هوية ديجين المكونة من ثمانية مربعات

في الرياضيات ، تُثبت متطابقة ديجن للمربعات الثمانية أن حاصل ضرب عددين، كل منهما عبارة عن مجموع ثمانية مربعات، هو نفسه مجموع ثمانية مربعات. أي: $${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}+a_{5}^{2}+a_{6}^{2}+a_{7}^{2}+a_{8}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}+b_{5}^{2}+b_{6}^{2}+b_{7}^{2}+b_{8}^{2}\right)=\\[1ex]&\quad \left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}-a_{5}b_{5}-a_{6}b_{6}-a_{7}b_{7}-a_{8}b_{8}\right)^{2}+\\&\quad \left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3}+a_{5}b_{6}-a_{6}b_{5}-a_{7}b_{8}+a_{8}b_{7}\right)^{2}+\\&\quad \left(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}+a_{5}b_{7}+a_{6}b_{8}-a_{7}b_{5}-a_{8}b_{6}\right)^{2}+\\&\quad \left(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1}+a_{5}b_{8}-a_{6}b_{7}+a_{7}b_{6}-a_{8}b_{5}\right)^{2}+\\&\quad \left(a_{1}b_{5}-a_{2}b_{6}-a_{3}b_{7}-a_{4}b_{8}+a_{5}b_{1}+a_{6}b_{2}+a_{7}b_{3}+a_{8}b_{4}\right)^{2}+\\&\quad \left(a_{1}b_{6}+a_{2}b_{5}-a_{3}b_{8}+a_{4}b_{7}-a_{5}b_{2}+a_{6}b_{1}-a_{7}b_{4}+a_{8}b_{3}\right)^{2}+\\&\quad \left(a_{1}b_{7}+a_{2}b_{8}+a_{3}b_{5}-a_{4}b_{6}-a_{5}b_{3}+a_{6}b_{4}+a_{7}b_{1}-a_{8}b_{2}\right)^{2}+\\&\quad \left(a_{1}b_{8}-a_{2}b_{7}+a_{3}b_{6}+a_{4}b_{5}-a_{5}b_{4}-a_{6}b_{3}+a_{7}b_{2}+a_{8}b_{1}\right)^{2}\end{aligned}}}$$

اكتشف كارل فرديناند ديجن هذه المتطابقة لأول مرة حوالي عام 1818، ثم أعاد اكتشافها بشكل مستقل كل من جون توماس غريفز (1843) وآرثر كايلي (1845). وقد استنتجها العالمان الأخيران أثناء عملهما على امتداد للأعداد الرباعية يُسمى الأعداد الثمانية . وبعبارة جبرية، تعني هذه المتطابقة أن معيار حاصل ضرب عددين ثمانيين يساوي حاصل ضرب معياريهما.${\displaystyle \left\|ab\right\|=\left\|a\right\|\left\|b\right\|}$تنطبق عبارات مماثلة على الأعداد الرباعية ( متطابقة أويلر للمربعات الأربعة )، والأعداد المركبة ( متطابقة براهمغوبتا-فيوناتشي للمربعين )، والأعداد الحقيقية. في عام 1898، أثبت أدولف هورويتز عدم وجود متطابقة ثنائية الخطية مماثلة لـ 16 مربعًا ( سيدينيونات ) أو أي عدد آخر من المربعات باستثناء 1 و2 و4 و8. مع ذلك، في ستينيات القرن العشرين، أظهر كل من هـ. زاسنهاوس، و و. إيشهورن، و أ. فايستر (بشكل مستقل) إمكانية وجود متطابقة غير ثنائية الخطية لـ 16 مربعًا .

لاحظ أن كل ربع من الأرباع الأربعة يختزل إلى نسخة من متطابقة أويلر الرباعية : $${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}\right)=\\&\quad \left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}\right)^{2}+\\&\quad \left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3}\right)^{2}+\\&\quad \left(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}\right)^{2}+\\&\quad \left(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1}\right)^{2}\end{aligned}}}$$

وبالمثل بالنسبة للأرباع الثلاثة الأخرى.

تعليق: يُبرهن على متطابقة المربع الثماني بالتقييم الجبري. يمكن كتابة متطابقة المربع الثماني على شكل حاصل ضرب داخلي لمتجهين ثماني الأبعاد، مما ينتج عنه حاصل ضرب داخلي لمتجهين ثماني الأبعاد: ( أ × أ )( ب × ب ) = ( أ × ب ) × ( أ × ب ) . يُعرّف هذا قاعدة ضرب الأوكتونيونات أ × ب ، والتي تعكس متطابقة ديجن للمربع الثماني ورياضيات الأوكتونيونات.

