر التناظر للنموذج، وهو جبر لي أفيني . إذا كان المستوى عددًا صحيحًا موجبًا، فإن جبر لي الأفيني يمتلك تمثيلات أحادية الوزن ذات أوزان مهيمنة. تتحلل هذه التمثيلات إلى تمثيلات فرعية محدودة الأبعاد بالنسبة للجبر الفرعي الذي يولده كل جذر بسيط ، والجذر السالب المقابل، ومبدلهما، وهو مولد كارتان .

في حالة زمرة لي البسيطة غير المتراصة${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}$، مجموعة التماثل${\displaystyle \pi _{3}(\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} ))}$الأمر تافه، والمستوى ليس مقيدًا بأن يكون عددًا صحيحًا. ^{[ 6 ]}

إذا كانت e _{و a} متجهات الأساس لجبر لي ، فإن${\displaystyle {\mathcal {K}}(e_{a},[e_{b},e_{c}])}$هي ثوابت البنية لجبر لي. ثوابت البنية متناظرة تمامًا عكسيًا، وبالتالي فهي تُعرّف شكلًا ثلاثيًا على مشعب المجموعة G. لذا، فإن الدالة التكاملية أعلاه هي مجرد سحب عكسي للشكل التوافقي الثلاثي إلى الكرة .${\displaystyle \mathbf {B} ^{3}.}$نرمز إلى الشكل التوافقي الثالث بـ c وإلى السحب العكسي بـ${\displaystyle \gamma ^{*},}$ثم يمتلك المرء

${\displaystyle S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )=\int _{\mathbf {B} ^{3}}\gamma ^{*}c.}$

يؤدي هذا الشكل مباشرة إلى تحليل طوبولوجي لمصطلح WZ.

هندسياً، يصف هذا المصطلح التواء المتشعب المعني. ^{[ 7 ]} وجود هذا الالتواء يجبر على التوازي عن بعد للمتشعب، وبالتالي تبسيط موتر الانحناء الالتوائي ؛ ومن ثم توقف تدفق إعادة التطبيع، وهي نقطة ثابتة تحت الحمراء لمجموعة إعادة التطبيع ، وهي ظاهرة تسمى الثبات الهندسي .

إن نموذج ويس-زومينو-ويتن ليس متناظرًا فقط تحت التحويلات العالمية بواسطة عنصر مجموعة في${\displaystyle G}$لكنها تتمتع أيضاً بتناظر أغنى بكثير. يُطلق على هذا التناظر غالباً اسم${\displaystyle G(z)\times G({\bar {z}})}$التناظر. ^{[ 8 ]} أي، بالنظر إلى أي شكل كامل${\displaystyle G}$دالة ذات قيم -${\displaystyle \Omega (z)}$وأي شيء آخر (مستقل تمامًا عن${\displaystyle \Omega (z)}$) مضاد للشكل الهولومورفي${\displaystyle G}$دالة ذات قيم -${\displaystyle {\bar {\Omega }}({\bar {z}})}$، حيث حددنا${\displaystyle z=x+iy}$و${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}$من حيث إحداثيات الفضاء الإقليدي${\displaystyle x,y}$، يتحقق التناظر التالي:

${\displaystyle S_{k}(\gamma )=S_{k}(\Omega \gamma {\bar {\Omega }}^{-1})}$

إحدى طرق إثبات وجود هذا التناظر هي من خلال التطبيق المتكرر لهوية بولياكوف-ويغمان فيما يتعلق بمنتجات${\displaystyle G}$الحقول ذات القيم:

${\displaystyle S_{k}(\alpha \beta ^{-1})=S_{k}(\alpha )+S_{k}(\beta ^{-1})+{\frac {k}{16\pi ^{2}}}\int d^{2}x{\textrm {Tr}}(\alpha ^{-1}\partial _{\bar {z}}\alpha \beta ^{-1}\partial _{z}\beta )}$

التيارات الهولومورفية والتيارات المضادة للهولومورفية${\displaystyle J(z)=-{\frac {1}{2}}k(\partial _{z}\gamma )\gamma ^{-1}}$و${\displaystyle {\bar {J}}({\bar {z}})=-{\frac {1}{2}}k\gamma ^{-1}\partial _{\bar {z}}\gamma }$تمثل هذه التيارات المحفوظة المرتبطة بهذا التناظر. ويحدد السلوك الفريد لحاصل ضرب هذه التيارات مع حقول كمومية أخرى كيفية تحول تلك الحقول تحت تأثيرات متناهية الصغر لـ${\displaystyle G(z)\times G({\bar {z}})}$مجموعة.

