خريطة الأردن

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 22 صور
الموسوعة الحرة

في الفيزياء النظرية، تُعرف خريطة جوردان ، والتي تُسمى أيضًا خريطة جوردان-شوينجر، بأنها خريطة تربط المصفوفات M<sub> ij </sub> بالتعبيرات الثنائية الخطية للمذبذبات الكمومية، مما يُسرّع حساب تمثيلات جبر لي في الفيزياء. وقد قدّمها باسكوال جوردان عام 1935 [ 1 ] ، واستخدمها جوليان شوينجر [ 2 ] عام 1952 لإعادة صياغة نظرية الزخم الزاوي الكمومي بكفاءة، نظرًا لسهولة تنظيم تمثيلات su (2) (المتماثلة) في فضاء فوك .

تستخدم الخريطة العديد من عوامل الإنشاء والإفناء.أأنا†{\displaystyle a_{i}^{\dagger }}وأأنا{\displaystyle a_{i}^{\,}}تُستخدم هذه الرموز بشكل روتيني في نظريات الحقول الكمومية ومسائل الأجسام المتعددة ، حيث يمثل كل زوج منها مذبذبًا توافقيًا كموميًا . وتكون علاقات التبادل بين مؤثرات الإنشاء والإفناء في نظام متعدد البوزونات كما يلي:

[أأنا،أج†]≡أأناأج†-أج†أأنا=دلتاأناج،{\displaystyle [a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }]\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }-a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},}
[أأنا†،أج†]=[أأنا،أج]=0،{\displaystyle [a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }]=[a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}]=0,}

أين[  ،  ]{\displaystyle [\ \ ,\ \ ]}هو المبدل ودلتاأناج{\displaystyle \delta _{ij}}هي دلتا كرونكر .

تُغير هذه المعاملات القيم الذاتية لمعامل العدد ،

شمال=∑أنانأنا=∑أناأأنا†أأنا{\displaystyle N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,}}،

واحد، كما هو الحال بالنسبة للمذبذبات التوافقية الكمومية متعددة الأبعاد .

خريطة جوردان من مجموعة المصفوفات M ij إلى المؤثرات الثنائية الخطية في فضاء فوك M ،

م⟼م≡∑أنا،جأأنا†مأناجأج ،{\displaystyle {\mathbf {M} }\qquad \longmapsto \qquad M\equiv \sum _{i,j}a_{i}^{\dagger }{\mathbf {M} }_{ij}a_{j}~,}

من الواضح أن هذا تماثل جبر لي ، أي أن المؤثرات M تحقق نفس علاقات التبادل مثل المصفوفات M.

مثال على الزخم الزاوي

على سبيل المثال، صورة مصفوفات باولي لـ SU(2) في هذه الخريطة،

ج→≡أ†⋅σ→2⋅أ ،{\displaystyle {\vec {J}}\equiv {\mathbf {a} }^{\dagger }\cdot {\frac {\vec {\sigma }}{2}}\cdot {\mathbf {a} }~,}

بالنسبة للمتجهين a † s و a s ، فإنهما يحققان نفس علاقات التبادل الخاصة بـ SU(2) أيضًا، وعلاوة على ذلك، بالاعتماد على علاقة الاكتمال لمصفوفات باولي ،

ج2≡ج→⋅ج→=شمال2(شمال2+1).{\displaystyle J^{2}\equiv {\vec {J}}\cdot {\vec {J}}={\frac {N}{2}}\left({\frac {N}{2}}+1\right).}

هذه هي نقطة انطلاق معالجة شوينجر لنظرية الزخم الزاوي الكمومي، القائمة على تأثير هذه المؤثرات على حالات فوك المبنية على قوى أعلى عشوائية لهذه المؤثرات. على سبيل المثال، التأثير على حالة فوك الذاتية (غير المعيارية)،

ج2 أ1†كأ2†ن|0⟩=ك+ن2(ك+ن2+1) أ1†كأ2†ن|0⟩ ،{\displaystyle J^{2}~a_{1}^{\dagger k}a_{2}^{\dagger n}|0\rangle ={\frac {k+n}{2}}\left({\frac {k+n}{2}}+1\right)~a_{1}^{\dagger k}a_{2}^{\dagger n}|0\rangle ~,}