بحسب نظرية بفايستر ، يمكن تقديم نوع مختلف من متطابقة المربعات الثمانية حيث${\displaystyle z_{i}}$الدوال المذكورة أدناه هي دوال غير ثنائية الخطية ودوال كسرية بحتة.${\displaystyle x_{i},y_{i}}$. هكذا، $${\displaystyle \left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\right)\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+y_{4}^{2}+y_{5}^{2}+y_{6}^{2}+y_{7}^{2}+y_{8}^{2}\right)=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2}+z_{5}^{2}+z_{6}^{2}+z_{7}^{2}+z_{8}^{2}}$$

أين، $${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}&=x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2}-x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}+u_{1}y_{5}-u_{2}y_{6}-u_{3}y_{7}-u_{4}y_{8}\\z_{2}&=x_{2}y_{1}+x_{1}y_{2}+x_{4}y_{3}-x_{3}y_{4}+u_{2}y_{5}+u_{1}y_{6}+u_{4}y_{7}-u_{3}y_{8}\\z_{3}&=x_{3}y_{1}-x_{4}y_{2}+x_{1}y_{3}+x_{2}y_{4}+u_{3}y_{5}-u_{4}y_{6}+u_{1}y_{7}+u_{2}y_{8}\\z_{4}&=x_{4}y_{1}+x_{3}y_{2}-x_{2}y_{3}+x_{1}y_{4}+u_{4}y_{5}+u_{3}y_{6}-u_{2}y_{7}+u_{1}y_{8}\\z_{5}&=x_{5}y_{1}-x_{6}y_{2}-x_{7}y_{3}-x_{8}y_{4}+x_{1}y_{5}-x_{2}y_{6}-x_{3}y_{7}-x_{4}y_{8}\\z_{6}&=x_{6}y_{1}+x_{5}y_{2}+x_{8}y_{3}-x_{7}y_{4}+x_{2}y_{5}+x_{1}y_{6}+x_{4}y_{7}-x_{3}y_{8}\\z_{7}&=x_{7}y_{1}-x_{8}y_{2}+x_{5}y_{3}+x_{6}y_{4}+x_{3}y_{5}-x_{4}y_{6}+x_{1}y_{7}+x_{2}y_{8}\\z_{8}&=x_{8}y_{1}+x_{7}y_{2}-x_{6}y_{3}+x_{5}y_{4}+x_{4}y_{5}+x_{3}y_{6}-x_{2}y_{7}+x_{1}y_{8}\end{aligned}}}$$

و،

$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}&={\frac {(ax_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2})x_{5}-2x_{1}(bx_{1}x_{5}+x_{2}x_{6}+x_{3}x_{7}+x_{4}x_{8})}{c}}\\u_{2}&={\frac {(x_{1}^{2}+ax_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2})x_{6}-2x_{2}(x_{1}x_{5}+bx_{2}x_{6}+x_{3}x_{7}+x_{4}x_{8})}{c}}\\u_{3}&={\frac {(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+ax_{3}^{2}+x_{4}^{2})x_{7}-2x_{3}(x_{1}x_{5}+x_{2}x_{6}+bx_{3}x_{7}+x_{4}x_{8})}{c}}\\u_{4}&={\frac {(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+ax_{4}^{2})x_{8}-2x_{4}(x_{1}x_{5}+x_{2}x_{6}+x_{3}x_{7}+bx_{4}x_{8})}{c}}\end{aligned}}}$$

مع، $${\displaystyle a=-1,\;\;b=0,\;\;c=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}}$$

بالمناسبة،${\displaystyle u_{i}}$أطع الهوية، $${\displaystyle u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}+u_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}}$$

• هوية بفايستر المكونة من ستة عشر مربعًا
• شركة كايلي-ديكسون للإنشاءات
• عدد معقد للغاية
• ساحة لاتينية

• متطابقة ديجين ذات الثمانية مربعات على موقع MathWorld
• هوية ديجن-جريفز-كايلي الثمانية المربعة
• هوية بفايستر ذات الستة عشر مربعًا، مؤرشفة بتاريخ 17 سبتمبر 2016 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) .