يترك${\displaystyle z}$ليكن إحداثيًا معقدًا محليًا على${\displaystyle \Sigma }$، ${\displaystyle \{t^{a}\}}$أساس متعامد (بالنسبة لصيغة كيلينغ ) لجبر لي لـ${\displaystyle G}$، و${\displaystyle J^{a}(z)}$تكميم المجال ${\displaystyle {\mathcal {K}}(t^{a},\partial _{z}gg^{-1})}$لدينا التوسعة التالية في منتجات المشغل :

${\displaystyle J^{a}(z)J^{b}(w)={\frac {k\delta ^{ab}}{(z-w)^{2}}}+{\frac {if_{c}^{ab}J^{c}(w)}{z-w}}+{\mathcal {O}}(1),}$

أين${\displaystyle f_{c}^{ab}}$هل المعاملات بحيث${\displaystyle [t^{a},t^{b}]=f_{c}^{ab}t^{c}}$أو بعبارة أخرى، إذا${\displaystyle J^{a}(z)}$يتم توسيعها في الأوضاع

${\displaystyle J^{a}(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }J_{n}^{a}z^{-n-1},}$

ثم الجبر الحالي الناتج عن${\displaystyle \{J_{n}^{a}\}}$هي جبر لي الأفيني المرتبط بجبر لي لـ${\displaystyle G}$، بمستوى يتطابق مع المستوى${\displaystyle k}$من نموذج WZW. ^{[ 5 ]} إذا${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathrm {Lie} (G)}$، رمز جبر لي الأفيني هو${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}_{k}}$علاقات التبادل في جبر لي الأفيني هي

${\displaystyle [J_{n}^{a},J_{m}^{b}]=f_{c}^{ab}J_{m+n}^{c}+kn\delta ^{ab}\delta _{n+m,0}.}$

هذا الجبر الخطي لي هو جبر التناظر الكيرالي المرتبط بالتيارات المتحركة إلى اليسار${\displaystyle {\mathcal {K}}(t^{a},\partial _{z}gg^{-1})}$ترتبط نسخة ثانية من نفس جبر لي الأفيني بالتيارات المتحركة نحو اليمين${\displaystyle {\mathcal {K}}(t^{a},g^{-1}\partial _{\bar {z}}g)}$المولدات${\displaystyle {\bar {J}}^{a}(z)}$تكون النسختان الثانية من هذا النموذج مضادتين للتماثل. إن جبر التناظر الكامل لنموذج WZW هو حاصل ضرب النسختين من جبر لي الأفيني.

يُعدّ بناء سوغاوارا تضمينًا لجبر فيراسورو في الجبر الشامل المُغلِّف لجبر لي الأفيني. ويُشير وجود هذا التضمين إلى أن نماذج WZW هي نظريات حقل توافقية. علاوة على ذلك، يُفضي هذا البناء إلى معادلات كنيجنيك-زامولودتشيكوف لدوال الارتباط.

يمكن تلخيص بناء سوغاوارا بشكل أكثر إيجازًا على مستوى التيارات:${\displaystyle J^{a}(z)}$بالنسبة لجبر لي الأفيني، وموتر الطاقة والزخم${\displaystyle T(z)}$بالنسبة لجبر فيراسورو:

${\displaystyle T(z)={\frac {1}{2(k+h^{\vee })}}\sum _{a}:J^{a}J^{a}:(z),}$

حيث${\displaystyle$ يشير الرمز ":" إلى الترتيب الطبيعي، و${\displaystyle h^{\vee }}$هو عدد كوكسيتر المزدوج . باستخدام توسيع المؤثرات للتيارات وصيغة من نظرية ويك، يمكن استنتاج أن توسيع المؤثرات لـ${\displaystyle T(z)}$[5] مع نفسه معطى بواسطة ^{[ 5 ]}