بينما

جz أ1†كأ2†ن|0⟩=12(ك-ن)أ1†كأ2†ن|0⟩ ،{\displaystyle J_{z}~a_{1}^{\dagger k}a_{2}^{\dagger n}|0\rangle ={\frac {1}{2}}\left(k-n\right)a_{1}^{\dagger k}a_{2}^{\dagger n}|0\rangle ~,}

وبالتالي، بالنسبة لـ j = ( k+n )/2، m = ( k −n )/2 ، فإن هذا يتناسب مع الحالة الذاتية | j , m⟩ ، [ 3 ]

|ج،م⟩=أ1† كأ2† نك! ن!|0⟩=أ1† (ج+م)أ2† (ج-م)(ج+م)! (ج-م)!|0⟩ .{\displaystyle |j,m\rangle ={\frac {a_{1}^{\dagger ~k}a_{2}^{\dagger ~n}}{\sqrt {k!~n!}}}|0\rangle ={\frac {a_{1}^{\dagger ~(j+m)}a_{2}^{\dagger ~(j-m)}}{\sqrt {(j+m)!~(j-m)!}}}|0\rangle ~.}

يراقبج+=أ1†أ2{\displaystyle J_{+}=a_{1}^{\dagger }a_{2}}وج-=أ2†أ1{\displaystyle J_{-}=a_{2}^{\dagger }a_{1}}، إلى جانبجz=(أ1†أ1-أ2†أ2)/2{\displaystyle J_{z}=(a_{1}^{\dagger }a_{1}-a_{2}^{\dagger }a_{2})/2}.

الفيرميونات

يمكن استيعاب التمثيلات غير المتناظرة لجبر لي بشكل أكبر باستخدام المؤثرات الفرميونية. بأنا†{\displaystyle b_{i}^{\dagger }}وبأنا{\displaystyle b_{i}^{\,}}كما اقترح جوردان أيضًا. بالنسبة للفيرميونات ، يتم استبدال المُبدِّل بالمُبدِّل المضاد{  ،  }{\displaystyle \{\ \ ,\ \ \}}،

{بأنا،بج†}≡بأنابج†+بج†بأنا=دلتاأناج،{\displaystyle \{b_{i}^{\,},b_{j}^{\dagger }\}\equiv b_{i}^{\,}b_{j}^{\dagger }+b_{j}^{\dagger }b_{i}^{\,}=\delta _{ij},}
{بأنا†،بج†}={بأنا،بج}=0.{\displaystyle \{b_{i}^{\dagger },b_{j}^{\dagger }\}=\{b_{i}^{\,},b_{j}^{\,}\}=0.}

لذلك، فإن تبادل العناصر المنفصلة (أيأنا≠ج{\displaystyle i\neq j}تؤدي المؤثرات في ناتج إنشاء مؤثرات الإفناء إلى عكس الإشارة في أنظمة الفرميونات، ولكن ليس في أنظمة البوزونات. وقد استخدم أ. أ. أبريكوسوف هذا النموذج [ 4 ] في نظرية تأثير كوندو لتمثيل اللف المغزلي الموضعي 1/2، ويُطلق عليه اسم فرميونات أبريكوسوف في أدبيات فيزياء الحالة الصلبة.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ^ جوردان ، باسكوال (1935). "Der Zusammenhang der Symmetrischen und Linearen Gruppen und das Mehrkörperproblem"، Zeitschrift für Physik 94 ، العدد 7-8، 531-535
  2. ↑ شوينجر، ج. (1952). "حول الزخم الزاوي" ، تقرير غير منشور، جامعة هارفارد، جمعية التطوير النووي، وزارة الطاقة الأمريكية (من خلال الوكالة السابقة لجنة الطاقة الذرية )، رقم التقرير NYO-3071 (26 يناير 1952).
  3. ↑ ساكوراي، جيه جيه؛ نابوليتانو، جيم (2011). ميكانيكا الكم الحديثة (  الطبعة الثانية). بوسطن: أديسون-ويسلي. ISBN 978-0-8053-8291-4. OCLC 641998678 . 
  4. ↑ أبريكوسوف، أ.أ. (1965-09-01). "تشتت الإلكترونات على الشوائب المغناطيسية في المعادن وتأثيرات المقاومة الشاذة" . الفيزياء . 2 (1): 5-20 . doi : 10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.2.5 . ISSN 0554-128X .