${\displaystyle T(y)T(z)={\frac {\frac {c}{2}}{(y-z)^{4}}}+{\frac {2T(z)}{(y-z)^{2}}}+{\frac {\partial T(z)}{y-z}}+{\mathcal {O}}(1),}$

وهو ما يعادل علاقات التبادل في جبر فيراسورو. تُعطى الشحنة المركزية لجبر فيراسورو بدلالة المستوى.${\displaystyle k}$من جبر لي الأفيني بواسطة

${\displaystyle c={\frac {k\mathrm {dim} ({\mathfrak {g}})}{k+h^{\vee }}}.}$

على مستوى مولدات جبر لي الأفيني، يُقرأ بناء سوغاوارا على النحو التالي:

${\displaystyle L_{n\neq 0}={\frac {1}{2(k+h^{\vee })}}\sum _{a}\sum _{m\in \mathbb {Z} }J_{n-m}^{a}J_{m}^{a},}$

${\displaystyle L_{0}={\frac {1}{2(k+h^{\vee })}}\left(2\sum _{a}\sum _{m=1}^{\infty }J_{-m}^{a}J_{m}^{a}+J_{a}^{0}J_{a}^{0}\right).}$

حيث المولدات${\displaystyle L_{n}}$تمثل أنماط موتر الطاقة والزخم في جبر فيراسورو،${\displaystyle T(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }L_{n}z^{-n-2}}$.

إذا كانت المجموعة تكذب${\displaystyle G}$إذا كانت الشبكة مضغوطة ومتصلة ببساطة، فإن نموذج WZW يكون منطقيًا وقطريًا: منطقيًا لأن الطيف مبني من مجموعة محدودة (تعتمد على المستوى) من التمثيلات غير القابلة للاختزال لجبر لي الأفيني تسمى تمثيلات الوزن الأعلى القابلة للتكامل ، وقطريًا لأن تمثيل الجبر المتحرك لليسار مقترن بنفس تمثيل الجبر المتحرك لليمين. ^{[ 5 ]}

على سبيل المثال، طيف${\displaystyle SU(2)}$نموذج WZW في المستوى${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$يكون

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{k}=\bigoplus _{j=0,{\frac {1}{2}},1,\dots ,{\frac {k}{2}}}{\mathcal {R}}_{j}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{j}\ ,}$

أين${\displaystyle {\mathcal {R}}_{j}}$هو التمثيل الأفيني ذو الوزن الأعلى للدوران${\displaystyle j}$تمثيل يتم إنشاؤه بواسطة حالة${\displaystyle |v\rangle }$بحيث

${\displaystyle J_{n<0}^{a}|v\rangle =J_{0}^{-}|v\rangle =0\ ,}$

أين${\displaystyle J^{-}}$التيار الذي يتوافق مع المولد${\displaystyle t^{-}}$من جبر لي لـ${\displaystyle SU(2)}$.

إذا كانت المجموعة${\displaystyle G}$على الرغم من أن نموذج WZW مضغوط ولكنه ليس متصلاً ببساطة، إلا أنه عقلاني ولكنه ليس بالضرورة قطريًا. على سبيل المثال،${\displaystyle SO(3)}$يوجد نموذج WZW لمستويات الأعداد الصحيحة الزوجية${\displaystyle k\in 2\mathbb {N} }$وطيفها عبارة عن توليفة غير قطرية لعدد محدود من التمثيلات القابلة للتكامل ذات الوزن الأعلى. ^{[ 5 ]}

إذا كانت المجموعة${\displaystyle G}$إذا لم يكن النموذج مضغوطًا، فإن نموذج WZW غير عقلاني. علاوة على ذلك، قد يتضمن طيفه تمثيلات لا تحمل أعلى وزن. على سبيل المثال، طيف...${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$يتم بناء نموذج WZW من تمثيلات الوزن الأعلى، بالإضافة إلى صورها تحت التشكلات الذاتية للتدفق الطيفي لجبر لي الأفيني. ^{[ 6 ]}

لو${\displaystyle G}$إذا كانت مجموعة فائقة ، فقد يتضمن الطيف تمثيلات لا يمكن تحليلها إلى جداءات موترية لتمثيلات جبر التناظر المتحرك يسارًا ويمينًا. يحدث هذا على سبيل المثال في الحالة${\displaystyle G=GL(1|1)}$[ ^{9 ]} وأيضًا في مجموعات فائقة أكثر تعقيدًا ^مثل${\displaystyle G=PSU(1,1|2)}$[ ^{10 ]} التمثيلات غير القابلة للتحليل هي المسؤولة عن حقيقة أن نماذج WZW المقابلة هي ^نظريات حقل توافقي لوغاريتمي .

لا تقتصر نظريات الحقول المطابقة المعروفة القائمة على جبر لي الأفيني على نماذج WZW. على سبيل المثال، في حالة جبر لي الأفيني لـ${\displaystyle SU(2)}$في نموذج WZW، تخضع دوال تقسيم الطارة الثابتة المعيارية لتصنيف ADE، حيث${\displaystyle SU(2)}$يُغطي نموذج WZW سلسلة A فقط. ^{[ 11 ]} أما سلسلة D فتُطابق...${\displaystyle SO(3)}$طراز WZW، وسلسلة E لا تتوافق مع أي طراز من طرازات WZW.

مثال آخر هو${\displaystyle H_{3}^{+}}$هذا النموذج مبني على نفس جبر التناظر الذي يعتمد عليه النموذج${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$نموذج WZW، الذي يرتبط به عن طريق دوران ويك. ومع ذلك،${\displaystyle H_{3}^{+}}$ليس نموذجًا من نماذج WZW بالمعنى الدقيق للكلمة، لأن${\displaystyle H_{3}^{+}=SL(2,\mathbb {C} )/SU(2)}$ليست مجموعة، بل مجموعة مشاركة. ^{[ 12 ]}

بالنظر إلى تمثيل بسيط${\displaystyle \rho }$من جبر لي لـ${\displaystyle G}$، حقل أولي أفيني${\displaystyle \Phi ^{\rho }(z)}$هو حقل يأخذ قيمًا في فضاء تمثيل${\displaystyle \rho }$بحيث

${\displaystyle J^{a}(y)\Phi ^{\rho }(z)=-{\frac {\rho (t^{a})\Phi ^{\rho }(z)}{y-z}}+O(1)\ .}$

يُعد الحقل الأولي الأفيني أيضًا حقلًا أوليًا لجبر فيراسورو الناتج عن بناء سوغاوارا. ويُعطى البُعد التوافقي للحقل الأولي الأفيني بدلالة كازيمير التربيعي.${\displaystyle C_{2}(\rho )}$التمثيل${\displaystyle \rho }$(أي القيمة الذاتية لعنصر كازيمير التربيعي)${\displaystyle K_{ab}t^{a}t^{b}}$أين${\displaystyle K_{ab}}$هو معكوس المصفوفة${\displaystyle {\mathcal {K}}(t^{a},t^{b})}$(من شكل القتل) بواسطة

${\displaystyle \Delta _{\rho }={\frac {C_{2}(\rho )}{2(k+h^{\vee })}}\ .}$

على سبيل المثال، في${\displaystyle SU(2)}$نموذج WZW، البعد المطابق لحقل دوران أولي${\displaystyle j}$يكون

${\displaystyle \Delta _{j}={\frac {j(j+1)}{k+2}}\ .}$

بحسب تطابق الحالة والمجال، تتوافق الحقول الأولية الأفينية مع الحالات الأولية الأفينية ، وهي حالات الوزن الأعلى لتمثيلات الوزن الأعلى لجبر لي الأفيني.

إذا كانت المجموعة${\displaystyle G}$عندما يكون مضغوطًا، يتكون طيف نموذج WZW من تمثيلات ذات وزن أعلى، ويمكن استنتاج جميع وظائف الارتباط من وظائف الارتباط للحقول الأولية الأفينية عبر متطابقات وارد .

إذا كان سطح ريمان${\displaystyle \Sigma }$في كرة ريمان، تخضع دوال الارتباط للحقول الأولية الأفينية لمعادلات كنيجنيك-زامولودتشيكوف . أما على أسطح ريمان ذات الرتبة الأعلى، فتخضع دوال الارتباط لمعادلات كنيجنيك-زامولودتشيكوف-برنارد ، والتي تتضمن مشتقات ليس فقط لمواضع الحقول، بل أيضاً لمعاملات السطح. ^{[ 13 ]}